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Theorem fouriersw

Description: Fourier series convergence, for the square wave function. Where F is discontinuous, the series converges to 0 , the average value of the left and the right limits. Notice that F is an odd function and its Fourier expansion has only sine terms (coefficients for cosine terms are zero). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fouriersw.t ⊢ 𝑇 = ( 2 · π )
fouriersw.f ⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
fouriersw.x ⊢ 𝑋 ∈ ℝ
fouriersw.z ⊢ 𝑆 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) )
fouriersw.y ⊢ 𝑌 = if ( ( 𝑋 mod π ) = 0 , 0 , ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) )
Assertion fouriersw ( ( ( 4 / π ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = 𝑌 ∧ seq 1 ( + , 𝑆 ) ⇝ ( ( π / 4 ) · 𝑌 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fouriersw.t ⊢ 𝑇 = ( 2 · π )
2 fouriersw.f ⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
3 fouriersw.x ⊢ 𝑋 ∈ ℝ
4 fouriersw.z ⊢ 𝑆 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) )
5 fouriersw.y ⊢ 𝑌 = if ( ( 𝑋 mod π ) = 0 , 0 , ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) )
6 nnuz ⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
7 1zzd ⊢ ( ⊤ → 1 ∈ ℤ )
8 eqidd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) )
9 oveq2 ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 2 · 𝑛 ) = ( 2 · 𝑘 ) )
10 9 oveq1d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) )
11 10 oveq1d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) = ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) )
12 11 fveq2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) )
13 12 10 oveq12d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) = ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
14 13 adantl ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) = ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
15 id ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ )
16 ovex ⊢ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ∈ V
17 16 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ∈ V )
18 8 14 15 17 fvmptd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
19 18 adantl ⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
20 2z ⊢ 2 ∈ ℤ
21 20 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ )
22 nnz ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ )
23 21 22 zmulcld ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℤ )
24 1zzd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ )
25 23 24 zsubcld ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ∈ ℤ )
26 25 zcnd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ∈ ℂ )
27 3 recni ⊢ 𝑋 ∈ ℂ
28 27 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ )
29 26 28 mulcld ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ∈ ℂ )
30 29 sincld ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ∈ ℂ )
31 0red ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ )
32 2re ⊢ 2 ∈ ℝ
33 32 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ )
34 1red ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ )
35 33 34 remulcld ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 · 1 ) ∈ ℝ )
36 35 34 resubcld ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 · 1 ) − 1 ) ∈ ℝ )
37 25 zred ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ∈ ℝ )
38 0lt1 ⊢ 0 < 1
39 2t1e2 ⊢ ( 2 · 1 ) = 2
40 39 oveq1i ⊢ ( ( 2 · 1 ) − 1 ) = ( 2 − 1 )
41 2m1e1 ⊢ ( 2 − 1 ) = 1
42 40 41 eqtr2i ⊢ 1 = ( ( 2 · 1 ) − 1 )
43 38 42 breqtri ⊢ 0 < ( ( 2 · 1 ) − 1 )
44 43 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 0 < ( ( 2 · 1 ) − 1 ) )
45 23 zred ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℝ )
46 nnre ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ )
47 0le2 ⊢ 0 ≤ 2
48 47 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2 )
49 nnge1 ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘 )
50 34 46 33 48 49 lemul2ad ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 · 1 ) ≤ ( 2 · 𝑘 ) )
51 35 45 34 50 lesub1dd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 · 1 ) − 1 ) ≤ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) )
52 31 36 37 44 51 ltletrd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 0 < ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) )
53 31 52 gtned ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ≠ 0 )
54 30 26 53 divcld ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ∈ ℂ )
55 54 adantl ⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ∈ ℂ )
56 picn ⊢ π ∈ ℂ
57 56 a1i ⊢ ( ⊤ → π ∈ ℂ )
58 4cn ⊢ 4 ∈ ℂ
59 58 a1i ⊢ ( ⊤ → 4 ∈ ℂ )
60 4ne0 ⊢ 4 ≠ 0
61 60 a1i ⊢ ( ⊤ → 4 ≠ 0 )
62 57 59 61 divcld ⊢ ( ⊤ → ( π / 4 ) ∈ ℂ )
63 eqid ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
64 0cnd ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℂ )
65 58 a1i ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ )
66 nncn ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ )
67 mulcl ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ) → ( 𝑛 · π ) ∈ ℂ )
68 66 56 67 sylancl ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑛 · π ) ∈ ℂ )
69 56 a1i ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ )
70 nnne0 ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0 )
71 0re ⊢ 0 ∈ ℝ
72 pipos ⊢ 0 < π
73 71 72 gtneii ⊢ π ≠ 0
74 73 a1i ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0 )
75 66 69 70 74 mulne0d ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑛 · π ) ≠ 0 )
76 65 68 75 divcld ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ∈ ℂ )
77 27 a1i ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ )
78 66 77 mulcld ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑛 · 𝑋 ) ∈ ℂ )
79 78 sincld ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ∈ ℂ )
80 76 79 mulcld ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℂ )
81 64 80 ifcld ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℂ )
82 63 81 fmpti ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) : ℕ ⟶ ℂ
83 82 a1i ⊢ ( ⊤ → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) : ℕ ⟶ ℂ )
84 eqidd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
85 breq2 ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ 𝑘 ) )
86 oveq1 ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 · π ) = ( 𝑘 · π ) )
87 86 oveq2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) = ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) )
88 oveq1 ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 · 𝑋 ) = ( 𝑘 · 𝑋 ) )
89 88 fveq2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
90 87 89 oveq12d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) )
91 85 90 ifbieq2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = if ( 2 ∥ 𝑘 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
92 91 adantl ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = if ( 2 ∥ 𝑘 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
93 c0ex ⊢ 0 ∈ V
94 ovex ⊢ ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ∈ V
95 93 94 ifex ⊢ if ( 2 ∥ 𝑘 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ V
96 95 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → if ( 2 ∥ 𝑘 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ V )
97 84 92 15 96 fvmptd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = if ( 2 ∥ 𝑘 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
98 97 adantr ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = if ( 2 ∥ 𝑘 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
99 simpr ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) → ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ )
100 simpl ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℕ )
101 2nn ⊢ 2 ∈ ℕ
102 nndivdvds ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ ) → ( 2 ∥ 𝑘 ↔ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) )
103 100 101 102 sylancl ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) → ( 2 ∥ 𝑘 ↔ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) )
104 99 103 mpbird ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) → 2 ∥ 𝑘 )
105 104 iftrued ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) → if ( 2 ∥ 𝑘 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = 0 )
106 98 105 eqtrd ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = 0 )
107 106 3adant1 ⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = 0 )
108 1re ⊢ 1 ∈ ℝ
109 108 renegcli ⊢ - 1 ∈ ℝ
110 108 109 ifcli ⊢ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ∈ ℝ
111 110 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ∈ ℝ )
112 2 111 fmpti ⊢ 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ
113 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 mod 𝑇 ) = ( 𝑦 mod 𝑇 ) )
114 113 breq1d ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π ↔ ( 𝑦 mod 𝑇 ) < π ) )
115 114 ifbid ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = if ( ( 𝑦 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
116 115 cbvmptv ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) = ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
117 2 116 eqtri ⊢ 𝐹 = ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
118 117 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → 𝐹 = ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) )
119 oveq1 ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) → ( 𝑦 mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + 𝑇 ) mod 𝑇 ) )
120 pire ⊢ π ∈ ℝ
121 32 120 remulcli ⊢ ( 2 · π ) ∈ ℝ
122 1 121 eqeltri ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
123 122 recni ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
124 123 mullidi ⊢ ( 1 · 𝑇 ) = 𝑇
125 124 eqcomi ⊢ 𝑇 = ( 1 · 𝑇 )
126 125 oveq2i ⊢ ( 𝑥 + 𝑇 ) = ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) )
127 126 oveq1i ⊢ ( ( 𝑥 + 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 )
128 119 127 eqtrdi ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) → ( 𝑦 mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
129 128 adantl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → ( 𝑦 mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
130 simpl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
131 2pos ⊢ 0 < 2
132 32 120 131 72 mulgt0ii ⊢ 0 < ( 2 · π )
133 1 eqcomi ⊢ ( 2 · π ) = 𝑇
134 132 133 breqtri ⊢ 0 < 𝑇
135 122 134 elrpii ⊢ 𝑇 ∈ ℝ+
136 135 a1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
137 1zzd ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → 1 ∈ ℤ )
138 modcyc ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
139 130 136 137 138 syl3anc ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
140 129 139 eqtrd ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → ( 𝑦 mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
141 140 breq1d ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → ( ( 𝑦 mod 𝑇 ) < π ↔ ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π ) )
142 141 ifbid ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → if ( ( 𝑦 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
143 id ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ )
144 122 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ )
145 143 144 readdcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑥 + 𝑇 ) ∈ ℝ )
146 118 142 145 111 fvmptd ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
147 2 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
148 110 147 mpan2 ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
149 146 148 eqtr4d ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
150 eqid ⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) )
151 snfi ⊢ { 0 } ∈ Fin
152 eldifi ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) )
153 0xr ⊢ 0 ∈ ℝ*
154 153 a1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 0 ∈ ℝ* )
155 120 rexri ⊢ π ∈ ℝ*
156 155 a1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ 0 < 𝑥 ) → π ∈ ℝ* )
157 elioore ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) → 𝑥 ∈ ℝ )
158 157 adantr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
159 simpr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 0 < 𝑥 )
160 120 renegcli ⊢ - π ∈ ℝ
161 160 rexri ⊢ - π ∈ ℝ*
162 iooltub ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ) → 𝑥 < π )
163 161 155 162 mp3an12 ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) → 𝑥 < π )
164 163 adantr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 < π )
165 154 156 158 159 164 eliood ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) )
166 negpilt0 ⊢ - π < 0
167 160 71 166 ltleii ⊢ - π ≤ 0
168 iooss1 ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ - π ≤ 0 ) → ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π (,) π ) )
169 161 167 168 mp2an ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π (,) π )
170 169 sseli ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) )
171 2 reseq1i ⊢ ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) ↾ ( 0 (,) π ) )
172 ioossre ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ℝ
173 resmpt ⊢ ( ( 0 (,) π ) ⊆ ℝ → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) )
174 172 173 ax-mp ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
175 elioore ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑥 ∈ ℝ )
176 135 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
177 0red ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 ∈ ℝ )
178 ioogtlb ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 𝑥 )
179 153 155 178 mp3an12 ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 < 𝑥 )
180 177 175 179 ltled ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 ≤ 𝑥 )
181 120 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → π ∈ ℝ )
182 122 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑇 ∈ ℝ )
183 170 163 syl ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑥 < π )
184 pirp ⊢ π ∈ ℝ+
185 2timesgt ⊢ ( π ∈ ℝ+ → π < ( 2 · π ) )
186 184 185 ax-mp ⊢ π < ( 2 · π )
187 186 133 breqtri ⊢ π < 𝑇
188 187 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → π < 𝑇 )
189 175 181 182 183 188 lttrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑥 < 𝑇 )
190 modid ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑇 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) = 𝑥 )
191 175 176 180 189 190 syl22anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) = 𝑥 )
192 191 183 eqbrtrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
193 192 iftrued ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = 1 )
194 193 mpteq2ia ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 )
195 171 174 194 3eqtrri ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) = ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) π ) )
196 195 oveq2i ⊢ ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) π ) ) )
197 reelprrecn ⊢ ℝ ∈ { ℝ , ℂ }
198 197 a1i ⊢ ( ⊤ → ℝ ∈ { ℝ , ℂ } )
199 iooretop ⊢ ( 0 (,) π ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
200 tgioo4 ⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
201 199 200 eleqtri ⊢ ( 0 (,) π ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
202 201 a1i ⊢ ( ⊤ → ( 0 (,) π ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) )
203 1cnd ⊢ ( ⊤ → 1 ∈ ℂ )
204 198 202 203 dvmptconst ⊢ ( ⊤ → ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) )
205 204 mptru ⊢ ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 )
206 ssid ⊢ ℝ ⊆ ℝ
207 ax-resscn ⊢ ℝ ⊆ ℂ
208 fss ⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
209 112 207 208 mp2an ⊢ 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ
210 dvresioo ⊢ ( ( ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) π ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) ) )
211 206 209 210 mp2an ⊢ ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) π ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) )
212 196 205 211 3eqtr3i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) )
213 212 dmeqi ⊢ dom ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) = dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) )
214 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 )
215 93 214 dmmpti ⊢ dom ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) = ( 0 (,) π )
216 213 215 eqtr3i ⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( 0 (,) π )
217 ssdmres ⊢ ( ( 0 (,) π ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 ) ↔ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( 0 (,) π ) )
218 216 217 mpbir ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 )
219 218 sseli ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑥 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
220 170 219 elind ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∩ dom ( ℝ D 𝐹 ) ) )
221 dmres ⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) = ( ( - π (,) π ) ∩ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
222 220 221 eleqtrrdi ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
223 165 222 syl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
224 223 adantlr ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
225 161 a1i ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → - π ∈ ℝ* )
226 153 a1i ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → 0 ∈ ℝ* )
227 157 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
228 ioogtlb ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ) → - π < 𝑥 )
229 161 155 228 mp3an12 ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) → - π < 𝑥 )
230 229 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → - π < 𝑥 )
231 0red ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → 0 ∈ ℝ )
232 neqne ⊢ ( ¬ 𝑥 = 0 → 𝑥 ≠ 0 )
233 232 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ≠ 0 )
234 simpr ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → ¬ 0 < 𝑥 )
235 227 231 233 234 lttri5d ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 < 0 )
236 225 226 227 230 235 eliood ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) )
237 71 120 72 ltleii ⊢ 0 ≤ π
238 iooss2 ⊢ ( ( π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π ) → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) π ) )
239 155 237 238 mp2an ⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) π )
240 239 sseli ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) )
241 2 reseq1i ⊢ ( 𝐹 ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) )
242 ioossre ⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ℝ
243 resmpt ⊢ ( ( - π (,) 0 ) ⊆ ℝ → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) )
244 242 243 ax-mp ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
245 120 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → π ∈ ℝ )
246 elioore ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
247 135 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
248 246 247 modcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
249 246 145 syl ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) ∈ ℝ )
250 56 2timesi ⊢ ( 2 · π ) = ( π + π )
251 1 250 eqtri ⊢ 𝑇 = ( π + π )
252 251 oveq2i ⊢ ( - π + 𝑇 ) = ( - π + ( π + π ) )
253 negpicn ⊢ - π ∈ ℂ
254 253 56 56 addassi ⊢ ( ( - π + π ) + π ) = ( - π + ( π + π ) )
255 254 eqcomi ⊢ ( - π + ( π + π ) ) = ( ( - π + π ) + π )
256 56 negidi ⊢ ( π + - π ) = 0
257 56 253 256 addcomli ⊢ ( - π + π ) = 0
258 257 oveq1i ⊢ ( ( - π + π ) + π ) = ( 0 + π )
259 56 addlidi ⊢ ( 0 + π ) = π
260 258 259 eqtri ⊢ ( ( - π + π ) + π ) = π
261 252 255 260 3eqtrri ⊢ π = ( - π + 𝑇 )
262 261 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → π = ( - π + 𝑇 ) )
263 160 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ∈ ℝ )
264 122 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
265 240 229 syl ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π < 𝑥 )
266 263 246 264 265 ltadd1dd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( - π + 𝑇 ) < ( 𝑥 + 𝑇 ) )
267 262 266 eqbrtrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → π < ( 𝑥 + 𝑇 ) )
268 245 249 267 ltled ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → π ≤ ( 𝑥 + 𝑇 ) )
269 0red ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 ∈ ℝ )
270 160 122 readdcli ⊢ ( - π + 𝑇 ) ∈ ℝ
271 270 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( - π + 𝑇 ) ∈ ℝ )
272 72 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 < π )
273 272 261 breqtrdi ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 < ( - π + 𝑇 ) )
274 269 271 249 273 266 lttrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 < ( 𝑥 + 𝑇 ) )
275 269 249 274 ltled ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 ≤ ( 𝑥 + 𝑇 ) )
276 246 recnd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑥 ∈ ℂ )
277 123 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑇 ∈ ℂ )
278 276 277 addcomd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) = ( 𝑇 + 𝑥 ) )
279 iooltub ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑥 < 0 )
280 161 153 279 mp3an12 ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑥 < 0 )
281 ltaddneg ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 < 0 ↔ ( 𝑇 + 𝑥 ) < 𝑇 ) )
282 246 122 281 sylancl ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( 𝑥 < 0 ↔ ( 𝑇 + 𝑥 ) < 𝑇 ) )
283 280 282 mpbid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( 𝑇 + 𝑥 ) < 𝑇 )
284 278 283 eqbrtrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) < 𝑇 )
285 275 284 jca ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( 0 ≤ ( 𝑥 + 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 + 𝑇 ) < 𝑇 ) )
286 modid2 ⊢ ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 + 𝑇 ) ↔ ( 0 ≤ ( 𝑥 + 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 + 𝑇 ) < 𝑇 ) ) )
287 249 135 286 sylancl ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 + 𝑇 ) ↔ ( 0 ≤ ( 𝑥 + 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 + 𝑇 ) < 𝑇 ) ) )
288 285 287 mpbird ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 + 𝑇 ) )
289 127 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
290 135 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ+ )
291 1zzd ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℤ )
292 143 290 291 138 syl3anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
293 289 292 eqtrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
294 246 293 syl ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
295 288 294 eqtr3d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
296 268 295 breqtrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → π ≤ ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
297 245 248 296 lensymd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ¬ ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
298 297 iffalsed ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = - 1 )
299 298 mpteq2ia ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 )
300 241 244 299 3eqtrri ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) = ( 𝐹 ↾ ( - π (,) 0 ) )
301 300 oveq2i ⊢ ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( - π (,) 0 ) ) )
302 iooretop ⊢ ( - π (,) 0 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
303 302 200 eleqtri ⊢ ( - π (,) 0 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
304 303 a1i ⊢ ( ⊤ → ( - π (,) 0 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) )
305 203 negcld ⊢ ( ⊤ → - 1 ∈ ℂ )
306 198 304 305 dvmptconst ⊢ ( ⊤ → ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) )
307 306 mptru ⊢ ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 )
308 dvresioo ⊢ ( ( ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( - π (,) 0 ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) )
309 206 209 308 mp2an ⊢ ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( - π (,) 0 ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) )
310 301 307 309 3eqtr3i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) )
311 310 dmeqi ⊢ dom ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) = dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) )
312 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 )
313 93 312 dmmpti ⊢ dom ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) = ( - π (,) 0 )
314 311 313 eqtr3i ⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( - π (,) 0 )
315 ssdmres ⊢ ( ( - π (,) 0 ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 ) ↔ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( - π (,) 0 ) )
316 314 315 mpbir ⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 )
317 316 sseli ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑥 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
318 240 317 elind ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∩ dom ( ℝ D 𝐹 ) ) )
319 318 221 eleqtrrdi ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
320 236 319 syl ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
321 224 320 pm2.61dan ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
322 152 321 sylan ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
323 eldifn ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → ¬ 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
324 323 adantr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ¬ 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
325 322 324 condan ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → 𝑥 = 0 )
326 velsn ⊢ ( 𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
327 325 326 sylibr ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → 𝑥 ∈ { 0 } )
328 327 ssriv ⊢ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ⊆ { 0 }
329 ssfi ⊢ ( ( { 0 } ∈ Fin ∧ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ⊆ { 0 } ) → ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∈ Fin )
330 151 328 329 mp2an ⊢ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∈ Fin
331 inss1 ⊢ ( ( - π (,) π ) ∩ dom ( ℝ D 𝐹 ) ) ⊆ ( - π (,) π )
332 221 331 eqsstri ⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ( - π (,) π )
333 ioosscn ⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ℂ
334 332 333 sstri ⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ℂ
335 334 a1i ⊢ ( ⊤ → dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ℂ )
336 dvf ⊢ ( ℝ D 𝐹 ) : dom ( ℝ D 𝐹 ) ⟶ ℂ
337 fresin ⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) : dom ( ℝ D 𝐹 ) ⟶ ℂ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) : ( dom ( ℝ D 𝐹 ) ∩ ( - π (,) π ) ) ⟶ ℂ )
338 ffdm ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) : ( dom ( ℝ D 𝐹 ) ∩ ( - π (,) π ) ) ⟶ ℂ → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) : dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⟶ ℂ ∧ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ( dom ( ℝ D 𝐹 ) ∩ ( - π (,) π ) ) ) )
339 336 337 338 mp2b ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) : dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⟶ ℂ ∧ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ( dom ( ℝ D 𝐹 ) ∩ ( - π (,) π ) ) )
340 339 simpli ⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) : dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⟶ ℂ
341 340 a1i ⊢ ( ⊤ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) : dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⟶ ℂ )
342 161 a1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 𝑥 < 0 ) → - π ∈ ℝ* )
343 153 a1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 𝑥 < 0 ) → 0 ∈ ℝ* )
344 ioossre ⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ℝ
345 332 sseli ⊢ ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) )
346 344 345 sselid ⊢ ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
347 346 adantr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 𝑥 < 0 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
348 345 229 syl ⊢ ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → - π < 𝑥 )
349 348 adantr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 𝑥 < 0 ) → - π < 𝑥 )
350 simpr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 𝑥 < 0 ) → 𝑥 < 0 )
351 342 343 347 349 350 eliood ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 𝑥 < 0 ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) )
352 elun1 ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) 0 ) ∪ ( 0 (,) π ) ) )
353 351 352 syl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 𝑥 < 0 ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) 0 ) ∪ ( 0 (,) π ) ) )
354 simpl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ¬ 𝑥 < 0 ) → 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
355 0red ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ¬ 𝑥 < 0 ) → 0 ∈ ℝ )
356 346 adantr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ¬ 𝑥 < 0 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
357 simpr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ¬ 𝑥 < 0 ) → ¬ 𝑥 < 0 )
358 355 356 357 nltled ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ¬ 𝑥 < 0 ) → 0 ≤ 𝑥 )
359 id ⊢ ( 𝑥 = 0 → 𝑥 = 0 )
360 eqid ⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
361 206 a1i ⊢ ( ⊤ → ℝ ⊆ ℝ )
362 eqid ⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( topGen ‘ ran (,) )
363 209 a1i ⊢ ( ⊤ → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
364 0red ⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ℝ )
365 mnfxr ⊢ -∞ ∈ ℝ*
366 365 a1i ⊢ ( ⊤ → -∞ ∈ ℝ* )
367 364 mnfltd ⊢ ( ⊤ → -∞ < 0 )
368 362 366 364 367 lptioo2 ⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( limPt ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( -∞ (,) 0 ) ) )
369 incom ⊢ ( ℝ ∩ ( -∞ (,) 0 ) ) = ( ( -∞ (,) 0 ) ∩ ℝ )
370 ioossre ⊢ ( -∞ (,) 0 ) ⊆ ℝ
371 dfss2 ⊢ ( ( -∞ (,) 0 ) ⊆ ℝ ↔ ( ( -∞ (,) 0 ) ∩ ℝ ) = ( -∞ (,) 0 ) )
372 370 371 mpbi ⊢ ( ( -∞ (,) 0 ) ∩ ℝ ) = ( -∞ (,) 0 )
373 369 372 eqtr2i ⊢ ( -∞ (,) 0 ) = ( ℝ ∩ ( -∞ (,) 0 ) )
374 373 fveq2i ⊢ ( ( limPt ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( -∞ (,) 0 ) ) = ( ( limPt ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ℝ ∩ ( -∞ (,) 0 ) ) )
375 368 374 eleqtrdi ⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( limPt ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ℝ ∩ ( -∞ (,) 0 ) ) ) )
376 pnfxr ⊢ +∞ ∈ ℝ*
377 376 a1i ⊢ ( ⊤ → +∞ ∈ ℝ* )
378 364 ltpnfd ⊢ ( ⊤ → 0 < +∞ )
379 362 364 377 378 lptioo1 ⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( limPt ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 0 (,) +∞ ) ) )
380 incom ⊢ ( ℝ ∩ ( 0 (,) +∞ ) ) = ( ( 0 (,) +∞ ) ∩ ℝ )
381 ioossre ⊢ ( 0 (,) +∞ ) ⊆ ℝ
382 dfss2 ⊢ ( ( 0 (,) +∞ ) ⊆ ℝ ↔ ( ( 0 (,) +∞ ) ∩ ℝ ) = ( 0 (,) +∞ ) )
383 381 382 mpbi ⊢ ( ( 0 (,) +∞ ) ∩ ℝ ) = ( 0 (,) +∞ )
384 380 383 eqtr2i ⊢ ( 0 (,) +∞ ) = ( ℝ ∩ ( 0 (,) +∞ ) )
385 384 fveq2i ⊢ ( ( limPt ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 0 (,) +∞ ) ) = ( ( limPt ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ℝ ∩ ( 0 (,) +∞ ) ) )
386 379 385 eleqtrdi ⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( limPt ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ℝ ∩ ( 0 (,) +∞ ) ) ) )
387 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 )
388 mnfle ⊢ ( - π ∈ ℝ* → -∞ ≤ - π )
389 161 388 ax-mp ⊢ -∞ ≤ - π
390 iooss1 ⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ - π ) → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( -∞ (,) 0 ) )
391 365 389 390 mp2an ⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( -∞ (,) 0 )
392 391 a1i ⊢ ( ⊤ → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( -∞ (,) 0 ) )
393 ioosscn ⊢ ( -∞ (,) 0 ) ⊆ ℂ
394 392 393 sstrdi ⊢ ( ⊤ → ( - π (,) 0 ) ⊆ ℂ )
395 0cnd ⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ℂ )
396 387 394 305 395 constlimc ⊢ ( ⊤ → - 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) limℂ 0 ) )
397 resabs1 ⊢ ( ( - π (,) 0 ) ⊆ ( -∞ (,) 0 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( - π (,) 0 ) ) )
398 391 397 ax-mp ⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( - π (,) 0 ) )
399 300 398 eqtr4i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) )
400 399 oveq1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) limℂ 0 ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) limℂ 0 )
401 fssres ⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ∧ ( -∞ (,) 0 ) ⊆ ℝ ) → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) : ( -∞ (,) 0 ) ⟶ ℂ )
402 209 370 401 mp2an ⊢ ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) : ( -∞ (,) 0 ) ⟶ ℂ
403 402 a1i ⊢ ( ⊤ → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) : ( -∞ (,) 0 ) ⟶ ℂ )
404 393 a1i ⊢ ( ⊤ → ( -∞ (,) 0 ) ⊆ ℂ )
405 eqid ⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) )
406 0le0 ⊢ 0 ≤ 0
407 elioc2 ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( 0 ∈ ( - π (,] 0 ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ - π < 0 ∧ 0 ≤ 0 ) ) )
408 161 71 407 mp2an ⊢ ( 0 ∈ ( - π (,] 0 ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ - π < 0 ∧ 0 ≤ 0 ) )
409 71 166 406 408 mpbir3an ⊢ 0 ∈ ( - π (,] 0 )
410 360 cnfldtop ⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top
411 ovex ⊢ ( -∞ (,] 0 ) ∈ V
412 resttop ⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ ( -∞ (,] 0 ) ∈ V ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) ∈ Top )
413 410 411 412 mp2an ⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) ∈ Top
414 161 a1i ⊢ ( ⊤ → - π ∈ ℝ* )
415 eqid ⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) )
416 389 a1i ⊢ ( ⊤ → -∞ ≤ - π )
417 366 414 364 362 415 416 364 iocopn ⊢ ( ⊤ → ( - π (,] 0 ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) )
418 417 mptru ⊢ ( - π (,] 0 ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) )
419 200 oveq1i ⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) = ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) )
420 iocssre ⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( -∞ (,] 0 ) ⊆ ℝ )
421 365 71 420 mp2an ⊢ ( -∞ (,] 0 ) ⊆ ℝ
422 197 elexi ⊢ ℝ ∈ V
423 restabs ⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ ( -∞ (,] 0 ) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V ) → ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) )
424 410 421 422 423 mp3an ⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) )
425 419 424 eqtri ⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) )
426 418 425 eleqtri ⊢ ( - π (,] 0 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) )
427 isopn3i ⊢ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) ∈ Top ∧ ( - π (,] 0 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) ) ‘ ( - π (,] 0 ) ) = ( - π (,] 0 ) )
428 413 426 427 mp2an ⊢ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) ) ‘ ( - π (,] 0 ) ) = ( - π (,] 0 )
429 mnflt0 ⊢ -∞ < 0
430 ioounsn ⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0 ) → ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) = ( -∞ (,] 0 ) )
431 365 153 429 430 mp3an ⊢ ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) = ( -∞ (,] 0 )
432 431 eqcomi ⊢ ( -∞ (,] 0 ) = ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } )
433 432 oveq2i ⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) )
434 433 fveq2i ⊢ ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) ) = ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) ) )
435 ioounsn ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ - π < 0 ) → ( ( - π (,) 0 ) ∪ { 0 } ) = ( - π (,] 0 ) )
436 161 153 166 435 mp3an ⊢ ( ( - π (,) 0 ) ∪ { 0 } ) = ( - π (,] 0 )
437 436 eqcomi ⊢ ( - π (,] 0 ) = ( ( - π (,) 0 ) ∪ { 0 } )
438 434 437 fveq12i ⊢ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) ) ‘ ( - π (,] 0 ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) ) ) ‘ ( ( - π (,) 0 ) ∪ { 0 } ) )
439 428 438 eqtr3i ⊢ ( - π (,] 0 ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) ) ) ‘ ( ( - π (,) 0 ) ∪ { 0 } ) )
440 409 439 eleqtri ⊢ 0 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) ) ) ‘ ( ( - π (,) 0 ) ∪ { 0 } ) )
441 440 a1i ⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) ) ) ‘ ( ( - π (,) 0 ) ∪ { 0 } ) ) )
442 403 392 404 360 405 441 limcres ⊢ ( ⊤ → ( ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) limℂ 0 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 ) )
443 442 mptru ⊢ ( ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) limℂ 0 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 )
444 400 443 eqtri ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) limℂ 0 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 )
445 396 444 eleqtrdi ⊢ ( ⊤ → - 1 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 ) )
446 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 )
447 ioosscn ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ℂ
448 447 a1i ⊢ ( ⊤ → ( 0 (,) π ) ⊆ ℂ )
449 446 448 203 395 constlimc ⊢ ( ⊤ → 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) limℂ 0 ) )
450 ltpnf ⊢ ( π ∈ ℝ → π < +∞ )
451 xrltle ⊢ ( ( π ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) → ( π < +∞ → π ≤ +∞ ) )
452 155 376 451 mp2an ⊢ ( π < +∞ → π ≤ +∞ )
453 120 450 452 mp2b ⊢ π ≤ +∞
454 iooss2 ⊢ ( ( +∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞ ) → ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) +∞ ) )
455 376 453 454 mp2an ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) +∞ )
456 resabs1 ⊢ ( ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) +∞ ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) π ) ) )
457 455 456 ax-mp ⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) π ) )
458 195 457 eqtr4i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) ↾ ( 0 (,) π ) )
459 458 oveq1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) limℂ 0 ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) limℂ 0 )
460 fssres ⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ∧ ( 0 (,) +∞ ) ⊆ ℝ ) → ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) : ( 0 (,) +∞ ) ⟶ ℂ )
461 209 381 460 mp2an ⊢ ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) : ( 0 (,) +∞ ) ⟶ ℂ
462 461 a1i ⊢ ( ⊤ → ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) : ( 0 (,) +∞ ) ⟶ ℂ )
463 455 a1i ⊢ ( ⊤ → ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) +∞ ) )
464 ioosscn ⊢ ( 0 (,) +∞ ) ⊆ ℂ
465 464 a1i ⊢ ( ⊤ → ( 0 (,) +∞ ) ⊆ ℂ )
466 eqid ⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) )
467 elico2 ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ* ) → ( 0 ∈ ( 0 [,) π ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < π ) ) )
468 71 155 467 mp2an ⊢ ( 0 ∈ ( 0 [,) π ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < π ) )
469 71 406 72 468 mpbir3an ⊢ 0 ∈ ( 0 [,) π )
470 ovex ⊢ ( 0 [,) +∞ ) ∈ V
471 resttop ⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ ( 0 [,) +∞ ) ∈ V ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) ∈ Top )
472 410 470 471 mp2an ⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) ∈ Top
473 155 a1i ⊢ ( ⊤ → π ∈ ℝ* )
474 eqid ⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) )
475 453 a1i ⊢ ( ⊤ → π ≤ +∞ )
476 364 473 377 362 474 475 icoopn ⊢ ( ⊤ → ( 0 [,) π ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) )
477 476 mptru ⊢ ( 0 [,) π ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) )
478 200 oveq1i ⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) = ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) )
479 rge0ssre ⊢ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℝ
480 restabs ⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V ) → ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) )
481 410 479 422 480 mp3an ⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) )
482 478 481 eqtri ⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) )
483 477 482 eleqtri ⊢ ( 0 [,) π ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) )
484 isopn3i ⊢ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) ∈ Top ∧ ( 0 [,) π ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) ) ‘ ( 0 [,) π ) ) = ( 0 [,) π ) )
485 472 483 484 mp2an ⊢ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) ) ‘ ( 0 [,) π ) ) = ( 0 [,) π )
486 0ltpnf ⊢ 0 < +∞
487 snunioo1 ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞ ) → ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) = ( 0 [,) +∞ ) )
488 153 376 486 487 mp3an ⊢ ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) = ( 0 [,) +∞ )
489 488 eqcomi ⊢ ( 0 [,) +∞ ) = ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } )
490 489 oveq2i ⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) )
491 490 fveq2i ⊢ ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) ) = ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) ) )
492 snunioo1 ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π ) → ( ( 0 (,) π ) ∪ { 0 } ) = ( 0 [,) π ) )
493 153 155 72 492 mp3an ⊢ ( ( 0 (,) π ) ∪ { 0 } ) = ( 0 [,) π )
494 493 eqcomi ⊢ ( 0 [,) π ) = ( ( 0 (,) π ) ∪ { 0 } )
495 491 494 fveq12i ⊢ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) ) ‘ ( 0 [,) π ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) ) ) ‘ ( ( 0 (,) π ) ∪ { 0 } ) )
496 485 495 eqtr3i ⊢ ( 0 [,) π ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) ) ) ‘ ( ( 0 (,) π ) ∪ { 0 } ) )
497 469 496 eleqtri ⊢ 0 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) ) ) ‘ ( ( 0 (,) π ) ∪ { 0 } ) )
498 497 a1i ⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) ) ) ‘ ( ( 0 (,) π ) ∪ { 0 } ) ) )
499 462 463 465 360 466 498 limcres ⊢ ( ⊤ → ( ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) limℂ 0 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 ) )
500 499 mptru ⊢ ( ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) limℂ 0 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 )
501 459 500 eqtri ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) limℂ 0 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 )
502 449 501 eleqtrdi ⊢ ( ⊤ → 1 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 ) )
503 neg1lt0 ⊢ - 1 < 0
504 109 71 108 lttri ⊢ ( ( - 1 < 0 ∧ 0 < 1 ) → - 1 < 1 )
505 503 38 504 mp2an ⊢ - 1 < 1
506 109 505 ltneii ⊢ - 1 ≠ 1
507 506 a1i ⊢ ( ⊤ → - 1 ≠ 1 )
508 360 361 362 363 364 375 386 445 502 507 jumpncnp ⊢ ( ⊤ → ¬ 𝐹 ∈ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) )
509 508 mptru ⊢ ¬ 𝐹 ∈ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 )
510 207 a1i ⊢ ( 0 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → ℝ ⊆ ℂ )
511 209 a1i ⊢ ( 0 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
512 206 a1i ⊢ ( 0 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → ℝ ⊆ ℝ )
513 inss2 ⊢ ( ( - π (,) π ) ∩ dom ( ℝ D 𝐹 ) ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 )
514 221 513 eqsstri ⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 )
515 514 sseli ⊢ ( 0 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → 0 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
516 200 360 dvcnp2 ⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ ) ∧ 0 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ) → 𝐹 ∈ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) )
517 510 511 512 515 516 syl31anc ⊢ ( 0 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → 𝐹 ∈ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) )
518 509 517 mto ⊢ ¬ 0 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) )
519 518 a1i ⊢ ( 𝑥 = 0 → ¬ 0 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
520 359 519 eqneltrd ⊢ ( 𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
521 520 necon2ai ⊢ ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → 𝑥 ≠ 0 )
522 521 adantr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ¬ 𝑥 < 0 ) → 𝑥 ≠ 0 )
523 355 356 358 522 leneltd ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ¬ 𝑥 < 0 ) → 0 < 𝑥 )
524 345 165 sylan ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) )
525 elun2 ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) 0 ) ∪ ( 0 (,) π ) ) )
526 524 525 syl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) 0 ) ∪ ( 0 (,) π ) ) )
527 354 523 526 syl2anc ⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ¬ 𝑥 < 0 ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) 0 ) ∪ ( 0 (,) π ) ) )
528 353 527 pm2.61dan ⊢ ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) 0 ) ∪ ( 0 (,) π ) ) )
529 ovex ⊢ ( - π (,) 0 ) ∈ V
530 ovex ⊢ ( 0 (,) π ) ∈ V
531 529 530 unipr ⊢ ∪ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } = ( ( - π (,) 0 ) ∪ ( 0 (,) π ) )
532 528 531 eleqtrrdi ⊢ ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → 𝑥 ∈ ∪ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } )
533 532 ssriv ⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ∪ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) }
534 533 a1i ⊢ ( ⊤ → dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ∪ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } )
535 ineq2 ⊢ ( 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) = ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( - π (,) 0 ) ) )
536 retop ⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
537 ovex ⊢ ( ℝ D 𝐹 ) ∈ V
538 537 resex ⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ V
539 538 dmex ⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ V
540 536 539 pm3.2i ⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ V )
541 319 ssriv ⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) )
542 ssid ⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) 0 )
543 302 541 542 3pm3.2i ⊢ ( ( - π (,) 0 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ∧ ( - π (,) 0 ) ⊆ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) 0 ) )
544 restopnb ⊢ ( ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ V ) ∧ ( ( - π (,) 0 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ∧ ( - π (,) 0 ) ⊆ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) 0 ) ) ) → ( ( - π (,) 0 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( - π (,) 0 ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ) )
545 540 543 544 mp2an ⊢ ( ( - π (,) 0 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( - π (,) 0 ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
546 302 545 mpbi ⊢ ( - π (,) 0 ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
547 inss2 ⊢ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( - π (,) 0 ) ) ⊆ ( - π (,) 0 )
548 541 542 ssini ⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( - π (,) 0 ) )
549 547 548 eqssi ⊢ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( - π (,) 0 ) ) = ( - π (,) 0 )
550 200 oveq1i ⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) = ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
551 332 344 sstri ⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ℝ
552 restabs ⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V ) → ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
553 410 551 422 552 mp3an ⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
554 550 553 eqtr2i ⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
555 546 549 554 3eltr4i ⊢ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( - π (,) 0 ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
556 535 555 eqeltrdi ⊢ ( 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
557 556 adantl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } ∧ 𝑥 = ( - π (,) 0 ) ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
558 neqne ⊢ ( ¬ 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → 𝑥 ≠ ( - π (,) 0 ) )
559 elprn1 ⊢ ( ( 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } ∧ 𝑥 ≠ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑥 = ( 0 (,) π ) )
560 558 559 sylan2 ⊢ ( ( 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } ∧ ¬ 𝑥 = ( - π (,) 0 ) ) → 𝑥 = ( 0 (,) π ) )
561 ineq2 ⊢ ( 𝑥 = ( 0 (,) π ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) = ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( 0 (,) π ) ) )
562 222 ssriv ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) )
563 ssid ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) π )
564 199 562 563 3pm3.2i ⊢ ( ( 0 (,) π ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ∧ ( 0 (,) π ) ⊆ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) π ) )
565 restopnb ⊢ ( ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ V ) ∧ ( ( 0 (,) π ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ∧ ( 0 (,) π ) ⊆ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) π ) ) ) → ( ( 0 (,) π ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( 0 (,) π ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ) )
566 540 564 565 mp2an ⊢ ( ( 0 (,) π ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( 0 (,) π ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
567 199 566 mpbi ⊢ ( 0 (,) π ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
568 inss2 ⊢ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( 0 (,) π ) ) ⊆ ( 0 (,) π )
569 562 563 ssini ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( 0 (,) π ) )
570 568 569 eqssi ⊢ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( 0 (,) π ) ) = ( 0 (,) π )
571 567 570 554 3eltr4i ⊢ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( 0 (,) π ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
572 561 571 eqeltrdi ⊢ ( 𝑥 = ( 0 (,) π ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
573 560 572 syl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } ∧ ¬ 𝑥 = ( - π (,) 0 ) ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
574 557 573 pm2.61dan ⊢ ( 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
575 574 adantl ⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
576 ssid ⊢ ℂ ⊆ ℂ
577 576 a1i ⊢ ( ⊤ → ℂ ⊆ ℂ )
578 394 395 577 constcncfg ⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) ∈ ( ( - π (,) 0 ) –cn→ ℂ ) )
579 578 mptru ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) ∈ ( ( - π (,) 0 ) –cn→ ℂ )
580 579 a1i ⊢ ( 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) ∈ ( ( - π (,) 0 ) –cn→ ℂ ) )
581 reseq2 ⊢ ( 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) )
582 resabs1 ⊢ ( ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) π ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) )
583 239 582 ax-mp ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) )
584 583 310 eqtr4i ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 )
585 581 584 eqtrdi ⊢ ( 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) )
586 535 549 eqtrdi ⊢ ( 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) = ( - π (,) 0 ) )
587 586 oveq1d ⊢ ( 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → ( ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) –cn→ ℂ ) = ( ( - π (,) 0 ) –cn→ ℂ ) )
588 580 585 587 3eltr4d ⊢ ( 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) ∈ ( ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) –cn→ ℂ ) )
589 588 adantl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } ∧ 𝑥 = ( - π (,) 0 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) ∈ ( ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) –cn→ ℂ ) )
590 448 395 577 constcncfg ⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) ∈ ( ( 0 (,) π ) –cn→ ℂ ) )
591 590 mptru ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) ∈ ( ( 0 (,) π ) –cn→ ℂ )
592 591 a1i ⊢ ( 𝑥 = ( 0 (,) π ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) ∈ ( ( 0 (,) π ) –cn→ ℂ ) )
593 reseq2 ⊢ ( 𝑥 = ( 0 (,) π ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) )
594 resabs1 ⊢ ( ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π (,) π ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) ) )
595 169 594 ax-mp ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) )
596 595 212 eqtr4i ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 )
597 593 596 eqtrdi ⊢ ( 𝑥 = ( 0 (,) π ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) )
598 561 570 eqtrdi ⊢ ( 𝑥 = ( 0 (,) π ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) = ( 0 (,) π ) )
599 598 oveq1d ⊢ ( 𝑥 = ( 0 (,) π ) → ( ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) –cn→ ℂ ) = ( ( 0 (,) π ) –cn→ ℂ ) )
600 592 597 599 3eltr4d ⊢ ( 𝑥 = ( 0 (,) π ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) ∈ ( ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) –cn→ ℂ ) )
601 560 600 syl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } ∧ ¬ 𝑥 = ( - π (,) 0 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) ∈ ( ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) –cn→ ℂ ) )
602 589 601 pm2.61dan ⊢ ( 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) ∈ ( ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) –cn→ ℂ ) )
603 602 adantl ⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) ∈ ( ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) –cn→ ℂ ) )
604 335 341 534 575 603 cncfuni ⊢ ( ⊤ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) –cn→ ℂ ) )
605 604 mptru ⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) –cn→ ℂ )
606 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = - π → ( 𝑥 (,) +∞ ) = ( - π (,) +∞ ) )
607 606 reseq2d ⊢ ( 𝑥 = - π → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( - π (,) +∞ ) ) )
608 iooss2 ⊢ ( ( +∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞ ) → ( - π (,) π ) ⊆ ( - π (,) +∞ ) )
609 376 453 608 mp2an ⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ( - π (,) +∞ )
610 resabs2 ⊢ ( ( - π (,) π ) ⊆ ( - π (,) +∞ ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( - π (,) +∞ ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
611 609 610 ax-mp ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( - π (,) +∞ ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) )
612 607 611 eqtrdi ⊢ ( 𝑥 = - π → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
613 id ⊢ ( 𝑥 = - π → 𝑥 = - π )
614 612 613 oveq12d ⊢ ( 𝑥 = - π → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑥 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ - π ) )
615 253 a1i ⊢ ( ⊤ → - π ∈ ℂ )
616 312 394 395 615 constlimc ⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) limℂ - π ) )
617 616 mptru ⊢ 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) limℂ - π )
618 310 oveq1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) limℂ - π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) limℂ - π )
619 336 a1i ⊢ ( ⊤ → ( ℝ D 𝐹 ) : dom ( ℝ D 𝐹 ) ⟶ ℂ )
620 160 a1i ⊢ ( ⊤ → - π ∈ ℝ )
621 153 a1i ⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ℝ* )
622 166 a1i ⊢ ( ⊤ → - π < 0 )
623 316 a1i ⊢ ( ⊤ → ( - π (,) 0 ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
624 237 a1i ⊢ ( ⊤ → 0 ≤ π )
625 619 620 621 622 623 473 624 limcresioolb ⊢ ( ⊤ → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) limℂ - π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ - π ) )
626 625 mptru ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) limℂ - π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ - π )
627 618 626 eqtri ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) limℂ - π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ - π )
628 617 627 eleqtri ⊢ 0 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ - π )
629 628 ne0ii ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ - π ) ≠ ∅
630 629 a1i ⊢ ( 𝑥 = - π → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ - π ) ≠ ∅ )
631 614 630 eqnetrd ⊢ ( 𝑥 = - π → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
632 631 adantl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ 𝑥 = - π ) → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
633 eldifi ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) )
634 161 a1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → - π ∈ ℝ* )
635 155 a1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → π ∈ ℝ* )
636 icossre ⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ* ) → ( - π [,) π ) ⊆ ℝ )
637 160 155 636 mp2an ⊢ ( - π [,) π ) ⊆ ℝ
638 637 sseli ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) → 𝑥 ∈ ℝ )
639 638 adantr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → 𝑥 ∈ ℝ )
640 160 a1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → - π ∈ ℝ )
641 icogelb ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ) → - π ≤ 𝑥 )
642 161 155 641 mp3an12 ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) → - π ≤ 𝑥 )
643 642 adantr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → - π ≤ 𝑥 )
644 neqne ⊢ ( ¬ 𝑥 = - π → 𝑥 ≠ - π )
645 644 adantl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → 𝑥 ≠ - π )
646 640 639 643 645 leneltd ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → - π < 𝑥 )
647 icoltub ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ) → 𝑥 < π )
648 161 155 647 mp3an12 ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) → 𝑥 < π )
649 648 adantr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → 𝑥 < π )
650 634 635 639 646 649 eliood ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) )
651 633 650 sylan ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) )
652 eldifn ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → ¬ 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
653 652 adantr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → ¬ 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
654 651 653 eldifd ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
655 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝑥 (,) +∞ ) = ( 0 (,) +∞ ) )
656 655 reseq2d ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) )
657 656 359 oveq12d ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑥 ) = ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 ) )
658 214 448 395 395 constlimc ⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) limℂ 0 ) )
659 658 mptru ⊢ 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) limℂ 0 )
660 resres ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( - π (,) π ) ∩ ( 0 (,) +∞ ) ) )
661 iooin ⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) ∧ ( 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) ) → ( ( - π (,) π ) ∩ ( 0 (,) +∞ ) ) = ( if ( - π ≤ 0 , 0 , - π ) (,) if ( π ≤ +∞ , π , +∞ ) ) )
662 161 155 153 376 661 mp4an ⊢ ( ( - π (,) π ) ∩ ( 0 (,) +∞ ) ) = ( if ( - π ≤ 0 , 0 , - π ) (,) if ( π ≤ +∞ , π , +∞ ) )
663 167 iftruei ⊢ if ( - π ≤ 0 , 0 , - π ) = 0
664 453 iftruei ⊢ if ( π ≤ +∞ , π , +∞ ) = π
665 663 664 oveq12i ⊢ ( if ( - π ≤ 0 , 0 , - π ) (,) if ( π ≤ +∞ , π , +∞ ) ) = ( 0 (,) π )
666 662 665 eqtri ⊢ ( ( - π (,) π ) ∩ ( 0 (,) +∞ ) ) = ( 0 (,) π )
667 666 reseq2i ⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( - π (,) π ) ∩ ( 0 (,) +∞ ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) )
668 212 eqcomi ⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 )
669 660 667 668 3eqtrri ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) +∞ ) )
670 669 oveq1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) limℂ 0 ) = ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 )
671 659 670 eleqtri ⊢ 0 ∈ ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 )
672 671 ne0ii ⊢ ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 ) ≠ ∅
673 672 a1i ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 ) ≠ ∅ )
674 657 673 eqnetrd ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
675 654 325 674 3syl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
676 632 675 pm2.61dan ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
677 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = π → ( -∞ (,) 𝑥 ) = ( -∞ (,) π ) )
678 677 reseq2d ⊢ ( 𝑥 = π → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) π ) ) )
679 id ⊢ ( 𝑥 = π → 𝑥 = π )
680 678 679 oveq12d ⊢ ( 𝑥 = π → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) = ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) π ) ) limℂ π ) )
681 iooss1 ⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ - π ) → ( - π (,) π ) ⊆ ( -∞ (,) π ) )
682 365 389 681 mp2an ⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ( -∞ (,) π )
683 resabs2 ⊢ ( ( - π (,) π ) ⊆ ( -∞ (,) π ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) π ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
684 682 683 ax-mp ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) π ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) )
685 684 oveq1i ⊢ ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) π ) ) limℂ π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ π )
686 680 685 eqtrdi ⊢ ( 𝑥 = π → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ π ) )
687 214 448 395 57 constlimc ⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) limℂ π ) )
688 687 mptru ⊢ 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) limℂ π )
689 212 oveq1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) limℂ π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) ) limℂ π )
690 120 a1i ⊢ ( ⊤ → π ∈ ℝ )
691 72 a1i ⊢ ( ⊤ → 0 < π )
692 218 a1i ⊢ ( ⊤ → ( 0 (,) π ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
693 167 a1i ⊢ ( ⊤ → - π ≤ 0 )
694 619 621 690 691 692 414 693 limcresiooub ⊢ ( ⊤ → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) ) limℂ π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ π ) )
695 694 mptru ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) ) limℂ π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ π )
696 689 695 eqtri ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) limℂ π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ π )
697 688 696 eleqtri ⊢ 0 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ π )
698 697 ne0ii ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ π ) ≠ ∅
699 698 a1i ⊢ ( 𝑥 = π → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ π ) ≠ ∅ )
700 686 699 eqnetrd ⊢ ( 𝑥 = π → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
701 700 adantl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ 𝑥 = π ) → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
702 161 a1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → - π ∈ ℝ* )
703 155 a1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → π ∈ ℝ* )
704 negpitopissre ⊢ ( - π (,] π ) ⊆ ℝ
705 eldifi ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → 𝑥 ∈ ( - π (,] π ) )
706 704 705 sselid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
707 706 adantr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → 𝑥 ∈ ℝ )
708 161 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → - π ∈ ℝ* )
709 155 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → π ∈ ℝ* )
710 iocgtlb ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( - π (,] π ) ) → - π < 𝑥 )
711 708 709 705 710 syl3anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → - π < 𝑥 )
712 711 adantr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → - π < 𝑥 )
713 120 a1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → π ∈ ℝ )
714 iocleub ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( - π (,] π ) ) → 𝑥 ≤ π )
715 708 709 705 714 syl3anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → 𝑥 ≤ π )
716 715 adantr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → 𝑥 ≤ π )
717 id ⊢ ( π = 𝑥 → π = 𝑥 )
718 717 eqcomd ⊢ ( π = 𝑥 → 𝑥 = π )
719 718 necon3bi ⊢ ( ¬ 𝑥 = π → π ≠ 𝑥 )
720 719 adantl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → π ≠ 𝑥 )
721 707 713 716 720 leneltd ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → 𝑥 < π )
722 702 703 707 712 721 eliood ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) )
723 eldifn ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → ¬ 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
724 723 adantr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → ¬ 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
725 722 724 eldifd ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
726 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( -∞ (,) 𝑥 ) = ( -∞ (,) 0 ) )
727 726 reseq2d ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) )
728 727 359 oveq12d ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) = ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 ) )
729 312 394 395 395 constlimc ⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) limℂ 0 ) )
730 729 mptru ⊢ 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) limℂ 0 )
731 resres ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( - π (,) π ) ∩ ( -∞ (,) 0 ) ) )
732 iooin ⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) ∧ ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ) ) → ( ( - π (,) π ) ∩ ( -∞ (,) 0 ) ) = ( if ( - π ≤ -∞ , -∞ , - π ) (,) if ( π ≤ 0 , π , 0 ) ) )
733 161 155 365 153 732 mp4an ⊢ ( ( - π (,) π ) ∩ ( -∞ (,) 0 ) ) = ( if ( - π ≤ -∞ , -∞ , - π ) (,) if ( π ≤ 0 , π , 0 ) )
734 mnflt ⊢ ( - π ∈ ℝ → -∞ < - π )
735 160 734 ax-mp ⊢ -∞ < - π
736 xrltnle ⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ - π ∈ ℝ* ) → ( -∞ < - π ↔ ¬ - π ≤ -∞ ) )
737 365 161 736 mp2an ⊢ ( -∞ < - π ↔ ¬ - π ≤ -∞ )
738 735 737 mpbi ⊢ ¬ - π ≤ -∞
739 738 iffalsei ⊢ if ( - π ≤ -∞ , -∞ , - π ) = - π
740 xrltnle ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) → ( 0 < π ↔ ¬ π ≤ 0 ) )
741 153 155 740 mp2an ⊢ ( 0 < π ↔ ¬ π ≤ 0 )
742 72 741 mpbi ⊢ ¬ π ≤ 0
743 742 iffalsei ⊢ if ( π ≤ 0 , π , 0 ) = 0
744 739 743 oveq12i ⊢ ( if ( - π ≤ -∞ , -∞ , - π ) (,) if ( π ≤ 0 , π , 0 ) ) = ( - π (,) 0 )
745 733 744 eqtri ⊢ ( ( - π (,) π ) ∩ ( -∞ (,) 0 ) ) = ( - π (,) 0 )
746 745 reseq2i ⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( - π (,) π ) ∩ ( -∞ (,) 0 ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) )
747 310 eqcomi ⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 )
748 731 746 747 3eqtrri ⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 0 ) )
749 748 oveq1i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) limℂ 0 ) = ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 )
750 730 749 eleqtri ⊢ 0 ∈ ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 )
751 750 ne0ii ⊢ ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 ) ≠ ∅
752 751 a1i ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 ) ≠ ∅ )
753 728 752 eqnetrd ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
754 725 325 753 3syl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
755 701 754 pm2.61dan ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
756 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 )
757 ioosscn ⊢ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ
758 757 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ )
759 1cnd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → 1 ∈ ℂ )
760 27 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑋 ∈ ℂ )
761 756 758 759 760 constlimc ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
762 ioossioc ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 (,] π )
763 762 sseli ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) )
764 763 iftrued ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) = 1 )
765 209 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
766 modcl ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
767 3 135 766 mp2an ⊢ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ
768 3 767 resubcli ⊢ ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ
769 768 rexri ⊢ ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ*
770 769 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
771 3 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑋 ∈ ℝ )
772 elioore ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
773 ioogtlb ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
774 153 155 773 mp3an12 ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → 0 < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
775 772 774 elrpd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ+ )
776 771 775 ltsubrpd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) < 𝑋 )
777 ioossre ⊢ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ
778 777 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ )
779 365 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → -∞ ∈ ℝ* )
780 mnflt ⊢ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ → -∞ < ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
781 xrltle ⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ) → ( -∞ < ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → -∞ ≤ ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
782 365 769 781 mp2an ⊢ ( -∞ < ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → -∞ ≤ ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
783 768 780 782 mp2b ⊢ -∞ ≤ ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
784 783 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → -∞ ≤ ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
785 765 770 771 776 778 779 784 limcresiooub ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
786 iooltub ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
787 153 155 786 mp3an12 ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
788 209 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
789 777 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π → ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ )
790 788 789 feqresmpt ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
791 elioore ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
792 791 110 147 sylancl ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
793 792 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
794 791 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
795 135 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
796 794 795 modcld ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
797 767 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
798 120 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → π ∈ ℝ )
799 3 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
800 135 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
801 ioossico ⊢ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) [,) 𝑋 )
802 801 sseli ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) [,) 𝑋 ) )
803 799 800 802 ltmod ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
804 803 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
805 simpl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
806 796 797 798 804 805 lttrd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
807 806 iftrued ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = 1 )
808 793 807 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 1 )
809 808 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) )
810 790 809 eqtrd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) )
811 787 810 syl ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) )
812 811 oveq1d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
813 785 812 eqtr3d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
814 761 764 813 3eltr4d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
815 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 )
816 ioossre ⊢ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ
817 816 a1i ⊢ ( ⊤ → ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ )
818 817 207 sstrdi ⊢ ( ⊤ → ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ )
819 27 a1i ⊢ ( ⊤ → 𝑋 ∈ ℂ )
820 815 818 305 819 constlimc ⊢ ( ⊤ → - 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) )
821 820 mptru ⊢ - 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 )
822 821 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → - 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) )
823 id ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 )
824 lbioc ⊢ ¬ 0 ∈ ( 0 (,] π )
825 824 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ¬ 0 ∈ ( 0 (,] π ) )
826 823 825 eqneltrd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) )
827 826 iffalsed ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) = - 1 )
828 209 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
829 816 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ )
830 828 829 feqresmpt ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
831 829 sselda ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
832 831 110 147 sylancl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
833 120 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → π ∈ ℝ )
834 135 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
835 831 834 modcld ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
836 3 120 resubcli ⊢ ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ
837 836 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ )
838 122 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
839 837 838 readdcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) ∈ ℝ )
840 elioore ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
841 840 838 readdcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) ∈ ℝ )
842 3 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
843 836 rexri ⊢ ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ*
844 843 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ* )
845 842 rexrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
846 id ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) )
847 ioogtlb ⊢ ( ( ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑋 − π ) < 𝑥 )
848 844 845 846 847 syl3anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − π ) < 𝑥 )
849 837 840 838 848 ltadd1dd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) < ( 𝑥 + 𝑇 ) )
850 839 841 842 849 ltsub1dd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) − 𝑋 ) < ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
851 850 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) − 𝑋 ) < ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
852 251 oveq2i ⊢ ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) = ( ( 𝑋 − π ) + ( π + π ) )
853 56 56 addcli ⊢ ( π + π ) ∈ ℂ
854 subadd23 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ ( π + π ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 − π ) + ( π + π ) ) = ( 𝑋 + ( ( π + π ) − π ) ) )
855 27 56 853 854 mp3an ⊢ ( ( 𝑋 − π ) + ( π + π ) ) = ( 𝑋 + ( ( π + π ) − π ) )
856 56 56 pncan3oi ⊢ ( ( π + π ) − π ) = π
857 856 oveq2i ⊢ ( 𝑋 + ( ( π + π ) − π ) ) = ( 𝑋 + π )
858 852 855 857 3eqtri ⊢ ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) = ( 𝑋 + π )
859 858 oveq1i ⊢ ( ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑋 + π ) − 𝑋 )
860 pncan2 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 + π ) − 𝑋 ) = π )
861 27 56 860 mp2an ⊢ ( ( 𝑋 + π ) − 𝑋 ) = π
862 859 861 eqtr2i ⊢ π = ( ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) − 𝑋 )
863 862 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → π = ( ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
864 841 842 resubcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
865 modabs2 ⊢ ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) )
866 864 135 865 sylancl ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) )
867 135 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
868 0red ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 0 ∈ ℝ )
869 839 842 resubcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
870 72 862 breqtri ⊢ 0 < ( ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) − 𝑋 )
871 870 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 0 < ( ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
872 868 869 864 871 850 lttrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 0 < ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
873 868 864 872 ltled ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 0 ≤ ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
874 842 838 readdcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 + 𝑇 ) ∈ ℝ )
875 iooltub ⊢ ( ( ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 < 𝑋 )
876 844 845 846 875 syl3anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 < 𝑋 )
877 840 842 838 876 ltadd1dd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) < ( 𝑋 + 𝑇 ) )
878 841 874 842 877 ltsub1dd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) < ( ( 𝑋 + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
879 pncan2 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 + 𝑇 ) − 𝑋 ) = 𝑇 )
880 27 123 879 mp2an ⊢ ( ( 𝑋 + 𝑇 ) − 𝑋 ) = 𝑇
881 878 880 breqtrdi ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) < 𝑇 )
882 modid ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) < 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
883 864 867 873 881 882 syl22anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
884 866 883 eqtr2d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) mod 𝑇 ) )
885 884 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) mod 𝑇 ) )
886 oveq2 ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + 0 ) )
887 886 adantr ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + 0 ) )
888 864 867 modcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
889 888 recnd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ∈ ℂ )
890 889 addridd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + 0 ) = ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) )
891 890 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + 0 ) = ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) )
892 887 891 eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
893 892 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
894 modaddabs ⊢ ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) mod 𝑇 ) )
895 864 842 867 894 syl3anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) mod 𝑇 ) )
896 895 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) mod 𝑇 ) )
897 885 893 896 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) mod 𝑇 ) )
898 145 recnd ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑥 + 𝑇 ) ∈ ℂ )
899 27 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ )
900 898 899 npcand ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑥 + 𝑇 ) )
901 124 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 1 · 𝑇 ) = 𝑇 )
902 901 oveq2d ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + 𝑇 ) )
903 900 902 eqtr4d ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) )
904 903 oveq1d ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
905 840 904 syl ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
906 905 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
907 1zzd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → 1 ∈ ℤ )
908 831 834 907 138 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
909 897 906 908 3eqtrrd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
910 851 863 909 3brtr4d ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → π < ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
911 833 835 910 ltled ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → π ≤ ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
912 833 835 911 lensymd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ¬ ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
913 912 iffalsed ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = - 1 )
914 832 913 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = - 1 )
915 914 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) )
916 830 915 eqtr2d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) )
917 916 oveq1d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
918 843 a1i ⊢ ( ⊤ → ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ* )
919 3 a1i ⊢ ( ⊤ → 𝑋 ∈ ℝ )
920 ltsubrp ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+ ) → ( 𝑋 − π ) < 𝑋 )
921 3 184 920 mp2an ⊢ ( 𝑋 − π ) < 𝑋
922 921 a1i ⊢ ( ⊤ → ( 𝑋 − π ) < 𝑋 )
923 mnflt ⊢ ( ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ → -∞ < ( 𝑋 − π ) )
924 xrltle ⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ* ) → ( -∞ < ( 𝑋 − π ) → -∞ ≤ ( 𝑋 − π ) ) )
925 365 843 924 mp2an ⊢ ( -∞ < ( 𝑋 − π ) → -∞ ≤ ( 𝑋 − π ) )
926 836 923 925 mp2b ⊢ -∞ ≤ ( 𝑋 − π )
927 926 a1i ⊢ ( ⊤ → -∞ ≤ ( 𝑋 − π ) )
928 363 918 919 922 817 366 927 limcresiooub ⊢ ( ⊤ → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
929 928 mptru ⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 )
930 917 929 eqtr2di ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) )
931 822 827 930 3eltr4d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
932 931 adantl ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
933 155 a1i ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → π ∈ ℝ* )
934 122 rexri ⊢ 𝑇 ∈ ℝ*
935 934 a1i ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → 𝑇 ∈ ℝ* )
936 767 rexri ⊢ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ*
937 936 a1i ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ* )
938 120 a1i ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → π ∈ ℝ )
939 767 a1i ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
940 pm4.56 ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) ↔ ¬ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∨ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) )
941 940 biimpi ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → ¬ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∨ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) )
942 olc ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∨ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) )
943 942 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∨ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) )
944 153 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 ) → 0 ∈ ℝ* )
945 155 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 ) → π ∈ ℝ* )
946 767 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
947 0red ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 → 0 ∈ ℝ )
948 767 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
949 modge0 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
950 3 135 949 mp2an ⊢ 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 )
951 950 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 → 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
952 id ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 )
953 947 948 951 952 leneltd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 → 0 < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
954 953 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 ) → 0 < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
955 simpl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
956 944 945 946 954 955 eliood ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) )
957 956 orcd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∨ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) )
958 943 957 pm2.61dane ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∨ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) )
959 941 958 nsyl ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
960 938 939 959 nltled ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
961 modlt ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < 𝑇 )
962 3 135 961 mp2an ⊢ ( 𝑋 mod 𝑇 ) < 𝑇
963 962 a1i ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < 𝑇 )
964 933 935 937 960 963 elicod ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) )
965 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 )
966 965 818 203 819 constlimc ⊢ ( ⊤ → 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
967 966 mptru ⊢ 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 )
968 967 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
969 id ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π )
970 ubioc1 ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π ) → π ∈ ( 0 (,] π ) )
971 153 155 72 970 mp3an ⊢ π ∈ ( 0 (,] π )
972 969 971 eqeltrdi ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) )
973 972 iftrued ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) = 1 )
974 363 817 feqresmpt ⊢ ( ⊤ → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
975 974 mptru ⊢ ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
976 840 110 147 sylancl ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
977 976 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
978 simpr ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) )
979 969 eqcomd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → π = ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
980 979 oveq2d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( 𝑋 − π ) = ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
981 980 oveq1d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) = ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) )
982 981 adantr ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) = ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) )
983 978 982 eleqtrd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) )
984 983 803 syl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
985 simpl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π )
986 984 985 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
987 986 iftrued ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = 1 )
988 977 987 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 1 )
989 988 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) )
990 975 989 eqtr2id ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) )
991 990 oveq1d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
992 991 929 eqtr2di ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
993 968 973 992 3eltr4d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
994 993 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
995 155 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → π ∈ ℝ* )
996 934 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → 𝑇 ∈ ℝ* )
997 767 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
998 120 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → π ∈ ℝ )
999 icogelb ⊢ ( ( π ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ) → π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1000 155 934 999 mp3an12 ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1001 1000 adantr ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1002 neqne ⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ π )
1003 1002 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ π )
1004 998 997 1001 1003 leneltd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → π < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1005 962 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < 𝑇 )
1006 995 996 997 1004 1005 eliood ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) )
1007 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 )
1008 ioossre ⊢ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ
1009 1008 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ )
1010 1009 207 sstrdi ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ )
1011 neg1cn ⊢ - 1 ∈ ℂ
1012 1011 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → - 1 ∈ ℂ )
1013 27 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → 𝑋 ∈ ℂ )
1014 1007 1010 1012 1013 constlimc ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → - 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) )
1015 153 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → 0 ∈ ℝ* )
1016 120 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → π ∈ ℝ )
1017 936 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ* )
1018 ioogtlb ⊢ ( ( π ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ) → π < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1019 155 934 1018 mp3an12 ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → π < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1020 1015 1016 1017 1019 gtnelioc ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) )
1021 1020 iffalsed ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) = - 1 )
1022 1008 a1i ⊢ ( ⊤ → ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ )
1023 363 1022 feqresmpt ⊢ ( ⊤ → ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
1024 1023 mptru ⊢ ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
1025 elioore ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
1026 1025 110 147 sylancl ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1027 1026 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1028 120 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → π ∈ ℝ )
1029 135 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
1030 1025 1029 modcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1031 1030 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1032 3 120 readdcli ⊢ ( 𝑋 + π ) ∈ ℝ
1033 1032 recni ⊢ ( 𝑋 + π ) ∈ ℂ
1034 1033 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 + π ) ∈ ℂ )
1035 27 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℂ )
1036 767 recni ⊢ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℂ
1037 1036 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℂ )
1038 1034 1035 1037 nnncan2d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑋 + π ) − 𝑋 ) )
1039 1038 861 eqtr2di ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → π = ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1040 1032 767 resubcli ⊢ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ
1041 1040 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
1042 768 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
1043 1040 rexri ⊢ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ*
1044 1043 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
1045 3 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1046 1045 rexrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
1047 id ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) )
1048 ioogtlb ⊢ ( ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) < 𝑥 )
1049 1044 1046 1047 1048 syl3anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) < 𝑥 )
1050 1041 1025 1042 1049 ltsub1dd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < ( 𝑥 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1051 1039 1050 eqbrtrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → π < ( 𝑥 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1052 1025 recnd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℂ )
1053 sub31 ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℂ ) → ( 𝑥 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1054 1052 1035 1037 1053 syl3anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1055 1051 1054 breqtrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → π < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1056 1055 adantl ⊢ ( ( π < ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → π < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1057 1045 1025 resubcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − 𝑥 ) ∈ ℝ )
1058 0red ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 0 ∈ ℝ )
1059 iooltub ⊢ ( ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 < 𝑋 )
1060 1044 1046 1047 1059 syl3anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 < 𝑋 )
1061 1025 1045 posdifd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 < 𝑋 ↔ 0 < ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1062 1060 1061 mpbid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 0 < ( 𝑋 − 𝑥 ) )
1063 1058 1057 1062 ltled ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 0 ≤ ( 𝑋 − 𝑥 ) )
1064 1045 1041 resubcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
1065 122 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
1066 1041 1025 1045 1049 ltsub2dd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − 𝑥 ) < ( 𝑋 − ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1067 sub31 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 + π ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℂ ) → ( 𝑋 − ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( ( 𝑋 + π ) − 𝑋 ) ) )
1068 27 1033 1036 1067 mp3an ⊢ ( 𝑋 − ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( ( 𝑋 + π ) − 𝑋 ) )
1069 861 oveq2i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( ( 𝑋 + π ) − 𝑋 ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − π )
1070 1068 1069 eqtri ⊢ ( 𝑋 − ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − π )
1071 ltsubrp ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − π ) < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1072 767 184 1071 mp2an ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − π ) < ( 𝑋 mod 𝑇 )
1073 767 120 resubcli ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − π ) ∈ ℝ
1074 1073 767 122 lttri ⊢ ( ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − π ) < ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) < 𝑇 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − π ) < 𝑇 )
1075 1072 962 1074 mp2an ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − π ) < 𝑇
1076 1070 1075 eqbrtri ⊢ ( 𝑋 − ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < 𝑇
1077 1076 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < 𝑇 )
1078 1057 1064 1065 1066 1077 lttrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − 𝑥 ) < 𝑇 )
1079 modid ⊢ ( ( ( ( 𝑋 − 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝑋 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) < 𝑇 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝑥 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑋 − 𝑥 ) )
1080 1057 1029 1063 1078 1079 syl22anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 − 𝑥 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑋 − 𝑥 ) )
1081 1080 oveq2d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( ( 𝑋 − 𝑥 ) mod 𝑇 ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1082 1081 oveq1d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( ( 𝑋 − 𝑥 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) mod 𝑇 ) )
1083 767 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1084 1083 1057 resubcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ )
1085 120 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → π ∈ ℝ )
1086 1054 1084 eqeltrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
1087 72 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 0 < π )
1088 1058 1085 1086 1087 1051 lttrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 0 < ( 𝑥 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1089 1088 1054 breqtrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 0 < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1090 1058 1084 1089 ltled ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 0 ≤ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1091 1045 1042 resubcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
1092 1025 1045 1042 1060 ltsub1dd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < ( 𝑋 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1093 nncan ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℂ ) → ( 𝑋 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1094 27 1036 1093 mp2an ⊢ ( 𝑋 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = ( 𝑋 mod 𝑇 )
1095 1094 962 eqbrtri ⊢ ( 𝑋 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < 𝑇
1096 1095 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < 𝑇 )
1097 1086 1091 1065 1092 1096 lttrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < 𝑇 )
1098 1054 1097 eqbrtrrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) < 𝑇 )
1099 modid ⊢ ( ( ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) ∧ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) < 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1100 1084 1029 1090 1098 1099 syl22anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1101 1082 1100 eqtr2d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( ( 𝑋 − 𝑥 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
1102 modsubmodmod ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( ( 𝑋 − 𝑥 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) mod 𝑇 ) )
1103 1045 1057 1029 1102 syl3anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( ( 𝑋 − 𝑥 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) mod 𝑇 ) )
1104 1035 1052 nncand ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) = 𝑥 )
1105 1104 oveq1d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1106 1101 1103 1105 3eqtrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1107 1106 adantl ⊢ ( ( π < ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1108 1056 1107 breqtrd ⊢ ( ( π < ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → π < ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1109 1019 1108 sylan ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → π < ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1110 1028 1031 1109 ltled ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → π ≤ ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1111 1028 1031 1110 lensymd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ¬ ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
1112 1111 iffalsed ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = - 1 )
1113 1027 1112 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = - 1 )
1114 1113 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) )
1115 1024 1114 eqtr2id ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) = ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) )
1116 1115 oveq1d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
1117 209 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
1118 1043 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
1119 3 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1120 elioore ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1121 ltaddsublt ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ ) → ( π < ( 𝑋 mod 𝑇 ) ↔ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) < 𝑋 ) )
1122 1119 1016 1120 1121 syl3anc ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( π < ( 𝑋 mod 𝑇 ) ↔ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) < 𝑋 ) )
1123 1019 1122 mpbid ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) < 𝑋 )
1124 365 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → -∞ ∈ ℝ* )
1125 mnflt ⊢ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ → -∞ < ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1126 xrltle ⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ) → ( -∞ < ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → -∞ ≤ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1127 365 1043 1126 mp2an ⊢ ( -∞ < ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → -∞ ≤ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1128 1040 1125 1127 mp2b ⊢ -∞ ≤ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1129 1128 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → -∞ ≤ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1130 1117 1118 1119 1123 1009 1124 1129 limcresiooub ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
1131 1116 1130 eqtr2d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) )
1132 1014 1021 1131 3eltr4d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
1133 1006 1132 syl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
1134 994 1133 pm2.61dan ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
1135 964 1134 syl ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
1136 932 1135 pm2.61dan ⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
1137 814 1136 pm2.61i ⊢ if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 )
1138 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 )
1139 ioossre ⊢ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ⊆ ℝ
1140 1139 a1i ⊢ ( ⊤ → ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ⊆ ℝ )
1141 1140 207 sstrdi ⊢ ( ⊤ → ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ⊆ ℂ )
1142 1138 1141 203 819 constlimc ⊢ ( ⊤ → 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
1143 1142 mptru ⊢ 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 )
1144 1143 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
1145 2 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) )
1146 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 mod 𝑇 ) = ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1147 1146 breq1d ⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π ↔ ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ) )
1148 1147 ifbid ⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1149 1148 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1150 3 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1151 108 109 ifcli ⊢ if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ∈ ℝ
1152 1151 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ∈ ℝ )
1153 1145 1149 1150 1152 fvmptd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) = if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1154 icoltub ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
1155 153 155 1154 mp3an12 ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
1156 1155 iftrued ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = 1 )
1157 1153 1156 eqtrd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) = 1 )
1158 363 1140 feqresmpt ⊢ ( ⊤ → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
1159 1158 mptru ⊢ ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
1160 elioore ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
1161 1160 110 147 sylancl ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1162 1161 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1163 3 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1164 1160 1163 resubcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) ∈ ℝ )
1165 135 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
1166 0red ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 ∈ ℝ )
1167 1163 rexrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
1168 120 767 resubcli ⊢ ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ
1169 3 1168 readdcli ⊢ ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ
1170 1169 rexri ⊢ ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ*
1171 1170 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* )
1172 id ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) )
1173 ioogtlb ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
1174 1167 1171 1172 1173 syl3anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
1175 1163 1160 posdifd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1176 1174 1175 mpbid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 < ( 𝑥 − 𝑋 ) )
1177 1166 1164 1176 ltled ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑋 ) )
1178 120 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → π ∈ ℝ )
1179 122 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
1180 1169 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
1181 1180 1163 resubcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
1182 iooltub ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1183 1167 1171 1172 1182 syl3anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1184 1160 1180 1163 1183 ltsub1dd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) < ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) )
1185 1168 recni ⊢ ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℂ
1186 pncan2 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) = ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1187 27 1185 1186 mp2an ⊢ ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) = ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1188 subge02 ⊢ ( ( π ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ↔ ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ≤ π ) )
1189 120 767 1188 mp2an ⊢ ( 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ↔ ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ≤ π )
1190 950 1189 mpbi ⊢ ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ≤ π
1191 1187 1190 eqbrtri ⊢ ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ≤ π
1192 1191 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ≤ π )
1193 1164 1181 1178 1184 1192 ltletrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) < π )
1194 187 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → π < 𝑇 )
1195 1164 1178 1179 1193 1194 lttrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) < 𝑇 )
1196 modid ⊢ ( ( ( ( 𝑥 − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑋 ) < 𝑇 ) ) → ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 − 𝑋 ) )
1197 1164 1165 1177 1195 1196 syl22anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 − 𝑋 ) )
1198 1197 oveq2d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1199 1198 oveq1d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) )
1200 767 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1201 1200 1164 readdcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
1202 1163 1163 resubcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 − 𝑋 ) ∈ ℝ )
1203 1200 1202 readdcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑋 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
1204 27 subidi ⊢ ( 𝑋 − 𝑋 ) = 0
1205 1204 oveq2i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑋 − 𝑋 ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + 0 )
1206 1036 addridi ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + 0 ) = ( 𝑋 mod 𝑇 )
1207 1205 1206 eqtr2i ⊢ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑋 − 𝑋 ) )
1208 950 1207 breqtri ⊢ 0 ≤ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑋 − 𝑋 ) )
1209 1208 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑋 − 𝑋 ) ) )
1210 1163 1160 1163 1174 ltsub1dd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 − 𝑋 ) < ( 𝑥 − 𝑋 ) )
1211 1202 1164 1200 1210 ltadd2dd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑋 − 𝑋 ) ) < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1212 1166 1203 1201 1209 1211 lelttrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1213 1166 1201 1212 ltled ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1214 1164 1181 1200 1184 ltadd2dd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ) )
1215 1187 oveq2i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1216 1036 56 pncan3i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = π
1217 1215 1216 eqtri ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ) = π
1218 1214 1217 breqtrdi ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) < π )
1219 1201 1178 1179 1218 1194 lttrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) < 𝑇 )
1220 modid ⊢ ( ( ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) < 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1221 1201 1165 1213 1219 1220 syl22anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1222 1199 1221 eqtr2d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
1223 modaddabs ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) )
1224 1163 1164 1165 1223 syl3anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) )
1225 27 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℂ )
1226 1160 recnd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
1227 1225 1226 pncan3d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) = 𝑥 )
1228 1227 oveq1d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1229 1222 1224 1228 3eqtrrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1230 1229 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1231 1218 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) < π )
1232 1230 1231 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
1233 1155 1232 sylan ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
1234 1233 iftrued ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = 1 )
1235 1162 1234 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 1 )
1236 1235 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 ) )
1237 1159 1236 eqtr2id ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) )
1238 1237 oveq1d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) )
1239 209 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
1240 1170 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* )
1241 1168 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
1242 767 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1243 120 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → π ∈ ℝ )
1244 1242 1243 posdifd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ↔ 0 < ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1245 1155 1244 mpbid ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → 0 < ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1246 1241 1245 elrpd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ+ )
1247 1150 1246 ltaddrpd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → 𝑋 < ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1248 1139 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ⊆ ℝ )
1249 376 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → +∞ ∈ ℝ* )
1250 ltpnf ⊢ ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ → ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < +∞ )
1251 xrltle ⊢ ( ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < +∞ → ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ≤ +∞ ) )
1252 1170 376 1251 mp2an ⊢ ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < +∞ → ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ≤ +∞ )
1253 1169 1250 1252 mp2b ⊢ ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ≤ +∞
1254 1253 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ≤ +∞ )
1255 1239 1150 1240 1247 1248 1249 1254 limcresioolb ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
1256 1238 1255 eqtr2d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
1257 1144 1157 1256 3eltr4d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
1258 155 a1i ⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → π ∈ ℝ* )
1259 934 a1i ⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → 𝑇 ∈ ℝ* )
1260 936 a1i ⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ* )
1261 153 a1i ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → 0 ∈ ℝ* )
1262 155 a1i ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → π ∈ ℝ* )
1263 936 a1i ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ* )
1264 950 a1i ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1265 767 a1i ⊢ ( ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1266 120 a1i ⊢ ( ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) → π ∈ ℝ )
1267 1265 1266 ltnled ⊢ ( ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ↔ ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1268 1267 ibir ⊢ ( ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
1269 1268 adantl ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
1270 1261 1262 1263 1264 1269 elicod ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) )
1271 simpl ⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) )
1272 1270 1271 condan ⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1273 962 a1i ⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < 𝑇 )
1274 1258 1259 1260 1272 1273 elicod ⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) )
1275 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 )
1276 ioossre ⊢ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ⊆ ℝ
1277 1276 a1i ⊢ ( ⊤ → ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ⊆ ℝ )
1278 1277 207 sstrdi ⊢ ( ⊤ → ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ⊆ ℂ )
1279 1275 1278 305 819 constlimc ⊢ ( ⊤ → - 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) )
1280 1279 mptru ⊢ - 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 )
1281 1280 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → - 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) )
1282 1ex ⊢ 1 ∈ V
1283 109 elexi ⊢ - 1 ∈ V
1284 1282 1283 ifex ⊢ if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ∈ V
1285 1148 2 1284 fvmpt ⊢ ( 𝑋 ∈ ℝ → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) = if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1286 3 1285 ax-mp ⊢ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) = if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 )
1287 1286 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) = if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1288 120 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → π ∈ ℝ )
1289 767 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1290 1288 1289 1000 lensymd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
1291 1290 iffalsed ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = - 1 )
1292 1287 1291 eqtrd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) = - 1 )
1293 363 1277 feqresmpt ⊢ ( ⊤ → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
1294 1293 mptru ⊢ ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
1295 elioore ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
1296 1295 110 147 sylancl ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1297 1296 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1298 120 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → π ∈ ℝ )
1299 3 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1300 1295 1299 resubcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) ∈ ℝ )
1301 135 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
1302 0red ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 ∈ ℝ )
1303 1299 rexrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
1304 122 767 resubcli ⊢ ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ
1305 3 1304 readdcli ⊢ ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ
1306 1305 rexri ⊢ ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ*
1307 1306 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* )
1308 id ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) )
1309 ioogtlb ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
1310 1303 1307 1308 1309 syl3anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
1311 1299 1295 posdifd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1312 1310 1311 mpbid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 < ( 𝑥 − 𝑋 ) )
1313 1302 1300 1312 ltled ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑋 ) )
1314 1305 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
1315 1314 1299 resubcld ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
1316 122 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
1317 iooltub ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1318 1303 1307 1308 1317 syl3anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1319 1295 1314 1299 1318 ltsub1dd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) < ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) )
1320 1304 recni ⊢ ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℂ
1321 pncan2 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) = ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1322 27 1320 1321 mp2an ⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) = ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1323 subge02 ⊢ ( ( 𝑇 ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ↔ ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ≤ 𝑇 ) )
1324 122 767 1323 mp2an ⊢ ( 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ↔ ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ≤ 𝑇 )
1325 950 1324 mpbi ⊢ ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ≤ 𝑇
1326 1322 1325 eqbrtri ⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ≤ 𝑇
1327 1326 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ≤ 𝑇 )
1328 1300 1315 1316 1319 1327 ltletrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) < 𝑇 )
1329 1300 1301 1313 1328 1196 syl22anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 − 𝑋 ) )
1330 1329 oveq2d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1331 1330 oveq1d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) )
1332 readdcl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 − 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
1333 767 1300 1332 sylancr ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
1334 767 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1335 950 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1336 1334 1300 1335 1312 addgegt0d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1337 1302 1333 1336 ltled ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1338 1300 1315 1334 1319 ltadd2dd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ) )
1339 1322 oveq2i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1340 1036 123 pncan3i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = 𝑇
1341 1339 1340 eqtri ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ) = 𝑇
1342 1338 1341 breqtrdi ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) < 𝑇 )
1343 1333 1301 1337 1342 1220 syl22anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1344 1331 1343 eqtr2d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
1345 1299 1300 1301 1223 syl3anc ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) )
1346 27 a1i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℂ )
1347 1295 recnd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
1348 1346 1347 pncan3d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) = 𝑥 )
1349 1348 oveq1d ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1350 1344 1345 1349 3eqtrd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1351 1350 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1352 1333 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
1353 1351 1352 eqeltrrd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1354 767 a1i ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1355 1000 adantr ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1356 1300 1312 elrpd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) ∈ ℝ+ )
1357 1334 1356 ltaddrpd ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1358 1357 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1359 1298 1354 1352 1355 1358 lelttrd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → π < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1360 1298 1352 1359 ltled ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → π ≤ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1361 1360 1351 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → π ≤ ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1362 1298 1353 1361 lensymd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ¬ ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
1363 1362 iffalsed ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = - 1 )
1364 1297 1363 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = - 1 )
1365 1364 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 ) )
1366 1294 1365 eqtr2id ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) )
1367 1366 oveq1d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) )
1368 209 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
1369 3 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1370 1306 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* )
1371 1304 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
1372 962 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < 𝑇 )
1373 122 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
1374 1289 1373 posdifd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < 𝑇 ↔ 0 < ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1375 1372 1374 mpbid ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → 0 < ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1376 1371 1375 elrpd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ+ )
1377 1369 1376 ltaddrpd ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → 𝑋 < ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1378 1276 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ⊆ ℝ )
1379 376 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → +∞ ∈ ℝ* )
1380 ltpnf ⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ → ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < +∞ )
1381 xrltle ⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < +∞ → ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ≤ +∞ ) )
1382 1306 376 1381 mp2an ⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < +∞ → ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ≤ +∞ )
1383 1305 1380 1382 mp2b ⊢ ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ≤ +∞
1384 1383 a1i ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ≤ +∞ )
1385 1368 1369 1370 1377 1378 1379 1384 limcresioolb ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
1386 1367 1385 eqtr2d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) )
1387 1281 1292 1386 3eltr4d ⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
1388 1274 1387 syl ⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
1389 1257 1388 pm2.61i ⊢ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 )
1390 id ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0 )
1391 1 2 1390 sqwvfoura ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 → ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) = 0 )
1392 1391 eqcomd ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 → 0 = ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
1393 1392 mpteq2ia ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
1394 id ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ )
1395 1 2 1394 sqwvfourb ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) )
1396 1395 eqcomd ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) = ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
1397 1396 mpteq2ia ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
1398 nnnn0 ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0 )
1399 0red ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ )
1400 eqid ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 )
1401 1400 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 𝑛 ) = 0 )
1402 1398 1399 1401 syl2anc ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 𝑛 ) = 0 )
1403 1402 oveq1d ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( 0 · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
1404 78 coscld ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ∈ ℂ )
1405 1404 mul02d ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 0 · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = 0 )
1406 1403 1405 eqtrd ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = 0 )
1407 ovex ⊢ ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ∈ V
1408 93 1407 ifex ⊢ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ∈ V
1409 eqid ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) )
1410 1409 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ∈ V ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) )
1411 1408 1410 mpan2 ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) )
1412 1411 oveq1d ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
1413 1406 1412 oveq12d ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = ( 0 + ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1414 64 76 ifcld ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ∈ ℂ )
1415 1414 79 mulcld ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℂ )
1416 1415 addlidd ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 0 + ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
1417 iftrue ⊢ ( 2 ∥ 𝑛 → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) = 0 )
1418 1417 oveq1d ⊢ ( 2 ∥ 𝑛 → ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( 0 · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
1419 79 mul02d ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 0 · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = 0 )
1420 1418 1419 sylan9eqr ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛 ) → ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = 0 )
1421 iftrue ⊢ ( 2 ∥ 𝑛 → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = 0 )
1422 1421 eqcomd ⊢ ( 2 ∥ 𝑛 → 0 = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1423 1422 adantl ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛 ) → 0 = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1424 1420 1423 eqtrd ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛 ) → ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1425 iffalse ⊢ ( ¬ 2 ∥ 𝑛 → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) = ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) )
1426 1425 oveq1d ⊢ ( ¬ 2 ∥ 𝑛 → ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
1427 1426 adantl ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛 ) → ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
1428 iffalse ⊢ ( ¬ 2 ∥ 𝑛 → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
1429 1428 eqcomd ⊢ ( ¬ 2 ∥ 𝑛 → ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1430 1429 adantl ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛 ) → ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1431 1427 1430 eqtrd ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛 ) → ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1432 1424 1431 pm2.61dan ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1433 1413 1416 1432 3eqtrrd ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1434 1433 mpteq2ia ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1435 112 1 149 150 330 605 676 755 3 1137 1389 1393 1397 1434 fourierclim ⊢ seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ⇝ ( ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) − ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 0 ) / 2 ) )
1436 0nn0 ⊢ 0 ∈ ℕ0
1437 eqidd ⊢ ( 𝑛 = 0 → 0 = 0 )
1438 1437 1400 93 fvmpt ⊢ ( 0 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 0 ) = 0 )
1439 1436 1438 ax-mp ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 0 ) = 0
1440 1439 oveq1i ⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 0 ) / 2 ) = ( 0 / 2 )
1441 32 recni ⊢ 2 ∈ ℂ
1442 71 131 gtneii ⊢ 2 ≠ 0
1443 1441 1442 div0i ⊢ ( 0 / 2 ) = 0
1444 1440 1443 eqtri ⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 0 ) / 2 ) = 0
1445 1444 oveq2i ⊢ ( ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) − ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 0 ) / 2 ) ) = ( ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) − 0 )
1446 203 mptru ⊢ 1 ∈ ℂ
1447 1446 1011 ifcli ⊢ if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ℂ
1448 1151 recni ⊢ if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ∈ ℂ
1449 1286 1448 eqeltri ⊢ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ
1450 1447 1449 addcli ⊢ ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℂ
1451 1450 1441 1442 divcli ⊢ ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) ∈ ℂ
1452 1451 subid1i ⊢ ( ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) − 0 ) = ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 )
1453 1445 1452 eqtri ⊢ ( ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) − ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 0 ) / 2 ) ) = ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 )
1454 1435 1453 breqtri ⊢ seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ⇝ ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 )
1455 1454 a1i ⊢ ( ⊤ → seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ⇝ ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) )
1456 83 107 1455 sumnnodd ⊢ ( ⊤ → ( seq 1 ( + , ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) ∧ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1457 1456 mptru ⊢ ( seq 1 ( + , ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) ∧ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
1458 1457 simpli ⊢ seq 1 ( + , ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 )
1459 breq2 ⊢ ( 𝑛 = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) → ( 2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
1460 oveq1 ⊢ ( 𝑛 = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) → ( 𝑛 · π ) = ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) )
1461 1460 oveq2d ⊢ ( 𝑛 = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) → ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) = ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) )
1462 oveq1 ⊢ ( 𝑛 = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) → ( 𝑛 · 𝑋 ) = ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) )
1463 1462 fveq2d ⊢ ( 𝑛 = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) → ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) )
1464 1461 1463 oveq12d ⊢ ( 𝑛 = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) → ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) )
1465 1459 1464 ifbieq2d ⊢ ( 𝑛 = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = if ( 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) , 0 , ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) ) )
1466 1465 adantl ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = if ( 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) , 0 , ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) ) )
1467 elnnz ⊢ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ∈ ℕ ↔ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ 0 < ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
1468 25 52 1467 sylanbrc ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ∈ ℕ )
1469 ovex ⊢ ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) ∈ V
1470 93 1469 ifex ⊢ if ( 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) , 0 , ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) ) ∈ V
1471 1470 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → if ( 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) , 0 , ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) ) ∈ V )
1472 84 1466 1468 1471 fvmptd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = if ( 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) , 0 , ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) ) )
1473 dvdsmul1 ⊢ ( ( 2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 2 ∥ ( 2 · 𝑘 ) )
1474 20 22 1473 sylancr ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 2 ∥ ( 2 · 𝑘 ) )
1475 23 zcnd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℂ )
1476 1cnd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ )
1477 1475 1476 npcand ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) + 1 ) = ( 2 · 𝑘 ) )
1478 1477 eqcomd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑘 ) = ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) + 1 ) )
1479 1474 1478 breqtrd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 2 ∥ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) + 1 ) )
1480 oddp1even ⊢ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ∈ ℤ → ( ¬ 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ↔ 2 ∥ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) + 1 ) ) )
1481 25 1480 syl ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ¬ 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ↔ 2 ∥ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) + 1 ) ) )
1482 1479 1481 mpbird ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) )
1483 1482 iffalsed ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → if ( 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) , 0 , ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) )
1484 56 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → π ∈ ℂ )
1485 26 1484 mulcomd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) = ( π · ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
1486 1485 oveq2d ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) = ( 4 / ( π · ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1487 58 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ )
1488 73 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → π ≠ 0 )
1489 1487 1484 26 1488 53 divdiv1d ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 4 / π ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = ( 4 / ( π · ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1490 1486 1489 eqtr4d ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) = ( ( 4 / π ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
1491 1490 oveq1d ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) = ( ( ( 4 / π ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) )
1492 1487 1484 1488 divcld ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 4 / π ) ∈ ℂ )
1493 1492 26 30 53 div32d ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( 4 / π ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) = ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1494 1491 1493 eqtrd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) = ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1495 1472 1483 1494 3eqtrd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1496 1495 mpteq2ia ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1497 oveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 2 · 𝑘 ) = ( 2 · 𝑛 ) )
1498 1497 oveq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) = ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) )
1499 1498 oveq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) = ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) )
1500 1499 fveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) )
1501 1500 1498 oveq12d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) )
1502 1501 oveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) )
1503 1502 cbvmptv ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) )
1504 1496 1503 eqtri ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) )
1505 seqeq3 ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) → seq 1 ( + , ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) = seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ) )
1506 1504 1505 ax-mp ⊢ seq 1 ( + , ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) = seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) )
1507 1 2 3 5 fourierswlem ⊢ 𝑌 = ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 )
1508 1507 eqcomi ⊢ ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) = 𝑌
1509 1458 1506 1508 3brtr3i ⊢ seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ) ⇝ 𝑌
1510 1509 a1i ⊢ ( ⊤ → seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ) ⇝ 𝑌 )
1511 eqid ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) )
1512 65 69 74 divcld ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 4 / π ) ∈ ℂ )
1513 1441 a1i ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ )
1514 1513 66 mulcld ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑛 ) ∈ ℂ )
1515 id ⊢ ( ( 2 · 𝑛 ) ∈ ℂ → ( 2 · 𝑛 ) ∈ ℂ )
1516 1cnd ⊢ ( ( 2 · 𝑛 ) ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ )
1517 1515 1516 subcld ⊢ ( ( 2 · 𝑛 ) ∈ ℂ → ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ∈ ℂ )
1518 1514 1517 syl ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ∈ ℂ )
1519 1518 77 mulcld ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ∈ ℂ )
1520 1519 sincld ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ∈ ℂ )
1521 32 a1i ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ )
1522 nnre ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ )
1523 1521 1522 remulcld ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑛 ) ∈ ℝ )
1524 1523 recnd ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑛 ) ∈ ℂ )
1525 1cnd ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ )
1526 1524 1525 subcld ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ∈ ℂ )
1527 1red ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ )
1528 39 1521 eqeltrid ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 2 · 1 ) ∈ ℝ )
1529 1lt2 ⊢ 1 < 2
1530 1529 a1i ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 1 < 2 )
1531 1530 39 breqtrrdi ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 1 < ( 2 · 1 ) )
1532 47 a1i ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ 2 )
1533 nnge1 ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛 )
1534 1527 1522 1521 1532 1533 lemul2ad ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 2 · 1 ) ≤ ( 2 · 𝑛 ) )
1535 1527 1528 1523 1531 1534 ltletrd ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 1 < ( 2 · 𝑛 ) )
1536 1527 1535 gtned ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑛 ) ≠ 1 )
1537 1524 1525 1536 subne0d ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ≠ 0 )
1538 1520 1526 1537 divcld ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ∈ ℂ )
1539 1512 1538 mulcld ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
1540 1511 1539 fmpti ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) : ℕ ⟶ ℂ
1541 1540 a1i ⊢ ( ⊤ → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) : ℕ ⟶ ℂ )
1542 1541 ffvelcdmda ⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
1543 divcan6 ⊢ ( ( ( π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0 ) ∧ ( 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0 ) ) → ( ( π / 4 ) · ( 4 / π ) ) = 1 )
1544 56 73 58 60 1543 mp4an ⊢ ( ( π / 4 ) · ( 4 / π ) ) = 1
1545 1544 eqcomi ⊢ 1 = ( ( π / 4 ) · ( 4 / π ) )
1546 1545 oveq1i ⊢ ( 1 · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( ( ( π / 4 ) · ( 4 / π ) ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
1547 54 mullidd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 1 · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
1548 60 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 4 ≠ 0 )
1549 1484 1487 1548 divcld ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( π / 4 ) ∈ ℂ )
1550 1549 1492 54 mulassd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( π / 4 ) · ( 4 / π ) ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( ( π / 4 ) · ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) )
1551 1546 1547 1550 3eqtr3a ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = ( ( π / 4 ) · ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) )
1552 eqidd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) )
1553 13 oveq2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) = ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1554 1553 adantl ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) = ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1555 1494 1469 eqeltrrdi ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ∈ V )
1556 1552 1554 15 1555 fvmptd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1557 1556 oveq2d ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( π / 4 ) · ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( π / 4 ) · ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) )
1558 1557 eqcomd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( π / 4 ) · ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) = ( ( π / 4 ) · ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) )
1559 18 1551 1558 3eqtrd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( π / 4 ) · ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) )
1560 1559 adantl ⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( π / 4 ) · ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) )
1561 6 7 62 1510 1542 1560 isermulc2 ⊢ ( ⊤ → seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ ( ( π / 4 ) · 𝑌 ) )
1562 climrel ⊢ Rel ⇝
1563 1562 releldmi ⊢ ( seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ ( ( π / 4 ) · 𝑌 ) → seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ∈ dom ⇝ )
1564 1561 1563 syl ⊢ ( ⊤ → seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ∈ dom ⇝ )
1565 6 7 19 55 1564 isumclim2 ⊢ ( ⊤ → seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
1566 1565 mptru ⊢ seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) )
1567 1561 mptru ⊢ seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ ( ( π / 4 ) · 𝑌 )
1568 climuni ⊢ ( ( seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ∧ seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ ( ( π / 4 ) · 𝑌 ) ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = ( ( π / 4 ) · 𝑌 ) )
1569 1566 1567 1568 mp2an ⊢ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = ( ( π / 4 ) · 𝑌 )
1570 1569 oveq2i ⊢ ( ( 4 / π ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( ( 4 / π ) · ( ( π / 4 ) · 𝑌 ) )
1571 58 56 73 divcli ⊢ ( 4 / π ) ∈ ℂ
1572 56 58 60 divcli ⊢ ( π / 4 ) ∈ ℂ
1573 1286 1151 eqeltri ⊢ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ
1574 71 1573 ifcli ⊢ if ( ( 𝑋 mod π ) = 0 , 0 , ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ
1575 5 1574 eqeltri ⊢ 𝑌 ∈ ℝ
1576 1575 recni ⊢ 𝑌 ∈ ℂ
1577 1571 1572 1576 mulassi ⊢ ( ( ( 4 / π ) · ( π / 4 ) ) · 𝑌 ) = ( ( 4 / π ) · ( ( π / 4 ) · 𝑌 ) )
1578 1572 1571 1544 mulcomli ⊢ ( ( 4 / π ) · ( π / 4 ) ) = 1
1579 1578 oveq1i ⊢ ( ( ( 4 / π ) · ( π / 4 ) ) · 𝑌 ) = ( 1 · 𝑌 )
1580 1576 mullidi ⊢ ( 1 · 𝑌 ) = 𝑌
1581 1579 1580 eqtri ⊢ ( ( ( 4 / π ) · ( π / 4 ) ) · 𝑌 ) = 𝑌
1582 1570 1577 1581 3eqtr2i ⊢ ( ( 4 / π ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = 𝑌
1583 seqeq3 ⊢ ( 𝑆 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) → seq 1 ( + , 𝑆 ) = seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) )
1584 4 1583 ax-mp ⊢ seq 1 ( + , 𝑆 ) = seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) )
1585 1584 1567 eqbrtri ⊢ seq 1 ( + , 𝑆 ) ⇝ ( ( π / 4 ) · 𝑌 )
1586 1582 1585 pm3.2i ⊢ ( ( ( 4 / π ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = 𝑌 ∧ seq 1 ( + , 𝑆 ) ⇝ ( ( π / 4 ) · 𝑌 ) )