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Theorem modge0

Description: The modulo operation is nonnegative. (Contributed by NM, 10-Nov-2008)

Ref Expression
Assertion modge0 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ ( 𝐴 mod 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fldivle ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐴 / 𝐵 ) )
2 refldivcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
3 simpl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ∈ ℝ )
4 rpregt0 ⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ+ → ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) )
5 4 adantl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) )
6 lemuldiv2 ⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ≤ 𝐴 ↔ ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) )
7 2 3 5 6 syl3anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ≤ 𝐴 ↔ ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) )
8 1 7 mpbird ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ≤ 𝐴 )
9 rpre ⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ )
10 9 adantl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℝ )
11 10 2 remulcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ )
12 subge0 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) ↔ ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ≤ 𝐴 ) )
13 11 12 syldan ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 0 ≤ ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) ↔ ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ≤ 𝐴 ) )
14 8 13 mpbird ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) )
15 modval ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 mod 𝐵 ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) )
16 14 15 breqtrrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ ( 𝐴 mod 𝐵 ) )