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Theorem modcyc

Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by NM, 10-Nov-2008)

Ref Expression
Assertion modcyc ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) mod 𝐵 ) = ( 𝐴 mod 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 zre ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ )
2 rpre ⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ )
3 remulcl ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝑁 · 𝐵 ) ∈ ℝ )
4 1 2 3 syl2an ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑁 · 𝐵 ) ∈ ℝ )
5 readdcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 · 𝐵 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
6 4 5 sylan2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
7 6 3impb ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
8 simp3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℝ+ )
9 modval ⊢ ( ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) mod 𝐵 ) = ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ) ) ) )
10 7 8 9 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) mod 𝐵 ) = ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ) ) ) )
11 recn ⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ )
12 11 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ∈ ℂ )
13 4 recnd ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑁 · 𝐵 ) ∈ ℂ )
14 13 3adant1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑁 · 𝐵 ) ∈ ℂ )
15 rpcnne0 ⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ+ → ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) )
16 15 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) )
17 divdir ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑁 · 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) / 𝐵 ) = ( ( 𝐴 / 𝐵 ) + ( ( 𝑁 · 𝐵 ) / 𝐵 ) ) )
18 12 14 16 17 syl3anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) / 𝐵 ) = ( ( 𝐴 / 𝐵 ) + ( ( 𝑁 · 𝐵 ) / 𝐵 ) ) )
19 zcn ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ )
20 divcan4 ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝑁 · 𝐵 ) / 𝐵 ) = 𝑁 )
21 20 3expb ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑁 · 𝐵 ) / 𝐵 ) = 𝑁 )
22 19 15 21 syl2an ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑁 · 𝐵 ) / 𝐵 ) = 𝑁 )
23 22 3adant1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑁 · 𝐵 ) / 𝐵 ) = 𝑁 )
24 23 oveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) + ( ( 𝑁 · 𝐵 ) / 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 / 𝐵 ) + 𝑁 ) )
25 18 24 eqtrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) / 𝐵 ) = ( ( 𝐴 / 𝐵 ) + 𝑁 ) )
26 25 fveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 / 𝐵 ) + 𝑁 ) ) )
27 rerpdivcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 / 𝐵 ) ∈ ℝ )
28 27 3adant2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 / 𝐵 ) ∈ ℝ )
29 simp2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 𝑁 ∈ ℤ )
30 fladdz ⊢ ( ( ( 𝐴 / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 / 𝐵 ) + 𝑁 ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) + 𝑁 ) )
31 28 29 30 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 / 𝐵 ) + 𝑁 ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) + 𝑁 ) )
32 26 31 eqtrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) + 𝑁 ) )
33 32 oveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ) ) = ( 𝐵 · ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) + 𝑁 ) ) )
34 rpcn ⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ )
35 34 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℂ )
36 reflcl ⊢ ( ( 𝐴 / 𝐵 ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
37 36 recnd ⊢ ( ( 𝐴 / 𝐵 ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ∈ ℂ )
38 27 37 syl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ∈ ℂ )
39 38 3adant2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ∈ ℂ )
40 19 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 𝑁 ∈ ℂ )
41 35 39 40 adddid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 · ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) + 𝑁 ) ) = ( ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) + ( 𝐵 · 𝑁 ) ) )
42 mulcom ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝑁 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝑁 ) )
43 19 34 42 syl2an ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑁 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝑁 ) )
44 43 3adant1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑁 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝑁 ) )
45 44 eqcomd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 · 𝑁 ) = ( 𝑁 · 𝐵 ) )
46 45 oveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) + ( 𝐵 · 𝑁 ) ) = ( ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) )
47 33 41 46 3eqtrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ) ) = ( ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) )
48 47 oveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) − ( ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) ) )
49 34 adantl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℂ )
50 49 38 mulcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ )
51 50 3adant2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ )
52 12 51 14 pnpcan2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) − ( ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) )
53 10 48 52 3eqtrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) mod 𝐵 ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) )
54 modval ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 mod 𝐵 ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) )
55 54 3adant2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 mod 𝐵 ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) )
56 53 55 eqtr4d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) mod 𝐵 ) = ( 𝐴 mod 𝐵 ) )
57 56 3com23 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + ( 𝑁 · 𝐵 ) ) mod 𝐵 ) = ( 𝐴 mod 𝐵 ) )