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Theorem fourierdlem103

Description: The half lower part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the left limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem103.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
fourierdlem103.xre ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
fourierdlem103.p ⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
fourierdlem103.m ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
fourierdlem103.v ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
fourierdlem103.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉 )
fourierdlem103.fcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
fourierdlem103.fbdioo ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
fourierdlem103.fdvcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) )
fourierdlem103.fdvbd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
fourierdlem103.r ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
fourierdlem103.l ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
fourierdlem103.h ⊢ 𝐻 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) )
fourierdlem103.k ⊢ 𝐾 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem103.u ⊢ 𝑈 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) )
fourierdlem103.s ⊢ 𝑆 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
fourierdlem103.g ⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) )
fourierdlem103.z ⊢ 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
fourierdlem103.e ⊢ 𝐸 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
fourierdlem103.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
fourierdlem103.w ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
fourierdlem103.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
fourierdlem103.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
fourierdlem103.d ⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
fourierdlem103.o ⊢ 𝑂 = ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) )
fourierdlem103.t ⊢ 𝑇 = ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) )
fourierdlem103.n ⊢ 𝑁 = ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 )
fourierdlem103.j ⊢ 𝐽 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) )
fourierdlem103.q ⊢ 𝑄 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
fourierdlem103.1 ⊢ 𝐶 = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) )
fourierdlem103.ch ⊢ ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
Assertion fourierdlem103 ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( 𝑊 / 2 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem103.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
2 fourierdlem103.xre ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
3 fourierdlem103.p ⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
4 fourierdlem103.m ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
5 fourierdlem103.v ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
6 fourierdlem103.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉 )
7 fourierdlem103.fcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
8 fourierdlem103.fbdioo ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
9 fourierdlem103.fdvcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) )
10 fourierdlem103.fdvbd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
11 fourierdlem103.r ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
12 fourierdlem103.l ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
13 fourierdlem103.h ⊢ 𝐻 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) )
14 fourierdlem103.k ⊢ 𝐾 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
15 fourierdlem103.u ⊢ 𝑈 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) )
16 fourierdlem103.s ⊢ 𝑆 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
17 fourierdlem103.g ⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) )
18 fourierdlem103.z ⊢ 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
19 fourierdlem103.e ⊢ 𝐸 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
20 fourierdlem103.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
21 fourierdlem103.w ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
22 fourierdlem103.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
23 fourierdlem103.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
24 fourierdlem103.d ⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
25 fourierdlem103.o ⊢ 𝑂 = ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) )
26 fourierdlem103.t ⊢ 𝑇 = ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) )
27 fourierdlem103.n ⊢ 𝑁 = ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 )
28 fourierdlem103.j ⊢ 𝐽 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) )
29 fourierdlem103.q ⊢ 𝑄 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
30 fourierdlem103.1 ⊢ 𝐶 = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) )
31 fourierdlem103.ch ⊢ ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
32 eqid ⊢ ( ℤ≥ ‘ 1 ) = ( ℤ≥ ‘ 1 )
33 1zzd ⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
34 nfv ⊢ Ⅎ 𝑛 𝜑
35 nfmpt1 ⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
36 nfmpt1 ⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π )
37 nfmpt1 ⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
38 19 37 nfcxfr ⊢ Ⅎ 𝑛 𝐸
39 nnuz ⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
40 pire ⊢ π ∈ ℝ
41 40 renegcli ⊢ - π ∈ ℝ
42 41 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ∈ ℝ )
43 elioore ⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑑 ∈ ℝ )
44 43 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
45 ioossre ⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ
46 45 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ )
47 1 46 fssresd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) : ( 𝑋 (,) +∞ ) ⟶ ℝ )
48 ioosscn ⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ
49 48 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ )
50 eqid ⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
51 pnfxr ⊢ +∞ ∈ ℝ*
52 51 a1i ⊢ ( 𝜑 → +∞ ∈ ℝ* )
53 2 ltpnfd ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 < +∞ )
54 50 52 2 53 lptioo1cn ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( limPt ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) )
55 47 49 54 20 limcrecl ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ )
56 ioossre ⊢ ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ
57 56 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ )
58 1 57 fssresd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) : ( -∞ (,) 𝑋 ) ⟶ ℝ )
59 ioosscn ⊢ ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ
60 59 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ )
61 mnfxr ⊢ -∞ ∈ ℝ*
62 61 a1i ⊢ ( 𝜑 → -∞ ∈ ℝ* )
63 2 mnfltd ⊢ ( 𝜑 → -∞ < 𝑋 )
64 50 62 2 63 lptioo2cn ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( limPt ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) )
65 58 60 64 21 limcrecl ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ )
66 1 2 55 65 13 14 15 fourierdlem55 ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
67 ax-resscn ⊢ ℝ ⊆ ℂ
68 67 a1i ⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ )
69 66 68 fssd ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ )
70 69 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ )
71 41 a1i ⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ∈ ℝ )
72 40 a1i ⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → π ∈ ℝ )
73 71 leidd ⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ≤ - π )
74 0red ⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 ∈ ℝ )
75 41 rexri ⊢ - π ∈ ℝ*
76 0xr ⊢ 0 ∈ ℝ*
77 iooltub ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 < 0 )
78 75 76 77 mp3an12 ⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑑 < 0 )
79 pipos ⊢ 0 < π
80 79 a1i ⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 < π )
81 43 74 72 78 80 lttrd ⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑑 < π )
82 43 72 81 ltled ⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑑 ≤ π )
83 iccss ⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ∧ ( - π ≤ - π ∧ 𝑑 ≤ π ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
84 71 72 73 82 83 syl22anc ⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
85 84 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
86 70 85 fssresd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ )
87 25 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑂 = ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) )
88 87 feq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑂 : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ ↔ ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ ) )
89 86 88 mpbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑂 : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ )
90 41 elexi ⊢ - π ∈ V
91 90 prid1 ⊢ - π ∈ { - π , 𝑑 }
92 elun1 ⊢ ( - π ∈ { - π , 𝑑 } → - π ∈ ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) )
93 91 92 ax-mp ⊢ - π ∈ ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) )
94 93 26 eleqtrri ⊢ - π ∈ 𝑇
95 94 ne0ii ⊢ 𝑇 ≠ ∅
96 95 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ ∅ )
97 prfi ⊢ { - π , 𝑑 } ∈ Fin
98 97 a1i ⊢ ( 𝜑 → { - π , 𝑑 } ∈ Fin )
99 fzfi ⊢ ( 0 ... 𝑀 ) ∈ Fin
100 29 rnmptfi ⊢ ( ( 0 ... 𝑀 ) ∈ Fin → ran 𝑄 ∈ Fin )
101 99 100 ax-mp ⊢ ran 𝑄 ∈ Fin
102 101 a1i ⊢ ( 𝜑 → ran 𝑄 ∈ Fin )
103 infi ⊢ ( ran 𝑄 ∈ Fin → ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ∈ Fin )
104 102 103 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ∈ Fin )
105 unfi ⊢ ( ( { - π , 𝑑 } ∈ Fin ∧ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ∈ Fin ) → ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) ∈ Fin )
106 98 104 105 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) ∈ Fin )
107 26 106 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ Fin )
108 hashnncl ⊢ ( 𝑇 ∈ Fin → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅ ) )
109 107 108 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅ ) )
110 96 109 mpbird ⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ )
111 nnm1nn0 ⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
112 110 111 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
113 27 112 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
114 113 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 )
115 0red ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 0 ∈ ℝ )
116 1red ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 1 ∈ ℝ )
117 114 nn0red ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
118 0lt1 ⊢ 0 < 1
119 118 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 0 < 1 )
120 2re ⊢ 2 ∈ ℝ
121 120 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 2 ∈ ℝ )
122 110 nnred ⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℝ )
123 122 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℝ )
124 ioogtlb ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π < 𝑑 )
125 75 76 124 mp3an12 ⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π < 𝑑 )
126 71 125 ltned ⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ≠ 𝑑 )
127 126 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ≠ 𝑑 )
128 hashprg ⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ) → ( - π ≠ 𝑑 ↔ ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) = 2 ) )
129 42 44 128 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π ≠ 𝑑 ↔ ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) = 2 ) )
130 127 129 mpbid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) = 2 )
131 130 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 2 = ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) )
132 107 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑇 ∈ Fin )
133 ssun1 ⊢ { - π , 𝑑 } ⊆ ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) )
134 133 26 sseqtrri ⊢ { - π , 𝑑 } ⊆ 𝑇
135 hashssle ⊢ ( ( 𝑇 ∈ Fin ∧ { - π , 𝑑 } ⊆ 𝑇 ) → ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) )
136 132 134 135 sylancl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) )
137 131 136 eqbrtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) )
138 121 123 116 137 lesub1dd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 2 − 1 ) ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) )
139 1e2m1 ⊢ 1 = ( 2 − 1 )
140 138 139 27 3brtr4g ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 1 ≤ 𝑁 )
141 115 116 117 119 140 ltletrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 0 < 𝑁 )
142 141 gt0ne0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑁 ≠ 0 )
143 114 142 jca ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ) )
144 elnnne0 ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ ↔ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ) )
145 143 144 sylibr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
146 73 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ≤ - π )
147 71 43 125 ltled ⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ≤ 𝑑 )
148 147 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ≤ 𝑑 )
149 42 44 42 146 148 eliccd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
150 44 leidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 ≤ 𝑑 )
151 42 44 44 148 150 eliccd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
152 149 151 jca ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) )
153 vex ⊢ 𝑑 ∈ V
154 90 153 prss ⊢ ( ( - π ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ↔ { - π , 𝑑 } ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) )
155 152 154 sylib ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → { - π , 𝑑 } ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) )
156 inss2 ⊢ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ⊆ ( - π (,) 𝑑 )
157 156 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ⊆ ( - π (,) 𝑑 ) )
158 ioossicc ⊢ ( - π (,) 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 )
159 157 158 sstrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) )
160 155 159 unssd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) )
161 26 160 eqsstrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑇 ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) )
162 94 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ∈ 𝑇 )
163 153 prid2 ⊢ 𝑑 ∈ { - π , 𝑑 }
164 elun1 ⊢ ( 𝑑 ∈ { - π , 𝑑 } → 𝑑 ∈ ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) )
165 163 164 ax-mp ⊢ 𝑑 ∈ ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) )
166 165 26 eleqtrri ⊢ 𝑑 ∈ 𝑇
167 166 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 ∈ 𝑇 )
168 132 27 28 42 44 161 162 167 fourierdlem52 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( - π [,] 𝑑 ) ∧ ( 𝐽 ‘ 0 ) = - π ) ∧ ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) = 𝑑 ) )
169 168 simpld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( - π [,] 𝑑 ) ∧ ( 𝐽 ‘ 0 ) = - π ) )
170 169 simpld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( - π [,] 𝑑 ) )
171 169 simprd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐽 ‘ 0 ) = - π )
172 168 simprd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) = 𝑑 )
173 elfzoelz ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
174 173 zred ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
175 174 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
176 175 ltp1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) )
177 71 43 jca ⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( - π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ) )
178 90 153 prss ⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ) ↔ { - π , 𝑑 } ⊆ ℝ )
179 177 178 sylib ⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → { - π , 𝑑 } ⊆ ℝ )
180 179 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → { - π , 𝑑 } ⊆ ℝ )
181 ioossre ⊢ ( - π (,) 𝑑 ) ⊆ ℝ
182 156 181 sstri ⊢ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ⊆ ℝ
183 182 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ⊆ ℝ )
184 180 183 unssd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) ⊆ ℝ )
185 26 184 eqsstrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑇 ⊆ ℝ )
186 132 185 28 27 fourierdlem36 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) )
187 186 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) )
188 elfzofz ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
189 188 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
190 fzofzp1 ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
191 190 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
192 isorel ⊢ ( ( 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
193 187 189 191 192 syl12anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
194 176 193 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
195 66 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
196 195 85 feqresmpt ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) )
197 85 sselda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
198 1 2 55 65 13 fourierdlem9 ⊢ ( 𝜑 → 𝐻 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
199 198 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝐻 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
200 199 197 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
201 14 fourierdlem43 ⊢ 𝐾 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ
202 201 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝐾 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
203 202 197 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
204 200 203 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
205 15 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) )
206 197 204 205 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) )
207 41 a1i ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ∈ ℝ )
208 43 adantr ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
209 simpr ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
210 eliccre ⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
211 207 208 209 210 syl3anc ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
212 0red ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 0 ∈ ℝ )
213 75 a1i ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ∈ ℝ* )
214 208 rexrd ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ* )
215 iccleub ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ≤ 𝑑 )
216 213 214 209 215 syl3anc ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ≤ 𝑑 )
217 78 adantr ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑑 < 0 )
218 211 208 212 216 217 lelttrd ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 < 0 )
219 211 218 ltned ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ≠ 0 )
220 219 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ≠ 0 )
221 220 neneqd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ¬ 𝑠 = 0 )
222 221 iffalsed ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) )
223 211 212 218 ltnsymd ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ¬ 0 < 𝑠 )
224 223 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ¬ 0 < 𝑠 )
225 224 iffalsed ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) = 𝑊 )
226 225 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) )
227 226 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) )
228 222 227 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) )
229 1 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
230 2 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
231 iccssre ⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) → ( - π [,] π ) ⊆ ℝ )
232 41 40 231 mp2an ⊢ ( - π [,] π ) ⊆ ℝ
233 232 197 sselid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
234 230 233 readdcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
235 229 234 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
236 65 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑊 ∈ ℝ )
237 235 236 resubcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) ∈ ℝ )
238 237 233 220 redivcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) ∈ ℝ )
239 228 238 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
240 13 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) )
241 197 239 240 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) )
242 241 222 227 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) )
243 40 a1i ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → π ∈ ℝ )
244 243 renegcld ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ∈ ℝ )
245 iccgelb ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ≤ 𝑠 )
246 213 214 209 245 syl3anc ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ≤ 𝑠 )
247 81 adantr ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑑 < π )
248 211 208 243 216 247 lelttrd ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 < π )
249 211 243 248 ltled ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ≤ π )
250 244 243 211 246 249 eliccd ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
251 219 neneqd ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ¬ 𝑠 = 0 )
252 251 iffalsed ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
253 120 a1i ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 2 ∈ ℝ )
254 211 rehalfcld ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℝ )
255 254 resincld ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℝ )
256 253 255 remulcld ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℝ )
257 2cn ⊢ 2 ∈ ℂ
258 257 a1i ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 2 ∈ ℂ )
259 211 recnd ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ℂ )
260 259 halfcld ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ )
261 260 sincld ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ )
262 2ne0 ⊢ 2 ≠ 0
263 262 a1i ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 2 ≠ 0 )
264 fourierdlem44 ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ 𝑠 ≠ 0 ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 )
265 250 219 264 syl2anc ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 )
266 258 261 263 265 mulne0d ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 )
267 211 256 266 redivcld ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ ℝ )
268 252 267 eqeltrd ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ )
269 14 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
270 250 268 269 syl2anc ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
271 270 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
272 242 271 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
273 221 iffalsed ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
274 273 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
275 206 272 274 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
276 275 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
277 87 196 276 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
278 277 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
279 278 reseq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
280 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
281 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
282 4 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ )
283 5 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
284 7 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
285 11 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
286 12 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
287 125 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π < 𝑑 )
288 75 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ∈ ℝ* )
289 76 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 0 ∈ ℝ* )
290 78 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 < 0 )
291 288 44 289 290 gtnelicc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ¬ 0 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
292 65 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑊 ∈ ℝ )
293 eqid ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
294 eqid ⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
295 eqid ⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) )
296 fveq2 ⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
297 oveq1 ⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑙 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
298 297 fveq2d ⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
299 296 298 oveq12d ⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
300 299 sseq2d ⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
301 300 cbvriotavw ⊢ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
302 280 281 3 282 283 284 285 286 42 44 287 85 291 292 293 29 26 27 28 294 295 301 fourierdlem86 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∧ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) )
303 302 simprd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
304 279 303 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
305 302 simpld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∧ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) )
306 305 simpld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
307 278 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = 𝑂 )
308 307 reseq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
309 308 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
310 306 309 eleqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
311 305 simprd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
312 308 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
313 311 312 eleqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
314 eqid ⊢ ( ℝ D 𝑂 ) = ( ℝ D 𝑂 )
315 89 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑂 : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ )
316 41 a1i ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → - π ∈ ℝ )
317 44 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
318 elioore ⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
319 318 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
320 85 232 sstrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ℝ )
321 320 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ℝ )
322 170 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( - π [,] 𝑑 ) )
323 322 189 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
324 321 323 sseldd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
325 324 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
326 75 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ∈ ℝ* )
327 44 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
328 327 rexrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ* )
329 iccgelb ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
330 326 328 323 329 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
331 330 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → - π ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
332 325 rexrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* )
333 322 191 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
334 321 333 sseldd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ )
335 334 rexrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
336 335 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
337 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
338 ioogtlb ⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑠 )
339 332 336 337 338 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑠 )
340 316 325 319 331 339 lelttrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → - π < 𝑠 )
341 316 319 340 ltled ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → - π ≤ 𝑠 )
342 334 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ )
343 iooltub ⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
344 332 336 337 343 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
345 iccleub ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ 𝑑 )
346 326 328 333 345 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ 𝑑 )
347 346 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ 𝑑 )
348 319 342 317 344 347 ltletrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < 𝑑 )
349 319 317 348 ltled ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ≤ 𝑑 )
350 316 317 319 341 349 eliccd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
351 350 ralrimiva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
352 dfss3 ⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) ↔ ∀ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
353 351 352 sylibr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) )
354 315 353 feqresmpt ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) )
355 simplll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝜑 )
356 simpllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) )
357 25 fveq1i ⊢ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 )
358 357 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 ) )
359 fvres ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) → ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) )
360 359 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) )
361 271 273 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
362 242 361 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
363 237 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) ∈ ℂ )
364 259 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ℂ )
365 257 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 2 ∈ ℂ )
366 364 halfcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ )
367 366 sincld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ )
368 365 367 mulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
369 266 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 )
370 363 364 368 220 369 dmdcan2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
371 206 362 370 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
372 358 360 371 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
373 355 356 350 372 syl21anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
374 355 356 350 370 syl21anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
375 374 eqcomd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
376 eqidd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) = ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) )
377 oveq2 ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑋 + 𝑡 ) = ( 𝑋 + 𝑠 ) )
378 377 fveq2d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
379 378 oveq1d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) )
380 id ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → 𝑡 = 𝑠 )
381 379 380 oveq12d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) )
382 381 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑡 = 𝑠 ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) )
383 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
384 ovex ⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) ∈ V
385 384 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) ∈ V )
386 376 382 383 385 fvmptd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) )
387 eqidd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) )
388 oveq1 ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 / 2 ) = ( 𝑠 / 2 ) )
389 388 fveq2d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) )
390 389 oveq2d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) = ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
391 380 390 oveq12d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
392 391 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑡 = 𝑠 ) → ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
393 ovex ⊢ ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ V
394 393 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ V )
395 387 392 383 394 fvmptd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
396 386 395 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
397 396 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
398 397 adantllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
399 373 375 398 3eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
400 399 mpteq2dva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) )
401 354 400 eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
402 401 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
403 67 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ℝ ⊆ ℂ )
404 353 321 sstrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
405 tgioo4 ⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
406 50 405 dvres ⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑂 : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ ) ∧ ( ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
407 403 315 321 404 406 syl22anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
408 ioontr ⊢ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
409 408 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
410 409 reseq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
411 402 407 410 3eqtrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) )
412 1 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
413 2 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
414 4 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ )
415 5 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
416 9 ad4ant14 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) )
417 85 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
418 353 417 sstrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
419 324 rexrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* )
420 76 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 ∈ ℝ* )
421 0red ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 ∈ ℝ )
422 78 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 < 0 )
423 334 327 421 346 422 lelttrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) < 0 )
424 419 334 420 423 gtnelicc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ¬ 0 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
425 65 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑊 ∈ ℝ )
426 41 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ∈ ℝ )
427 125 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π < 𝑑 )
428 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) )
429 biid ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑣 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑣 + 1 ) ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑣 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑣 + 1 ) ) ) ) )
430 413 3 414 415 426 327 427 417 29 26 27 28 428 301 429 fourierdlem50 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
431 430 simpld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
432 430 simprd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) )
433 381 cbvmptv ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) )
434 391 cbvmptv ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
435 eqid ⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
436 412 413 3 414 415 416 324 334 194 418 424 425 29 431 432 433 434 435 fourierdlem72 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
437 411 436 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
438 eqid ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
439 eqid ⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
440 30 431 eqeltrid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
441 simpll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝜑 )
442 441 440 jca ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
443 eleq1 ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
444 443 anbi2d ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
445 fveq2 ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) )
446 oveq1 ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝐶 + 1 ) )
447 446 fveq2d ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
448 445 447 oveq12d ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
449 raleq ⊢ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
450 448 449 syl ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
451 450 rexbidv ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
452 444 451 imbi12d ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) )
453 452 8 vtoclg ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
454 440 442 453 sylc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
455 nfv ⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) )
456 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤
457 455 456 nfan ⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
458 simplr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
459 41 a1i ⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℝ )
460 459 2 readdcld ⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
461 40 a1i ⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℝ )
462 461 2 readdcld ⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
463 460 462 iccssred ⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ )
464 ressxr ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
465 463 464 sstrdi ⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ* )
466 465 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ* )
467 3 414 415 fourierdlem15 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) )
468 elfzofz ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝐶 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
469 440 468 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
470 467 469 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) )
471 466 470 sseldd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ* )
472 471 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ* )
473 fzofzp1 ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝐶 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
474 440 473 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
475 467 474 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) )
476 466 475 sseldd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
477 476 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
478 elioore ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
479 478 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
480 40 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → π ∈ ℝ )
481 426 480 413 3 414 415 469 29 fourierdlem13 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ) )
482 481 simprd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) )
483 482 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) )
484 463 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ )
485 484 470 sseldd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ )
486 485 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ )
487 483 486 eqeltrrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ∈ ℝ )
488 413 324 readdcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ )
489 488 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ )
490 481 simpld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) )
491 485 413 resubcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
492 490 491 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ )
493 426 480 413 3 414 415 474 29 fourierdlem13 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) )
494 493 simpld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
495 484 475 sseldd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ )
496 495 413 resubcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
497 494 496 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ )
498 30 eqcomi ⊢ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) = 𝐶
499 498 fveq2i ⊢ ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝐶 )
500 498 oveq1i ⊢ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( 𝐶 + 1 )
501 500 fveq2i ⊢ ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) )
502 499 501 oveq12i ⊢ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
503 432 502 sseqtrdi ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
504 492 497 324 334 194 503 fourierdlem10 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
505 504 simpld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
506 492 324 413 505 leadd2dd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
507 506 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
508 489 rexrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* )
509 413 334 readdcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
510 509 rexrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* )
511 510 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* )
512 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
513 ioogtlb ⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) < 𝑡 )
514 508 511 512 513 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) < 𝑡 )
515 487 489 479 507 514 lelttrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) < 𝑡 )
516 483 515 eqbrtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) < 𝑡 )
517 509 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
518 493 simprd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
519 518 495 eqeltrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
520 519 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
521 iooltub ⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
522 508 511 512 521 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
523 504 simprd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
524 334 497 413 523 leadd2dd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
525 524 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
526 479 517 520 522 525 ltletrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
527 518 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
528 527 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
529 526 528 breqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
530 472 477 479 516 529 eliood ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
531 530 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
532 rspa ⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
533 458 531 532 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
534 533 ex ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
535 457 534 ralrimi ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
536 535 ex ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
537 536 reximdv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
538 454 537 mpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
539 448 raleqdv ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
540 539 rexbidv ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
541 444 540 imbi12d ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) )
542 541 10 vtoclg ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
543 440 442 542 sylc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
544 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧
545 455 544 nfan ⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
546 1 68 fssd ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
547 ssid ⊢ ℝ ⊆ ℝ
548 547 a1i ⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℝ )
549 ioossre ⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ
550 549 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ )
551 50 405 dvres ⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ) ∧ ( ℝ ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) )
552 68 546 548 550 551 syl22anc ⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) )
553 ioontr ⊢ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
554 553 reseq2i ⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
555 554 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
556 552 555 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
557 556 fveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) )
558 fvres ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) )
559 557 558 sylan9eq ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) )
560 559 ad4ant14 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) )
561 560 fveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) )
562 561 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) )
563 simplr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
564 530 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
565 rspa ⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
566 563 564 565 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
567 562 566 eqbrtrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
568 567 ex ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
569 545 568 ralrimi ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
570 569 ex ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
571 570 reximdv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
572 543 571 mpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
573 426 rexrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ∈ ℝ* )
574 573 328 322 428 fourierdlem8 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) )
575 145 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝑁 ∈ ℕ )
576 170 320 fssd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ℝ )
577 576 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ℝ )
578 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
579 171 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π = ( 𝐽 ‘ 0 ) )
580 172 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 = ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) )
581 579 580 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) = ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) )
582 581 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) = ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) )
583 578 582 eleqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) )
584 583 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) )
585 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 )
586 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
587 586 breq1d ⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 ) )
588 587 cbvrabv ⊢ { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 } = { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 }
589 588 supeq1i ⊢ sup ( { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 } , ℝ , < ) = sup ( { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 } , ℝ , < )
590 575 577 584 585 589 fourierdlem25 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑚 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑚 + 1 ) ) ) )
591 554 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
592 546 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
593 547 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ℝ ⊆ ℝ )
594 549 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ )
595 403 592 593 594 551 syl22anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) )
596 530 ralrimiva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
597 dfss3 ⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
598 596 597 sylibr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
599 598 resabs1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
600 591 595 599 3eqtr4rd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) )
601 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
602 id ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
603 448 reseq2d ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) )
604 603 448 feq12d ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ↔ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) )
605 444 604 imbi12d ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) ) )
606 cncff ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
607 9 606 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
608 605 607 vtoclg ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) )
609 601 602 608 sylc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
610 442 609 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
611 610 598 fssresd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⟶ ℝ )
612 600 611 feq1dd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⟶ ℝ )
613 379 390 oveq12d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
614 613 cbvmptv ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
615 biid ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) )
616 fveq2 ⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) )
617 616 fveq2d ⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) )
618 617 breq1d ⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
619 618 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
620 615 619 anbi12i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ) ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
621 fveq2 ⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) = ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) )
622 621 fveq2d ⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) )
623 622 breq1d ⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
624 623 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
625 620 624 anbi12i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
626 280 281 42 44 85 291 292 438 439 538 572 170 194 574 590 612 614 625 fourierdlem80 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 )
627 370 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
628 277 627 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
629 628 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ℝ D 𝑂 ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
630 629 dmeqd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → dom ( ℝ D 𝑂 ) = dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
631 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑠 dom ( ℝ D 𝑂 )
632 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑠 ℝ
633 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑠 D
634 nfmpt1 ⊢ Ⅎ 𝑠 ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
635 632 633 634 nfov ⊢ Ⅎ 𝑠 ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
636 635 nfdm ⊢ Ⅎ 𝑠 dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
637 631 636 raleqf ⊢ ( dom ( ℝ D 𝑂 ) = dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
638 630 637 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
639 629 fveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
640 639 fveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
641 640 breq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
642 641 ralbidv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
643 638 642 bitrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
644 643 rexbidv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
645 626 644 mpbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 )
646 eqid ⊢ ( 𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( 𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
647 eqeq1 ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ↔ 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
648 fveq2 ⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( 𝑄 ‘ ℎ ) = ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) )
649 oveq1 ⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ℎ + 1 ) = ( 𝑙 + 1 ) )
650 649 fveq2d ⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) )
651 648 650 oveq12d ⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) )
652 651 sseq2d ⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) )
653 652 cbvriotavw ⊢ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) )
654 653 fveq2i ⊢ ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) )
655 654 eqeq2i ⊢ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) )
656 655 a1i ⊢ ( ⊤ → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) ) )
657 csbeq1 ⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 )
658 653 657 ax-mp ⊢ ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅
659 658 a1i ⊢ ( ⊤ → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 )
660 656 659 ifbieq1d ⊢ ( ⊤ → if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
661 660 mptru ⊢ if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) )
662 661 oveq1i ⊢ ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) = ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 )
663 662 oveq1i ⊢ ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
664 663 oveq1i ⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) )
665 664 a1i ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) )
666 eqeq1 ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ↔ 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
667 653 oveq1i ⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 )
668 667 fveq2i ⊢ ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) )
669 668 eqeq2i ⊢ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) )
670 669 a1i ⊢ ( ⊤ → ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) )
671 csbeq1 ⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 )
672 653 671 ax-mp ⊢ ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿
673 672 a1i ⊢ ( ⊤ → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 )
674 670 673 ifbieq1d ⊢ ( ⊤ → if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
675 674 mptru ⊢ if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
676 675 oveq1i ⊢ ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) = ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 )
677 676 oveq1i ⊢ ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
678 677 oveq1i ⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
679 678 a1i ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) )
680 fveq2 ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) = ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) )
681 666 679 680 ifbieq12d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) = if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) )
682 647 665 681 ifbieq12d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) ) = if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) ) )
683 682 cbvmptv ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) ) )
684 42 44 89 145 170 171 172 194 304 310 313 314 437 645 646 683 fourierdlem73 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
685 breq2 ⊢ ( 𝑒 = 𝑎 → ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) )
686 685 rexralbidv ⊢ ( 𝑒 = 𝑎 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) )
687 686 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 )
688 684 687 sylib ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 )
689 688 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 )
690 rphalfcl ⊢ ( 𝑒 ∈ ℝ+ → ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ )
691 690 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ )
692 breq2 ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 / 2 ) → ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ↔ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
693 692 rexralbidv ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 / 2 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
694 693 rspccva ⊢ ( ( ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ∧ ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
695 689 691 694 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
696 357 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 ) )
697 158 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π (,) 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) )
698 697 sselda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
699 698 359 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) )
700 696 699 eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) )
701 700 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) )
702 701 itgeq2dv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
703 702 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
704 703 fveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
705 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
706 704 705 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
707 706 ex ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
708 707 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
709 708 ralimdv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
710 709 reximdv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
711 695 710 mpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
712 711 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
713 nfv ⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) )
714 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑘 ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 )
715 713 714 nfan ⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
716 nfv ⊢ Ⅎ 𝑘 𝑗 ∈ ℕ
717 715 716 nfan ⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ )
718 nfv ⊢ Ⅎ 𝑘 ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 )
719 717 718 nfan ⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
720 simpll ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) )
721 eluznn ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
722 721 adantll ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
723 720 722 jca ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) )
724 723 adantllr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) )
725 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
726 721 adantll ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
727 rspa ⊢ ( ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
728 725 726 727 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
729 724 728 jca ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
730 729 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
731 nnre ⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ )
732 731 rexrd ⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ* )
733 732 adantr ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ* )
734 51 a1i ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
735 eluzelre ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
736 1re ⊢ 1 ∈ ℝ
737 736 rehalfcli ⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ
738 737 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
739 735 738 readdcld ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
740 739 adantl ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
741 731 adantr ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
742 735 adantl ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
743 eluzle ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → 𝑗 ≤ 𝑘 )
744 743 adantl ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ≤ 𝑘 )
745 halfgt0 ⊢ 0 < ( 1 / 2 )
746 745 a1i ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 0 < ( 1 / 2 ) )
747 737 a1i ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
748 747 742 ltaddposd ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 0 < ( 1 / 2 ) ↔ 𝑘 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ) )
749 746 748 mpbid ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
750 741 742 740 744 749 lelttrd ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
751 740 ltpnfd ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) < +∞ )
752 733 734 740 750 751 eliood ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) )
753 752 adantlr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) )
754 simplr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
755 oveq1 ⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( 𝑙 · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
756 755 fveq2d ⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
757 756 oveq2d ⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
758 757 adantr ⊢ ( ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
759 758 itgeq2dv ⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
760 759 fveq2d ⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
761 760 breq1d ⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
762 761 rspcv ⊢ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
763 753 754 762 sylc ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
764 763 adantlll ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
765 730 764 jca ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
766 765 31 sylibr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝜒 )
767 41 a1i ⊢ ( 𝜒 → - π ∈ ℝ )
768 0red ⊢ ( 𝜒 → 0 ∈ ℝ )
769 ioossicc ⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] 0 )
770 31 biimpi ⊢ ( 𝜒 → ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
771 simp-4r ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) )
772 770 771 syl ⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) )
773 769 772 sselid ⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ( - π [,] 0 ) )
774 simp-5l ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝜑 )
775 770 774 syl ⊢ ( 𝜒 → 𝜑 )
776 66 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
777 40 rexri ⊢ π ∈ ℝ*
778 0re ⊢ 0 ∈ ℝ
779 778 40 79 ltleii ⊢ 0 ≤ π
780 iooss2 ⊢ ( ( π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π ) → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) π ) )
781 777 779 780 mp2an ⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) π )
782 ioossicc ⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ( - π [,] π )
783 781 782 sstri ⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π )
784 783 sseli ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
785 784 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
786 776 785 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
787 775 786 sylan ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
788 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
789 770 788 syl ⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℕ )
790 789 nnred ⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ )
791 737 a1i ⊢ ( 𝜒 → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
792 790 791 readdcld ⊢ ( 𝜒 → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
793 792 adantr ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
794 elioore ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ∈ ℝ )
795 794 adantl ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
796 793 795 remulcld ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ )
797 796 resincld ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
798 787 797 remulcld ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
799 798 recnd ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℂ )
800 75 a1i ⊢ ( 𝜒 → - π ∈ ℝ* )
801 76 a1i ⊢ ( 𝜒 → 0 ∈ ℝ* )
802 767 leidd ⊢ ( 𝜒 → - π ≤ - π )
803 ioossre ⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ℝ
804 803 772 sselid ⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ℝ )
805 800 801 772 77 syl3anc ⊢ ( 𝜒 → 𝑑 < 0 )
806 804 768 805 ltled ⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ≤ 0 )
807 ioossioo ⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ) ∧ ( - π ≤ - π ∧ 𝑑 ≤ 0 ) ) → ( - π (,) 𝑑 ) ⊆ ( - π (,) 0 ) )
808 800 801 802 806 807 syl22anc ⊢ ( 𝜒 → ( - π (,) 𝑑 ) ⊆ ( - π (,) 0 ) )
809 ioombl ⊢ ( - π (,) 𝑑 ) ∈ dom vol
810 809 a1i ⊢ ( 𝜒 → ( - π (,) 𝑑 ) ∈ dom vol )
811 eleq1 ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ ) )
812 811 anbi2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ) )
813 simpl ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑛 = 𝑘 )
814 813 oveq1d ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
815 814 oveq1d ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
816 815 fveq2d ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
817 816 oveq2d ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
818 817 mpteq2dva ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) )
819 818 eleq1d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ↔ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) )
820 812 819 imbi12d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) ) )
821 783 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
822 ioombl ⊢ ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol
823 822 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol )
824 66 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
825 824 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
826 nnre ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ )
827 readdcl ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
828 826 737 827 sylancl ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
829 828 adantr ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
830 simpr ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
831 232 830 sselid ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
832 829 831 remulcld ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ )
833 832 resincld ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
834 833 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
835 825 834 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
836 17 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) )
837 16 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
838 830 833 837 syl2anc ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
839 838 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
840 839 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
841 840 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) )
842 836 841 eqtr2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) = 𝐺 )
843 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
844 6 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ran 𝑉 )
845 20 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑌 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
846 21 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑊 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
847 826 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℝ )
848 4 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑀 ∈ ℕ )
849 5 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
850 7 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
851 11 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
852 12 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
853 eqid ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
854 eqid ⊢ ( ℝ D 𝐹 ) = ( ℝ D 𝐹 )
855 607 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
856 22 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐴 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
857 23 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐵 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
858 3 843 844 845 846 13 14 15 847 16 17 848 849 850 851 852 29 853 854 855 856 857 fourierdlem88 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 ∈ 𝐿1 )
859 842 858 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
860 821 823 835 859 iblss ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
861 820 860 chvarvv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
862 775 789 861 syl2anc ⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
863 808 810 798 862 iblss ⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
864 772 125 syl ⊢ ( 𝜒 → - π < 𝑑 )
865 767 804 864 ltled ⊢ ( 𝜒 → - π ≤ 𝑑 )
866 768 leidd ⊢ ( 𝜒 → 0 ≤ 0 )
867 ioossioo ⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ) ∧ ( - π ≤ 𝑑 ∧ 0 ≤ 0 ) ) → ( 𝑑 (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) 0 ) )
868 800 801 865 866 867 syl22anc ⊢ ( 𝜒 → ( 𝑑 (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) 0 ) )
869 ioombl ⊢ ( 𝑑 (,) 0 ) ∈ dom vol
870 869 a1i ⊢ ( 𝜒 → ( 𝑑 (,) 0 ) ∈ dom vol )
871 868 870 798 862 iblss ⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
872 767 768 773 799 863 871 itgsplitioo ⊢ ( 𝜒 → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ( ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
873 808 sselda ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) )
874 873 798 syldan ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
875 874 863 itgcl ⊢ ( 𝜒 → ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
876 868 sselda ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) )
877 876 798 syldan ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
878 877 871 itgcl ⊢ ( 𝜒 → ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
879 875 878 addcomd ⊢ ( 𝜒 → ( ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
880 872 879 eqtrd ⊢ ( 𝜒 → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
881 880 fveq2d ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) )
882 878 875 addcld ⊢ ( 𝜒 → ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℂ )
883 882 abscld ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
884 878 abscld ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℝ )
885 875 abscld ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℝ )
886 884 885 readdcld ⊢ ( 𝜒 → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
887 simp-5r ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑒 ∈ ℝ+ )
888 770 887 syl ⊢ ( 𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ+ )
889 888 rpred ⊢ ( 𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ )
890 878 875 abstrid ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ≤ ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) )
891 simplr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
892 770 891 syl ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
893 770 simprd ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
894 884 885 889 892 893 lt2halvesd ⊢ ( 𝜒 → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) < 𝑒 )
895 883 886 889 890 894 lelttrd ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) < 𝑒 )
896 881 895 eqbrtrd ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
897 766 896 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
898 897 ex ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) )
899 719 898 ralrimi ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
900 899 ex ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) )
901 900 reximdva ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) )
902 712 901 mpd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
903 negpilt0 ⊢ - π < 0
904 41 778 40 lttri ⊢ ( ( - π < 0 ∧ 0 < π ) → - π < π )
905 903 79 904 mp2an ⊢ - π < π
906 41 40 905 ltleii ⊢ - π ≤ π
907 906 a1i ⊢ ( 𝜑 → - π ≤ π )
908 3 fourierdlem2 ⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
909 4 908 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
910 5 909 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
911 910 simpld ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) )
912 elmapi ⊢ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
913 911 912 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
914 913 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
915 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
916 914 915 resubcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
917 916 29 fmptd ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
918 29 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
919 fveq2 ⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑉 ‘ 0 ) )
920 919 oveq1d ⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) )
921 920 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) )
922 4 nnnn0d ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 )
923 nn0uz ⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 )
924 922 923 eleqtrdi ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
925 eluzfz1 ⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
926 924 925 syl ⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
927 913 926 ffvelcdmd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ‘ 0 ) ∈ ℝ )
928 927 2 resubcld ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
929 918 921 926 928 fvmptd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) )
930 910 simprd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
931 930 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) )
932 931 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) )
933 932 oveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) = ( ( - π + 𝑋 ) − 𝑋 ) )
934 459 recnd ⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℂ )
935 2 recnd ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ )
936 934 935 pncand ⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) − 𝑋 ) = - π )
937 929 933 936 3eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π )
938 459 461 2 3 853 4 5 29 fourierdlem14 ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) )
939 853 fourierdlem2 ⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
940 4 939 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
941 938 940 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
942 941 simprd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
943 942 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) )
944 943 simprd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π )
945 942 simprd ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
946 945 r19.21bi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
947 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
948 853 4 938 fourierdlem15 ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) )
949 948 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) )
950 elfzofz ⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
951 950 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
952 949 951 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( - π [,] π ) )
953 fzofzp1 ⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
954 953 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
955 949 954 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( - π [,] π ) )
956 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
957 ffn ⊢ ( 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ → 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
958 911 912 957 3syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
959 fvelrnb ⊢ ( 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) )
960 958 959 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) )
961 6 960 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 )
962 oveq1 ⊢ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( 𝑋 − 𝑋 ) )
963 962 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( 𝑋 − 𝑋 ) )
964 935 subidd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑋 ) = 0 )
965 964 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → ( 𝑋 − 𝑋 ) = 0 )
966 963 965 eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
967 966 ex ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
968 967 reximdva ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
969 961 968 mpd ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
970 29 elrnmpt ⊢ ( 0 ∈ ℝ → ( 0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
971 778 970 ax-mp ⊢ ( 0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
972 969 971 sylibr ⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ran 𝑄 )
973 853 4 938 972 fourierdlem12 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ¬ 0 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
974 913 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
975 974 951 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
976 975 956 resubcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
977 29 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
978 951 976 977 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
979 978 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) = ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) )
980 975 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
981 935 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℂ )
982 980 981 npcand ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) )
983 979 982 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) )
984 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) )
985 984 oveq1d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
986 985 cbvmptv ⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
987 29 986 eqtr4i ⊢ 𝑄 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) )
988 987 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) )
989 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
990 989 oveq1d ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
991 990 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
992 974 954 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
993 992 956 resubcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
994 988 991 954 993 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
995 994 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) = ( ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) )
996 992 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
997 996 981 npcand ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
998 995 997 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
999 983 998 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
1000 999 reseq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
1001 999 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) –cn→ ℂ ) = ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
1002 7 1000 1001 3eltr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) ) ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) –cn→ ℂ ) )
1003 55 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑌 ∈ ℝ )
1004 65 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑊 ∈ ℝ )
1005 947 952 955 956 973 1002 1003 1004 13 fourierdlem40 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
1006 id ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
1007 67 a1i ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ℝ ⊆ ℂ )
1008 1006 1007 fssd ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
1009 9 606 1008 3syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
1010 eqid ⊢ if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) = if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
1011 2 3 1 6 20 65 13 4 5 11 29 853 854 1009 23 1010 fourierdlem75 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
1012 eqid ⊢ if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
1013 2 3 1 6 55 21 13 4 5 12 29 853 854 607 22 1012 fourierdlem74 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
1014 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
1015 oveq1 ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
1016 1015 fveq2d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
1017 1014 1016 oveq12d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
1018 1017 cbvmptv ⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
1019 459 461 907 198 4 917 937 944 946 1005 1011 1013 1018 fourierdlem70 ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑥 )
1020 eqid ⊢ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) = ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 )
1021 fveq2 ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
1022 1021 fveq2d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) )
1023 1022 breq1d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) )
1024 1023 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 )
1025 1024 ralbii ⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 )
1026 1025 3anbi3i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) )
1027 1026 anbi1i ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) )
1028 1027 anbi1i ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) )
1029 1028 anbi1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) )
1030 1 2 55 65 13 14 15 16 17 1019 858 1020 1029 fourierdlem87 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1031 iftrue ⊢ ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = 𝑐 )
1032 1031 negeqd ⊢ ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = - 𝑐 )
1033 1032 adantl ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = - 𝑐 )
1034 75 a1i ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π ∈ ℝ* )
1035 76 a1i ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 ∈ ℝ* )
1036 rpre ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 𝑐 ∈ ℝ )
1037 1036 renegcld ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - 𝑐 ∈ ℝ )
1038 1037 adantr ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - 𝑐 ∈ ℝ )
1039 1036 adantr ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ∈ ℝ )
1040 40 rehalfcli ⊢ ( π / 2 ) ∈ ℝ
1041 1040 a1i ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( π / 2 ) ∈ ℝ )
1042 40 a1i ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → π ∈ ℝ )
1043 simpr ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ≤ ( π / 2 ) )
1044 halfpos ⊢ ( π ∈ ℝ → ( 0 < π ↔ ( π / 2 ) < π ) )
1045 40 1044 ax-mp ⊢ ( 0 < π ↔ ( π / 2 ) < π )
1046 79 1045 mpbi ⊢ ( π / 2 ) < π
1047 1046 a1i ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( π / 2 ) < π )
1048 1039 1041 1042 1043 1047 lelttrd ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 < π )
1049 1039 1042 ltnegd ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( 𝑐 < π ↔ - π < - 𝑐 ) )
1050 1048 1049 mpbid ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π < - 𝑐 )
1051 rpgt0 ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑐 )
1052 1036 lt0neg2d ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 < 𝑐 ↔ - 𝑐 < 0 ) )
1053 1051 1052 mpbid ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - 𝑐 < 0 )
1054 1053 adantr ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - 𝑐 < 0 )
1055 1034 1035 1038 1050 1054 eliood ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - 𝑐 ∈ ( - π (,) 0 ) )
1056 1033 1055 eqeltrd ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) )
1057 iffalse ⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = ( π / 2 ) )
1058 1057 negeqd ⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = - ( π / 2 ) )
1059 1040 renegcli ⊢ - ( π / 2 ) ∈ ℝ
1060 1059 rexri ⊢ - ( π / 2 ) ∈ ℝ*
1061 75 76 1060 3pm3.2i ⊢ ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ - ( π / 2 ) ∈ ℝ* )
1062 1040 40 ltnegi ⊢ ( ( π / 2 ) < π ↔ - π < - ( π / 2 ) )
1063 1046 1062 mpbi ⊢ - π < - ( π / 2 )
1064 2pos ⊢ 0 < 2
1065 40 120 79 1064 divgt0ii ⊢ 0 < ( π / 2 )
1066 lt0neg2 ⊢ ( ( π / 2 ) ∈ ℝ → ( 0 < ( π / 2 ) ↔ - ( π / 2 ) < 0 ) )
1067 1040 1066 ax-mp ⊢ ( 0 < ( π / 2 ) ↔ - ( π / 2 ) < 0 )
1068 1065 1067 mpbi ⊢ - ( π / 2 ) < 0
1069 1063 1068 pm3.2i ⊢ ( - π < - ( π / 2 ) ∧ - ( π / 2 ) < 0 )
1070 elioo3g ⊢ ( - ( π / 2 ) ∈ ( - π (,) 0 ) ↔ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ - ( π / 2 ) ∈ ℝ* ) ∧ ( - π < - ( π / 2 ) ∧ - ( π / 2 ) < 0 ) ) )
1071 1061 1069 1070 mpbir2an ⊢ - ( π / 2 ) ∈ ( - π (,) 0 )
1072 1071 a1i ⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - ( π / 2 ) ∈ ( - π (,) 0 ) )
1073 1058 1072 eqeltrd ⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) )
1074 1073 adantl ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) )
1075 1056 1074 pm2.61dan ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) )
1076 1075 3ad2ant2 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) )
1077 ioombl ⊢ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ∈ dom vol
1078 1077 a1i ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ∈ dom vol )
1079 simpr ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1080 1078 1079 jca ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ∈ dom vol ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) )
1081 ioossicc ⊢ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) [,] 0 )
1082 1081 a1i ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) [,] 0 ) )
1083 41 a1i ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - π ∈ ℝ )
1084 40 a1i ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → π ∈ ℝ )
1085 1039 1042 1048 ltled ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ≤ π )
1086 1039 1042 lenegd ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( 𝑐 ≤ π ↔ - π ≤ - 𝑐 ) )
1087 1085 1086 mpbid ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π ≤ - 𝑐 )
1088 1032 eqcomd ⊢ ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - 𝑐 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1089 1088 adantl ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - 𝑐 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1090 1087 1089 breqtrd ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π ≤ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1091 41 1059 1063 ltleii ⊢ - π ≤ - ( π / 2 )
1092 1091 a1i ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π ≤ - ( π / 2 ) )
1093 1058 eqcomd ⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - ( π / 2 ) = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1094 1093 adantl ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - ( π / 2 ) = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1095 1092 1094 breqtrd ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π ≤ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1096 1090 1095 pm2.61dan ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - π ≤ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1097 779 a1i ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ π )
1098 iccss ⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ∧ ( - π ≤ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∧ 0 ≤ π ) ) → ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) [,] 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
1099 1083 1084 1096 1097 1098 syl22anc ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) [,] 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
1100 1082 1099 sstrd ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
1101 803 1075 sselid ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℝ )
1102 0red ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ )
1103 rpge0 ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑐 )
1104 1103 adantr ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 ≤ 𝑐 )
1105 1043 iftrued ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = 𝑐 )
1106 1104 1105 breqtrrd ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1107 778 1040 1065 ltleii ⊢ 0 ≤ ( π / 2 )
1108 simpr ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) )
1109 1108 iffalsed ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = ( π / 2 ) )
1110 1107 1109 breqtrrid ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1111 1106 1110 pm2.61dan ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1112 1040 a1i ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( π / 2 ) ∈ ℝ )
1113 1036 1112 ifcld ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℝ )
1114 1113 le0neg2d ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ↔ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 0 ) )
1115 1111 1114 mpbid ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 0 )
1116 volioo ⊢ ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 0 ) → ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) = ( 0 − - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) )
1117 1101 1102 1115 1116 syl3anc ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) = ( 0 − - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) )
1118 0cn ⊢ 0 ∈ ℂ
1119 1118 a1i ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℂ )
1120 1113 recnd ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℂ )
1121 1119 1120 subnegd ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 − - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) = ( 0 + if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) )
1122 1120 addlidd ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 + if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1123 1117 1121 1122 3eqtrd ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1124 min1 ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ∧ ( π / 2 ) ∈ ℝ ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 𝑐 )
1125 1036 1040 1124 sylancl ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 𝑐 )
1126 1123 1125 eqbrtrd ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 )
1127 1100 1126 jca ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) )
1128 1127 adantr ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) )
1129 sseq1 ⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ↔ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ) )
1130 fveq2 ⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( vol ‘ 𝑢 ) = ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) )
1131 1130 breq1d ⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ↔ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) )
1132 1129 1131 anbi12d ⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) ↔ ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) ) )
1133 itgeq1 ⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1134 1133 fveq2d ⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
1135 1134 breq1d ⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1136 1135 ralbidv ⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1137 1132 1136 imbi12d ⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ↔ ( ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) )
1138 1137 rspcva ⊢ ( ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ∈ dom vol ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1139 1080 1128 1138 sylc ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1140 1139 3adant1 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1141 oveq1 ⊢ ( 𝑑 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( 𝑑 (,) 0 ) = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) )
1142 1141 itgeq1d ⊢ ( 𝑑 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1143 1142 fveq2d ⊢ ( 𝑑 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
1144 1143 breq1d ⊢ ( 𝑑 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1145 1144 ralbidv ⊢ ( 𝑑 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1146 1145 rspcev ⊢ ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1147 1076 1140 1146 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1148 1147 rexlimdv3a ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1149 1030 1148 mpd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1150 902 1149 r19.29a ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
1151 1150 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
1152 nnex ⊢ ℕ ∈ V
1153 1152 mptex ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ∈ V
1154 1153 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ∈ V )
1155 eqidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) )
1156 784 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
1157 786 ad4ant14 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1158 784 adantl ⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
1159 simpr ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 = 𝑘 )
1160 simpl ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑘 ∈ ℕ )
1161 1159 1160 eqeltrd ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℕ )
1162 1161 nnred ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℝ )
1163 737 a1i ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
1164 1162 1163 readdcld ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
1165 1164 adantr ⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
1166 232 1158 sselid ⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1167 1165 1166 remulcld ⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ )
1168 1167 resincld ⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1169 1158 1168 837 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1170 1169 adantlll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1171 1162 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℝ )
1172 1171 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑛 ∈ ℝ )
1173 1red ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 1 ∈ ℝ )
1174 1173 rehalfcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
1175 1172 1174 readdcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
1176 232 1156 sselid ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1177 1175 1176 remulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ )
1178 1177 resincld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1179 1170 1178 eqeltrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1180 1157 1179 remulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1181 17 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) )
1182 1156 1180 1181 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) )
1183 oveq1 ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
1184 1183 oveq1d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
1185 1184 fveq2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1186 1185 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1187 1170 1186 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1188 1187 oveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
1189 1182 1188 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
1190 1189 itgeq2dv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1191 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℕ )
1192 817 itgeq2dv ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1193 1192 eleq1d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ↔ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) )
1194 812 1193 imbi12d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) ) )
1195 786 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1196 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℕ )
1197 1196 784 833 syl2an ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1198 1195 1197 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
1199 1198 860 itgcl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
1200 1194 1199 chvarvv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
1201 1155 1190 1191 1200 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑘 ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1202 39 33 1154 1201 1200 clim0c ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ⇝ 0 ↔ ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) )
1203 1151 1202 mpbird ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ⇝ 0 )
1204 1152 mptex ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) ∈ V
1205 19 1204 eqeltri ⊢ 𝐸 ∈ V
1206 1205 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ V )
1207 1152 mptex ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ∈ V
1208 1207 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ∈ V )
1209 picn ⊢ π ∈ ℂ
1210 1209 a1i ⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℂ )
1211 eqidd ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) )
1212 eqidd ⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑚 ) → π = π )
1213 id ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ )
1214 40 a1i ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → π ∈ ℝ )
1215 1211 1212 1213 1214 fvmptd ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑚 ) = π )
1216 1215 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑚 ) = π )
1217 39 33 1208 1210 1216 climconst ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ⇝ π )
1218 778 79 gtneii ⊢ π ≠ 0
1219 1218 a1i ⊢ ( 𝜑 → π ≠ 0 )
1220 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1221 55 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑌 ∈ ℝ )
1222 65 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑊 ∈ ℝ )
1223 843 1220 1221 1222 13 14 15 847 16 17 fourierdlem67 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
1224 1223 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐺 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
1225 821 sselda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
1226 1224 1225 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1227 1223 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1228 1223 feqmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) )
1229 1228 858 eqeltrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 )
1230 821 823 1227 1229 iblss ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 )
1231 1226 1230 itgcl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ∈ ℂ )
1232 eqid ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
1233 1232 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
1234 1196 1231 1233 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
1235 1234 1231 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
1236 id ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ )
1237 eqid ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π )
1238 1237 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ π ∈ ℝ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) = π )
1239 1236 40 1238 sylancl ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) = π )
1240 1209 a1i ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ )
1241 1218 a1i ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0 )
1242 1240 1241 jca ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0 ) )
1243 eldifsn ⊢ ( π ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0 ) )
1244 1242 1243 sylibr ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
1245 1239 1244 eqeltrd ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
1246 1245 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
1247 1209 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ℂ )
1248 1218 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ≠ 0 )
1249 1231 1247 1248 divcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ∈ ℂ )
1250 19 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ∈ ℂ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
1251 1196 1249 1250 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
1252 1234 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) )
1253 1239 eqcomd ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) )
1254 1253 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) )
1255 1252 1254 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) = ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) / ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ) )
1256 1251 1255 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) / ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ) )
1257 34 35 36 38 39 33 1203 1206 1217 1219 1235 1246 1256 climdivf ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ⇝ ( 0 / π ) )
1258 1209 1218 div0i ⊢ ( 0 / π ) = 0
1259 1258 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 0 / π ) = 0 )
1260 1257 1259 breqtrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ⇝ 0 )
1261 1152 mptex ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ∈ V
1262 18 1261 eqeltri ⊢ 𝑍 ∈ V
1263 1262 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ V )
1264 1152 mptex ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ∈ V
1265 1264 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ∈ V )
1266 limccl ⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ⊆ ℂ
1267 1266 21 sselid ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ℂ )
1268 1267 halfcld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 / 2 ) ∈ ℂ )
1269 eqidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) )
1270 eqidd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) ∧ 𝑚 = 𝑛 ) → ( 𝑊 / 2 ) = ( 𝑊 / 2 ) )
1271 39 eqcomi ⊢ ( ℤ≥ ‘ 1 ) = ℕ
1272 1271 eleq2i ⊢ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 𝑛 ∈ ℕ )
1273 1272 biimpi ⊢ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → 𝑛 ∈ ℕ )
1274 1273 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ )
1275 1268 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑊 / 2 ) ∈ ℂ )
1276 1269 1270 1274 1275 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑊 / 2 ) )
1277 32 33 1265 1268 1276 climconst ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ⇝ ( 𝑊 / 2 ) )
1278 1249 19 fmptd ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 : ℕ ⟶ ℂ )
1279 1278 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → 𝐸 : ℕ ⟶ ℂ )
1280 1279 1274 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
1281 1276 1275 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
1282 1276 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑊 / 2 ) ) )
1283 822 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol )
1284 75 a1i ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ∈ ℝ* )
1285 0red ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 ∈ ℝ )
1286 1285 rexrd ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 ∈ ℝ* )
1287 id ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) )
1288 iooltub ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 < 0 )
1289 1284 1286 1287 1288 syl3anc ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 < 0 )
1290 794 1289 ltned ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ≠ 0 )
1291 1290 neneqd ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → ¬ 𝑠 = 0 )
1292 velsn ⊢ ( 𝑠 ∈ { 0 } ↔ 𝑠 = 0 )
1293 1291 1292 sylnibr ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → ¬ 𝑠 ∈ { 0 } )
1294 784 1293 eldifd ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ∈ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } ) )
1295 1294 ssriv ⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } )
1296 1295 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } ) )
1297 794 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1298 0red ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 0 ∈ ℝ )
1299 794 1285 1289 ltled ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ≤ 0 )
1300 1299 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ≤ 0 )
1301 1297 1298 1300 lensymd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ¬ 0 < 𝑠 )
1302 1301 iffalsed ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) = 𝑊 )
1303 eqid ⊢ ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑛 )
1304 41 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ∈ ℝ )
1305 0red ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ∈ ℝ )
1306 41 778 903 ltleii ⊢ - π ≤ 0
1307 1306 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ≤ 0 )
1308 eqid ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) )
1309 24 1196 1303 1304 1305 1307 1308 dirkeritg ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) − ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) ) )
1310 ubicc2 ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ - π ≤ 0 ) → 0 ∈ ( - π [,] 0 ) )
1311 75 76 1306 1310 mp3an ⊢ 0 ∈ ( - π [,] 0 )
1312 oveq1 ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑠 / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
1313 257 262 div0i ⊢ ( 0 / 2 ) = 0
1314 1313 a1i ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 0 / 2 ) = 0 )
1315 1312 1314 eqtrd ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑠 / 2 ) = 0 )
1316 oveq2 ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑘 · 𝑠 ) = ( 𝑘 · 0 ) )
1317 elfzelz ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
1318 1317 zcnd ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℂ )
1319 1318 mul01d ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 𝑘 · 0 ) = 0 )
1320 1316 1319 sylan9eq ⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( 𝑘 · 𝑠 ) = 0 )
1321 1320 fveq2d ⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ 0 ) )
1322 sin0 ⊢ ( sin ‘ 0 ) = 0
1323 1322 a1i ⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( sin ‘ 0 ) = 0 )
1324 1321 1323 eqtrd ⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = 0 )
1325 1324 oveq1d ⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = ( 0 / 𝑘 ) )
1326 0red ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 ∈ ℝ )
1327 1red ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 1 ∈ ℝ )
1328 1317 zred ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
1329 118 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 < 1 )
1330 elfzle1 ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 1 ≤ 𝑘 )
1331 1326 1327 1328 1329 1330 ltletrd ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 < 𝑘 )
1332 1331 gt0ne0d ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ≠ 0 )
1333 1318 1332 div0d ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 0 / 𝑘 ) = 0 )
1334 1333 adantl ⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( 0 / 𝑘 ) = 0 )
1335 1325 1334 eqtrd ⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 )
1336 1335 sumeq2dv ⊢ ( 𝑠 = 0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 )
1337 fzfi ⊢ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin
1338 1337 olci ⊢ ( ( 1 ... 𝑛 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ ∥ ) ∨ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin )
1339 sumz ⊢ ( ( ( 1 ... 𝑛 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ ∥ ) ∨ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 = 0 )
1340 1338 1339 ax-mp ⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 = 0
1341 1340 a1i ⊢ ( 𝑠 = 0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 = 0 )
1342 1336 1341 eqtrd ⊢ ( 𝑠 = 0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 )
1343 1315 1342 oveq12d ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = ( 0 + 0 ) )
1344 00id ⊢ ( 0 + 0 ) = 0
1345 1344 a1i ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 0 + 0 ) = 0 )
1346 1343 1345 eqtrd ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = 0 )
1347 1346 oveq1d ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = ( 0 / π ) )
1348 1258 a1i ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 0 / π ) = 0 )
1349 1347 1348 eqtrd ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = 0 )
1350 778 elexi ⊢ 0 ∈ V
1351 1349 1308 1350 fvmpt ⊢ ( 0 ∈ ( - π [,] 0 ) → ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) = 0 )
1352 1311 1351 ax-mp ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) = 0
1353 lbicc2 ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ - π ≤ 0 ) → - π ∈ ( - π [,] 0 ) )
1354 75 76 1306 1353 mp3an ⊢ - π ∈ ( - π [,] 0 )
1355 oveq1 ⊢ ( 𝑠 = - π → ( 𝑠 / 2 ) = ( - π / 2 ) )
1356 oveq2 ⊢ ( 𝑠 = - π → ( 𝑘 · 𝑠 ) = ( 𝑘 · - π ) )
1357 1356 fveq2d ⊢ ( 𝑠 = - π → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) )
1358 1357 oveq1d ⊢ ( 𝑠 = - π → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) )
1359 1358 sumeq2sdv ⊢ ( 𝑠 = - π → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) )
1360 1355 1359 oveq12d ⊢ ( 𝑠 = - π → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) )
1361 1360 oveq1d ⊢ ( 𝑠 = - π → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = ( ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) / π ) )
1362 ovex ⊢ ( ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ∈ V
1363 1361 1308 1362 fvmpt ⊢ ( - π ∈ ( - π [,] 0 ) → ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) = ( ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) / π ) )
1364 1354 1363 ax-mp ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) = ( ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) / π )
1365 mulneg12 ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ) → ( - 𝑘 · π ) = ( 𝑘 · - π ) )
1366 1318 1209 1365 sylancl ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( - 𝑘 · π ) = ( 𝑘 · - π ) )
1367 1366 eqcomd ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 𝑘 · - π ) = ( - 𝑘 · π ) )
1368 1367 oveq1d ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( 𝑘 · - π ) / π ) = ( ( - 𝑘 · π ) / π ) )
1369 1318 negcld ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → - 𝑘 ∈ ℂ )
1370 1209 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → π ∈ ℂ )
1371 1218 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → π ≠ 0 )
1372 1369 1370 1371 divcan4d ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( - 𝑘 · π ) / π ) = - 𝑘 )
1373 1368 1372 eqtrd ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( 𝑘 · - π ) / π ) = - 𝑘 )
1374 1317 znegcld ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
1375 1373 1374 eqeltrd ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( 𝑘 · - π ) / π ) ∈ ℤ )
1376 negpicn ⊢ - π ∈ ℂ
1377 1376 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → - π ∈ ℂ )
1378 1318 1377 mulcld ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 𝑘 · - π ) ∈ ℂ )
1379 sineq0 ⊢ ( ( 𝑘 · - π ) ∈ ℂ → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) = 0 ↔ ( ( 𝑘 · - π ) / π ) ∈ ℤ ) )
1380 1378 1379 syl ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) = 0 ↔ ( ( 𝑘 · - π ) / π ) ∈ ℤ ) )
1381 1375 1380 mpbird ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) = 0 )
1382 1381 oveq1d ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) = ( 0 / 𝑘 ) )
1383 1382 1333 eqtrd ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) = 0 )
1384 1383 sumeq2i ⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0
1385 1384 1340 eqtri ⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) = 0
1386 1385 oveq2i ⊢ ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) = ( ( - π / 2 ) + 0 )
1387 1386 oveq1i ⊢ ( ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = ( ( ( - π / 2 ) + 0 ) / π )
1388 1376 257 262 divcli ⊢ ( - π / 2 ) ∈ ℂ
1389 1388 addridi ⊢ ( ( - π / 2 ) + 0 ) = ( - π / 2 )
1390 divneg ⊢ ( ( π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) → - ( π / 2 ) = ( - π / 2 ) )
1391 1209 257 262 1390 mp3an ⊢ - ( π / 2 ) = ( - π / 2 )
1392 1389 1391 eqtr4i ⊢ ( ( - π / 2 ) + 0 ) = - ( π / 2 )
1393 1392 oveq1i ⊢ ( ( ( - π / 2 ) + 0 ) / π ) = ( - ( π / 2 ) / π )
1394 1040 recni ⊢ ( π / 2 ) ∈ ℂ
1395 divneg ⊢ ( ( ( π / 2 ) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0 ) → - ( ( π / 2 ) / π ) = ( - ( π / 2 ) / π ) )
1396 1394 1209 1218 1395 mp3an ⊢ - ( ( π / 2 ) / π ) = ( - ( π / 2 ) / π )
1397 1396 eqcomi ⊢ ( - ( π / 2 ) / π ) = - ( ( π / 2 ) / π )
1398 1209 257 1209 262 1218 divdiv32i ⊢ ( ( π / 2 ) / π ) = ( ( π / π ) / 2 )
1399 1209 1218 dividi ⊢ ( π / π ) = 1
1400 1399 oveq1i ⊢ ( ( π / π ) / 2 ) = ( 1 / 2 )
1401 1398 1400 eqtri ⊢ ( ( π / 2 ) / π ) = ( 1 / 2 )
1402 1401 negeqi ⊢ - ( ( π / 2 ) / π ) = - ( 1 / 2 )
1403 1393 1397 1402 3eqtri ⊢ ( ( ( - π / 2 ) + 0 ) / π ) = - ( 1 / 2 )
1404 1364 1387 1403 3eqtri ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) = - ( 1 / 2 )
1405 1352 1404 oveq12i ⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) − ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) ) = ( 0 − - ( 1 / 2 ) )
1406 1405 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) − ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) ) = ( 0 − - ( 1 / 2 ) ) )
1407 halfcn ⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ
1408 1118 1407 subnegi ⊢ ( 0 − - ( 1 / 2 ) ) = ( 0 + ( 1 / 2 ) )
1409 1407 addlidi ⊢ ( 0 + ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
1410 1408 1409 eqtri ⊢ ( 0 − - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
1411 1410 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 − - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
1412 1309 1406 1411 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( 1 / 2 ) )
1413 1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 15 16 17 854 607 22 23 20 21 1283 1296 19 24 65 1302 1412 fourierdlem95 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑊 / 2 ) ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1414 1274 1413 syldan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑊 / 2 ) ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1415 18 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
1416 fveq2 ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) )
1417 1416 fveq1d ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
1418 1417 oveq2d ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
1419 1418 adantr ⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
1420 1419 itgeq2dv ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1421 1420 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑚 = 𝑛 ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1422 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
1423 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1424 1423 1297 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
1425 1422 1424 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1426 1425 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1427 24 dirkerf ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
1428 1427 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
1429 794 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1430 1428 1429 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1431 1426 1430 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1432 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
1433 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1434 232 sseli ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1435 1434 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1436 1433 1435 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
1437 1432 1436 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1438 1437 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1439 1427 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
1440 1434 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1441 1439 1440 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1442 1438 1441 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1443 40 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ℝ )
1444 24 dirkercncf ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
1445 1444 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
1446 eqid ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
1447 1304 1443 843 1220 3 848 849 850 851 852 29 853 1445 1446 fourierdlem84 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
1448 821 823 1442 1447 iblss ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
1449 1431 1448 itgrecl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ∈ ℝ )
1450 1415 1421 1196 1449 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1451 1450 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) )
1452 1274 1451 syldan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) )
1453 1282 1414 1452 3eqtrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ) )
1454 32 33 1260 1263 1277 1280 1281 1453 climadd ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( 0 + ( 𝑊 / 2 ) ) )
1455 1268 addlidd ⊢ ( 𝜑 → ( 0 + ( 𝑊 / 2 ) ) = ( 𝑊 / 2 ) )
1456 1454 1455 breqtrd ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( 𝑊 / 2 ) )