fourierdlem103

Description: The half lower part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the left limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem103.f	\|- ( ph -> F : RR --> RR )
	fourierdlem103.xre	\|- ( ph -> X e. RR )
	fourierdlem103.p	\|- P = ( m e. NN \|-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) \| ( ( ( p ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
	fourierdlem103.m	\|- ( ph -> M e. NN )
	fourierdlem103.v	\|- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
	fourierdlem103.x	\|- ( ph -> X e. ran V )
	fourierdlem103.fcn	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
	fourierdlem103.fbdioo	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
	fourierdlem103.fdvcn	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )
	fourierdlem103.fdvbd	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
	fourierdlem103.r	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) )
	fourierdlem103.l	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
	fourierdlem103.h	\|- H = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
	fourierdlem103.k	\|- K = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
	fourierdlem103.u	\|- U = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
	fourierdlem103.s	\|- S = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
	fourierdlem103.g	\|- G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
	fourierdlem103.z	\|- Z = ( m e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s )
	fourierdlem103.e	\|- E = ( n e. NN \|-> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )
	fourierdlem103.y	\|- ( ph -> Y e. ( ( F \|` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
	fourierdlem103.w	\|- ( ph -> W e. ( ( F \|` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
	fourierdlem103.a	\|- ( ph -> A e. ( ( ( RR _D F ) \|` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
	fourierdlem103.b	\|- ( ph -> B e. ( ( ( RR _D F ) \|` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
	fourierdlem103.d	\|- D = ( n e. NN \|-> ( s e. RR \|-> if ( ( s mod ( 2 x. _pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. _pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. _pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
	fourierdlem103.o	\|- O = ( U \|` ( -u _pi [,] d ) )
	fourierdlem103.t	\|- T = ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) )
	fourierdlem103.n	\|- N = ( ( # ` T ) - 1 )
	fourierdlem103.j	\|- J = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
	fourierdlem103.q	\|- Q = ( i e. ( 0 ... M ) \|-> ( ( V ` i ) - X ) )
	fourierdlem103.1	\|- C = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) )
	fourierdlem103.ch	\|- ( ch <-> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
Assertion	fourierdlem103	\|- ( ph -> Z ~~> ( W / 2 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem103.f	\|- ( ph -> F : RR --> RR )
2		fourierdlem103.xre	\|- ( ph -> X e. RR )
3		fourierdlem103.p	\|- P = ( m e. NN \|-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) \| ( ( ( p ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
4		fourierdlem103.m	\|- ( ph -> M e. NN )
5		fourierdlem103.v	\|- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
6		fourierdlem103.x	\|- ( ph -> X e. ran V )
7		fourierdlem103.fcn	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
8		fourierdlem103.fbdioo	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
9		fourierdlem103.fdvcn	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )
10		fourierdlem103.fdvbd	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
11		fourierdlem103.r	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) )
12		fourierdlem103.l	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
13		fourierdlem103.h	\|- H = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
14		fourierdlem103.k	\|- K = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
15		fourierdlem103.u	\|- U = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
16		fourierdlem103.s	\|- S = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
17		fourierdlem103.g	\|- G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
18		fourierdlem103.z	\|- Z = ( m e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s )
19		fourierdlem103.e	\|- E = ( n e. NN \|-> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )
20		fourierdlem103.y	\|- ( ph -> Y e. ( ( F \|` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
21		fourierdlem103.w	\|- ( ph -> W e. ( ( F \|` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
22		fourierdlem103.a	\|- ( ph -> A e. ( ( ( RR _D F ) \|` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
23		fourierdlem103.b	\|- ( ph -> B e. ( ( ( RR _D F ) \|` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
24		fourierdlem103.d	\|- D = ( n e. NN \|-> ( s e. RR \|-> if ( ( s mod ( 2 x. _pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. _pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. _pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
25		fourierdlem103.o	\|- O = ( U \|` ( -u _pi [,] d ) )
26		fourierdlem103.t	\|- T = ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) )
27		fourierdlem103.n	\|- N = ( ( # ` T ) - 1 )
28		fourierdlem103.j	\|- J = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
29		fourierdlem103.q	\|- Q = ( i e. ( 0 ... M ) \|-> ( ( V ` i ) - X ) )
30		fourierdlem103.1	\|- C = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) )
31		fourierdlem103.ch	\|- ( ch <-> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
32		eqid	\|- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 )
33		1zzd	\|- ( ph -> 1 e. ZZ )
34		nfv	\|- F/ n ph
35		nfmpt1	\|- F/_ n ( n e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s )
36		nfmpt1	\|- F/_ n ( n e. NN \|-> _pi )
37		nfmpt1	\|- F/_ n ( n e. NN \|-> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )
38	19 37	nfcxfr	\|- F/_ n E
39		nnuz	\|- NN = ( ZZ>= ` 1 )
40		pire	\|- _pi e. RR
41	40	renegcli	\|- -u _pi e. RR
42	41	a1i	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi e. RR )
43		elioore	\|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> d e. RR )
44	43	adantl	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d e. RR )
45		ioossre	\|- ( X (,) +oo ) C_ RR
46	45	a1i	\|- ( ph -> ( X (,) +oo ) C_ RR )
47	1 46	fssresd	\|- ( ph -> ( F \|` ( X (,) +oo ) ) : ( X (,) +oo ) --> RR )
48		ioosscn	\|- ( X (,) +oo ) C_ CC
49	48	a1i	\|- ( ph -> ( X (,) +oo ) C_ CC )
50		eqid	\|- ( TopOpen ` CCfld ) = ( TopOpen ` CCfld )
51		pnfxr	\|- +oo e. RR*
52	51	a1i	\|- ( ph -> +oo e. RR* )
53	2	ltpnfd	\|- ( ph -> X < +oo )
54	50 52 2 53	lptioo1cn	\|- ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` CCfld ) ) ` ( X (,) +oo ) ) )
55	47 49 54 20	limcrecl	\|- ( ph -> Y e. RR )
56		ioossre	\|- ( -oo (,) X ) C_ RR
57	56	a1i	\|- ( ph -> ( -oo (,) X ) C_ RR )
58	1 57	fssresd	\|- ( ph -> ( F \|` ( -oo (,) X ) ) : ( -oo (,) X ) --> RR )
59		ioosscn	\|- ( -oo (,) X ) C_ CC
60	59	a1i	\|- ( ph -> ( -oo (,) X ) C_ CC )
61		mnfxr	\|- -oo e. RR*
62	61	a1i	\|- ( ph -> -oo e. RR* )
63	2	mnfltd	\|- ( ph -> -oo < X )
64	50 62 2 63	lptioo2cn	\|- ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` CCfld ) ) ` ( -oo (,) X ) ) )
65	58 60 64 21	limcrecl	\|- ( ph -> W e. RR )
66	1 2 55 65 13 14 15	fourierdlem55	\|- ( ph -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
67		ax-resscn	\|- RR C_ CC
68	67	a1i	\|- ( ph -> RR C_ CC )
69	66 68	fssd	\|- ( ph -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> CC )
70	69	adantr	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> CC )
71	41	a1i	\|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi e. RR )
72	40	a1i	\|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> _pi e. RR )
73	71	leidd	\|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi <_ -u _pi )
74		0red	\|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> 0 e. RR )
75	41	rexri	\|- -u _pi e. RR*
76		0xr	\|- 0 e. RR*
77		iooltub	\|- ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d < 0 )
78	75 76 77	mp3an12	\|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> d < 0 )
79		pipos	\|- 0 < _pi
80	79	a1i	\|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> 0 < _pi )
81	43 74 72 78 80	lttrd	\|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> d < _pi )
82	43 72 81	ltled	\|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> d <_ _pi )
83		iccss	\|- ( ( ( -u _pi e. RR /\ _pi e. RR ) /\ ( -u _pi <_ -u _pi /\ d <_ _pi ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
84	71 72 73 82 83	syl22anc	\|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
85	84	adantl	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
86	70 85	fssresd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U \|` ( -u _pi [,] d ) ) : ( -u _pi [,] d ) --> CC )
87	25	a1i	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> O = ( U \|` ( -u _pi [,] d ) ) )
88	87	feq1d	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( O : ( -u _pi [,] d ) --> CC <-> ( U \|` ( -u _pi [,] d ) ) : ( -u _pi [,] d ) --> CC ) )
89	86 88	mpbird	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> O : ( -u _pi [,] d ) --> CC )
90	41	elexi	\|- -u _pi e. _V
91	90	prid1	\|- -u _pi e. { -u _pi , d }
92		elun1	\|- ( -u _pi e. { -u _pi , d } -> -u _pi e. ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) )
93	91 92	ax-mp	\|- -u _pi e. ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) )
94	93 26	eleqtrri	\|- -u _pi e. T
95	94	ne0ii	\|- T =/= (/)
96	95	a1i	\|- ( ph -> T =/= (/) )
97		prfi	\|- { -u _pi , d } e. Fin
98	97	a1i	\|- ( ph -> { -u _pi , d } e. Fin )
99		fzfi	\|- ( 0 ... M ) e. Fin
100	29	rnmptfi	\|- ( ( 0 ... M ) e. Fin -> ran Q e. Fin )
101	99 100	ax-mp	\|- ran Q e. Fin
102	101	a1i	\|- ( ph -> ran Q e. Fin )
103		infi	\|- ( ran Q e. Fin -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) e. Fin )
104	102 103	syl	\|- ( ph -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) e. Fin )
105		unfi	\|- ( ( { -u _pi , d } e. Fin /\ ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) e. Fin ) -> ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) e. Fin )
106	98 104 105	syl2anc	\|- ( ph -> ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) e. Fin )
107	26 106	eqeltrid	\|- ( ph -> T e. Fin )
108		hashnncl	\|- ( T e. Fin -> ( ( # ` T ) e. NN <-> T =/= (/) ) )
109	107 108	syl	\|- ( ph -> ( ( # ` T ) e. NN <-> T =/= (/) ) )
110	96 109	mpbird	\|- ( ph -> ( # ` T ) e. NN )
111		nnm1nn0	\|- ( ( # ` T ) e. NN -> ( ( # ` T ) - 1 ) e. NN0 )
112	110 111	syl	\|- ( ph -> ( ( # ` T ) - 1 ) e. NN0 )
113	27 112	eqeltrid	\|- ( ph -> N e. NN0 )
114	113	adantr	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> N e. NN0 )
115		0red	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 e. RR )
116		1red	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 1 e. RR )
117	114	nn0red	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> N e. RR )
118		0lt1	\|- 0 < 1
119	118	a1i	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 < 1 )
120		2re	\|- 2 e. RR
121	120	a1i	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 2 e. RR )
122	110	nnred	\|- ( ph -> ( # ` T ) e. RR )
123	122	adantr	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( # ` T ) e. RR )
124		ioogtlb	\|- ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi < d )
125	75 76 124	mp3an12	\|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi < d )
126	71 125	ltned	\|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi =/= d )
127	126	adantl	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi =/= d )
128		hashprg	\|- ( ( -u _pi e. RR /\ d e. RR ) -> ( -u _pi =/= d <-> ( # ` { -u _pi , d } ) = 2 ) )
129	42 44 128	syl2anc	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi =/= d <-> ( # ` { -u _pi , d } ) = 2 ) )
130	127 129	mpbid	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( # ` { -u _pi , d } ) = 2 )
131	130	eqcomd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 2 = ( # ` { -u _pi , d } ) )
132	107	adantr	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> T e. Fin )
133		ssun1	\|- { -u _pi , d } C_ ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) )
134	133 26	sseqtrri	\|- { -u _pi , d } C_ T
135		hashssle	\|- ( ( T e. Fin /\ { -u _pi , d } C_ T ) -> ( # ` { -u _pi , d } ) <_ ( # ` T ) )
136	132 134 135	sylancl	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( # ` { -u _pi , d } ) <_ ( # ` T ) )
137	131 136	eqbrtrd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 2 <_ ( # ` T ) )
138	121 123 116 137	lesub1dd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( 2 - 1 ) <_ ( ( # ` T ) - 1 ) )
139		1e2m1	\|- 1 = ( 2 - 1 )
140	138 139 27	3brtr4g	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 1 <_ N )
141	115 116 117 119 140	ltletrd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 < N )
142	141	gt0ne0d	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> N =/= 0 )
143	114 142	jca	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )
144		elnnne0	\|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )
145	143 144	sylibr	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> N e. NN )
146	73	adantl	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi <_ -u _pi )
147	71 43 125	ltled	\|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi <_ d )
148	147	adantl	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi <_ d )
149	42 44 42 146 148	eliccd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi e. ( -u _pi [,] d ) )
150	44	leidd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d <_ d )
151	42 44 44 148 150	eliccd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d e. ( -u _pi [,] d ) )
152	149 151	jca	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi e. ( -u _pi [,] d ) /\ d e. ( -u _pi [,] d ) ) )
153		vex	\|- d e. _V
154	90 153	prss	\|- ( ( -u _pi e. ( -u _pi [,] d ) /\ d e. ( -u _pi [,] d ) ) <-> { -u _pi , d } C_ ( -u _pi [,] d ) )
155	152 154	sylib	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> { -u _pi , d } C_ ( -u _pi [,] d ) )
156		inss2	\|- ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ ( -u _pi (,) d )
157	156	a1i	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ ( -u _pi (,) d ) )
158		ioossicc	\|- ( -u _pi (,) d ) C_ ( -u _pi [,] d )
159	157 158	sstrdi	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) )
160	155 159	unssd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) )
161	26 160	eqsstrid	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> T C_ ( -u _pi [,] d ) )
162	94	a1i	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi e. T )
163	153	prid2	\|- d e. { -u _pi , d }
164		elun1	\|- ( d e. { -u _pi , d } -> d e. ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) )
165	163 164	ax-mp	\|- d e. ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) )
166	165 26	eleqtrri	\|- d e. T
167	166	a1i	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d e. T )
168	132 27 28 42 44 161 162 167	fourierdlem52	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( J : ( 0 ... N ) --> ( -u _pi [,] d ) /\ ( J ` 0 ) = -u _pi ) /\ ( J ` N ) = d ) )
169	168	simpld	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( J : ( 0 ... N ) --> ( -u _pi [,] d ) /\ ( J ` 0 ) = -u _pi ) )
170	169	simpld	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> J : ( 0 ... N ) --> ( -u _pi [,] d ) )
171	169	simprd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( J ` 0 ) = -u _pi )
172	168	simprd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( J ` N ) = d )
173		elfzoelz	\|- ( k e. ( 0 ..^ N ) -> k e. ZZ )
174	173	zred	\|- ( k e. ( 0 ..^ N ) -> k e. RR )
175	174	adantl	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k e. RR )
176	175	ltp1d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k < ( k + 1 ) )
177	71 43	jca	\|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> ( -u _pi e. RR /\ d e. RR ) )
178	90 153	prss	\|- ( ( -u _pi e. RR /\ d e. RR ) <-> { -u _pi , d } C_ RR )
179	177 178	sylib	\|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> { -u _pi , d } C_ RR )
180	179	adantl	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> { -u _pi , d } C_ RR )
181		ioossre	\|- ( -u _pi (,) d ) C_ RR
182	156 181	sstri	\|- ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ RR
183	182	a1i	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ RR )
184	180 183	unssd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) C_ RR )
185	26 184	eqsstrid	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> T C_ RR )
186	132 185 28 27	fourierdlem36	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> J Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
187	186	adantr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> J Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
188		elfzofz	\|- ( k e. ( 0 ..^ N ) -> k e. ( 0 ... N ) )
189	188	adantl	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
190		fzofzp1	\|- ( k e. ( 0 ..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
191	190	adantl	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
192		isorel	\|- ( ( J Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) /\ ( k e. ( 0 ... N ) /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> ( J ` k ) < ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
193	187 189 191 192	syl12anc	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> ( J ` k ) < ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
194	176 193	mpbid	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) < ( J ` ( k + 1 ) ) )
195	66	adantr	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
196	195 85	feqresmpt	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U \|` ( -u _pi [,] d ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( U ` s ) ) )
197	85	sselda	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
198	1 2 55 65 13	fourierdlem9	\|- ( ph -> H : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
199	198	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> H : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
200	199 197	ffvelcdmd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( H ` s ) e. RR )
201	14	fourierdlem43	\|- K : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR
202	201	a1i	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> K : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
203	202 197	ffvelcdmd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( K ` s ) e. RR )
204	200 203	remulcld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR )
205	15	fvmpt2	\|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
206	197 204 205	syl2anc	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
207	41	a1i	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi e. RR )
208	43	adantr	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> d e. RR )
209		simpr	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. ( -u _pi [,] d ) )
210		eliccre	\|- ( ( -u _pi e. RR /\ d e. RR /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. RR )
211	207 208 209 210	syl3anc	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. RR )
212		0red	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 0 e. RR )
213	75	a1i	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi e. RR* )
214	208	rexrd	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> d e. RR* )
215		iccleub	\|- ( ( -u _pi e. RR* /\ d e. RR* /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s <_ d )
216	213 214 209 215	syl3anc	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s <_ d )
217	78	adantr	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> d < 0 )
218	211 208 212 216 217	lelttrd	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s < 0 )
219	211 218	ltned	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s =/= 0 )
220	219	adantll	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s =/= 0 )
221	220	neneqd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -. s = 0 )
222	221	iffalsed	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
223	211 212 218	ltnsymd	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -. 0 < s )
224	223	adantll	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -. 0 < s )
225	224	iffalsed	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )
226	225	oveq2d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) )
227	226	oveq1d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
228	222 227	eqtrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
229	1	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> F : RR --> RR )
230	2	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> X e. RR )
231		iccssre	\|- ( ( -u _pi e. RR /\ _pi e. RR ) -> ( -u _pi [,] _pi ) C_ RR )
232	41 40 231	mp2an	\|- ( -u _pi [,] _pi ) C_ RR
233	232 197	sselid	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. RR )
234	230 233	readdcld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( X + s ) e. RR )
235	229 234	ffvelcdmd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
236	65	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> W e. RR )
237	235 236	resubcld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) e. RR )
238	237 233 220	redivcld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) e. RR )
239	228 238	eqeltrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR )
240	13	fvmpt2	\|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
241	197 239 240	syl2anc	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
242	241 222 227	3eqtrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( H ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
243	40	a1i	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> _pi e. RR )
244	243	renegcld	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi e. RR )
245		iccgelb	\|- ( ( -u _pi e. RR* /\ d e. RR* /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi <_ s )
246	213 214 209 245	syl3anc	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi <_ s )
247	81	adantr	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> d < _pi )
248	211 208 243 216 247	lelttrd	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s < _pi )
249	211 243 248	ltled	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s <_ _pi )
250	244 243 211 246 249	eliccd	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
251	219	neneqd	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -. s = 0 )
252	251	iffalsed	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
253	120	a1i	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 2 e. RR )
254	211	rehalfcld	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
255	254	resincld	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
256	253 255	remulcld	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
257		2cn	\|- 2 e. CC
258	257	a1i	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 2 e. CC )
259	211	recnd	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. CC )
260	259	halfcld	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( s / 2 ) e. CC )
261	260	sincld	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
262		2ne0	\|- 2 =/= 0
263	262	a1i	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 2 =/= 0 )
264		fourierdlem44	\|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
265	250 219 264	syl2anc	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
266	258 261 263 265	mulne0d	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
267	211 256 266	redivcld	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
268	252 267	eqeltrd	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR )
269	14	fvmpt2	\|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
270	250 268 269	syl2anc	\|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
271	270	adantll	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
272	242 271	oveq12d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
273	221	iffalsed	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
274	273	oveq2d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
275	206 272 274	3eqtrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( U ` s ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
276	275	mpteq2dva	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( U ` s ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
277	87 196 276	3eqtrd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> O = ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
278	277	adantr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> O = ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
279	278	reseq1d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( O \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
280	1	adantr	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> F : RR --> RR )
281	2	adantr	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> X e. RR )
282	4	adantr	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> M e. NN )
283	5	adantr	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> V e. ( P ` M ) )
284	7	adantlr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
285	11	adantlr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) )
286	12	adantlr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
287	125	adantl	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi < d )
288	75	a1i	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi e. RR* )
289	76	a1i	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 e. RR* )
290	78	adantl	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d < 0 )
291	288 44 289 290	gtnelicc	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -. 0 e. ( -u _pi [,] d ) )
292	65	adantr	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> W e. RR )
293		eqid	\|- ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
294		eqid	\|- ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
295		eqid	\|- ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) )
296		fveq2	\|- ( l = i -> ( Q ` l ) = ( Q ` i ) )
297		oveq1	\|- ( l = i -> ( l + 1 ) = ( i + 1 ) )
298	297	fveq2d	\|- ( l = i -> ( Q ` ( l + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
299	296 298	oveq12d	\|- ( l = i -> ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
300	299	sseq2d	\|- ( l = i -> ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) <-> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
301	300	cbvriotavw	\|- ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) = ( iota_ i e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
302	280 281 3 282 283 284 285 286 42 44 287 85 291 292 293 29 26 27 28 294 295 301	fourierdlem86	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) ) /\ ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
303	302	simprd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
304	279 303	eqeltrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( O \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
305	302	simpld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) ) )
306	305	simpld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
307	278	eqcomd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = O )
308	307	reseq1d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( O \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
309	308	oveq1d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( O \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
310	306 309	eleqtrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
311	305	simprd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) )
312	308	oveq1d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) = ( ( O \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) )
313	311 312	eleqtrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) )
314		eqid	\|- ( RR _D O ) = ( RR _D O )
315	89	adantr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> O : ( -u _pi [,] d ) --> CC )
316	41	a1i	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -u _pi e. RR )
317	44	ad2antrr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> d e. RR )
318		elioore	\|- ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -> s e. RR )
319	318	adantl	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
320	85 232	sstrdi	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ RR )
321	320	adantr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ RR )
322	170	adantr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> J : ( 0 ... N ) --> ( -u _pi [,] d ) )
323	322 189	ffvelcdmd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) e. ( -u _pi [,] d ) )
324	321 323	sseldd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) e. RR )
325	324	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) e. RR )
326	75	a1i	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi e. RR* )
327	44	adantr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> d e. RR )
328	327	rexrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> d e. RR* )
329		iccgelb	\|- ( ( -u _pi e. RR* /\ d e. RR* /\ ( J ` k ) e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi <_ ( J ` k ) )
330	326 328 323 329	syl3anc	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi <_ ( J ` k ) )
331	330	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -u _pi <_ ( J ` k ) )
332	325	rexrd	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) e. RR* )
333	322 191	ffvelcdmd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. ( -u _pi [,] d ) )
334	321 333	sseldd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR )
335	334	rexrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
336	335	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
337		simpr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
338		ioogtlb	\|- ( ( ( J ` k ) e. RR* /\ ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) < s )
339	332 336 337 338	syl3anc	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) < s )
340	316 325 319 331 339	lelttrd	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -u _pi < s )
341	316 319 340	ltled	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -u _pi <_ s )
342	334	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR )
343		iooltub	\|- ( ( ( J ` k ) e. RR* /\ ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s < ( J ` ( k + 1 ) ) )
344	332 336 337 343	syl3anc	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s < ( J ` ( k + 1 ) ) )
345		iccleub	\|- ( ( -u _pi e. RR* /\ d e. RR* /\ ( J ` ( k + 1 ) ) e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ d )
346	326 328 333 345	syl3anc	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ d )
347	346	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ d )
348	319 342 317 344 347	ltletrd	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s < d )
349	319 317 348	ltled	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s <_ d )
350	316 317 319 341 349	eliccd	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. ( -u _pi [,] d ) )
351	350	ralrimiva	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> A. s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) s e. ( -u _pi [,] d ) )
352		dfss3	\|- ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) <-> A. s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) s e. ( -u _pi [,] d ) )
353	351 352	sylibr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) )
354	315 353	feqresmpt	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( O \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( O ` s ) ) )
355		simplll	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ph )
356		simpllr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> d e. ( -u _pi (,) 0 ) )
357	25	fveq1i	\|- ( O ` s ) = ( ( U \|` ( -u _pi [,] d ) ) ` s )
358	357	a1i	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( O ` s ) = ( ( U \|` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) )
359		fvres	\|- ( s e. ( -u _pi [,] d ) -> ( ( U \|` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) = ( U ` s ) )
360	359	adantl	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( U \|` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) = ( U ` s ) )
361	271 273	eqtrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( K ` s ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
362	242 361	oveq12d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
363	237	recnd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) e. CC )
364	259	adantll	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. CC )
365	257	a1i	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 2 e. CC )
366	364	halfcld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( s / 2 ) e. CC )
367	366	sincld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
368	365 367	mulcld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
369	266	adantll	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
370	363 364 368 220 369	dmdcan2d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
371	206 362 370	3eqtrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( U ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
372	358 360 371	3eqtrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( O ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
373	355 356 350 372	syl21anc	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( O ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
374	355 356 350 370	syl21anc	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
375	374	eqcomd	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
376		eqidd	\|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) = ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) )
377		oveq2	\|- ( t = s -> ( X + t ) = ( X + s ) )
378	377	fveq2d	\|- ( t = s -> ( F ` ( X + t ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
379	378	oveq1d	\|- ( t = s -> ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) )
380		id	\|- ( t = s -> t = s )
381	379 380	oveq12d	\|- ( t = s -> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
382	381	adantl	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) /\ t = s ) -> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
383		simpr	\|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
384		ovex	\|- ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) e. _V
385	384	a1i	\|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) e. _V )
386	376 382 383 385	fvmptd	\|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
387		eqidd	\|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) = ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) )
388		oveq1	\|- ( t = s -> ( t / 2 ) = ( s / 2 ) )
389	388	fveq2d	\|- ( t = s -> ( sin ` ( t / 2 ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
390	389	oveq2d	\|- ( t = s -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
391	380 390	oveq12d	\|- ( t = s -> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
392	391	adantl	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) /\ t = s ) -> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
393		ovex	\|- ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. _V
394	393	a1i	\|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. _V )
395	387 392 383 394	fvmptd	\|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
396	386 395	oveq12d	\|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
397	396	eqcomd	\|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) )
398	397	adantllr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) )
399	373 375 398	3eqtrd	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( O ` s ) = ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) )
400	399	mpteq2dva	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( O ` s ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) )
401	354 400	eqtr2d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) = ( O \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
402	401	oveq2d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) ) = ( RR _D ( O \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
403	67	a1i	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> RR C_ CC )
404	353 321	sstrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ RR )
405		tgioo4	\|- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` CCfld ) \|`t RR )
406	50 405	dvres	\|- ( ( ( RR C_ CC /\ O : ( -u _pi [,] d ) --> CC ) /\ ( ( -u _pi [,] d ) C_ RR /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( O \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D O ) \|` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
407	403 315 321 404 406	syl22anc	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( O \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D O ) \|` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
408		ioontr	\|- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) )
409	408	a1i	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
410	409	reseq2d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D O ) \|` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D O ) \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
411	402 407 410	3eqtrrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D O ) \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( RR _D ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) ) )
412	1	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> F : RR --> RR )
413	2	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> X e. RR )
414	4	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> M e. NN )
415	5	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> V e. ( P ` M ) )
416	9	ad4ant14	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )
417	85	adantr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
418	353 417	sstrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
419	324	rexrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) e. RR* )
420	76	a1i	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> 0 e. RR* )
421		0red	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> 0 e. RR )
422	78	ad2antlr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> d < 0 )
423	334 327 421 346 422	lelttrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) < 0 )
424	419 334 420 423	gtnelicc	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -. 0 e. ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
425	65	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> W e. RR )
426	41	a1i	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi e. RR )
427	125	ad2antlr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi < d )
428		simpr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k e. ( 0 ..^ N ) )
429		biid	\|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ v e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` v ) (,) ( Q ` ( v + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ v e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` v ) (,) ( Q ` ( v + 1 ) ) ) ) )
430	413 3 414 415 426 327 427 417 29 26 27 28 428 301 429	fourierdlem50	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) e. ( 0 ..^ M ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) (,) ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
431	430	simpld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) e. ( 0 ..^ M ) )
432	430	simprd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) (,) ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) )
433	381	cbvmptv	\|- ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
434	391	cbvmptv	\|- ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
435		eqid	\|- ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) )
436	412 413 3 414 415 416 324 334 194 418 424 425 29 431 432 433 434 435	fourierdlem72	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
437	411 436	eqeltrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D O ) \|` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
438		eqid	\|- ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
439		eqid	\|- ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
440	30 431	eqeltrid	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> C e. ( 0 ..^ M ) )
441		simpll	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ph )
442	441 440	jca	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) )
443		eleq1	\|- ( i = C -> ( i e. ( 0 ..^ M ) <-> C e. ( 0 ..^ M ) ) )
444	443	anbi2d	\|- ( i = C -> ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) <-> ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) ) )
445		fveq2	\|- ( i = C -> ( V ` i ) = ( V ` C ) )
446		oveq1	\|- ( i = C -> ( i + 1 ) = ( C + 1 ) )
447	446	fveq2d	\|- ( i = C -> ( V ` ( i + 1 ) ) = ( V ` ( C + 1 ) ) )
448	445 447	oveq12d	\|- ( i = C -> ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
449		raleq	\|- ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) -> ( A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w <-> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
450	448 449	syl	\|- ( i = C -> ( A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w <-> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
451	450	rexbidv	\|- ( i = C -> ( E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w <-> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
452	444 451	imbi12d	\|- ( i = C -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) <-> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) ) )
453	452 8	vtoclg	\|- ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
454	440 442 453	sylc	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
455		nfv	\|- F/ t ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) )
456		nfra1	\|- F/ t A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w
457	455 456	nfan	\|- F/ t ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
458		simplr	\|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
459	41	a1i	\|- ( ph -> -u _pi e. RR )
460	459 2	readdcld	\|- ( ph -> ( -u _pi + X ) e. RR )
461	40	a1i	\|- ( ph -> _pi e. RR )
462	461 2	readdcld	\|- ( ph -> ( _pi + X ) e. RR )
463	460 462	iccssred	\|- ( ph -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR )
464		ressxr	\|- RR C_ RR*
465	463 464	sstrdi	\|- ( ph -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR* )
466	465	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR* )
467	3 414 415	fourierdlem15	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) )
468		elfzofz	\|- ( C e. ( 0 ..^ M ) -> C e. ( 0 ... M ) )
469	440 468	syl	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> C e. ( 0 ... M ) )
470	467 469	ffvelcdmd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) e. ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) )
471	466 470	sseldd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) e. RR* )
472	471	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) e. RR* )
473		fzofzp1	\|- ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( C + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
474	440 473	syl	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( C + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
475	467 474	ffvelcdmd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) )
476	466 475	sseldd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. RR* )
477	476	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. RR* )
478		elioore	\|- ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. RR )
479	478	adantl	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. RR )
480	40	a1i	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> _pi e. RR )
481	426 480 413 3 414 415 469 29	fourierdlem13	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( Q ` C ) = ( ( V ` C ) - X ) /\ ( V ` C ) = ( X + ( Q ` C ) ) ) )
482	481	simprd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) = ( X + ( Q ` C ) ) )
483	482	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) = ( X + ( Q ` C ) ) )
484	463	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR )
485	484 470	sseldd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) e. RR )
486	485	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) e. RR )
487	483 486	eqeltrrd	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) e. RR )
488	413 324	readdcld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) e. RR )
489	488	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) e. RR )
490	481	simpld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` C ) = ( ( V ` C ) - X ) )
491	485 413	resubcld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( V ` C ) - X ) e. RR )
492	490 491	eqeltrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` C ) e. RR )
493	426 480 413 3 414 415 474 29	fourierdlem13	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( Q ` ( C + 1 ) ) = ( ( V ` ( C + 1 ) ) - X ) /\ ( V ` ( C + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) ) )
494	493	simpld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` ( C + 1 ) ) = ( ( V ` ( C + 1 ) ) - X ) )
495	484 475	sseldd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. RR )
496	495 413	resubcld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( V ` ( C + 1 ) ) - X ) e. RR )
497	494 496	eqeltrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` ( C + 1 ) ) e. RR )
498	30	eqcomi	\|- ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) = C
499	498	fveq2i	\|- ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) = ( Q ` C )
500	498	oveq1i	\|- ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( C + 1 )
501	500	fveq2i	\|- ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( Q ` ( C + 1 ) )
502	499 501	oveq12i	\|- ( ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) (,) ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) = ( ( Q ` C ) (,) ( Q ` ( C + 1 ) ) )
503	432 502	sseqtrdi	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` C ) (,) ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
504	492 497 324 334 194 503	fourierdlem10	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( Q ` C ) <_ ( J ` k ) /\ ( J ` ( k + 1 ) ) <_ ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
505	504	simpld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` C ) <_ ( J ` k ) )
506	492 324 413 505	leadd2dd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) <_ ( X + ( J ` k ) ) )
507	506	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) <_ ( X + ( J ` k ) ) )
508	489	rexrd	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) e. RR* )
509	413 334	readdcld	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
510	509	rexrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* )
511	510	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* )
512		simpr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
513		ioogtlb	\|- ( ( ( X + ( J ` k ) ) e. RR* /\ ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) < t )
514	508 511 512 513	syl3anc	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) < t )
515	487 489 479 507 514	lelttrd	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) < t )
516	483 515	eqbrtrd	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) < t )
517	509	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
518	493	simprd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
519	518 495	eqeltrrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) e. RR )
520	519	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) e. RR )
521		iooltub	\|- ( ( ( X + ( J ` k ) ) e. RR* /\ ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
522	508 511 512 521	syl3anc	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
523	504	simprd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ ( Q ` ( C + 1 ) ) )
524	334 497 413 523	leadd2dd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
525	524	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
526	479 517 520 522 525	ltletrd	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
527	518	eqcomd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) = ( V ` ( C + 1 ) ) )
528	527	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) = ( V ` ( C + 1 ) ) )
529	526 528	breqtrd	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( V ` ( C + 1 ) ) )
530	472 477 479 516 529	eliood	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
531	530	adantlr	\|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
532		rspa	\|- ( ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w /\ t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
533	458 531 532	syl2anc	\|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
534	533	ex	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) -> ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
535	457 534	ralrimi	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
536	535	ex	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
537	536	reximdv	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w -> E. w e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
538	454 537	mpd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
539	448	raleqdv	\|- ( i = C -> ( A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z <-> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) )
540	539	rexbidv	\|- ( i = C -> ( E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z <-> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) )
541	444 540	imbi12d	\|- ( i = C -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) <-> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) ) )
542	541 10	vtoclg	\|- ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) )
543	440 442 542	sylc	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
544		nfra1	\|- F/ t A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z
545	455 544	nfan	\|- F/ t ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
546	1 68	fssd	\|- ( ph -> F : RR --> CC )
547		ssid	\|- RR C_ RR
548	547	a1i	\|- ( ph -> RR C_ RR )
549		ioossre	\|- ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR
550	549	a1i	\|- ( ph -> ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR )
551	50 405	dvres	\|- ( ( ( RR C_ CC /\ F : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) \|` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
552	68 546 548 550 551	syl22anc	\|- ( ph -> ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) \|` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
553		ioontr	\|- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
554	553	reseq2i	\|- ( ( RR _D F ) \|` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
555	554	a1i	\|- ( ph -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
556	552 555	eqtrd	\|- ( ph -> ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
557	556	fveq1d	\|- ( ph -> ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( ( RR _D F ) \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ` t ) )
558		fvres	\|- ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
559	557 558	sylan9eq	\|- ( ( ph /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
560	559	ad4ant14	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
561	560	fveq2d	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
562	561	adantlr	\|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
563		simplr	\|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
564	530	adantlr	\|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
565		rspa	\|- ( ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z /\ t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
566	563 564 565	syl2anc	\|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
567	562 566	eqbrtrd	\|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
568	567	ex	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) -> ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
569	545 568	ralrimi	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
570	569	ex	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
571	570	reximdv	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z -> E. z e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
572	543 571	mpd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
573	426	rexrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi e. RR* )
574	573 328 322 428	fourierdlem8	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) )
575	145	ad2antrr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> N e. NN )
576	170 320	fssd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> J : ( 0 ... N ) --> RR )
577	576	ad2antrr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> J : ( 0 ... N ) --> RR )
578		simpr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) -> r e. ( -u _pi [,] d ) )
579	171	eqcomd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi = ( J ` 0 ) )
580	172	eqcomd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d = ( J ` N ) )
581	579 580	oveq12d	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi [,] d ) = ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) )
582	581	adantr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( -u _pi [,] d ) = ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) )
583	578 582	eleqtrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) -> r e. ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) )
584	583	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> r e. ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) )
585		simpr	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> -. r e. ran J )
586		fveq2	\|- ( j = k -> ( J ` j ) = ( J ` k ) )
587	586	breq1d	\|- ( j = k -> ( ( J ` j ) < r <-> ( J ` k ) < r ) )
588	587	cbvrabv	\|- { j e. ( 0 ..^ N ) \| ( J ` j ) < r } = { k e. ( 0 ..^ N ) \| ( J ` k ) < r }
589	588	supeq1i	\|- sup ( { j e. ( 0 ..^ N ) \| ( J ` j ) < r } , RR , < ) = sup ( { k e. ( 0 ..^ N ) \| ( J ` k ) < r } , RR , < )
590	575 577 584 585 589	fourierdlem25	\|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> E. m e. ( 0 ..^ N ) r e. ( ( J ` m ) (,) ( J ` ( m + 1 ) ) ) )
591	554	a1i	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
592	546	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> F : RR --> CC )
593	547	a1i	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> RR C_ RR )
594	549	a1i	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR )
595	403 592 593 594 551	syl22anc	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) \|` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
596	530	ralrimiva	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
597		dfss3	\|- ( ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) <-> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
598	596 597	sylibr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
599	598	resabs1d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
600	591 595 599	3eqtr4rd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
601		simpr	\|- ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> C e. ( 0 ..^ M ) )
602		id	\|- ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) )
603	448	reseq2d	\|- ( i = C -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) )
604	603 448	feq12d	\|- ( i = C -> ( ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR <-> ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) )
605	444 604	imbi12d	\|- ( i = C -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR ) <-> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) ) )
606		cncff	\|- ( ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
607	9 606	syl	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
608	605 607	vtoclg	\|- ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) )
609	601 602 608	sylc	\|- ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR )
610	442 609	syl	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR )
611	610 598	fssresd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) : ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) --> RR )
612	600 611	feq1dd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) : ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) --> RR )
613	379 390	oveq12d	\|- ( t = s -> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
614	613	cbvmptv	\|- ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
615		biid	\|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) <-> ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) )
616		fveq2	\|- ( r = t -> ( F ` r ) = ( F ` t ) )
617	616	fveq2d	\|- ( r = t -> ( abs ` ( F ` r ) ) = ( abs ` ( F ` t ) ) )
618	617	breq1d	\|- ( r = t -> ( ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w <-> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
619	618	cbvralvw	\|- ( A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w <-> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
620	615 619	anbi12i	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w ) <-> ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
621		fveq2	\|- ( r = t -> ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) = ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) )
622	621	fveq2d	\|- ( r = t -> ( abs ` ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) )
623	622	breq1d	\|- ( r = t -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) <_ z <-> ( abs ` ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
624	623	cbvralvw	\|- ( A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) <_ z <-> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
625	620 624	anbi12i	\|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w ) /\ A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) <_ z ) <-> ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F \|` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
626	280 281 42 44 85 291 292 438 439 538 572 170 194 574 590 612 614 625	fourierdlem80	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
627	370	mpteq2dva	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
628	277 627	eqtrd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> O = ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
629	628	oveq2d	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
630	629	dmeqd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> dom ( RR _D O ) = dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
631		nfcv	\|- F/_ s dom ( RR _D O )
632		nfcv	\|- F/_ s RR
633		nfcv	\|- F/_ s _D
634		nfmpt1	\|- F/_ s ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
635	632 633 634	nfov	\|- F/_ s ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
636	635	nfdm	\|- F/_ s dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
637	631 636	raleqf	\|- ( dom ( RR _D O ) = dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )
638	630 637	syl	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )
639	629	fveq1d	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( RR _D O ) ` s ) = ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) )
640	639	fveq2d	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) )
641	640	breq1d	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
642	641	ralbidv	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
643	638 642	bitrd	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
644	643	rexbidv	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) \|-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
645	626 644	mpbird	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b )
646		eqid	\|- ( l e. RR+ \|-> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) = ( l e. RR+ \|-> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s )
647		eqeq1	\|- ( t = s -> ( t = ( J ` k ) <-> s = ( J ` k ) ) )
648		fveq2	\|- ( h = l -> ( Q ` h ) = ( Q ` l ) )
649		oveq1	\|- ( h = l -> ( h + 1 ) = ( l + 1 ) )
650	649	fveq2d	\|- ( h = l -> ( Q ` ( h + 1 ) ) = ( Q ` ( l + 1 ) ) )
651	648 650	oveq12d	\|- ( h = l -> ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) = ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) )
652	651	sseq2d	\|- ( h = l -> ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) <-> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) )
653	652	cbvriotavw	\|- ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) )
654	653	fveq2i	\|- ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) )
655	654	eqeq2i	\|- ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) <-> ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) )
656	655	a1i	\|- ( T. -> ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) <-> ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) ) )
657		csbeq1	\|- ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R )
658	653 657	ax-mp	\|- [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R
659	658	a1i	\|- ( T. -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R )
660	656 659	ifbieq1d	\|- ( T. -> if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) = if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) )
661	660	mptru	\|- if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) = if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) )
662	661	oveq1i	\|- ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) = ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W )
663	662	oveq1i	\|- ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) = ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) )
664	663	oveq1i	\|- ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) )
665	664	a1i	\|- ( t = s -> ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) )
666		eqeq1	\|- ( t = s -> ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) <-> s = ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
667	653	oveq1i	\|- ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 )
668	667	fveq2i	\|- ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) )
669	668	eqeq2i	\|- ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) <-> ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) )
670	669	a1i	\|- ( T. -> ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) <-> ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) )
671		csbeq1	\|- ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L )
672	653 671	ax-mp	\|- [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L
673	672	a1i	\|- ( T. -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L )
674	670 673	ifbieq1d	\|- ( T. -> if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
675	674	mptru	\|- if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
676	675	oveq1i	\|- ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) = ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W )
677	676	oveq1i	\|- ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) )
678	677	oveq1i	\|- ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
679	678	a1i	\|- ( t = s -> ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) )
680		fveq2	\|- ( t = s -> ( O ` t ) = ( O ` s ) )
681	666 679 680	ifbieq12d	\|- ( t = s -> if ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` t ) ) = if ( s = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` s ) ) )
682	647 665 681	ifbieq12d	\|- ( t = s -> if ( t = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` t ) ) ) = if ( s = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( s = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` s ) ) ) )
683	682	cbvmptv	\|- ( t e. ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> if ( t = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` t ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) \|-> if ( s = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( s = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` s ) ) ) )
684	42 44 89 145 170 171 172 194 304 310 313 314 437 645 646 683	fourierdlem73	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e )
685		breq2	\|- ( e = a -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e <-> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a ) )
686	685	rexralbidv	\|- ( e = a -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e <-> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a ) )
687	686	cbvralvw	\|- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e <-> A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a )
688	684 687	sylib	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a )
689	688	adantlr	\|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a )
690		rphalfcl	\|- ( e e. RR+ -> ( e / 2 ) e. RR+ )
691	690	ad2antlr	\|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( e / 2 ) e. RR+ )
692		breq2	\|- ( a = ( e / 2 ) -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a <-> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
693	692	rexralbidv	\|- ( a = ( e / 2 ) -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a <-> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
694	693	rspccva	\|- ( ( A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a /\ ( e / 2 ) e. RR+ ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
695	689 691 694	syl2anc	\|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
696	357	a1i	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( O ` s ) = ( ( U \|` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) )
697	158	a1i	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi (,) d ) C_ ( -u _pi [,] d ) )
698	697	sselda	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> s e. ( -u _pi [,] d ) )
699	698 359	syl	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( ( U \|` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) = ( U ` s ) )
700	696 699	eqtr2d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( U ` s ) = ( O ` s ) )
701	700	oveq1d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) = ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) )
702	701	itgeq2dv	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s )
703	702	adantr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s )
704	703	fveq2d	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) )
705		simpr	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
706	704 705	eqbrtrd	\|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
707	706	ex	\|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
708	707	adantlr	\|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
709	708	ralimdv	\|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
710	709	reximdv	\|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
711	695 710	mpd	\|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
712	711	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
713		nfv	\|- F/ k ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) )
714		nfra1	\|- F/ k A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 )
715	713 714	nfan	\|- F/ k ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
716		nfv	\|- F/ k j e. NN
717	715 716	nfan	\|- F/ k ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN )
718		nfv	\|- F/ k A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 )
719	717 718	nfan	\|- F/ k ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
720		simpll	\|- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) )
721		eluznn	\|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
722	721	adantll	\|- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
723	720 722	jca	\|- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) )
724	723	adantllr	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) )
725		simpllr	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
726	721	adantll	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
727		rspa	\|- ( ( A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) /\ k e. NN ) -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
728	725 726 727	syl2anc	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
729	724 728	jca	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
730	729	adantlr	\|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
731		nnre	\|- ( j e. NN -> j e. RR )
732	731	rexrd	\|- ( j e. NN -> j e. RR* )
733	732	adantr	\|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR* )
734	51	a1i	\|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> +oo e. RR* )
735		eluzelre	\|- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. RR )
736		1re	\|- 1 e. RR
737	736	rehalfcli	\|- ( 1 / 2 ) e. RR
738	737	a1i	\|- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
739	735 738	readdcld	\|- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
740	739	adantl	\|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
741	731	adantr	\|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR )
742	735	adantl	\|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. RR )
743		eluzle	\|- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ k )
744	743	adantl	\|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j <_ k )
745		halfgt0	\|- 0 < ( 1 / 2 )
746	745	a1i	\|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < ( 1 / 2 ) )
747	737	a1i	\|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
748	747 742	ltaddposd	\|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 0 < ( 1 / 2 ) <-> k < ( k + ( 1 / 2 ) ) ) )
749	746 748	mpbid	\|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k < ( k + ( 1 / 2 ) ) )
750	741 742 740 744 749	lelttrd	\|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j < ( k + ( 1 / 2 ) ) )
751	740	ltpnfd	\|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) < +oo )
752	733 734 740 750 751	eliood	\|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. ( j (,) +oo ) )
753	752	adantlr	\|- ( ( ( j e. NN /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. ( j (,) +oo ) )
754		simplr	\|- ( ( ( j e. NN /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
755		oveq1	\|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( l x. s ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )
756	755	fveq2d	\|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( sin ` ( l x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
757	756	oveq2d	\|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
758	757	adantr	\|- ( ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
759	758	itgeq2dv	\|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
760	759	fveq2d	\|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
761	760	breq1d	\|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
762	761	rspcv	\|- ( ( k + ( 1 / 2 ) ) e. ( j (,) +oo ) -> ( A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
763	753 754 762	sylc	\|- ( ( ( j e. NN /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
764	763	adantlll	\|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
765	730 764	jca	\|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
766	765 31	sylibr	\|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ch )
767	41	a1i	\|- ( ch -> -u _pi e. RR )
768		0red	\|- ( ch -> 0 e. RR )
769		ioossicc	\|- ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] 0 )
770	31	biimpi	\|- ( ch -> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
771		simp-4r	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> d e. ( -u _pi (,) 0 ) )
772	770 771	syl	\|- ( ch -> d e. ( -u _pi (,) 0 ) )
773	769 772	sselid	\|- ( ch -> d e. ( -u _pi [,] 0 ) )
774		simp-5l	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ph )
775	770 774	syl	\|- ( ch -> ph )
776	66	adantr	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
777	40	rexri	\|- _pi e. RR*
778		0re	\|- 0 e. RR
779	778 40 79	ltleii	\|- 0 <_ _pi
780		iooss2	\|- ( ( _pi e. RR* /\ 0 <_ _pi ) -> ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi (,) _pi ) )
781	777 779 780	mp2an	\|- ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi (,) _pi )
782		ioossicc	\|- ( -u _pi (,) _pi ) C_ ( -u _pi [,] _pi )
783	781 782	sstri	\|- ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi )
784	783	sseli	\|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
785	784	adantl	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
786	776 785	ffvelcdmd	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
787	775 786	sylan	\|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
788		simpllr	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> k e. NN )
789	770 788	syl	\|- ( ch -> k e. NN )
790	789	nnred	\|- ( ch -> k e. RR )
791	737	a1i	\|- ( ch -> ( 1 / 2 ) e. RR )
792	790 791	readdcld	\|- ( ch -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
793	792	adantr	\|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
794		elioore	\|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s e. RR )
795	794	adantl	\|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR )
796	793 795	remulcld	\|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
797	796	resincld	\|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
798	787 797	remulcld	\|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )
799	798	recnd	\|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. CC )
800	75	a1i	\|- ( ch -> -u _pi e. RR* )
801	76	a1i	\|- ( ch -> 0 e. RR* )
802	767	leidd	\|- ( ch -> -u _pi <_ -u _pi )
803		ioossre	\|- ( -u _pi (,) 0 ) C_ RR
804	803 772	sselid	\|- ( ch -> d e. RR )
805	800 801 772 77	syl3anc	\|- ( ch -> d < 0 )
806	804 768 805	ltled	\|- ( ch -> d <_ 0 )
807		ioossioo	\|- ( ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* ) /\ ( -u _pi <_ -u _pi /\ d <_ 0 ) ) -> ( -u _pi (,) d ) C_ ( -u _pi (,) 0 ) )
808	800 801 802 806 807	syl22anc	\|- ( ch -> ( -u _pi (,) d ) C_ ( -u _pi (,) 0 ) )
809		ioombl	\|- ( -u _pi (,) d ) e. dom vol
810	809	a1i	\|- ( ch -> ( -u _pi (,) d ) e. dom vol )
811		eleq1	\|- ( n = k -> ( n e. NN <-> k e. NN ) )
812	811	anbi2d	\|- ( n = k -> ( ( ph /\ n e. NN ) <-> ( ph /\ k e. NN ) ) )
813		simpl	\|- ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> n = k )
814	813	oveq1d	\|- ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) = ( k + ( 1 / 2 ) ) )
815	814	oveq1d	\|- ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )
816	815	fveq2d	\|- ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
817	816	oveq2d	\|- ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
818	817	mpteq2dva	\|- ( n = k -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) = ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) )
819	818	eleq1d	\|- ( n = k -> ( ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 <-> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) )
820	812 819	imbi12d	\|- ( n = k -> ( ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) <-> ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) ) )
821	783	a1i	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
822		ioombl	\|- ( -u _pi (,) 0 ) e. dom vol
823	822	a1i	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -u _pi (,) 0 ) e. dom vol )
824	66	ffvelcdmda	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
825	824	adantlr	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
826		nnre	\|- ( n e. NN -> n e. RR )
827		readdcl	\|- ( ( n e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
828	826 737 827	sylancl	\|- ( n e. NN -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
829	828	adantr	\|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
830		simpr	\|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
831	232 830	sselid	\|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. RR )
832	829 831	remulcld	\|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
833	832	resincld	\|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
834	833	adantll	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
835	825 834	remulcld	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )
836	17	a1i	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
837	16	fvmpt2	\|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
838	830 833 837	syl2anc	\|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
839	838	adantll	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
840	839	oveq2d	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
841	840	mpteq2dva	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) )
842	836 841	eqtr2d	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) = G )
843	1	adantr	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F : RR --> RR )
844	6	adantr	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. ran V )
845	20	adantr	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Y e. ( ( F \|` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
846	21	adantr	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> W e. ( ( F \|` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
847	826	adantl	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. RR )
848	4	adantr	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> M e. NN )
849	5	adantr	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> V e. ( P ` M ) )
850	7	adantlr	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
851	11	adantlr	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) )
852	12	adantlr	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
853		eqid	\|- ( m e. NN \|-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) \| ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) = ( m e. NN \|-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) \| ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
854		eqid	\|- ( RR _D F ) = ( RR _D F )
855	607	adantlr	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
856	22	adantr	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. ( ( ( RR _D F ) \|` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
857	23	adantr	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> B e. ( ( ( RR _D F ) \|` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
858	3 843 844 845 846 13 14 15 847 16 17 848 849 850 851 852 29 853 854 855 856 857	fourierdlem88	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G e. L^1 )
859	842 858	eqeltrd	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
860	821 823 835 859	iblss	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
861	820 860	chvarvv	\|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
862	775 789 861	syl2anc	\|- ( ch -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
863	808 810 798 862	iblss	\|- ( ch -> ( s e. ( -u _pi (,) d ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
864	772 125	syl	\|- ( ch -> -u _pi < d )
865	767 804 864	ltled	\|- ( ch -> -u _pi <_ d )
866	768	leidd	\|- ( ch -> 0 <_ 0 )
867		ioossioo	\|- ( ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* ) /\ ( -u _pi <_ d /\ 0 <_ 0 ) ) -> ( d (,) 0 ) C_ ( -u _pi (,) 0 ) )
868	800 801 865 866 867	syl22anc	\|- ( ch -> ( d (,) 0 ) C_ ( -u _pi (,) 0 ) )
869		ioombl	\|- ( d (,) 0 ) e. dom vol
870	869	a1i	\|- ( ch -> ( d (,) 0 ) e. dom vol )
871	868 870 798 862	iblss	\|- ( ch -> ( s e. ( d (,) 0 ) \|-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
872	767 768 773 799 863 871	itgsplitioo	\|- ( ch -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = ( S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
873	808	sselda	\|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> s e. ( -u _pi (,) 0 ) )
874	873 798	syldan	\|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )
875	874 863	itgcl	\|- ( ch -> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC )
876	868	sselda	\|- ( ( ch /\ s e. ( d (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi (,) 0 ) )
877	876 798	syldan	\|- ( ( ch /\ s e. ( d (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )
878	877 871	itgcl	\|- ( ch -> S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC )
879	875 878	addcomd	\|- ( ch -> ( S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
880	872 879	eqtrd	\|- ( ch -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
881	880	fveq2d	\|- ( ch -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) )
882	878 875	addcld	\|- ( ch -> ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) e. CC )
883	882	abscld	\|- ( ch -> ( abs ` ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) e. RR )
884	878	abscld	\|- ( ch -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) e. RR )
885	875	abscld	\|- ( ch -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) e. RR )
886	884 885	readdcld	\|- ( ch -> ( ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) + ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) e. RR )
887		simp-5r	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> e e. RR+ )
888	770 887	syl	\|- ( ch -> e e. RR+ )
889	888	rpred	\|- ( ch -> e e. RR )
890	878 875	abstrid	\|- ( ch -> ( abs ` ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) <_ ( ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) + ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) )
891		simplr	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
892	770 891	syl	\|- ( ch -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
893	770	simprd	\|- ( ch -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
894	884 885 889 892 893	lt2halvesd	\|- ( ch -> ( ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) + ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) < e )
895	883 886 889 890 894	lelttrd	\|- ( ch -> ( abs ` ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) < e )
896	881 895	eqbrtrd	\|- ( ch -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
897	766 896	syl	\|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
898	897	ex	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) )
899	719 898	ralrimi	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
900	899	ex	\|- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) -> ( A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) )
901	900	reximdva	\|- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) )
902	712 901	mpd	\|- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
903		negpilt0	\|- -u _pi < 0
904	41 778 40	lttri	\|- ( ( -u _pi < 0 /\ 0 < _pi ) -> -u _pi < _pi )
905	903 79 904	mp2an	\|- -u _pi < _pi
906	41 40 905	ltleii	\|- -u _pi <_ _pi
907	906	a1i	\|- ( ph -> -u _pi <_ _pi )
908	3	fourierdlem2	\|- ( M e. NN -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
909	4 908	syl	\|- ( ph -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
910	5 909	mpbid	\|- ( ph -> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
911	910	simpld	\|- ( ph -> V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
912		elmapi	\|- ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
913	911 912	syl	\|- ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
914	913	ffvelcdmda	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
915	2	adantr	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> X e. RR )
916	914 915	resubcld	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
917	916 29	fmptd	\|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
918	29	a1i	\|- ( ph -> Q = ( i e. ( 0 ... M ) \|-> ( ( V ` i ) - X ) ) )
919		fveq2	\|- ( i = 0 -> ( V ` i ) = ( V ` 0 ) )
920	919	oveq1d	\|- ( i = 0 -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
921	920	adantl	\|- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
922	4	nnnn0d	\|- ( ph -> M e. NN0 )
923		nn0uz	\|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
924	922 923	eleqtrdi	\|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
925		eluzfz1	\|- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
926	924 925	syl	\|- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
927	913 926	ffvelcdmd	\|- ( ph -> ( V ` 0 ) e. RR )
928	927 2	resubcld	\|- ( ph -> ( ( V ` 0 ) - X ) e. RR )
929	918 921 926 928	fvmptd	\|- ( ph -> ( Q ` 0 ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
930	910	simprd	\|- ( ph -> ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
931	930	simpld	\|- ( ph -> ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) )
932	931	simpld	\|- ( ph -> ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) )
933	932	oveq1d	\|- ( ph -> ( ( V ` 0 ) - X ) = ( ( -u _pi + X ) - X ) )
934	459	recnd	\|- ( ph -> -u _pi e. CC )
935	2	recnd	\|- ( ph -> X e. CC )
936	934 935	pncand	\|- ( ph -> ( ( -u _pi + X ) - X ) = -u _pi )
937	929 933 936	3eqtrd	\|- ( ph -> ( Q ` 0 ) = -u _pi )
938	459 461 2 3 853 4 5 29	fourierdlem14	\|- ( ph -> Q e. ( ( m e. NN \|-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) \| ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) )
939	853	fourierdlem2	\|- ( M e. NN -> ( Q e. ( ( m e. NN \|-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) \| ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
940	4 939	syl	\|- ( ph -> ( Q e. ( ( m e. NN \|-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) \| ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
941	938 940	mpbid	\|- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
942	941	simprd	\|- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
943	942	simpld	\|- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) )
944	943	simprd	\|- ( ph -> ( Q ` M ) = _pi )
945	942	simprd	\|- ( ph -> A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
946	945	r19.21bi	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
947	1	adantr	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> F : RR --> RR )
948	853 4 938	fourierdlem15	\|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u _pi [,] _pi ) )
949	948	adantr	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u _pi [,] _pi ) )
950		elfzofz	\|- ( i e. ( 0 ..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
951	950	adantl	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
952	949 951	ffvelcdmd	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( -u _pi [,] _pi ) )
953		fzofzp1	\|- ( i e. ( 0 ..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
954	953	adantl	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
955	949 954	ffvelcdmd	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( -u _pi [,] _pi ) )
956	2	adantr	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> X e. RR )
957		ffn	\|- ( V : ( 0 ... M ) --> RR -> V Fn ( 0 ... M ) )
958	911 912 957	3syl	\|- ( ph -> V Fn ( 0 ... M ) )
959		fvelrnb	\|- ( V Fn ( 0 ... M ) -> ( X e. ran V <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X ) )
960	958 959	syl	\|- ( ph -> ( X e. ran V <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X ) )
961	6 960	mpbid	\|- ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X )
962		oveq1	\|- ( ( V ` i ) = X -> ( ( V ` i ) - X ) = ( X - X ) )
963	962	adantl	\|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( X - X ) )
964	935	subidd	\|- ( ph -> ( X - X ) = 0 )
965	964	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> ( X - X ) = 0 )
966	963 965	eqtr2d	\|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> 0 = ( ( V ` i ) - X ) )
967	966	ex	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) = X -> 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) )
968	967	reximdva	\|- ( ph -> ( E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X -> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) )
969	961 968	mpd	\|- ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) )
970	29	elrnmpt	\|- ( 0 e. RR -> ( 0 e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) )
971	778 970	ax-mp	\|- ( 0 e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) )
972	969 971	sylibr	\|- ( ph -> 0 e. ran Q )
973	853 4 938 972	fourierdlem12	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> -. 0 e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
974	913	adantr	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
975	974 951	ffvelcdmd	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
976	975 956	resubcld	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
977	29	fvmpt2	\|- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
978	951 976 977	syl2anc	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
979	978	oveq1d	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + X ) = ( ( ( V ` i ) - X ) + X ) )
980	975	recnd	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. CC )
981	935	adantr	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> X e. CC )
982	980 981	npcand	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( V ` i ) - X ) + X ) = ( V ` i ) )
983	979 982	eqtrd	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + X ) = ( V ` i ) )
984		fveq2	\|- ( j = i -> ( V ` j ) = ( V ` i ) )
985	984	oveq1d	\|- ( j = i -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` i ) - X ) )
986	985	cbvmptv	\|- ( j e. ( 0 ... M ) \|-> ( ( V ` j ) - X ) ) = ( i e. ( 0 ... M ) \|-> ( ( V ` i ) - X ) )
987	29 986	eqtr4i	\|- Q = ( j e. ( 0 ... M ) \|-> ( ( V ` j ) - X ) )
988	987	a1i	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> Q = ( j e. ( 0 ... M ) \|-> ( ( V ` j ) - X ) ) )
989		fveq2	\|- ( j = ( i + 1 ) -> ( V ` j ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
990	989	oveq1d	\|- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
991	990	adantl	\|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ j = ( i + 1 ) ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
992	974 954	ffvelcdmd	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
993	992 956	resubcld	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR )
994	988 991 954 993	fvmptd	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
995	994	oveq1d	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) = ( ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) + X ) )
996	992	recnd	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. CC )
997	996 981	npcand	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) + X ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
998	995 997	eqtrd	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
999	983 998	oveq12d	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) = ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
1000	999	reseq2d	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F \|` ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) ) = ( F \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
1001	999	oveq1d	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) -cn-> CC ) = ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
1002	7 1000 1001	3eltr4d	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F \|` ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) ) e. ( ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) -cn-> CC ) )
1003	55	adantr	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> Y e. RR )
1004	65	adantr	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> W e. RR )
1005	947 952 955 956 973 1002 1003 1004 13	fourierdlem40	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( H \|` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
1006		id	\|- ( ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
1007	67	a1i	\|- ( ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR -> RR C_ CC )
1008	1006 1007	fssd	\|- ( ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
1009	9 606 1008	3syl	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) \|` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
1010		eqid	\|- if ( ( V ` i ) = X , B , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) = if ( ( V ` i ) = X , B , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) )
1011	2 3 1 6 20 65 13 4 5 11 29 853 854 1009 23 1010	fourierdlem75	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> if ( ( V ` i ) = X , B , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) e. ( ( H \|` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` i ) ) )
1012		eqid	\|- if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , A , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , A , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
1013	2 3 1 6 55 21 13 4 5 12 29 853 854 607 22 1012	fourierdlem74	\|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , A , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( H \|` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
1014		fveq2	\|- ( j = i -> ( Q ` j ) = ( Q ` i ) )
1015		oveq1	\|- ( j = i -> ( j + 1 ) = ( i + 1 ) )
1016	1015	fveq2d	\|- ( j = i -> ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
1017	1014 1016	oveq12d	\|- ( j = i -> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
1018	1017	cbvmptv	\|- ( j e. ( 0 ..^ M ) \|-> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( i e. ( 0 ..^ M ) \|-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
1019	459 461 907 198 4 917 937 944 946 1005 1011 1013 1018	fourierdlem70	\|- ( ph -> E. x e. RR A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ x )
1020		eqid	\|- ( ( e / 3 ) / y ) = ( ( e / 3 ) / y )
1021		fveq2	\|- ( t = s -> ( G ` t ) = ( G ` s ) )
1022	1021	fveq2d	\|- ( t = s -> ( abs ` ( G ` t ) ) = ( abs ` ( G ` s ) ) )
1023	1022	breq1d	\|- ( t = s -> ( ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y <-> ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) )
1024	1023	cbvralvw	\|- ( A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y <-> A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y )
1025	1024	ralbii	\|- ( A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y <-> A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y )
1026	1025	3anbi3i	\|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) <-> ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) )
1027	1026	anbi1i	\|- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) <-> ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) )
1028	1027	anbi1i	\|- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) )
1029	1028	anbi1i	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) /\ n e. NN ) <-> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) /\ n e. NN ) )
1030	1 2 55 65 13 14 15 16 17 1019 858 1020 1029	fourierdlem87	\|- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. c e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1031		iftrue	\|- ( c <_ ( _pi / 2 ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = c )
1032	1031	negeqd	\|- ( c <_ ( _pi / 2 ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = -u c )
1033	1032	adantl	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = -u c )
1034	75	a1i	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi e. RR* )
1035	76	a1i	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 e. RR* )
1036		rpre	\|- ( c e. RR+ -> c e. RR )
1037	1036	renegcld	\|- ( c e. RR+ -> -u c e. RR )
1038	1037	adantr	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u c e. RR )
1039	1036	adantr	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c e. RR )
1040	40	rehalfcli	\|- ( _pi / 2 ) e. RR
1041	1040	a1i	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( _pi / 2 ) e. RR )
1042	40	a1i	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> _pi e. RR )
1043		simpr	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c <_ ( _pi / 2 ) )
1044		halfpos	\|- ( _pi e. RR -> ( 0 < _pi <-> ( _pi / 2 ) < _pi ) )
1045	40 1044	ax-mp	\|- ( 0 < _pi <-> ( _pi / 2 ) < _pi )
1046	79 1045	mpbi	\|- ( _pi / 2 ) < _pi
1047	1046	a1i	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( _pi / 2 ) < _pi )
1048	1039 1041 1042 1043 1047	lelttrd	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c < _pi )
1049	1039 1042	ltnegd	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( c < _pi <-> -u _pi < -u c ) )
1050	1048 1049	mpbid	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi < -u c )
1051		rpgt0	\|- ( c e. RR+ -> 0 < c )
1052	1036	lt0neg2d	\|- ( c e. RR+ -> ( 0 < c <-> -u c < 0 ) )
1053	1051 1052	mpbid	\|- ( c e. RR+ -> -u c < 0 )
1054	1053	adantr	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u c < 0 )
1055	1034 1035 1038 1050 1054	eliood	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u c e. ( -u _pi (,) 0 ) )
1056	1033 1055	eqeltrd	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )
1057		iffalse	\|- ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = ( _pi / 2 ) )
1058	1057	negeqd	\|- ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = -u ( _pi / 2 ) )
1059	1040	renegcli	\|- -u ( _pi / 2 ) e. RR
1060	1059	rexri	\|- -u ( _pi / 2 ) e. RR*
1061	75 76 1060	3pm3.2i	\|- ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ -u ( _pi / 2 ) e. RR* )
1062	1040 40	ltnegi	\|- ( ( _pi / 2 ) < _pi <-> -u _pi < -u ( _pi / 2 ) )
1063	1046 1062	mpbi	\|- -u _pi < -u ( _pi / 2 )
1064		2pos	\|- 0 < 2
1065	40 120 79 1064	divgt0ii	\|- 0 < ( _pi / 2 )
1066		lt0neg2	\|- ( ( _pi / 2 ) e. RR -> ( 0 < ( _pi / 2 ) <-> -u ( _pi / 2 ) < 0 ) )
1067	1040 1066	ax-mp	\|- ( 0 < ( _pi / 2 ) <-> -u ( _pi / 2 ) < 0 )
1068	1065 1067	mpbi	\|- -u ( _pi / 2 ) < 0
1069	1063 1068	pm3.2i	\|- ( -u _pi < -u ( _pi / 2 ) /\ -u ( _pi / 2 ) < 0 )
1070		elioo3g	\|- ( -u ( _pi / 2 ) e. ( -u _pi (,) 0 ) <-> ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ -u ( _pi / 2 ) e. RR* ) /\ ( -u _pi < -u ( _pi / 2 ) /\ -u ( _pi / 2 ) < 0 ) ) )
1071	1061 1069 1070	mpbir2an	\|- -u ( _pi / 2 ) e. ( -u _pi (,) 0 )
1072	1071	a1i	\|- ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> -u ( _pi / 2 ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )
1073	1058 1072	eqeltrd	\|- ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )
1074	1073	adantl	\|- ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )
1075	1056 1074	pm2.61dan	\|- ( c e. RR+ -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )
1076	1075	3ad2ant2	\|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )
1077		ioombl	\|- ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) e. dom vol
1078	1077	a1i	\|- ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) e. dom vol )
1079		simpr	\|- ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1080	1078 1079	jca	\|- ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) e. dom vol /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) )
1081		ioossicc	\|- ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) [,] 0 )
1082	1081	a1i	\|- ( c e. RR+ -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) [,] 0 ) )
1083	41	a1i	\|- ( c e. RR+ -> -u _pi e. RR )
1084	40	a1i	\|- ( c e. RR+ -> _pi e. RR )
1085	1039 1042 1048	ltled	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c <_ _pi )
1086	1039 1042	lenegd	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( c <_ _pi <-> -u _pi <_ -u c ) )
1087	1085 1086	mpbid	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi <_ -u c )
1088	1032	eqcomd	\|- ( c <_ ( _pi / 2 ) -> -u c = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1089	1088	adantl	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u c = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1090	1087 1089	breqtrd	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi <_ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1091	41 1059 1063	ltleii	\|- -u _pi <_ -u ( _pi / 2 )
1092	1091	a1i	\|- ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi <_ -u ( _pi / 2 ) )
1093	1058	eqcomd	\|- ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> -u ( _pi / 2 ) = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1094	1093	adantl	\|- ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u ( _pi / 2 ) = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1095	1092 1094	breqtrd	\|- ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi <_ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1096	1090 1095	pm2.61dan	\|- ( c e. RR+ -> -u _pi <_ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1097	779	a1i	\|- ( c e. RR+ -> 0 <_ _pi )
1098		iccss	\|- ( ( ( -u _pi e. RR /\ _pi e. RR ) /\ ( -u _pi <_ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) /\ 0 <_ _pi ) ) -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) [,] 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
1099	1083 1084 1096 1097 1098	syl22anc	\|- ( c e. RR+ -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) [,] 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
1100	1082 1099	sstrd	\|- ( c e. RR+ -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
1101	803 1075	sselid	\|- ( c e. RR+ -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. RR )
1102		0red	\|- ( c e. RR+ -> 0 e. RR )
1103		rpge0	\|- ( c e. RR+ -> 0 <_ c )
1104	1103	adantr	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 <_ c )
1105	1043	iftrued	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = c )
1106	1104 1105	breqtrrd	\|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1107	778 1040 1065	ltleii	\|- 0 <_ ( _pi / 2 )
1108		simpr	\|- ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -. c <_ ( _pi / 2 ) )
1109	1108	iffalsed	\|- ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = ( _pi / 2 ) )
1110	1107 1109	breqtrrid	\|- ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1111	1106 1110	pm2.61dan	\|- ( c e. RR+ -> 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1112	1040	a1i	\|- ( c e. RR+ -> ( _pi / 2 ) e. RR )
1113	1036 1112	ifcld	\|- ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. RR )
1114	1113	le0neg2d	\|- ( c e. RR+ -> ( 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <-> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ 0 ) )
1115	1111 1114	mpbid	\|- ( c e. RR+ -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ 0 )
1116		volioo	\|- ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. RR /\ 0 e. RR /\ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ 0 ) -> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) = ( 0 - -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) )
1117	1101 1102 1115 1116	syl3anc	\|- ( c e. RR+ -> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) = ( 0 - -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) )
1118		0cn	\|- 0 e. CC
1119	1118	a1i	\|- ( c e. RR+ -> 0 e. CC )
1120	1113	recnd	\|- ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. CC )
1121	1119 1120	subnegd	\|- ( c e. RR+ -> ( 0 - -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) = ( 0 + if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) )
1122	1120	addlidd	\|- ( c e. RR+ -> ( 0 + if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) = if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1123	1117 1121 1122	3eqtrd	\|- ( c e. RR+ -> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) = if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1124		min1	\|- ( ( c e. RR /\ ( _pi / 2 ) e. RR ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ c )
1125	1036 1040 1124	sylancl	\|- ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ c )
1126	1123 1125	eqbrtrd	\|- ( c e. RR+ -> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c )
1127	1100 1126	jca	\|- ( c e. RR+ -> ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) )
1128	1127	adantr	\|- ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) )
1129		sseq1	\|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) <-> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) ) )
1130		fveq2	\|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( vol ` u ) = ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) )
1131	1130	breq1d	\|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( ( vol ` u ) <_ c <-> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) )
1132	1129 1131	anbi12d	\|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) <-> ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) ) )
1133		itgeq1	\|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
1134	1133	fveq2d	\|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
1135	1134	breq1d	\|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1136	1135	ralbidv	\|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1137	1132 1136	imbi12d	\|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) <-> ( ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) )
1138	1137	rspcva	\|- ( ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) e. dom vol /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1139	1080 1128 1138	sylc	\|- ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
1140	1139	3adant1	\|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
1141		oveq1	\|- ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( d (,) 0 ) = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) )
1142	1141	itgeq1d	\|- ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
1143	1142	fveq2d	\|- ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
1144	1143	breq1d	\|- ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1145	1144	ralbidv	\|- ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1146	1145	rspcev	\|- ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. d e. ( -u _pi (,) 0 ) A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
1147	1076 1140 1146	syl2anc	\|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> E. d e. ( -u _pi (,) 0 ) A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
1148	1147	rexlimdv3a	\|- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. c e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. d e. ( -u _pi (,) 0 ) A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1149	1030 1148	mpd	\|- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. ( -u _pi (,) 0 ) A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
1150	902 1149	r19.29a	\|- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
1151	1150	ralrimiva	\|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
1152		nnex	\|- NN e. _V
1153	1152	mptex	\|- ( n e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) e. _V
1154	1153	a1i	\|- ( ph -> ( n e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) e. _V )
1155		eqidd	\|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( n e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) = ( n e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) )
1156	784	adantl	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
1157	786	ad4ant14	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
1158	784	adantl	\|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
1159		simpr	\|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n = k )
1160		simpl	\|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> k e. NN )
1161	1159 1160	eqeltrd	\|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n e. NN )
1162	1161	nnred	\|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n e. RR )
1163	737	a1i	\|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
1164	1162 1163	readdcld	\|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
1165	1164	adantr	\|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
1166	232 1158	sselid	\|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR )
1167	1165 1166	remulcld	\|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
1168	1167	resincld	\|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
1169	1158 1168 837	syl2anc	\|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
1170	1169	adantlll	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
1171	1162	adantll	\|- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) -> n e. RR )
1172	1171	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> n e. RR )
1173		1red	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 1 e. RR )
1174	1173	rehalfcld	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
1175	1172 1174	readdcld	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
1176	232 1156	sselid	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR )
1177	1175 1176	remulcld	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
1178	1177	resincld	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
1179	1170 1178	eqeltrd	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( S ` s ) e. RR )
1180	1157 1179	remulcld	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR )
1181	17	fvmpt2	\|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
1182	1156 1180 1181	syl2anc	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
1183		oveq1	\|- ( n = k -> ( n + ( 1 / 2 ) ) = ( k + ( 1 / 2 ) ) )
1184	1183	oveq1d	\|- ( n = k -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )
1185	1184	fveq2d	\|- ( n = k -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
1186	1185	ad2antlr	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
1187	1170 1186	eqtrd	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
1188	1187	oveq2d	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
1189	1182 1188	eqtrd	\|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
1190	1189	itgeq2dv	\|- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
1191		simpr	\|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
1192	817	itgeq2dv	\|- ( n = k -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
1193	1192	eleq1d	\|- ( n = k -> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC <-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) )
1194	812 1193	imbi12d	\|- ( n = k -> ( ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) <-> ( ( ph /\ k e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) ) )
1195	786	adantlr	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
1196		simpr	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
1197	1196 784 833	syl2an	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
1198	1195 1197	remulcld	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )
1199	1198 860	itgcl	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC )
1200	1194 1199	chvarvv	\|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC )
1201	1155 1190 1191 1200	fvmptd	\|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` k ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
1202	39 33 1154 1201 1200	clim0c	\|- ( ph -> ( ( n e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ~~> 0 <-> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) )
1203	1151 1202	mpbird	\|- ( ph -> ( n e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ~~> 0 )
1204	1152	mptex	\|- ( n e. NN \|-> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) ) e. _V
1205	19 1204	eqeltri	\|- E e. _V
1206	1205	a1i	\|- ( ph -> E e. _V )
1207	1152	mptex	\|- ( n e. NN \|-> _pi ) e. _V
1208	1207	a1i	\|- ( ph -> ( n e. NN \|-> _pi ) e. _V )
1209		picn	\|- _pi e. CC
1210	1209	a1i	\|- ( ph -> _pi e. CC )
1211		eqidd	\|- ( m e. NN -> ( n e. NN \|-> _pi ) = ( n e. NN \|-> _pi ) )
1212		eqidd	\|- ( ( m e. NN /\ n = m ) -> _pi = _pi )
1213		id	\|- ( m e. NN -> m e. NN )
1214	40	a1i	\|- ( m e. NN -> _pi e. RR )
1215	1211 1212 1213 1214	fvmptd	\|- ( m e. NN -> ( ( n e. NN \|-> _pi ) ` m ) = _pi )
1216	1215	adantl	\|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN \|-> _pi ) ` m ) = _pi )
1217	39 33 1208 1210 1216	climconst	\|- ( ph -> ( n e. NN \|-> _pi ) ~~> _pi )
1218	778 79	gtneii	\|- _pi =/= 0
1219	1218	a1i	\|- ( ph -> _pi =/= 0 )
1220	2	adantr	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. RR )
1221	55	adantr	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Y e. RR )
1222	65	adantr	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> W e. RR )
1223	843 1220 1221 1222 13 14 15 847 16 17	fourierdlem67	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
1224	1223	adantr	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> G : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
1225	821	sselda	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
1226	1224 1225	ffvelcdmd	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( G ` s ) e. RR )
1227	1223	ffvelcdmda	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( G ` s ) e. RR )
1228	1223	feqmptd	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> ( G ` s ) ) )
1229	1228 858	eqeltrrd	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> ( G ` s ) ) e. L^1 )
1230	821 823 1227 1229	iblss	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) \|-> ( G ` s ) ) e. L^1 )
1231	1226 1230	itgcl	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s e. CC )
1232		eqid	\|- ( n e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) = ( n e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s )
1233	1232	fvmpt2	\|- ( ( n e. NN /\ S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s e. CC ) -> ( ( n e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s )
1234	1196 1231 1233	syl2anc	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s )
1235	1234 1231	eqeltrd	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) e. CC )
1236		id	\|- ( n e. NN -> n e. NN )
1237		eqid	\|- ( n e. NN \|-> _pi ) = ( n e. NN \|-> _pi )
1238	1237	fvmpt2	\|- ( ( n e. NN /\ _pi e. RR ) -> ( ( n e. NN \|-> _pi ) ` n ) = _pi )
1239	1236 40 1238	sylancl	\|- ( n e. NN -> ( ( n e. NN \|-> _pi ) ` n ) = _pi )
1240	1209	a1i	\|- ( n e. NN -> _pi e. CC )
1241	1218	a1i	\|- ( n e. NN -> _pi =/= 0 )
1242	1240 1241	jca	\|- ( n e. NN -> ( _pi e. CC /\ _pi =/= 0 ) )
1243		eldifsn	\|- ( _pi e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( _pi e. CC /\ _pi =/= 0 ) )
1244	1242 1243	sylibr	\|- ( n e. NN -> _pi e. ( CC \ { 0 } ) )
1245	1239 1244	eqeltrd	\|- ( n e. NN -> ( ( n e. NN \|-> _pi ) ` n ) e. ( CC \ { 0 } ) )
1246	1245	adantl	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN \|-> _pi ) ` n ) e. ( CC \ { 0 } ) )
1247	1209	a1i	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi e. CC )
1248	1218	a1i	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi =/= 0 )
1249	1231 1247 1248	divcld	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) e. CC )
1250	19	fvmpt2	\|- ( ( n e. NN /\ ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) e. CC ) -> ( E ` n ) = ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )
1251	1196 1249 1250	syl2anc	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )
1252	1234	eqcomd	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s = ( ( n e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) )
1253	1239	eqcomd	\|- ( n e. NN -> _pi = ( ( n e. NN \|-> _pi ) ` n ) )
1254	1253	adantl	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi = ( ( n e. NN \|-> _pi ) ` n ) )
1255	1252 1254	oveq12d	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) = ( ( ( n e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) / ( ( n e. NN \|-> _pi ) ` n ) ) )
1256	1251 1255	eqtrd	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( ( ( n e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) / ( ( n e. NN \|-> _pi ) ` n ) ) )
1257	34 35 36 38 39 33 1203 1206 1217 1219 1235 1246 1256	climdivf	\|- ( ph -> E ~~> ( 0 / _pi ) )
1258	1209 1218	div0i	\|- ( 0 / _pi ) = 0
1259	1258	a1i	\|- ( ph -> ( 0 / _pi ) = 0 )
1260	1257 1259	breqtrd	\|- ( ph -> E ~~> 0 )
1261	1152	mptex	\|- ( m e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s ) e. _V
1262	18 1261	eqeltri	\|- Z e. _V
1263	1262	a1i	\|- ( ph -> Z e. _V )
1264	1152	mptex	\|- ( m e. NN \|-> ( W / 2 ) ) e. _V
1265	1264	a1i	\|- ( ph -> ( m e. NN \|-> ( W / 2 ) ) e. _V )
1266		limccl	\|- ( ( F \|` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) C_ CC
1267	1266 21	sselid	\|- ( ph -> W e. CC )
1268	1267	halfcld	\|- ( ph -> ( W / 2 ) e. CC )
1269		eqidd	\|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( m e. NN \|-> ( W / 2 ) ) = ( m e. NN \|-> ( W / 2 ) ) )
1270		eqidd	\|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m = n ) -> ( W / 2 ) = ( W / 2 ) )
1271	39	eqcomi	\|- ( ZZ>= ` 1 ) = NN
1272	1271	eleq2i	\|- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> n e. NN )
1273	1272	biimpi	\|- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> n e. NN )
1274	1273	adantl	\|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> n e. NN )
1275	1268	adantr	\|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( W / 2 ) e. CC )
1276	1269 1270 1274 1275	fvmptd	\|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( m e. NN \|-> ( W / 2 ) ) ` n ) = ( W / 2 ) )
1277	32 33 1265 1268 1276	climconst	\|- ( ph -> ( m e. NN \|-> ( W / 2 ) ) ~~> ( W / 2 ) )
1278	1249 19	fmptd	\|- ( ph -> E : NN --> CC )
1279	1278	adantr	\|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> E : NN --> CC )
1280	1279 1274	ffvelcdmd	\|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( E ` n ) e. CC )
1281	1276 1275	eqeltrd	\|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( m e. NN \|-> ( W / 2 ) ) ` n ) e. CC )
1282	1276	oveq2d	\|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( E ` n ) + ( ( m e. NN \|-> ( W / 2 ) ) ` n ) ) = ( ( E ` n ) + ( W / 2 ) ) )
1283	822	a1i	\|- ( ph -> ( -u _pi (,) 0 ) e. dom vol )
1284	75	a1i	\|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi e. RR* )
1285		0red	\|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> 0 e. RR )
1286	1285	rexrd	\|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> 0 e. RR* )
1287		id	\|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s e. ( -u _pi (,) 0 ) )
1288		iooltub	\|- ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s < 0 )
1289	1284 1286 1287 1288	syl3anc	\|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s < 0 )
1290	794 1289	ltned	\|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s =/= 0 )
1291	1290	neneqd	\|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -. s = 0 )
1292		velsn	\|- ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
1293	1291 1292	sylnibr	\|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -. s e. { 0 } )
1294	784 1293	eldifd	\|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s e. ( ( -u _pi [,] _pi ) \ { 0 } ) )
1295	1294	ssriv	\|- ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( ( -u _pi [,] _pi ) \ { 0 } )
1296	1295	a1i	\|- ( ph -> ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( ( -u _pi [,] _pi ) \ { 0 } ) )
1297	794	adantl	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR )
1298		0red	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 e. RR )
1299	794 1285 1289	ltled	\|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s <_ 0 )
1300	1299	adantl	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s <_ 0 )
1301	1297 1298 1300	lensymd	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -. 0 < s )
1302	1301	iffalsed	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )
1303		eqid	\|- ( D ` n ) = ( D ` n )
1304	41	a1i	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -u _pi e. RR )
1305		0red	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 e. RR )
1306	41 778 903	ltleii	\|- -u _pi <_ 0
1307	1306	a1i	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -u _pi <_ 0 )
1308		eqid	\|- ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) \|-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) \|-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) )
1309	24 1196 1303 1304 1305 1307 1308	dirkeritg	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( D ` n ) ` s ) _d s = ( ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) \|-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) - ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) \|-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) ) )
1310		ubicc2	\|- ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ -u _pi <_ 0 ) -> 0 e. ( -u _pi [,] 0 ) )
1311	75 76 1306 1310	mp3an	\|- 0 e. ( -u _pi [,] 0 )
1312		oveq1	\|- ( s = 0 -> ( s / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
1313	257 262	div0i	\|- ( 0 / 2 ) = 0
1314	1313	a1i	\|- ( s = 0 -> ( 0 / 2 ) = 0 )
1315	1312 1314	eqtrd	\|- ( s = 0 -> ( s / 2 ) = 0 )
1316		oveq2	\|- ( s = 0 -> ( k x. s ) = ( k x. 0 ) )
1317		elfzelz	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. ZZ )
1318	1317	zcnd	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. CC )
1319	1318	mul01d	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( k x. 0 ) = 0 )
1320	1316 1319	sylan9eq	\|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( k x. s ) = 0 )
1321	1320	fveq2d	\|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( sin ` ( k x. s ) ) = ( sin ` 0 ) )
1322		sin0	\|- ( sin ` 0 ) = 0
1323	1322	a1i	\|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( sin ` 0 ) = 0 )
1324	1321 1323	eqtrd	\|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( sin ` ( k x. s ) ) = 0 )
1325	1324	oveq1d	\|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = ( 0 / k ) )
1326		0red	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> 0 e. RR )
1327		1red	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> 1 e. RR )
1328	1317	zred	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. RR )
1329	118	a1i	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> 0 < 1 )
1330		elfzle1	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> 1 <_ k )
1331	1326 1327 1328 1329 1330	ltletrd	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> 0 < k )
1332	1331	gt0ne0d	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> k =/= 0 )
1333	1318 1332	div0d	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( 0 / k ) = 0 )
1334	1333	adantl	\|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( 0 / k ) = 0 )
1335	1325 1334	eqtrd	\|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = 0 )
1336	1335	sumeq2dv	\|- ( s = 0 -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 )
1337		fzfi	\|- ( 1 ... n ) e. Fin
1338	1337	olci	\|- ( ( 1 ... n ) C_ ( ZZ>= ` .\|\| ) \/ ( 1 ... n ) e. Fin )
1339		sumz	\|- ( ( ( 1 ... n ) C_ ( ZZ>= ` .\|\| ) \/ ( 1 ... n ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 = 0 )
1340	1338 1339	ax-mp	\|- sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 = 0
1341	1340	a1i	\|- ( s = 0 -> sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 = 0 )
1342	1336 1341	eqtrd	\|- ( s = 0 -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = 0 )
1343	1315 1342	oveq12d	\|- ( s = 0 -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) = ( 0 + 0 ) )
1344		00id	\|- ( 0 + 0 ) = 0
1345	1344	a1i	\|- ( s = 0 -> ( 0 + 0 ) = 0 )
1346	1343 1345	eqtrd	\|- ( s = 0 -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) = 0 )
1347	1346	oveq1d	\|- ( s = 0 -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) = ( 0 / _pi ) )
1348	1258	a1i	\|- ( s = 0 -> ( 0 / _pi ) = 0 )
1349	1347 1348	eqtrd	\|- ( s = 0 -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) = 0 )
1350	778	elexi	\|- 0 e. _V
1351	1349 1308 1350	fvmpt	\|- ( 0 e. ( -u _pi [,] 0 ) -> ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) \|-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) = 0 )
1352	1311 1351	ax-mp	\|- ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) \|-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) = 0
1353		lbicc2	\|- ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ -u _pi <_ 0 ) -> -u _pi e. ( -u _pi [,] 0 ) )
1354	75 76 1306 1353	mp3an	\|- -u _pi e. ( -u _pi [,] 0 )
1355		oveq1	\|- ( s = -u _pi -> ( s / 2 ) = ( -u _pi / 2 ) )
1356		oveq2	\|- ( s = -u _pi -> ( k x. s ) = ( k x. -u _pi ) )
1357	1356	fveq2d	\|- ( s = -u _pi -> ( sin ` ( k x. s ) ) = ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) )
1358	1357	oveq1d	\|- ( s = -u _pi -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) )
1359	1358	sumeq2sdv	\|- ( s = -u _pi -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) )
1360	1355 1359	oveq12d	\|- ( s = -u _pi -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) = ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) )
1361	1360	oveq1d	\|- ( s = -u _pi -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) = ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) )
1362		ovex	\|- ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) e. _V
1363	1361 1308 1362	fvmpt	\|- ( -u _pi e. ( -u _pi [,] 0 ) -> ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) \|-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) = ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) )
1364	1354 1363	ax-mp	\|- ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) \|-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) = ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi )
1365		mulneg12	\|- ( ( k e. CC /\ _pi e. CC ) -> ( -u k x. _pi ) = ( k x. -u _pi ) )
1366	1318 1209 1365	sylancl	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( -u k x. _pi ) = ( k x. -u _pi ) )
1367	1366	eqcomd	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( k x. -u _pi ) = ( -u k x. _pi ) )
1368	1367	oveq1d	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) = ( ( -u k x. _pi ) / _pi ) )
1369	1318	negcld	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> -u k e. CC )
1370	1209	a1i	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> _pi e. CC )
1371	1218	a1i	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> _pi =/= 0 )
1372	1369 1370 1371	divcan4d	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( -u k x. _pi ) / _pi ) = -u k )
1373	1368 1372	eqtrd	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) = -u k )
1374	1317	znegcld	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> -u k e. ZZ )
1375	1373 1374	eqeltrd	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) e. ZZ )
1376		negpicn	\|- -u _pi e. CC
1377	1376	a1i	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> -u _pi e. CC )
1378	1318 1377	mulcld	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( k x. -u _pi ) e. CC )
1379		sineq0	\|- ( ( k x. -u _pi ) e. CC -> ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) = 0 <-> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) e. ZZ ) )
1380	1378 1379	syl	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) = 0 <-> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) e. ZZ ) )
1381	1375 1380	mpbird	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) = 0 )
1382	1381	oveq1d	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) = ( 0 / k ) )
1383	1382 1333	eqtrd	\|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) = 0 )
1384	1383	sumeq2i	\|- sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) 0
1385	1384 1340	eqtri	\|- sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) = 0
1386	1385	oveq2i	\|- ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) = ( ( -u _pi / 2 ) + 0 )
1387	1386	oveq1i	\|- ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) = ( ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) / _pi )
1388	1376 257 262	divcli	\|- ( -u _pi / 2 ) e. CC
1389	1388	addridi	\|- ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) = ( -u _pi / 2 )
1390		divneg	\|- ( ( _pi e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> -u ( _pi / 2 ) = ( -u _pi / 2 ) )
1391	1209 257 262 1390	mp3an	\|- -u ( _pi / 2 ) = ( -u _pi / 2 )
1392	1389 1391	eqtr4i	\|- ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) = -u ( _pi / 2 )
1393	1392	oveq1i	\|- ( ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) = ( -u ( _pi / 2 ) / _pi )
1394	1040	recni	\|- ( _pi / 2 ) e. CC
1395		divneg	\|- ( ( ( _pi / 2 ) e. CC /\ _pi e. CC /\ _pi =/= 0 ) -> -u ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( -u ( _pi / 2 ) / _pi ) )
1396	1394 1209 1218 1395	mp3an	\|- -u ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( -u ( _pi / 2 ) / _pi )
1397	1396	eqcomi	\|- ( -u ( _pi / 2 ) / _pi ) = -u ( ( _pi / 2 ) / _pi )
1398	1209 257 1209 262 1218	divdiv32i	\|- ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( ( _pi / _pi ) / 2 )
1399	1209 1218	dividi	\|- ( _pi / _pi ) = 1
1400	1399	oveq1i	\|- ( ( _pi / _pi ) / 2 ) = ( 1 / 2 )
1401	1398 1400	eqtri	\|- ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( 1 / 2 )
1402	1401	negeqi	\|- -u ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = -u ( 1 / 2 )
1403	1393 1397 1402	3eqtri	\|- ( ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) = -u ( 1 / 2 )
1404	1364 1387 1403	3eqtri	\|- ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) \|-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) = -u ( 1 / 2 )
1405	1352 1404	oveq12i	\|- ( ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) \|-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) - ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) \|-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) ) = ( 0 - -u ( 1 / 2 ) )
1406	1405	a1i	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) \|-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) - ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) \|-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) ) = ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) )
1407		halfcn	\|- ( 1 / 2 ) e. CC
1408	1118 1407	subnegi	\|- ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) = ( 0 + ( 1 / 2 ) )
1409	1407	addlidi	\|- ( 0 + ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
1410	1408 1409	eqtri	\|- ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
1411	1410	a1i	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
1412	1309 1406 1411	3eqtrd	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( D ` n ) ` s ) _d s = ( 1 / 2 ) )
1413	1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 15 16 17 854 607 22 23 20 21 1283 1296 19 24 65 1302 1412	fourierdlem95	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( E ` n ) + ( W / 2 ) ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
1414	1274 1413	syldan	\|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( E ` n ) + ( W / 2 ) ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
1415	18	a1i	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Z = ( m e. NN \|-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s ) )
1416		fveq2	\|- ( m = n -> ( D ` m ) = ( D ` n ) )
1417	1416	fveq1d	\|- ( m = n -> ( ( D ` m ) ` s ) = ( ( D ` n ) ` s ) )
1418	1417	oveq2d	\|- ( m = n -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
1419	1418	adantr	\|- ( ( m = n /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
1420	1419	itgeq2dv	\|- ( m = n -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
1421	1420	adantl	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ m = n ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
1422	1	adantr	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> F : RR --> RR )
1423	2	adantr	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> X e. RR )
1424	1423 1297	readdcld	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( X + s ) e. RR )
1425	1422 1424	ffvelcdmd	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
1426	1425	adantlr	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
1427	24	dirkerf	\|- ( n e. NN -> ( D ` n ) : RR --> RR )
1428	1427	ad2antlr	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )
1429	794	adantl	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR )
1430	1428 1429	ffvelcdmd	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )
1431	1426 1430	remulcld	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. RR )
1432	1	adantr	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> F : RR --> RR )
1433	2	adantr	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> X e. RR )
1434	232	sseli	\|- ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) -> s e. RR )
1435	1434	adantl	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. RR )
1436	1433 1435	readdcld	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( X + s ) e. RR )
1437	1432 1436	ffvelcdmd	\|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
1438	1437	adantlr	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
1439	1427	ad2antlr	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )
1440	1434	adantl	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. RR )
1441	1439 1440	ffvelcdmd	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )
1442	1438 1441	remulcld	\|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. RR )
1443	40	a1i	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi e. RR )
1444	24	dirkercncf	\|- ( n e. NN -> ( D ` n ) e. ( RR -cn-> RR ) )
1445	1444	adantl	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. ( RR -cn-> RR ) )
1446		eqid	\|- ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
1447	1304 1443 843 1220 3 848 849 850 851 852 29 853 1445 1446	fourierdlem84	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) \|-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) e. L^1 )
1448	821 823 1442 1447	iblss	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) \|-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) e. L^1 )
1449	1431 1448	itgrecl	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s e. RR )
1450	1415 1421 1196 1449	fvmptd	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( Z ` n ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
1451	1450	eqcomd	\|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s = ( Z ` n ) )
1452	1274 1451	syldan	\|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s = ( Z ` n ) )
1453	1282 1414 1452	3eqtrrd	\|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( Z ` n ) = ( ( E ` n ) + ( ( m e. NN \|-> ( W / 2 ) ) ` n ) ) )
1454	32 33 1260 1263 1277 1280 1281 1453	climadd	\|- ( ph -> Z ~~> ( 0 + ( W / 2 ) ) )
1455	1268	addlidd	\|- ( ph -> ( 0 + ( W / 2 ) ) = ( W / 2 ) )
1456	1454 1455	breqtrd	\|- ( ph -> Z ~~> ( W / 2 ) )

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Theorem fourierdlem103

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