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Theorem fourierdlem73

Description: A version of the Riemann Lebesgue lemma: as r increases, the integral in S goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem73.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
fourierdlem73.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
fourierdlem73.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
fourierdlem73.m ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
fourierdlem73.qf ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
fourierdlem73.q0 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
fourierdlem73.qm ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 )
fourierdlem73.qilt ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
fourierdlem73.fcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
fourierdlem73.l ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
fourierdlem73.r ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
fourierdlem73.g ⊢ 𝐺 = ( ℝ D 𝐹 )
fourierdlem73.gcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
fourierdlem73.gbd ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
fourierdlem73.s ⊢ 𝑆 = ( 𝑟 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
fourierdlem73.d ⊢ 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
Assertion fourierdlem73 ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem73.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
2 fourierdlem73.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
3 fourierdlem73.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
4 fourierdlem73.m ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
5 fourierdlem73.qf ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
6 fourierdlem73.q0 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
7 fourierdlem73.qm ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 )
8 fourierdlem73.qilt ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
9 fourierdlem73.fcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
10 fourierdlem73.l ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
11 fourierdlem73.r ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
12 fourierdlem73.g ⊢ 𝐺 = ( ℝ D 𝐹 )
13 fourierdlem73.gcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
14 fourierdlem73.gbd ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
15 fourierdlem73.s ⊢ 𝑆 = ( 𝑟 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
16 fourierdlem73.d ⊢ 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
17 cncff ⊢ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
18 13 17 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
19 ax-resscn ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20 19 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ℝ ⊆ ℂ )
21 1 2 iccssred ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
22 5 21 fssd ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
23 22 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
24 elfzofz ⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
25 24 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
26 23 25 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
27 fzofzp1 ⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
28 27 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
29 23 28 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
30 26 29 iccssred ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
31 limccl ⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ⊆ ℂ
32 31 11 sselid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ℂ )
33 32 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ ℂ )
34 limccl ⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
35 34 10 sselid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ℂ )
36 35 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐿 ∈ ℂ )
37 3 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
38 1 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
39 2 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
40 26 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
41 29 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
42 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
43 eliccre ⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
44 40 41 42 43 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
45 1 rexrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* )
46 45 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
47 2 rexrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* )
48 47 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
49 5 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
50 49 25 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
51 iccgelb ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
52 46 48 50 51 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
53 52 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
54 40 rexrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
55 41 rexrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
56 iccgelb ⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑥 )
57 54 55 42 56 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑥 )
58 38 40 44 53 57 letrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ≤ 𝑥 )
59 iccleub ⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
60 54 55 42 59 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
61 45 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
62 47 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
63 49 28 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
64 63 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
65 iccleub ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ 𝐵 )
66 61 62 64 65 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ 𝐵 )
67 44 41 39 60 66 letrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≤ 𝐵 )
68 38 39 44 58 67 eliccd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
69 37 68 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
70 36 69 ifcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
71 33 70 ifcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
72 71 16 fmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
73 tgioo4 ⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
74 eqid ⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
75 iccntr ⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
76 26 29 75 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
77 20 30 72 73 74 76 dvresntr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) = ( ℝ D ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
78 ioossicc ⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
79 78 sseli ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
80 79 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
81 fvres ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
82 80 81 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
83 80 71 syldan ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
84 16 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
85 80 83 84 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
86 26 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
87 80 54 syldan ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
88 80 55 syldan ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
89 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
90 ioogtlb ⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
91 87 88 89 90 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
92 86 91 gtned ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
93 92 neneqd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
94 93 iffalsed ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
95 elioore ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
96 95 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
97 iooltub ⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
98 87 88 89 97 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
99 96 98 ltned ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
100 99 neneqd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
101 100 iffalsed ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
102 85 94 101 3eqtrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) )
103 82 102 eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
104 103 ralrimiva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
105 ffn ⊢ ( 𝐷 : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → 𝐷 Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
106 72 105 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
107 ffn ⊢ ( 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ → 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
108 3 107 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
109 108 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
110 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
111 46 48 49 110 fourierdlem8 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
112 fnssres ⊢ ( ( 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
113 109 111 112 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
114 78 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
115 fvreseq ⊢ ( ( ( 𝐷 Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
116 106 113 114 115 syl21anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
117 104 116 mpbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
118 114 resabs1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
119 117 118 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
120 119 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
121 3 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
122 21 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
123 114 30 sstrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
124 74 73 dvres ⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
125 20 121 122 123 124 syl22anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
126 12 eqcomi ⊢ ( ℝ D 𝐹 ) = 𝐺
127 126 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐹 ) = 𝐺 )
128 iooretop ⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
129 retop ⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
130 uniretop ⊢ ℝ = ∪ ( topGen ‘ ran (,) )
131 130 isopn3 ⊢ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
132 129 123 131 sylancr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
133 128 132 mpbii ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
134 127 133 reseq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
135 125 134 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
136 77 120 135 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
137 136 feq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ ↔ ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ ) )
138 18 137 mpbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
139 138 feqmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
140 139 136 eqtr3d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
141 ioombl ⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ dom vol
142 141 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ dom vol )
143 26 29 8 ltled ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
144 volioo ⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
145 26 29 143 144 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
146 29 26 resubcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
147 145 146 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ℝ )
148 14 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
149 nfv ⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ )
150 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦
151 149 150 nfan ⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
152 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
153 fdm ⊢ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
154 18 153 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
155 154 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
156 152 155 eleqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
157 fvres ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
158 156 157 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
159 158 fveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) )
160 159 ad4ant14 ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) )
161 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
162 ssdmres ⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐺 ↔ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
163 154 162 sylibr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐺 )
164 163 sselda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
165 156 164 syldan ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
166 165 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
167 rsp ⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ( 𝑥 ∈ dom 𝐺 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
168 161 166 167 sylc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
169 168 adantllr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
170 160 169 eqbrtrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
171 170 ex ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
172 151 171 ralrimi ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
173 172 ex ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
174 173 reximdva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
175 148 174 mpd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
176 142 147 13 175 cnbdibl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
177 140 176 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
178 177 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
179 141 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ dom vol )
180 147 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ℝ )
181 140 13 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
182 181 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
183 coscn ⊢ cos ∈ ( ℂ –cn→ ℂ )
184 183 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → cos ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
185 ioosscn ⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
186 185 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
187 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → 𝑟 ∈ ℝ )
188 187 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
189 ssid ⊢ ℂ ⊆ ℂ
190 189 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ℂ ⊆ ℂ )
191 186 188 190 constcncfg ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
192 185 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
193 189 a1i ⊢ ( 𝜑 → ℂ ⊆ ℂ )
194 192 193 idcncfg ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
195 194 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
196 191 195 mulcncf ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
197 184 196 cncfmpt1f ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
198 197 negcncfg ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
199 182 198 mulcncf ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
200 nfv ⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
201 200 150 nfan ⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
202 136 fveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
203 202 157 sylan9eq ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
204 203 fveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) )
205 204 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) )
206 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
207 164 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
208 206 207 167 sylc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
209 205 208 eqbrtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
210 209 ex ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
211 201 210 ralrimi ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
212 211 ex ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
213 212 reximdv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
214 148 213 mpd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
215 214 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
216 eqidd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) )
217 fveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) )
218 eleq1w ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
219 218 anbi2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
220 fveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
221 217 220 eqeq12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
222 219 221 imbi12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
223 222 203 chvarvv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
224 217 223 sylan9eqr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
225 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · 𝑧 ) )
226 225 fveq2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) )
227 226 negeqd ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) )
228 227 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) )
229 224 228 oveq12d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
230 229 adantllr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
231 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
232 fvres ⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
233 232 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
234 18 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
235 233 234 eqeltrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
236 235 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
237 simpl ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
238 elioore ⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑧 ∈ ℝ )
239 238 adantl ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ℝ )
240 237 239 remulcld ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑧 ) ∈ ℝ )
241 240 recnd ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑧 ) ∈ ℂ )
242 241 coscld ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
243 242 negcld ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
244 243 adantll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
245 236 244 mulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ∈ ℂ )
246 216 230 231 245 fvmptd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
247 246 fveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) )
248 247 ad4ant14 ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) )
249 245 abscld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ∈ ℝ )
250 249 ad4ant14 ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ∈ ℝ )
251 236 abscld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
252 251 ad4ant14 ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
253 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
254 244 abscld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ∈ ℝ )
255 1red ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
256 236 absge0d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
257 242 absnegd ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) = ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
258 abscosbd ⊢ ( ( 𝑟 · 𝑧 ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
259 240 258 syl ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
260 257 259 eqbrtrd ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
261 260 adantll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
262 254 255 251 256 261 lemul2ad ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) )
263 236 244 absmuld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) )
264 251 recnd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
265 264 mulridd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
266 265 eqcomd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) )
267 262 263 266 3brtr4d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
268 267 ad4ant14 ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
269 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
270 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦
271 200 270 nfan ⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
272 204 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
273 272 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
274 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
275 273 274 eqbrtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
276 275 ex ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
277 276 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
278 271 277 ralimdaa ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
279 269 278 mpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
280 220 fveq2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
281 280 breq1d ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
282 281 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
283 279 282 sylib ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
284 283 ad4ant14 ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
285 284 r19.21bi ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
286 250 252 253 268 285 letrd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ 𝑦 )
287 248 286 eqbrtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
288 287 ralrimiva ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
289 138 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
290 289 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
291 simpl ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
292 95 adantl ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
293 291 292 remulcld ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
294 293 recnd ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
295 294 coscld ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
296 295 negcld ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
297 296 adantll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
298 290 297 mulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
299 298 ralrimiva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
300 dmmptg ⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ → dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
301 299 300 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
302 301 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
303 288 302 raleqtrrdv ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
304 303 ex ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
305 304 reximdva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
306 215 305 mpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
307 179 180 199 306 cnbdibl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
308 307 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
309 289 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
310 simpr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
311 185 sseli ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
312 311 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → 𝑥 ∈ ℂ )
313 310 312 mulcld ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
314 313 coscld ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
315 293 ancoms ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
316 abscosbd ⊢ ( ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ≤ 1 )
317 315 316 syl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ≤ 1 )
318 317 adantll ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ≤ 1 )
319 16 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
320 26 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
321 8 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
322 eqcom ⊢ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 ↔ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
323 322 biimpri ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 )
324 323 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 )
325 321 324 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
326 320 325 gtned ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
327 326 neneqd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
328 327 iffalsed ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
329 iftrue ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = 𝐿 )
330 329 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = 𝐿 )
331 328 330 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = 𝐿 )
332 29 leidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
333 26 29 29 143 332 eliccd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
334 319 331 333 10 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = 𝐿 )
335 334 35 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
336 335 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
337 eqid ⊢ ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
338 iftrue ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = 𝑅 )
339 338 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = 𝑅 )
340 26 rexrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
341 29 rexrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
342 lbicc2 ⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
343 340 341 143 342 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
344 319 339 343 11 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) = 𝑅 )
345 344 32 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
346 345 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
347 eqid ⊢ ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
348 eqid ⊢ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥
349 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑒 ∈ ℝ+ )
350 4 nnrpd ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+ )
351 350 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ℝ+ )
352 349 351 rpdivcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ+ )
353 352 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ+ )
354 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
355 29 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
356 355 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
357 354 356 mulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
358 357 coscld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
359 29 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
360 187 359 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
361 abscosbd ⊢ ( ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ≤ 1 )
362 360 361 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ≤ 1 )
363 362 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ≤ 1 )
364 26 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
365 364 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
366 354 365 mulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
367 366 coscld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℂ )
368 26 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
369 187 368 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
370 abscosbd ⊢ ( ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 1 )
371 369 370 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 1 )
372 371 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 1 )
373 fveq2 ⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) )
374 373 fveq2d ⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
375 374 cbvitgv ⊢ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥
376 375 oveq2i ⊢ ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 )
377 376 oveq1i ⊢ ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) )
378 377 oveq1i ⊢ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 )
379 378 fveq2i ⊢ ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) )
380 379 oveq1i ⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) ) + 1 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) ) + 1 )
381 178 308 309 314 318 336 337 346 347 348 353 358 363 367 372 380 fourierdlem47 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
382 simplll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝜑 )
383 simpllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
384 elioore ⊢ ( 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℝ )
385 384 adantl ⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
386 0red ⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 0 ∈ ℝ )
387 nnre ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ )
388 387 adantr ⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 ∈ ℝ )
389 nngt0 ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚 )
390 389 adantr ⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑚 )
391 388 rexrd ⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 ∈ ℝ* )
392 pnfxr ⊢ +∞ ∈ ℝ*
393 392 a1i ⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
394 simpr ⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) )
395 ioogtlb ⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 < 𝑟 )
396 391 393 394 395 syl3anc ⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 < 𝑟 )
397 386 388 385 390 396 lttrd ⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑟 )
398 385 397 elrpd ⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
399 398 adantll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
400 26 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
401 29 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
402 72 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
403 402 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
404 rpcn ⊢ ( 𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℂ )
405 404 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
406 44 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
407 406 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
408 405 407 mulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
409 408 sincld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
410 403 409 mulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
411 400 401 410 itgioo ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
412 143 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
413 72 feqmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ) )
414 iftrue ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = 𝐿 )
415 329 414 eqtr4d ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
416 415 adantl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
417 iffalse ⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
418 417 adantl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
419 54 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
420 55 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
421 44 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
422 26 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
423 44 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
424 57 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑥 )
425 neqne ⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
426 425 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
427 422 423 424 426 leneltd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
428 427 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
429 44 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
430 29 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
431 60 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
432 322 biimpi ⊢ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 → 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
433 432 necon3bi ⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≠ 𝑥 )
434 433 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≠ 𝑥 )
435 429 430 431 434 leneltd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
436 435 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
437 419 420 421 428 436 eliood ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
438 fvres ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
439 437 438 syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
440 iffalse ⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
441 440 eqcomd ⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
442 441 adantl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
443 418 439 442 3eqtrrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
444 416 443 pm2.61dan ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
445 444 ifeq2da ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
446 445 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
447 319 413 446 3eqtr3d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
448 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
449 200 448 26 29 9 10 11 cncfiooicc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
450 447 449 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
451 413 450 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
452 451 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝐷 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
453 eqid ⊢ ( ℝ D 𝐷 ) = ( ℝ D 𝐷 )
454 136 13 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
455 454 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( ℝ D 𝐷 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
456 214 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
457 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
458 400 401 412 452 453 455 456 457 fourierdlem39 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) )
459 411 458 eqtr3d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) )
460 382 383 399 459 syl21anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) )
461 460 fveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) )
462 461 breq1d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
463 462 ralbidva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
464 463 rexbidva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
465 464 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
466 381 465 mpbird ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
467 466 an32s ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
468 102 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) )
469 468 itgeq2dv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
470 469 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
471 470 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
472 26 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
473 29 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
474 402 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
475 384 recnd ⊢ ( 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
476 475 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
477 406 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
478 476 477 mulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
479 478 sincld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
480 474 479 mulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
481 472 473 480 itgioo ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
482 69 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
483 482 479 mulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
484 472 473 483 itgioo ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
485 471 481 484 3eqtr3d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
486 485 fveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
487 486 breq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
488 487 ralbidva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
489 488 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
490 489 rexbidv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
491 467 490 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
492 491 ralrimiva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
493 492 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
494 nfv ⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ )
495 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑖 ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
496 494 495 nfan ⊢ Ⅎ 𝑖 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
497 nfv ⊢ Ⅎ 𝑟 ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ )
498 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑟 ( 0 ..^ 𝑀 )
499 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑟 ℕ
500 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑟 ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
501 499 500 nfrexw ⊢ Ⅎ 𝑟 ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
502 498 501 nfralw ⊢ Ⅎ 𝑟 ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
503 497 502 nfan ⊢ Ⅎ 𝑟 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
504 nfmpt1 ⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) )
505 fzofi ⊢ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin
506 505 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin )
507 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
508 eqid ⊢ { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } = { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) }
509 eqid ⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) )
510 eqid ⊢ sup ( ran ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) ) , ℝ , < ) = sup ( ran ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) ) , ℝ , < )
511 496 503 504 506 507 508 509 510 fourierdlem31 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
512 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
513 nfv ⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ )
514 nfre1 ⊢ Ⅎ 𝑛 ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
515 513 514 nfan ⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
516 nfv ⊢ Ⅎ 𝑟 𝑛 ∈ ℕ
517 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑟 ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
518 497 516 517 nf3an ⊢ Ⅎ 𝑟 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
519 simpll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝜑 )
520 elioore ⊢ ( 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℝ )
521 520 adantl ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
522 0red ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 0 ∈ ℝ )
523 nnre ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ )
524 523 adantr ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 ∈ ℝ )
525 nngt0 ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛 )
526 525 adantr ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑛 )
527 524 rexrd ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 ∈ ℝ* )
528 392 a1i ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
529 simpr ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) )
530 ioogtlb ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 < 𝑟 )
531 527 528 529 530 syl3anc ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 < 𝑟 )
532 522 524 521 526 531 lttrd ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑟 )
533 521 532 elrpd ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
534 533 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
535 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ∈ ℝ )
536 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℝ )
537 3 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
538 537 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
539 404 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
540 21 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
541 540 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
542 541 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
543 539 542 mulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
544 543 sincld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
545 538 544 mulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
546 535 536 545 itgioo ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
547 6 eqcomd ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
548 7 eqcomd ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
549 547 548 oveq12d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
550 549 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
551 550 itgeq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
552 0zd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 0 ∈ ℤ )
553 nnuz ⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
554 0p1e1 ⊢ ( 0 + 1 ) = 1
555 554 fveq2i ⊢ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) = ( ℤ≥ ‘ 1 )
556 553 555 eqtr4i ⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) )
557 4 556 eleqtrdi ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) )
558 557 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) )
559 22 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
560 8 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
561 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
562 549 eqcomd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) = ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
563 562 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) = ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
564 561 563 eleqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
565 564 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
566 565 545 syldan ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
567 26 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
568 29 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
569 114 111 sstrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
570 121 569 feqresmpt ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
571 570 9 eqeltrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
572 571 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
573 sincn ⊢ sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ )
574 573 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
575 185 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
576 404 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
577 189 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ℂ ⊆ ℂ )
578 575 576 577 constcncfg ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
579 194 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
580 578 579 mulcncf ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
581 580 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
582 574 581 cncfmpt1f ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
583 572 582 mulcncf ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
584 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
585 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) )
586 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) )
587 3 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
588 45 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
589 47 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
590 5 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
591 simplr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
592 588 589 590 591 80 fourierdlem1 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
593 587 592 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
594 593 adantllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
595 576 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
596 311 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
597 595 596 mulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
598 597 sincld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
599 570 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
600 10 599 eleqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
601 600 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
602 rpre ⊢ ( 𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ )
603 602 adantr ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
604 95 adantl ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
605 603 604 remulcld ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
606 605 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
607 606 ad2ant2r ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) ≠ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
608 recn ⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ )
609 608 sincld ⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ )
610 609 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ )
611 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 )
612 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 )
613 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) )
614 185 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
615 576 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
616 568 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
617 611 614 615 616 constlimc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
618 614 612 616 idlimc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
619 611 612 613 595 596 617 618 mullimc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
620 eqid ⊢ ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) )
621 sinf ⊢ sin : ℂ ⟶ ℂ
622 621 a1i ⊢ ( ⊤ → sin : ℂ ⟶ ℂ )
623 622 feqmptd ⊢ ( ⊤ → sin = ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) )
624 623 573 eqeltrrdi ⊢ ( ⊤ → ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
625 19 a1i ⊢ ( ⊤ → ℝ ⊆ ℂ )
626 resincl ⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ )
627 626 adantl ⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ )
628 620 624 625 625 627 cncfmptssg ⊢ ( ⊤ → ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
629 628 mptru ⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ )
630 629 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
631 602 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
632 631 568 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
633 fveq2 ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( sin ‘ 𝑦 ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
634 630 632 633 cnmptlimc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) limℂ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
635 fveq2 ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑟 · 𝑥 ) → ( sin ‘ 𝑦 ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) )
636 fveq2 ⊢ ( ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
637 636 ad2antll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
638 607 610 619 634 635 637 limcco ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
639 584 585 586 594 598 601 638 mullimc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐿 · ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
640 570 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
641 11 640 eleqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
642 641 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
643 606 ad2ant2r ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) ≠ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
644 567 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
645 611 614 615 644 constlimc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
646 614 612 644 idlimc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
647 611 612 613 595 596 645 646 mullimc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
648 631 567 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
649 fveq2 ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( sin ‘ 𝑦 ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) )
650 630 648 649 cnmptlimc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) limℂ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) )
651 fveq2 ⊢ ( ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) )
652 651 ad2antll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) )
653 643 610 647 650 635 652 limcco ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
654 584 585 586 594 598 642 653 mullimc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑅 · ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
655 567 568 583 639 654 iblcncfioo ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
656 simpll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) )
657 68 adantllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
658 656 657 545 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
659 567 568 655 658 ibliooicc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
660 552 558 559 560 566 659 itgspltprt ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
661 546 551 660 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
662 519 534 661 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
663 505 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin )
664 69 adantllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
665 520 recnd ⊢ ( 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
666 665 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
667 666 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
668 406 adantllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
669 667 668 mulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
670 669 sincld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
671 664 670 mulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
672 671 adantl3r ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
673 simplll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝜑 )
674 534 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
675 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
676 673 674 675 659 syl21anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
677 672 676 itgcl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
678 663 677 fsumcl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
679 662 678 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
680 679 adantllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
681 680 3adantl3 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
682 681 abscld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
683 677 abscld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
684 663 683 fsumrecl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
685 684 adantllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
686 685 3adantl3 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
687 rpre ⊢ ( 𝑒 ∈ ℝ+ → 𝑒 ∈ ℝ )
688 687 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑒 ∈ ℝ )
689 688 3ad2antl1 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑒 ∈ ℝ )
690 662 fveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
691 663 677 fsumabs ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
692 690 691 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
693 692 adantllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
694 693 3adantl3 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
695 505 a1i ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin )
696 0zd ⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℤ )
697 4 nnzd ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
698 4 nngt0d ⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑀 )
699 fzolb ⊢ ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀 ) )
700 696 697 698 699 syl3anbrc ⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
701 ne0i ⊢ ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
702 700 701 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
703 702 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
704 703 3ad2antl1 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
705 simp1l ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → 𝜑 )
706 705 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝜑 )
707 simpll2 ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ )
708 706 707 jca ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) )
709 simplr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) )
710 simpr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
711 eleq1w ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
712 711 anbi2d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
713 fveq2 ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
714 oveq1 ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝑗 + 1 ) )
715 714 fveq2d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
716 713 715 oveq12d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
717 716 itgeq1d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
718 717 eleq1d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ↔ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ) )
719 712 718 imbi12d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ) ) )
720 719 677 chvarvv ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
721 708 709 710 720 syl21anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
722 721 abscld ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
723 352 rpred ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ )
724 723 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ )
725 724 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ )
726 simpll3 ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
727 rspa ⊢ ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
728 727 adantr ⊢ ( ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
729 717 fveq2d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
730 729 breq1d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
731 730 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
732 728 731 sylib ⊢ ( ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
733 rspa ⊢ ( ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
734 732 733 sylancom ⊢ ( ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
735 726 709 710 734 syl21anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
736 695 704 722 725 735 fsumlt ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) )
737 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
738 oveq1 ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
739 738 fveq2d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
740 737 739 oveq12d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
741 740 itgeq1d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
742 741 fveq2d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
743 742 cbvsumv ⊢ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
744 743 a1i ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
745 352 rpcnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℂ )
746 fsumconst ⊢ ( ( ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin ∧ ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
747 505 745 746 sylancr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
748 4 nnnn0d ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 )
749 hashfzo0 ⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) = 𝑀 )
750 748 749 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) = 𝑀 )
751 750 oveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
752 751 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
753 349 rpcnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑒 ∈ ℂ )
754 351 rpcnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ℂ )
755 351 rpne0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ≠ 0 )
756 753 754 755 divcan2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑀 · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = 𝑒 )
757 747 752 756 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = 𝑒 )
758 757 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = 𝑒 )
759 758 3ad2antl1 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = 𝑒 )
760 736 744 759 3brtr3d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
761 682 686 689 694 760 lelttrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
762 761 ex ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
763 518 762 ralrimi ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
764 763 3exp ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) ) )
765 764 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) ) )
766 515 765 reximdai ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
767 512 766 mpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
768 511 767 syldan ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
769 768 ex ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
770 769 ralimdva ⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
771 493 770 mpd ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )