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Theorem fourierdlem104

Description: The half upper part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the right limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem104.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
fourierdlem104.xre ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
fourierdlem104.p ⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
fourierdlem104.m ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
fourierdlem104.v ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
fourierdlem104.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉 )
fourierdlem104.fcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
fourierdlem104.fbdioo ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
fourierdlem104.fdvcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) )
fourierdlem104.fdvbd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
fourierdlem104.r ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
fourierdlem104.l ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
fourierdlem104.h ⊢ 𝐻 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) )
fourierdlem104.k ⊢ 𝐾 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem104.u ⊢ 𝑈 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) )
fourierdlem104.s ⊢ 𝑆 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
fourierdlem104.g ⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) )
fourierdlem104.z ⊢ 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
fourierdlem104.e ⊢ 𝐸 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
fourierdlem104.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
fourierdlem104.w ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
fourierdlem104.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
fourierdlem104.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
fourierdlem104.d ⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
fourierdlem104.o ⊢ 𝑂 = ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) )
fourierdlem104.t ⊢ 𝑇 = ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) )
fourierdlem104.n ⊢ 𝑁 = ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 )
fourierdlem104.j ⊢ 𝐽 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) )
fourierdlem104.q ⊢ 𝑄 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
fourierdlem104.1 ⊢ 𝐶 = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) )
fourierdlem104.ch ⊢ ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
Assertion fourierdlem104 ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( 𝑌 / 2 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem104.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
2 fourierdlem104.xre ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
3 fourierdlem104.p ⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
4 fourierdlem104.m ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
5 fourierdlem104.v ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
6 fourierdlem104.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉 )
7 fourierdlem104.fcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
8 fourierdlem104.fbdioo ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
9 fourierdlem104.fdvcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) )
10 fourierdlem104.fdvbd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
11 fourierdlem104.r ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
12 fourierdlem104.l ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
13 fourierdlem104.h ⊢ 𝐻 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) )
14 fourierdlem104.k ⊢ 𝐾 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
15 fourierdlem104.u ⊢ 𝑈 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) )
16 fourierdlem104.s ⊢ 𝑆 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
17 fourierdlem104.g ⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) )
18 fourierdlem104.z ⊢ 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
19 fourierdlem104.e ⊢ 𝐸 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
20 fourierdlem104.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
21 fourierdlem104.w ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
22 fourierdlem104.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
23 fourierdlem104.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
24 fourierdlem104.d ⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
25 fourierdlem104.o ⊢ 𝑂 = ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) )
26 fourierdlem104.t ⊢ 𝑇 = ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) )
27 fourierdlem104.n ⊢ 𝑁 = ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 )
28 fourierdlem104.j ⊢ 𝐽 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) )
29 fourierdlem104.q ⊢ 𝑄 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
30 fourierdlem104.1 ⊢ 𝐶 = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) )
31 fourierdlem104.ch ⊢ ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
32 eqid ⊢ ( ℤ≥ ‘ 1 ) = ( ℤ≥ ‘ 1 )
33 1zzd ⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
34 nfv ⊢ Ⅎ 𝑛 𝜑
35 nfmpt1 ⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
36 nfmpt1 ⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π )
37 nfmpt1 ⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
38 19 37 nfcxfr ⊢ Ⅎ 𝑛 𝐸
39 nnuz ⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
40 elioore ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑑 ∈ ℝ )
41 40 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
42 pire ⊢ π ∈ ℝ
43 42 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → π ∈ ℝ )
44 ioossre ⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ
45 44 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ )
46 1 45 fssresd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) : ( 𝑋 (,) +∞ ) ⟶ ℝ )
47 ioosscn ⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ
48 47 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ )
49 eqid ⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
50 pnfxr ⊢ +∞ ∈ ℝ*
51 50 a1i ⊢ ( 𝜑 → +∞ ∈ ℝ* )
52 2 ltpnfd ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 < +∞ )
53 49 51 2 52 lptioo1cn ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( limPt ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) )
54 46 48 53 20 limcrecl ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ )
55 ioossre ⊢ ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ
56 55 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ )
57 1 56 fssresd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) : ( -∞ (,) 𝑋 ) ⟶ ℝ )
58 ioosscn ⊢ ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ
59 58 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ )
60 mnfxr ⊢ -∞ ∈ ℝ*
61 60 a1i ⊢ ( 𝜑 → -∞ ∈ ℝ* )
62 2 mnfltd ⊢ ( 𝜑 → -∞ < 𝑋 )
63 49 61 2 62 lptioo2cn ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( limPt ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) )
64 57 59 63 21 limcrecl ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ )
65 1 2 54 64 13 14 15 fourierdlem55 ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
66 ax-resscn ⊢ ℝ ⊆ ℂ
67 66 a1i ⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ )
68 65 67 fssd ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ )
69 68 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ )
70 42 renegcli ⊢ - π ∈ ℝ
71 70 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → - π ∈ ℝ )
72 70 a1i ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → - π ∈ ℝ )
73 0red ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 ∈ ℝ )
74 negpilt0 ⊢ - π < 0
75 74 a1i ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → - π < 0 )
76 0xr ⊢ 0 ∈ ℝ*
77 42 rexri ⊢ π ∈ ℝ*
78 ioogtlb ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 𝑑 )
79 76 77 78 mp3an12 ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 < 𝑑 )
80 72 73 40 75 79 lttrd ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → - π < 𝑑 )
81 72 40 80 ltled ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → - π ≤ 𝑑 )
82 81 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → - π ≤ 𝑑 )
83 43 leidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → π ≤ π )
84 iccss ⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ∧ ( - π ≤ 𝑑 ∧ π ≤ π ) ) → ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ( - π [,] π ) )
85 71 43 82 83 84 syl22anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ( - π [,] π ) )
86 69 85 fssresd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ )
87 25 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑂 = ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) )
88 87 feq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑂 : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ ↔ ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ ) )
89 86 88 mpbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑂 : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ )
90 42 elexi ⊢ π ∈ V
91 90 prid2 ⊢ π ∈ { 𝑑 , π }
92 elun1 ⊢ ( π ∈ { 𝑑 , π } → π ∈ ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) )
93 91 92 ax-mp ⊢ π ∈ ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) )
94 93 26 eleqtrri ⊢ π ∈ 𝑇
95 94 ne0ii ⊢ 𝑇 ≠ ∅
96 95 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ ∅ )
97 prfi ⊢ { 𝑑 , π } ∈ Fin
98 97 a1i ⊢ ( 𝜑 → { 𝑑 , π } ∈ Fin )
99 fzfi ⊢ ( 0 ... 𝑀 ) ∈ Fin
100 29 rnmptfi ⊢ ( ( 0 ... 𝑀 ) ∈ Fin → ran 𝑄 ∈ Fin )
101 99 100 ax-mp ⊢ ran 𝑄 ∈ Fin
102 infi ⊢ ( ran 𝑄 ∈ Fin → ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ∈ Fin )
103 101 102 mp1i ⊢ ( 𝜑 → ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ∈ Fin )
104 unfi ⊢ ( ( { 𝑑 , π } ∈ Fin ∧ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ∈ Fin ) → ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) ∈ Fin )
105 98 103 104 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) ∈ Fin )
106 26 105 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ Fin )
107 hashnncl ⊢ ( 𝑇 ∈ Fin → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅ ) )
108 106 107 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅ ) )
109 96 108 mpbird ⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ )
110 nnm1nn0 ⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
111 109 110 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
112 27 111 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
113 112 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 )
114 0red ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 ∈ ℝ )
115 1red ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 1 ∈ ℝ )
116 113 nn0red ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
117 0lt1 ⊢ 0 < 1
118 117 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 1 )
119 2re ⊢ 2 ∈ ℝ
120 119 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 2 ∈ ℝ )
121 109 nnred ⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℝ )
122 121 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℝ )
123 iooltub ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 < π )
124 76 77 123 mp3an12 ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑑 < π )
125 40 124 ltned ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑑 ≠ π )
126 125 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ≠ π )
127 hashprg ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) → ( 𝑑 ≠ π ↔ ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) = 2 ) )
128 41 42 127 sylancl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 ≠ π ↔ ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) = 2 ) )
129 126 128 mpbid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) = 2 )
130 129 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 2 = ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) )
131 106 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑇 ∈ Fin )
132 ssun1 ⊢ { 𝑑 , π } ⊆ ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) )
133 132 26 sseqtrri ⊢ { 𝑑 , π } ⊆ 𝑇
134 hashssle ⊢ ( ( 𝑇 ∈ Fin ∧ { 𝑑 , π } ⊆ 𝑇 ) → ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) )
135 131 133 134 sylancl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) )
136 130 135 eqbrtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) )
137 120 122 115 136 lesub1dd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 2 − 1 ) ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) )
138 1e2m1 ⊢ 1 = ( 2 − 1 )
139 137 138 27 3brtr4g ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 1 ≤ 𝑁 )
140 114 115 116 118 139 ltletrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 𝑁 )
141 140 gt0ne0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑁 ≠ 0 )
142 elnnne0 ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ ↔ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ) )
143 113 141 142 sylanbrc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
144 41 leidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ≤ 𝑑 )
145 42 a1i ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → π ∈ ℝ )
146 40 145 124 ltled ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑑 ≤ π )
147 146 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ≤ π )
148 41 43 41 144 147 eliccd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
149 41 43 43 147 83 eliccd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → π ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
150 148 149 jca ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ∧ π ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) )
151 vex ⊢ 𝑑 ∈ V
152 151 90 prss ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ∧ π ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ↔ { 𝑑 , π } ⊆ ( 𝑑 [,] π ) )
153 150 152 sylib ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → { 𝑑 , π } ⊆ ( 𝑑 [,] π ) )
154 inss2 ⊢ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ⊆ ( 𝑑 (,) π )
155 154 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ⊆ ( 𝑑 (,) π ) )
156 ioossicc ⊢ ( 𝑑 (,) π ) ⊆ ( 𝑑 [,] π )
157 155 156 sstrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) )
158 153 157 unssd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) )
159 26 158 eqsstrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑇 ⊆ ( 𝑑 [,] π ) )
160 151 prid1 ⊢ 𝑑 ∈ { 𝑑 , π }
161 elun1 ⊢ ( 𝑑 ∈ { 𝑑 , π } → 𝑑 ∈ ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) )
162 160 161 ax-mp ⊢ 𝑑 ∈ ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) )
163 162 26 eleqtrri ⊢ 𝑑 ∈ 𝑇
164 163 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ∈ 𝑇 )
165 94 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → π ∈ 𝑇 )
166 131 27 28 41 43 159 164 165 fourierdlem52 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( 𝑑 [,] π ) ∧ ( 𝐽 ‘ 0 ) = 𝑑 ) ∧ ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) = π ) )
167 166 simplld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( 𝑑 [,] π ) )
168 166 simplrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐽 ‘ 0 ) = 𝑑 )
169 166 simprd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) = π )
170 elfzoelz ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
171 170 zred ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
172 171 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
173 172 ltp1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) )
174 40 145 jca ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) )
175 151 90 prss ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ↔ { 𝑑 , π } ⊆ ℝ )
176 174 175 sylib ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → { 𝑑 , π } ⊆ ℝ )
177 176 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → { 𝑑 , π } ⊆ ℝ )
178 ioossre ⊢ ( 𝑑 (,) π ) ⊆ ℝ
179 154 178 sstri ⊢ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ⊆ ℝ
180 179 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ⊆ ℝ )
181 177 180 unssd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) ⊆ ℝ )
182 26 181 eqsstrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑇 ⊆ ℝ )
183 131 182 28 27 fourierdlem36 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) )
184 183 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) )
185 elfzofz ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
186 185 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
187 fzofzp1 ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
188 187 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
189 isorel ⊢ ( ( 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
190 184 186 188 189 syl12anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
191 173 190 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
192 65 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
193 192 85 feqresmpt ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) )
194 85 sselda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
195 1 2 54 64 13 fourierdlem9 ⊢ ( 𝜑 → 𝐻 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
196 195 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝐻 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
197 196 194 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
198 14 fourierdlem43 ⊢ 𝐾 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ
199 198 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝐾 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
200 199 194 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
201 197 200 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
202 15 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) )
203 194 201 202 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) )
204 0red ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 0 ∈ ℝ )
205 40 adantr ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
206 42 a1i ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → π ∈ ℝ )
207 simpr ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
208 eliccre ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
209 205 206 207 208 syl3anc ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
210 79 adantr ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 0 < 𝑑 )
211 205 rexrd ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑑 ∈ ℝ* )
212 77 a1i ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → π ∈ ℝ* )
213 iccgelb ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑑 ≤ 𝑠 )
214 211 212 207 213 syl3anc ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑑 ≤ 𝑠 )
215 204 205 209 210 214 ltletrd ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 0 < 𝑠 )
216 215 gt0ne0d ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ≠ 0 )
217 216 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ≠ 0 )
218 217 neneqd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ¬ 𝑠 = 0 )
219 218 iffalsed ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) )
220 215 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 0 < 𝑠 )
221 220 iftrued ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) = 𝑌 )
222 221 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) )
223 222 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) )
224 219 223 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) )
225 1 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
226 2 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
227 iccssre ⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) → ( - π [,] π ) ⊆ ℝ )
228 70 42 227 mp2an ⊢ ( - π [,] π ) ⊆ ℝ
229 228 194 sselid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
230 226 229 readdcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
231 225 230 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
232 54 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑌 ∈ ℝ )
233 231 232 resubcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) ∈ ℝ )
234 233 229 217 redivcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) ∈ ℝ )
235 224 234 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
236 13 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) )
237 194 235 236 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) )
238 237 219 223 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) )
239 206 renegcld ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → - π ∈ ℝ )
240 74 a1i ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → - π < 0 )
241 239 204 209 240 215 lttrd ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → - π < 𝑠 )
242 239 209 241 ltled ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → - π ≤ 𝑠 )
243 iccleub ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ≤ π )
244 211 212 207 243 syl3anc ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ≤ π )
245 239 206 209 242 244 eliccd ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
246 216 neneqd ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ¬ 𝑠 = 0 )
247 246 iffalsed ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
248 119 a1i ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 2 ∈ ℝ )
249 209 rehalfcld ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℝ )
250 249 resincld ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℝ )
251 248 250 remulcld ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℝ )
252 2cnd ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 2 ∈ ℂ )
253 209 recnd ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℂ )
254 253 halfcld ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ )
255 254 sincld ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ )
256 2ne0 ⊢ 2 ≠ 0
257 256 a1i ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 2 ≠ 0 )
258 fourierdlem44 ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ 𝑠 ≠ 0 ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 )
259 245 216 258 syl2anc ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 )
260 252 255 257 259 mulne0d ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 )
261 209 251 260 redivcld ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ ℝ )
262 247 261 eqeltrd ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ )
263 14 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
264 245 262 263 syl2anc ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
265 264 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
266 238 265 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
267 218 iffalsed ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
268 267 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
269 203 266 268 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
270 269 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
271 87 193 270 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
272 271 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
273 272 reseq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
274 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
275 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
276 4 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑀 ∈ ℕ )
277 5 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
278 7 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
279 11 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
280 12 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
281 124 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 < π )
282 73 40 ltnled ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ( 0 < 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 ≤ 0 ) )
283 79 282 mpbid ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ¬ 𝑑 ≤ 0 )
284 283 intn3an2d ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ¬ ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π ) )
285 elicc2 ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) → ( 0 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π ) ) )
286 40 42 285 sylancl ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ( 0 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π ) ) )
287 284 286 mtbird ⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ¬ 0 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
288 287 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ¬ 0 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
289 54 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑌 ∈ ℝ )
290 eqid ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
291 eqid ⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
292 eqid ⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) )
293 fveq2 ⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
294 oveq1 ⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑙 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
295 294 fveq2d ⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
296 293 295 oveq12d ⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
297 296 sseq2d ⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
298 297 cbvriotavw ⊢ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
299 274 275 3 276 277 278 279 280 41 43 281 85 288 289 290 29 26 27 28 291 292 298 fourierdlem86 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∧ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) )
300 299 simprd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
301 273 300 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
302 299 simplld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
303 272 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = 𝑂 )
304 303 reseq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
305 304 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
306 302 305 eleqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
307 299 simplrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
308 304 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
309 307 308 eleqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
310 eqid ⊢ ( ℝ D 𝑂 ) = ( ℝ D 𝑂 )
311 89 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑂 : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ )
312 41 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
313 42 a1i ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → π ∈ ℝ )
314 elioore ⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
315 314 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
316 85 228 sstrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ℝ )
317 316 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ℝ )
318 167 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( 𝑑 [,] π ) )
319 318 186 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
320 317 319 sseldd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
321 320 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
322 41 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
323 322 rexrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ* )
324 77 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → π ∈ ℝ* )
325 iccgelb ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑑 ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
326 323 324 319 325 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
327 326 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
328 321 rexrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* )
329 318 188 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
330 317 329 sseldd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ )
331 330 rexrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
332 331 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
333 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
334 ioogtlb ⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑠 )
335 328 332 333 334 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑠 )
336 312 321 315 327 335 lelttrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 < 𝑠 )
337 312 315 336 ltled ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ≤ 𝑠 )
338 330 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ )
339 iooltub ⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
340 328 332 333 339 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
341 iccleub ⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ π )
342 323 324 329 341 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ π )
343 342 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ π )
344 315 338 313 340 343 ltletrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < π )
345 315 313 344 ltled ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ≤ π )
346 312 313 315 337 345 eliccd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
347 346 ralrimiva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
348 dfss3 ⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) ↔ ∀ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
349 347 348 sylibr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) )
350 311 349 feqresmpt ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) )
351 simplll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝜑 )
352 simpllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) )
353 25 fveq1i ⊢ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) ‘ 𝑠 )
354 353 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) )
355 fvres ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) → ( ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) )
356 355 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) )
357 265 267 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
358 238 357 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
359 233 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) ∈ ℂ )
360 253 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℂ )
361 2cnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 2 ∈ ℂ )
362 360 halfcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ )
363 362 sincld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ )
364 361 363 mulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
365 260 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 )
366 359 360 364 217 365 dmdcan2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
367 203 358 366 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
368 354 356 367 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
369 351 352 346 368 syl21anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
370 351 352 346 366 syl21anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
371 370 eqcomd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
372 eqidd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) = ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) )
373 oveq2 ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑋 + 𝑡 ) = ( 𝑋 + 𝑠 ) )
374 373 fveq2d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
375 374 oveq1d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) )
376 id ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → 𝑡 = 𝑠 )
377 375 376 oveq12d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) )
378 377 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑡 = 𝑠 ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) )
379 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
380 ovex ⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) ∈ V
381 380 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) ∈ V )
382 372 378 379 381 fvmptd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) )
383 eqidd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) )
384 oveq1 ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 / 2 ) = ( 𝑠 / 2 ) )
385 384 fveq2d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) )
386 385 oveq2d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) = ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
387 376 386 oveq12d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
388 387 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑡 = 𝑠 ) → ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
389 ovex ⊢ ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ V
390 389 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ V )
391 383 388 379 390 fvmptd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
392 382 391 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
393 392 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
394 393 adantllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
395 369 371 394 3eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
396 395 mpteq2dva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) )
397 350 396 eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
398 397 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
399 66 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ℝ ⊆ ℂ )
400 349 317 sstrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
401 tgioo4 ⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
402 49 401 dvres ⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑂 : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ ) ∧ ( ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
403 399 311 317 400 402 syl22anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
404 ioontr ⊢ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
405 404 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
406 405 reseq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
407 398 403 406 3eqtrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) )
408 1 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
409 2 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
410 4 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ )
411 5 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
412 9 ad4ant14 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) )
413 85 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ( - π [,] π ) )
414 349 413 sstrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
415 76 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 ∈ ℝ* )
416 0red ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 ∈ ℝ )
417 79 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 < 𝑑 )
418 416 322 320 417 326 ltletrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 < ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
419 320 331 415 418 ltnelicc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ¬ 0 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
420 54 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑌 ∈ ℝ )
421 42 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → π ∈ ℝ )
422 281 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 < π )
423 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) )
424 biid ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑣 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑣 + 1 ) ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑣 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑣 + 1 ) ) ) ) )
425 409 3 410 411 322 421 422 413 29 26 27 28 423 298 424 fourierdlem50 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
426 425 simpld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
427 425 simprd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) )
428 377 cbvmptv ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) )
429 387 cbvmptv ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
430 eqid ⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
431 408 409 3 410 411 412 320 330 191 414 419 420 29 426 427 428 429 430 fourierdlem72 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
432 407 431 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
433 eqid ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
434 eqid ⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
435 30 426 eqeltrid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
436 simpll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝜑 )
437 436 435 jca ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
438 eleq1 ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
439 438 anbi2d ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
440 fveq2 ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) )
441 oveq1 ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝐶 + 1 ) )
442 441 fveq2d ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
443 440 442 oveq12d ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
444 raleq ⊢ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
445 443 444 syl ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
446 445 rexbidv ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
447 439 446 imbi12d ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) )
448 447 8 vtoclg ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
449 435 437 448 sylc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
450 nfv ⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) )
451 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤
452 450 451 nfan ⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
453 simplr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
454 70 a1i ⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℝ )
455 454 2 readdcld ⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
456 42 a1i ⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℝ )
457 456 2 readdcld ⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
458 455 457 iccssred ⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ )
459 ressxr ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
460 458 459 sstrdi ⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ* )
461 460 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ* )
462 3 410 411 fourierdlem15 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) )
463 elfzofz ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝐶 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
464 435 463 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
465 462 464 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) )
466 461 465 sseldd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ* )
467 466 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ* )
468 fzofzp1 ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝐶 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
469 435 468 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
470 462 469 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) )
471 461 470 sseldd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
472 471 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
473 elioore ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
474 473 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
475 70 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ∈ ℝ )
476 475 421 409 3 410 411 464 29 fourierdlem13 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ) )
477 476 simprd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) )
478 477 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) )
479 458 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ )
480 479 465 sseldd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ )
481 480 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ )
482 478 481 eqeltrrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ∈ ℝ )
483 409 320 readdcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ )
484 483 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ )
485 476 simpld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) )
486 480 409 resubcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
487 485 486 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ )
488 475 421 409 3 410 411 469 29 fourierdlem13 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) )
489 488 simpld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
490 479 470 sseldd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ )
491 490 409 resubcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
492 489 491 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ )
493 30 eqcomi ⊢ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) = 𝐶
494 493 fveq2i ⊢ ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝐶 )
495 493 oveq1i ⊢ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( 𝐶 + 1 )
496 495 fveq2i ⊢ ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) )
497 494 496 oveq12i ⊢ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
498 427 497 sseqtrdi ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
499 487 492 320 330 191 498 fourierdlem10 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
500 499 simpld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
501 487 320 409 500 leadd2dd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
502 501 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
503 484 rexrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* )
504 409 330 readdcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
505 504 rexrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* )
506 505 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* )
507 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
508 ioogtlb ⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) < 𝑡 )
509 503 506 507 508 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) < 𝑡 )
510 482 484 474 502 509 lelttrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) < 𝑡 )
511 478 510 eqbrtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) < 𝑡 )
512 504 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
513 488 simprd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
514 513 490 eqeltrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
515 514 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
516 iooltub ⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
517 503 506 507 516 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
518 499 simprd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
519 330 492 409 518 leadd2dd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
520 519 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
521 474 512 515 517 520 ltletrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
522 513 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
523 522 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
524 521 523 breqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
525 467 472 474 511 524 eliood ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
526 525 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
527 rspa ⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
528 453 526 527 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
529 528 ex ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
530 452 529 ralrimi ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
531 530 ex ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
532 531 reximdv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
533 449 532 mpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
534 443 raleqdv ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
535 534 rexbidv ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
536 439 535 imbi12d ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) )
537 536 10 vtoclg ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
538 435 437 537 sylc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
539 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧
540 450 539 nfan ⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
541 1 67 fssd ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
542 ssid ⊢ ℝ ⊆ ℝ
543 542 a1i ⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℝ )
544 ioossre ⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ
545 544 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ )
546 49 401 dvres ⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ) ∧ ( ℝ ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) )
547 67 541 543 545 546 syl22anc ⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) )
548 ioontr ⊢ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
549 548 reseq2i ⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
550 547 549 eqtrdi ⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
551 550 fveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) )
552 fvres ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) )
553 551 552 sylan9eq ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) )
554 553 ad4ant14 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) )
555 554 fveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) )
556 555 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) )
557 simplr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
558 525 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
559 rspa ⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
560 557 558 559 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
561 556 560 eqbrtrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
562 561 ex ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
563 540 562 ralrimi ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
564 563 ex ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
565 564 reximdv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
566 538 565 mpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
567 323 324 318 423 fourierdlem8 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) )
568 143 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝑁 ∈ ℕ )
569 167 316 fssd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ℝ )
570 569 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ℝ )
571 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
572 168 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 = ( 𝐽 ‘ 0 ) )
573 169 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → π = ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) )
574 572 573 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 [,] π ) = ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) )
575 574 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑑 [,] π ) = ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) )
576 571 575 eleqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) )
577 576 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) )
578 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 )
579 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
580 579 breq1d ⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 ) )
581 580 cbvrabv ⊢ { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 } = { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 }
582 581 supeq1i ⊢ sup ( { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 } , ℝ , < ) = sup ( { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 } , ℝ , < )
583 568 570 577 578 582 fourierdlem25 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑚 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑚 + 1 ) ) ) )
584 541 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
585 542 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ℝ ⊆ ℝ )
586 544 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ )
587 399 584 585 586 546 syl22anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) )
588 525 ralrimiva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
589 dfss3 ⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
590 588 589 sylibr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
591 resabs2 ⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
592 590 591 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
593 549 587 592 3eqtr4a ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) )
594 590 resabs1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
595 594 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
596 593 592 595 3eqtrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) )
597 443 reseq2d ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) )
598 597 443 feq12d ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ↔ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) )
599 439 598 imbi12d ⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) ) )
600 cncff ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
601 9 600 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
602 599 601 vtoclg ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) )
603 602 anabsi7 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
604 437 603 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
605 604 590 fssresd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⟶ ℝ )
606 596 605 feq1dd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⟶ ℝ )
607 375 386 oveq12d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
608 607 cbvmptv ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
609 fveq2 ⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) )
610 609 fveq2d ⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) )
611 610 breq1d ⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
612 611 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
613 612 anbi2i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ) ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
614 fveq2 ⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) = ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) )
615 614 fveq2d ⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) )
616 615 breq1d ⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
617 616 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
618 613 617 anbi12i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
619 274 275 41 43 85 288 289 433 434 533 566 167 191 567 583 606 608 618 fourierdlem80 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 )
620 366 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
621 271 620 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
622 621 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ℝ D 𝑂 ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
623 622 dmeqd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → dom ( ℝ D 𝑂 ) = dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
624 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑠 dom ( ℝ D 𝑂 )
625 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑠 ℝ
626 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑠 D
627 nfmpt1 ⊢ Ⅎ 𝑠 ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
628 625 626 627 nfov ⊢ Ⅎ 𝑠 ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
629 628 nfdm ⊢ Ⅎ 𝑠 dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
630 624 629 raleqf ⊢ ( dom ( ℝ D 𝑂 ) = dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
631 623 630 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
632 622 fveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
633 632 fveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
634 633 breq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
635 634 ralbidv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
636 631 635 bitrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
637 636 rexbidv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
638 619 637 mpbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 )
639 eqid ⊢ ( 𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( 𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
640 eqeq1 ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ↔ 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
641 fveq2 ⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( 𝑄 ‘ ℎ ) = ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) )
642 oveq1 ⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ℎ + 1 ) = ( 𝑙 + 1 ) )
643 642 fveq2d ⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) )
644 641 643 oveq12d ⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) )
645 644 sseq2d ⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) )
646 645 cbvriotavw ⊢ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) )
647 646 fveq2i ⊢ ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) )
648 647 eqeq2i ⊢ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) )
649 648 a1i ⊢ ( ⊤ → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) ) )
650 csbeq1 ⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 )
651 646 650 mp1i ⊢ ( ⊤ → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 )
652 649 651 ifbieq1d ⊢ ( ⊤ → if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
653 652 mptru ⊢ if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) )
654 653 oveq1i ⊢ ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) = ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 )
655 654 oveq1i ⊢ ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
656 655 oveq1i ⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) )
657 656 a1i ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) )
658 eqeq1 ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ↔ 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
659 646 oveq1i ⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 )
660 659 fveq2i ⊢ ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) )
661 660 eqeq2i ⊢ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) )
662 661 a1i ⊢ ( ⊤ → ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) )
663 csbeq1 ⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 )
664 646 663 mp1i ⊢ ( ⊤ → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 )
665 662 664 ifbieq1d ⊢ ( ⊤ → if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
666 665 mptru ⊢ if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
667 666 oveq1i ⊢ ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) = ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 )
668 667 oveq1i ⊢ ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
669 668 oveq1i ⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
670 669 a1i ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) )
671 fveq2 ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) = ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) )
672 658 670 671 ifbieq12d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) = if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) )
673 640 657 672 ifbieq12d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) ) = if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) ) )
674 673 cbvmptv ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) ) )
675 41 43 89 143 167 168 169 191 301 306 309 310 432 638 639 674 fourierdlem73 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
676 breq2 ⊢ ( 𝑒 = 𝑎 → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) )
677 676 rexralbidv ⊢ ( 𝑒 = 𝑎 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) )
678 677 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 )
679 675 678 sylib ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 )
680 679 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 )
681 rphalfcl ⊢ ( 𝑒 ∈ ℝ+ → ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ )
682 681 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ )
683 breq2 ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 / 2 ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
684 683 rexralbidv ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 / 2 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
685 684 rspccva ⊢ ( ( ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ∧ ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
686 680 682 685 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
687 156 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 (,) π ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) )
688 687 sselda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
689 688 355 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) )
690 353 689 eqtr2id ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) )
691 690 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) )
692 691 itgeq2dv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
693 692 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
694 693 fveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
695 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
696 694 695 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
697 696 ex ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
698 697 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
699 698 ralimdv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
700 699 reximdv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
701 686 700 mpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
702 701 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
703 nfv ⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) )
704 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑘 ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 )
705 703 704 nfan ⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
706 nfv ⊢ Ⅎ 𝑘 𝑗 ∈ ℕ
707 705 706 nfan ⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ )
708 nfv ⊢ Ⅎ 𝑘 ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 )
709 707 708 nfan ⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
710 simpll ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) )
711 eluznn ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
712 711 adantll ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
713 710 712 jca ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) )
714 713 adantllr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) )
715 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
716 711 adantll ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
717 rspa ⊢ ( ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
718 715 716 717 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
719 714 718 jca ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
720 719 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
721 nnre ⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ )
722 721 rexrd ⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ* )
723 722 adantr ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ* )
724 50 a1i ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
725 eluzelre ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
726 halfre ⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ
727 726 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
728 725 727 readdcld ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
729 728 adantl ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
730 721 adantr ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
731 725 adantl ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
732 eluzle ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → 𝑗 ≤ 𝑘 )
733 732 adantl ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ≤ 𝑘 )
734 halfgt0 ⊢ 0 < ( 1 / 2 )
735 734 a1i ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 0 < ( 1 / 2 ) )
736 726 a1i ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
737 736 731 ltaddposd ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 0 < ( 1 / 2 ) ↔ 𝑘 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ) )
738 735 737 mpbid ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
739 730 731 729 733 738 lelttrd ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
740 729 ltpnfd ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) < +∞ )
741 723 724 729 739 740 eliood ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) )
742 741 adantlr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) )
743 simplr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
744 oveq1 ⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( 𝑙 · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
745 744 fveq2d ⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
746 745 oveq2d ⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
747 746 adantr ⊢ ( ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
748 747 itgeq2dv ⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
749 748 fveq2d ⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
750 749 breq1d ⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
751 750 rspcv ⊢ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
752 742 743 751 sylc ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
753 752 adantlll ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
754 720 753 31 sylanbrc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝜒 )
755 0red ⊢ ( 𝜒 → 0 ∈ ℝ )
756 42 a1i ⊢ ( 𝜒 → π ∈ ℝ )
757 ioossicc ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 [,] π )
758 31 biimpi ⊢ ( 𝜒 → ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
759 simp-4r ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) )
760 758 759 syl ⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) )
761 757 760 sselid ⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ( 0 [,] π ) )
762 simp-5l ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝜑 )
763 758 762 syl ⊢ ( 𝜒 → 𝜑 )
764 65 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
765 70 rexri ⊢ - π ∈ ℝ*
766 0re ⊢ 0 ∈ ℝ
767 70 766 74 ltleii ⊢ - π ≤ 0
768 iooss1 ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ - π ≤ 0 ) → ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π (,) π ) )
769 765 767 768 mp2an ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π (,) π )
770 ioossicc ⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ( - π [,] π )
771 769 770 sstri ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π [,] π )
772 771 sseli ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
773 772 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
774 764 773 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
775 763 774 sylan ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
776 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
777 758 776 syl ⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℕ )
778 777 nnred ⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ )
779 726 a1i ⊢ ( 𝜒 → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
780 778 779 readdcld ⊢ ( 𝜒 → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
781 780 adantr ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
782 elioore ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ∈ ℝ )
783 782 adantl ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
784 781 783 remulcld ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ )
785 784 resincld ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
786 775 785 remulcld ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
787 786 recnd ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℂ )
788 76 a1i ⊢ ( 𝜒 → 0 ∈ ℝ* )
789 77 a1i ⊢ ( 𝜒 → π ∈ ℝ* )
790 755 leidd ⊢ ( 𝜒 → 0 ≤ 0 )
791 ioossre ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ℝ
792 791 760 sselid ⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ℝ )
793 788 789 760 123 syl3anc ⊢ ( 𝜒 → 𝑑 < π )
794 792 756 793 ltled ⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ≤ π )
795 ioossioo ⊢ ( ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) ∧ ( 0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ π ) ) → ( 0 (,) 𝑑 ) ⊆ ( 0 (,) π ) )
796 788 789 790 794 795 syl22anc ⊢ ( 𝜒 → ( 0 (,) 𝑑 ) ⊆ ( 0 (,) π ) )
797 ioombl ⊢ ( 0 (,) 𝑑 ) ∈ dom vol
798 797 a1i ⊢ ( 𝜒 → ( 0 (,) 𝑑 ) ∈ dom vol )
799 eleq1 ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ ) )
800 799 anbi2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ) )
801 simpl ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑛 = 𝑘 )
802 801 oveq1d ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
803 802 oveq1d ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
804 803 fveq2d ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
805 804 oveq2d ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
806 805 mpteq2dva ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) )
807 806 eleq1d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ↔ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) )
808 800 807 imbi12d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) ) )
809 771 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π [,] π ) )
810 ioombl ⊢ ( 0 (,) π ) ∈ dom vol
811 810 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 (,) π ) ∈ dom vol )
812 65 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
813 812 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
814 nnre ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ )
815 readdcl ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
816 814 726 815 sylancl ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
817 816 adantr ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
818 simpr ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
819 228 818 sselid ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
820 817 819 remulcld ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ )
821 820 resincld ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
822 821 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
823 813 822 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
824 16 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
825 818 821 824 syl2anc ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
826 825 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
827 826 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
828 827 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) )
829 17 828 eqtr2id ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) = 𝐺 )
830 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
831 6 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ran 𝑉 )
832 20 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑌 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
833 21 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑊 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
834 814 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℝ )
835 4 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑀 ∈ ℕ )
836 5 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
837 7 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
838 11 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
839 12 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
840 eqid ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
841 eqid ⊢ ( ℝ D 𝐹 ) = ( ℝ D 𝐹 )
842 601 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
843 22 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐴 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
844 23 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐵 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
845 3 830 831 832 833 13 14 15 834 16 17 835 836 837 838 839 29 840 841 842 843 844 fourierdlem88 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 ∈ 𝐿1 )
846 829 845 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
847 809 811 823 846 iblss ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
848 808 847 chvarvv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
849 763 777 848 syl2anc ⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
850 796 798 786 849 iblss ⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) 𝑑 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
851 788 789 760 78 syl3anc ⊢ ( 𝜒 → 0 < 𝑑 )
852 755 792 851 ltled ⊢ ( 𝜒 → 0 ≤ 𝑑 )
853 756 leidd ⊢ ( 𝜒 → π ≤ π )
854 ioossioo ⊢ ( ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) ∧ ( 0 ≤ 𝑑 ∧ π ≤ π ) ) → ( 𝑑 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) π ) )
855 788 789 852 853 854 syl22anc ⊢ ( 𝜒 → ( 𝑑 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) π ) )
856 ioombl ⊢ ( 𝑑 (,) π ) ∈ dom vol
857 856 a1i ⊢ ( 𝜒 → ( 𝑑 (,) π ) ∈ dom vol )
858 855 857 786 849 iblss ⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
859 755 756 761 787 850 858 itgsplitioo ⊢ ( 𝜒 → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
860 859 fveq2d ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) )
861 796 sselda ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) )
862 861 786 syldan ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
863 862 850 itgcl ⊢ ( 𝜒 → ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
864 855 sselda ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) )
865 864 786 syldan ⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
866 865 858 itgcl ⊢ ( 𝜒 → ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
867 863 866 addcld ⊢ ( 𝜒 → ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℂ )
868 867 abscld ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
869 863 abscld ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℝ )
870 866 abscld ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℝ )
871 869 870 readdcld ⊢ ( 𝜒 → ( ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
872 simp-5r ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑒 ∈ ℝ+ )
873 758 872 syl ⊢ ( 𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ+ )
874 873 rpred ⊢ ( 𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ )
875 863 866 abstrid ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ≤ ( ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) )
876 758 simplrd ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
877 758 simprd ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
878 869 870 874 876 877 lt2halvesd ⊢ ( 𝜒 → ( ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) < 𝑒 )
879 868 871 874 875 878 lelttrd ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) < 𝑒 )
880 860 879 eqbrtrd ⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
881 754 880 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
882 881 ex ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) )
883 709 882 ralrimi ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
884 883 ex ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) )
885 884 reximdva ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) )
886 702 885 mpd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
887 pipos ⊢ 0 < π
888 70 766 42 lttri ⊢ ( ( - π < 0 ∧ 0 < π ) → - π < π )
889 74 887 888 mp2an ⊢ - π < π
890 70 42 889 ltleii ⊢ - π ≤ π
891 890 a1i ⊢ ( 𝜑 → - π ≤ π )
892 3 fourierdlem2 ⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
893 4 892 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
894 5 893 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
895 894 simpld ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) )
896 elmapi ⊢ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
897 895 896 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
898 897 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
899 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
900 898 899 resubcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
901 900 29 fmptd ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
902 29 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
903 fveq2 ⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑉 ‘ 0 ) )
904 903 oveq1d ⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) )
905 904 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) )
906 4 nnnn0d ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 )
907 nn0uz ⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 )
908 906 907 eleqtrdi ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
909 eluzfz1 ⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
910 908 909 syl ⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
911 897 910 ffvelcdmd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ‘ 0 ) ∈ ℝ )
912 911 2 resubcld ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
913 902 905 910 912 fvmptd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) )
914 894 simprd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
915 914 simplld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) )
916 915 oveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) = ( ( - π + 𝑋 ) − 𝑋 ) )
917 454 recnd ⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℂ )
918 2 recnd ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ )
919 917 918 pncand ⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) − 𝑋 ) = - π )
920 913 916 919 3eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π )
921 454 456 2 3 840 4 5 29 fourierdlem14 ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) )
922 840 fourierdlem2 ⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
923 4 922 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
924 921 923 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
925 924 simprd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
926 925 simplrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π )
927 925 simprd ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
928 927 r19.21bi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
929 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
930 840 4 921 fourierdlem15 ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) )
931 930 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) )
932 elfzofz ⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
933 932 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
934 931 933 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( - π [,] π ) )
935 fzofzp1 ⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
936 935 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
937 931 936 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( - π [,] π ) )
938 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
939 ffn ⊢ ( 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ → 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
940 895 896 939 3syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
941 fvelrnb ⊢ ( 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) )
942 940 941 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) )
943 6 942 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 )
944 oveq1 ⊢ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( 𝑋 − 𝑋 ) )
945 944 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( 𝑋 − 𝑋 ) )
946 918 subidd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑋 ) = 0 )
947 946 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → ( 𝑋 − 𝑋 ) = 0 )
948 945 947 eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
949 948 ex ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
950 949 reximdva ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
951 943 950 mpd ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
952 29 elrnmpt ⊢ ( 0 ∈ ℝ → ( 0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
953 766 952 ax-mp ⊢ ( 0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
954 951 953 sylibr ⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ran 𝑄 )
955 840 4 921 954 fourierdlem12 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ¬ 0 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
956 897 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
957 956 933 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
958 957 938 resubcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
959 29 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
960 933 958 959 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
961 960 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) = ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) )
962 957 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
963 918 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℂ )
964 962 963 npcand ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) )
965 961 964 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) )
966 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) )
967 966 oveq1d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
968 967 cbvmptv ⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
969 29 968 eqtr4i ⊢ 𝑄 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) )
970 969 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) )
971 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
972 971 oveq1d ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
973 972 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
974 956 936 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
975 974 938 resubcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
976 970 973 936 975 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
977 976 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) = ( ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) )
978 974 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
979 978 963 npcand ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
980 977 979 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
981 965 980 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
982 981 reseq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
983 981 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) –cn→ ℂ ) = ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
984 7 982 983 3eltr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) ) ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) –cn→ ℂ ) )
985 54 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑌 ∈ ℝ )
986 64 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑊 ∈ ℝ )
987 929 934 937 938 955 984 985 986 13 fourierdlem40 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
988 id ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
989 66 a1i ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ℝ ⊆ ℂ )
990 988 989 fssd ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
991 9 600 990 3syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
992 eqid ⊢ if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) = if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
993 2 3 1 6 20 64 13 4 5 11 29 840 841 991 23 992 fourierdlem75 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
994 eqid ⊢ if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
995 2 3 1 6 54 21 13 4 5 12 29 840 841 601 22 994 fourierdlem74 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
996 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
997 oveq1 ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
998 997 fveq2d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
999 996 998 oveq12d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
1000 999 cbvmptv ⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
1001 454 456 891 195 4 901 920 926 928 987 993 995 1000 fourierdlem70 ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑥 )
1002 eqid ⊢ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) = ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 )
1003 fveq2 ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
1004 1003 fveq2d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) )
1005 1004 breq1d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) )
1006 1005 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 )
1007 1006 ralbii ⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 )
1008 1007 3anbi3i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) )
1009 1008 anbi1i ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) )
1010 1009 anbi1i ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) )
1011 1010 anbi1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) )
1012 1 2 54 64 13 14 15 16 17 1001 845 1002 1011 fourierdlem87 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1013 iftrue ⊢ ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = 𝑐 )
1014 1013 adantl ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = 𝑐 )
1015 76 a1i ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 ∈ ℝ* )
1016 77 a1i ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → π ∈ ℝ* )
1017 rpre ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 𝑐 ∈ ℝ )
1018 1017 adantr ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ∈ ℝ )
1019 rpgt0 ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑐 )
1020 1019 adantr ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 < 𝑐 )
1021 42 rehalfcli ⊢ ( π / 2 ) ∈ ℝ
1022 1021 a1i ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( π / 2 ) ∈ ℝ )
1023 42 a1i ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → π ∈ ℝ )
1024 simpr ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ≤ ( π / 2 ) )
1025 halfpos ⊢ ( π ∈ ℝ → ( 0 < π ↔ ( π / 2 ) < π ) )
1026 42 1025 ax-mp ⊢ ( 0 < π ↔ ( π / 2 ) < π )
1027 887 1026 mpbi ⊢ ( π / 2 ) < π
1028 1027 a1i ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( π / 2 ) < π )
1029 1018 1022 1023 1024 1028 lelttrd ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 < π )
1030 1015 1016 1018 1020 1029 eliood ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ∈ ( 0 (,) π ) )
1031 1014 1030 eqeltrd ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) )
1032 iffalse ⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = ( π / 2 ) )
1033 2pos ⊢ 0 < 2
1034 42 119 887 1033 divgt0ii ⊢ 0 < ( π / 2 )
1035 elioo2 ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) → ( ( π / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) ↔ ( ( π / 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( π / 2 ) ∧ ( π / 2 ) < π ) ) )
1036 76 77 1035 mp2an ⊢ ( ( π / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) ↔ ( ( π / 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( π / 2 ) ∧ ( π / 2 ) < π ) )
1037 1021 1034 1027 1036 mpbir3an ⊢ ( π / 2 ) ∈ ( 0 (,) π )
1038 1037 a1i ⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → ( π / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) )
1039 1032 1038 eqeltrd ⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) )
1040 1039 adantl ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) )
1041 1031 1040 pm2.61dan ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) )
1042 1041 3ad2ant2 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) )
1043 ioombl ⊢ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ∈ dom vol
1044 1043 a1i ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ∈ dom vol )
1045 simpr ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1046 1044 1045 jca ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ∈ dom vol ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) )
1047 ioossicc ⊢ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( 0 [,] if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1048 70 a1i ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - π ∈ ℝ )
1049 42 a1i ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → π ∈ ℝ )
1050 767 a1i ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - π ≤ 0 )
1051 791 1041 sselid ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℝ )
1052 1021 a1i ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( π / 2 ) ∈ ℝ )
1053 min2 ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ∧ ( π / 2 ) ∈ ℝ ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ ( π / 2 ) )
1054 1017 1021 1053 sylancl ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ ( π / 2 ) )
1055 1027 a1i ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( π / 2 ) < π )
1056 1051 1052 1049 1054 1055 lelttrd ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) < π )
1057 1051 1049 1056 ltled ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ π )
1058 iccss ⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ∧ ( - π ≤ 0 ∧ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ π ) ) → ( 0 [,] if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
1059 1048 1049 1050 1057 1058 syl22anc ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 [,] if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
1060 1047 1059 sstrid ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
1061 0red ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ )
1062 1020 1014 breqtrrd ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 < if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1063 1034 1032 breqtrrid ⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → 0 < if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1064 1063 adantl ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 < if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1065 1062 1064 pm2.61dan ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 < if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1066 1061 1051 1065 ltled ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1067 volioo ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) = ( if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) − 0 ) )
1068 1061 1051 1066 1067 syl3anc ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) = ( if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) − 0 ) )
1069 1051 recnd ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℂ )
1070 1069 subid1d ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) − 0 ) = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1071 1068 1070 eqtrd ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1072 min1 ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ∧ ( π / 2 ) ∈ ℝ ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 𝑐 )
1073 1017 1021 1072 sylancl ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 𝑐 )
1074 1071 1073 eqbrtrd ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 )
1075 1060 1074 jca ⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) )
1076 1075 adantr ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) )
1077 sseq1 ⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ↔ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ) )
1078 fveq2 ⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( vol ‘ 𝑢 ) = ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) )
1079 1078 breq1d ⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ↔ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) )
1080 1077 1079 anbi12d ⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) ↔ ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) ) )
1081 itgeq1 ⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1082 1081 fveq2d ⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
1083 1082 breq1d ⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1084 1083 ralbidv ⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1085 1080 1084 imbi12d ⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ↔ ( ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) )
1086 1085 rspcva ⊢ ( ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ∈ dom vol ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1087 1046 1076 1086 sylc ⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1088 1087 3adant1 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1089 oveq2 ⊢ ( 𝑑 = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( 0 (,) 𝑑 ) = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) )
1090 1089 itgeq1d ⊢ ( 𝑑 = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1091 1090 fveq2d ⊢ ( 𝑑 = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
1092 1091 breq1d ⊢ ( 𝑑 = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1093 1092 ralbidv ⊢ ( 𝑑 = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1094 1093 rspcev ⊢ ( ( if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1095 1042 1088 1094 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1096 1095 rexlimdv3a ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1097 1012 1096 mpd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1098 886 1097 r19.29a ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
1099 1098 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
1100 nnex ⊢ ℕ ∈ V
1101 1100 mptex ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ∈ V
1102 1101 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ∈ V )
1103 eqidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) )
1104 772 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
1105 774 ad4ant14 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1106 772 adantl ⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
1107 simpr ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 = 𝑘 )
1108 simpl ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑘 ∈ ℕ )
1109 1107 1108 eqeltrd ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℕ )
1110 1109 nnred ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℝ )
1111 726 a1i ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
1112 1110 1111 readdcld ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
1113 1112 adantr ⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
1114 228 1106 sselid ⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1115 1113 1114 remulcld ⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ )
1116 1115 resincld ⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1117 1106 1116 824 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1118 1117 adantlll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1119 1110 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℝ )
1120 1119 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑛 ∈ ℝ )
1121 1red ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 1 ∈ ℝ )
1122 1121 rehalfcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
1123 1120 1122 readdcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
1124 228 1104 sselid ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1125 1123 1124 remulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ )
1126 1125 resincld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1127 1118 1126 eqeltrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1128 1105 1127 remulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1129 17 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) )
1130 1104 1128 1129 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) )
1131 oveq1 ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
1132 1131 oveq1d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
1133 1132 fveq2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1134 1133 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1135 1118 1134 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1136 1135 oveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
1137 1130 1136 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
1138 1137 itgeq2dv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1139 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℕ )
1140 805 itgeq2dv ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1141 1140 eleq1d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ↔ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) )
1142 800 1141 imbi12d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) ) )
1143 774 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1144 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℕ )
1145 1144 772 821 syl2an ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1146 1143 1145 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
1147 1146 847 itgcl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
1148 1142 1147 chvarvv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
1149 1103 1138 1139 1148 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑘 ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1150 39 33 1102 1149 1148 clim0c ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ⇝ 0 ↔ ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) )
1151 1099 1150 mpbird ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ⇝ 0 )
1152 1100 mptex ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) ∈ V
1153 19 1152 eqeltri ⊢ 𝐸 ∈ V
1154 1153 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ V )
1155 1100 mptex ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ∈ V
1156 1155 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ∈ V )
1157 42 recni ⊢ π ∈ ℂ
1158 1157 a1i ⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℂ )
1159 eqidd ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) )
1160 eqidd ⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑚 ) → π = π )
1161 id ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ )
1162 42 a1i ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → π ∈ ℝ )
1163 1159 1160 1161 1162 fvmptd ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑚 ) = π )
1164 1163 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑚 ) = π )
1165 39 33 1156 1158 1164 climconst ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ⇝ π )
1166 766 887 gtneii ⊢ π ≠ 0
1167 1166 a1i ⊢ ( 𝜑 → π ≠ 0 )
1168 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1169 54 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑌 ∈ ℝ )
1170 64 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑊 ∈ ℝ )
1171 830 1168 1169 1170 13 14 15 834 16 17 fourierdlem67 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
1172 1171 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐺 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
1173 809 sselda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
1174 1172 1173 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1175 1171 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1176 1171 feqmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) )
1177 1176 845 eqeltrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 )
1178 809 811 1175 1177 iblss ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 )
1179 1174 1178 itgcl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ∈ ℂ )
1180 eqid ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
1181 1180 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
1182 1144 1179 1181 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
1183 1182 1179 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
1184 eqid ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π )
1185 1184 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ π ∈ ℝ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) = π )
1186 42 1185 mpan2 ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) = π )
1187 1157 a1i ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ )
1188 1166 a1i ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0 )
1189 eldifsn ⊢ ( π ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0 ) )
1190 1187 1188 1189 sylanbrc ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
1191 1186 1190 eqeltrd ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
1192 1191 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
1193 1157 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ℂ )
1194 1166 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ≠ 0 )
1195 1179 1193 1194 divcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ∈ ℂ )
1196 19 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ∈ ℂ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
1197 1144 1195 1196 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
1198 1182 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) )
1199 1186 eqcomd ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) )
1200 1199 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) )
1201 1198 1200 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) = ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) / ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ) )
1202 1197 1201 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) / ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ) )
1203 34 35 36 38 39 33 1151 1154 1165 1167 1183 1192 1202 climdivf ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ⇝ ( 0 / π ) )
1204 1157 1166 div0i ⊢ ( 0 / π ) = 0
1205 1204 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 0 / π ) = 0 )
1206 1203 1205 breqtrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ⇝ 0 )
1207 1100 mptex ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ∈ V
1208 18 1207 eqeltri ⊢ 𝑍 ∈ V
1209 1208 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ V )
1210 1100 mptex ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ∈ V
1211 1210 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ∈ V )
1212 limccl ⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ⊆ ℂ
1213 1212 20 sselid ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ )
1214 1213 halfcld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 / 2 ) ∈ ℂ )
1215 eqidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) )
1216 eqidd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) ∧ 𝑚 = 𝑛 ) → ( 𝑌 / 2 ) = ( 𝑌 / 2 ) )
1217 39 eqcomi ⊢ ( ℤ≥ ‘ 1 ) = ℕ
1218 1217 eleq2i ⊢ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 𝑛 ∈ ℕ )
1219 1218 biimpi ⊢ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → 𝑛 ∈ ℕ )
1220 1219 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ )
1221 1214 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑌 / 2 ) ∈ ℂ )
1222 1215 1216 1220 1221 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑌 / 2 ) )
1223 32 33 1211 1214 1222 climconst ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ⇝ ( 𝑌 / 2 ) )
1224 1195 19 fmptd ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 : ℕ ⟶ ℂ )
1225 1224 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → 𝐸 : ℕ ⟶ ℂ )
1226 1225 1220 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
1227 1222 1221 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
1228 1222 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑌 / 2 ) ) )
1229 810 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 0 (,) π ) ∈ dom vol )
1230 0red ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 ∈ ℝ )
1231 1230 rexrd ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 ∈ ℝ* )
1232 77 a1i ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → π ∈ ℝ* )
1233 id ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) )
1234 ioogtlb ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 𝑠 )
1235 1231 1232 1233 1234 syl3anc ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 < 𝑠 )
1236 1235 gt0ne0d ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ≠ 0 )
1237 1236 neneqd ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → ¬ 𝑠 = 0 )
1238 velsn ⊢ ( 𝑠 ∈ { 0 } ↔ 𝑠 = 0 )
1239 1237 1238 sylnibr ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → ¬ 𝑠 ∈ { 0 } )
1240 772 1239 eldifd ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ∈ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } ) )
1241 1240 ssriv ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } )
1242 1241 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 0 (,) π ) ⊆ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } ) )
1243 1235 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 𝑠 )
1244 1243 iftrued ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) = 𝑌 )
1245 eqid ⊢ ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑛 )
1246 0red ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ∈ ℝ )
1247 42 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ℝ )
1248 766 42 887 ltleii ⊢ 0 ≤ π
1249 1248 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ≤ π )
1250 eqid ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) )
1251 24 1144 1245 1246 1247 1249 1250 dirkeritg ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ π ) − ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) ) )
1252 ubicc2 ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π ) → π ∈ ( 0 [,] π ) )
1253 76 77 1248 1252 mp3an ⊢ π ∈ ( 0 [,] π )
1254 oveq1 ⊢ ( 𝑠 = π → ( 𝑠 / 2 ) = ( π / 2 ) )
1255 oveq2 ⊢ ( 𝑠 = π → ( 𝑘 · 𝑠 ) = ( 𝑘 · π ) )
1256 1255 fveq2d ⊢ ( 𝑠 = π → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) )
1257 1256 oveq1d ⊢ ( 𝑠 = π → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = ( ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) / 𝑘 ) )
1258 elfzelz ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
1259 1258 zcnd ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℂ )
1260 1157 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → π ∈ ℂ )
1261 1166 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → π ≠ 0 )
1262 1259 1260 1261 divcan4d ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( 𝑘 · π ) / π ) = 𝑘 )
1263 1262 1258 eqeltrd ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( 𝑘 · π ) / π ) ∈ ℤ )
1264 1259 1260 mulcld ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 𝑘 · π ) ∈ ℂ )
1265 sineq0 ⊢ ( ( 𝑘 · π ) ∈ ℂ → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) = 0 ↔ ( ( 𝑘 · π ) / π ) ∈ ℤ ) )
1266 1264 1265 syl ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) = 0 ↔ ( ( 𝑘 · π ) / π ) ∈ ℤ ) )
1267 1263 1266 mpbird ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) = 0 )
1268 1267 oveq1d ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) / 𝑘 ) = ( 0 / 𝑘 ) )
1269 0red ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 ∈ ℝ )
1270 1red ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 1 ∈ ℝ )
1271 1258 zred ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
1272 117 a1i ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 < 1 )
1273 elfzle1 ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 1 ≤ 𝑘 )
1274 1269 1270 1271 1272 1273 ltletrd ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 < 𝑘 )
1275 1274 gt0ne0d ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ≠ 0 )
1276 1259 1275 div0d ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 0 / 𝑘 ) = 0 )
1277 1268 1276 eqtrd ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) / 𝑘 ) = 0 )
1278 1257 1277 sylan9eq ⊢ ( ( 𝑠 = π ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 )
1279 1278 sumeq2dv ⊢ ( 𝑠 = π → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 )
1280 fzfi ⊢ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin
1281 1280 olci ⊢ ( ( 1 ... 𝑛 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ ∥ ) ∨ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin )
1282 sumz ⊢ ( ( ( 1 ... 𝑛 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ ∥ ) ∨ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 = 0 )
1283 1281 1282 ax-mp ⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 = 0
1284 1279 1283 eqtrdi ⊢ ( 𝑠 = π → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 )
1285 1254 1284 oveq12d ⊢ ( 𝑠 = π → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = ( ( π / 2 ) + 0 ) )
1286 1285 oveq1d ⊢ ( 𝑠 = π → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) )
1287 ovex ⊢ ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) ∈ V
1288 1286 1250 1287 fvmpt ⊢ ( π ∈ ( 0 [,] π ) → ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ π ) = ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) )
1289 1253 1288 ax-mp ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ π ) = ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π )
1290 lbicc2 ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π ) → 0 ∈ ( 0 [,] π ) )
1291 76 77 1248 1290 mp3an ⊢ 0 ∈ ( 0 [,] π )
1292 oveq1 ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑠 / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
1293 2cn ⊢ 2 ∈ ℂ
1294 1293 256 div0i ⊢ ( 0 / 2 ) = 0
1295 1292 1294 eqtrdi ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑠 / 2 ) = 0 )
1296 oveq2 ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑘 · 𝑠 ) = ( 𝑘 · 0 ) )
1297 1259 mul01d ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 𝑘 · 0 ) = 0 )
1298 1296 1297 sylan9eq ⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( 𝑘 · 𝑠 ) = 0 )
1299 1298 fveq2d ⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ 0 ) )
1300 sin0 ⊢ ( sin ‘ 0 ) = 0
1301 1299 1300 eqtrdi ⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = 0 )
1302 1301 oveq1d ⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = ( 0 / 𝑘 ) )
1303 1276 adantl ⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( 0 / 𝑘 ) = 0 )
1304 1302 1303 eqtrd ⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 )
1305 1304 sumeq2dv ⊢ ( 𝑠 = 0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 )
1306 1305 1283 eqtrdi ⊢ ( 𝑠 = 0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 )
1307 1295 1306 oveq12d ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = ( 0 + 0 ) )
1308 00id ⊢ ( 0 + 0 ) = 0
1309 1307 1308 eqtrdi ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = 0 )
1310 1309 oveq1d ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = ( 0 / π ) )
1311 1310 1204 eqtrdi ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = 0 )
1312 c0ex ⊢ 0 ∈ V
1313 1311 1250 1312 fvmpt ⊢ ( 0 ∈ ( 0 [,] π ) → ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) = 0 )
1314 1291 1313 ax-mp ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) = 0
1315 1289 1314 oveq12i ⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ π ) − ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) ) = ( ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) − 0 )
1316 1315 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ π ) − ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) ) = ( ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) − 0 ) )
1317 1021 recni ⊢ ( π / 2 ) ∈ ℂ
1318 1317 addridi ⊢ ( ( π / 2 ) + 0 ) = ( π / 2 )
1319 1318 oveq1i ⊢ ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) = ( ( π / 2 ) / π )
1320 1157 1293 1157 256 1166 divdiv32i ⊢ ( ( π / 2 ) / π ) = ( ( π / π ) / 2 )
1321 1157 1166 dividi ⊢ ( π / π ) = 1
1322 1321 oveq1i ⊢ ( ( π / π ) / 2 ) = ( 1 / 2 )
1323 1319 1320 1322 3eqtri ⊢ ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) = ( 1 / 2 )
1324 1323 oveq1i ⊢ ( ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) − 0 ) = ( ( 1 / 2 ) − 0 )
1325 halfcn ⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ
1326 1325 subid1i ⊢ ( ( 1 / 2 ) − 0 ) = ( 1 / 2 )
1327 1324 1326 eqtri ⊢ ( ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) − 0 ) = ( 1 / 2 )
1328 1327 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) − 0 ) = ( 1 / 2 ) )
1329 1251 1316 1328 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( 1 / 2 ) )
1330 1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 15 16 17 841 601 22 23 20 21 1229 1242 19 24 54 1244 1329 fourierdlem95 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑌 / 2 ) ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1331 1220 1330 syldan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑌 / 2 ) ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1332 18 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
1333 fveq2 ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) )
1334 1333 fveq1d ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
1335 1334 oveq2d ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
1336 1335 adantr ⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
1337 1336 itgeq2dv ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1338 1337 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑚 = 𝑛 ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1339 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
1340 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1341 782 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1342 1340 1341 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
1343 1339 1342 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1344 1343 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1345 24 dirkerf ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
1346 1345 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
1347 782 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1348 1346 1347 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1349 1344 1348 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1350 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
1351 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1352 228 sseli ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1353 1352 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1354 1351 1353 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
1355 1350 1354 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1356 1355 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1357 1345 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
1358 1352 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1359 1357 1358 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1360 1356 1359 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1361 70 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ∈ ℝ )
1362 24 dirkercncf ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
1363 1362 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
1364 eqid ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
1365 1361 1247 830 1168 3 835 836 837 838 839 29 840 1363 1364 fourierdlem84 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
1366 809 811 1360 1365 iblss ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
1367 1349 1366 itgrecl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ∈ ℝ )
1368 1332 1338 1144 1367 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1369 1368 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) )
1370 1220 1369 syldan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) )
1371 1228 1331 1370 3eqtrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ) )
1372 32 33 1206 1209 1223 1226 1227 1371 climadd ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( 0 + ( 𝑌 / 2 ) ) )
1373 1214 addlidd ⊢ ( 𝜑 → ( 0 + ( 𝑌 / 2 ) ) = ( 𝑌 / 2 ) )
1374 1372 1373 breqtrd ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( 𝑌 / 2 ) )