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Theorem selvvvval

Description: Recover the original polynomial from a selectVars application. (Contributed by SN, 15-Mar-2025)

Ref Expression
Hypotheses selvvvval.d ⊢ 𝐷 = { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin }
selvvvval.p ⊢ 𝑃 = ( 𝐼 mPoly 𝑅 )
selvvvval.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑃 )
selvvvval.r ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CRing )
selvvvval.j ⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼 )
selvvvval.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵 )
selvvvval.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷 )
Assertion selvvvval ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 selvvvval.d ⊢ 𝐷 = { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin }
2 selvvvval.p ⊢ 𝑃 = ( 𝐼 mPoly 𝑅 )
3 selvvvval.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑃 )
4 selvvvval.r ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CRing )
5 selvvvval.j ⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼 )
6 selvvvval.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵 )
7 selvvvval.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷 )
8 eqid ⊢ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) = ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 )
9 eqid ⊢ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
10 eqid ⊢ ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
11 eqid ⊢ ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
12 2 3 8 9 10 11 4 5 6 selvval2 ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) = ( ( ( 𝐼 eval ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) )
13 eqid ⊢ ( 𝐼 eval ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( 𝐼 eval ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
14 eqid ⊢ ( 𝐼 mPoly ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( 𝐼 mPoly ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
15 eqid ⊢ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
16 eqid ⊢ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
17 eqid ⊢ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
18 eqid ⊢ ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
19 eqid ⊢ ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
20 2 3 mplrcl ⊢ ( 𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V )
21 6 20 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ V )
22 21 5 ssexd ⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ V )
23 21 difexd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∈ V )
24 8 23 4 mplcrngd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ CRing )
25 9 22 24 mplcrngd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ CRing )
26 9 mplassa ⊢ ( ( 𝐽 ∈ V ∧ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ CRing ) → ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ AssAlg )
27 22 24 26 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ AssAlg )
28 eqid ⊢ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
29 10 28 asclrhm ⊢ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ AssAlg → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) RingHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
30 27 29 syl ⊢ ( 𝜑 → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) RingHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
31 8 mplassa ⊢ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ AssAlg )
32 23 4 31 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ AssAlg )
33 eqid ⊢ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
34 eqid ⊢ ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
35 33 34 asclrhm ⊢ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ AssAlg → ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ ( ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) RingHom ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
36 32 35 syl ⊢ ( 𝜑 → ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ ( ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) RingHom ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
37 8 23 4 mplsca ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 = ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
38 37 eqcomd ⊢ ( 𝜑 → ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = 𝑅 )
39 9 22 24 mplsca ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) = ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
40 38 39 oveq12d ⊢ ( 𝜑 → ( ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) RingHom ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( 𝑅 RingHom ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
41 36 40 eleqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ ( 𝑅 RingHom ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
42 rhmco ⊢ ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) RingHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∧ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ ( 𝑅 RingHom ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( 𝑅 RingHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
43 30 41 42 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( 𝑅 RingHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
44 rhmghm ⊢ ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( 𝑅 RingHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( 𝑅 GrpHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
45 ghmmhm ⊢ ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( 𝑅 GrpHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( 𝑅 MndHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
46 43 44 45 3syl ⊢ ( 𝜑 → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( 𝑅 MndHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
47 2 14 3 15 46 6 mhmcompl ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
48 fvexd ⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ V )
49 eqid ⊢ ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
50 24 crngringd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ Ring )
51 9 49 16 22 50 mvrf2 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) : 𝐽 ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
52 51 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
53 52 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
54 eldif ⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽 ) )
55 eqid ⊢ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
56 9 16 55 10 22 50 mplasclf ⊢ ( 𝜑 → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) : ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
57 56 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) : ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
58 eqid ⊢ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) = ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 )
59 4 crngringd ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
60 8 58 55 23 59 mvrf2 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) : ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
61 60 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
62 57 61 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
63 54 62 sylan2br ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
64 63 anassrs ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽 ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
65 53 64 ifclda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) → if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
66 65 fmpttd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
67 48 21 66 elmapdd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ∈ ( ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↑m 𝐼 ) )
68 13 14 15 1 16 17 18 19 21 25 47 67 evlvvval ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 eval ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) )
69 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 )
70 2 69 3 1 6 mplelf ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
71 70 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
72 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑔 ∈ 𝐷 )
73 71 72 fvco3d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) )
74 8 55 69 33 23 59 mplasclf ⊢ ( 𝜑 → ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) : ( Base ‘ 𝑅 ) ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
75 74 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) : ( Base ‘ 𝑅 ) ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
76 70 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
77 75 76 fvco3d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) )
78 73 77 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) )
79 17 16 mgpbas ⊢ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
80 eqid ⊢ ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
81 17 19 mgpplusg ⊢ ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( +g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
82 17 crngmgp ⊢ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ CRing → ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ CMnd )
83 25 82 syl ⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ CMnd )
84 83 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ CMnd )
85 21 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝐼 ∈ V )
86 83 cmnmndd ⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ Mnd )
87 86 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ Mnd )
88 1 psrbagf ⊢ ( 𝑔 ∈ 𝐷 → 𝑔 : 𝐼 ⟶ ℕ0 )
89 88 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑔 : 𝐼 ⟶ ℕ0 )
90 89 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
91 eqid ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) = ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) )
92 eleq1w ⊢ ( 𝑧 = 𝑘 → ( 𝑧 ∈ 𝐽 ↔ 𝑘 ∈ 𝐽 ) )
93 fveq2 ⊢ ( 𝑧 = 𝑘 → ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) )
94 fveq2 ⊢ ( 𝑧 = 𝑘 → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
95 94 fveq2d ⊢ ( 𝑧 = 𝑘 → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
96 92 93 95 ifbieq12d ⊢ ( 𝑧 = 𝑘 → if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) = if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
97 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑘 ∈ 𝐼 )
98 51 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) : 𝐽 ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
99 98 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
100 eldif ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↔ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐽 ) )
101 56 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) : ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
102 60 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
103 101 102 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
104 100 103 sylan2br ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
105 104 anassrs ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
106 105 adantllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
107 99 106 ifclda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
108 91 96 97 107 fvmptd3 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
109 108 107 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
110 79 18 87 90 109 mulgnn0cld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
111 110 fmpttd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
112 89 feqmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑔 = ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) )
113 1 psrbagfsupp ⊢ ( 𝑔 ∈ 𝐷 → 𝑔 finSupp 0 )
114 113 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑔 finSupp 0 )
115 112 114 eqbrtrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) finSupp 0 )
116 79 80 18 mulg0 ⊢ ( 𝑡 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) 𝑡 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
117 116 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) 𝑡 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
118 fvexd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ∈ V )
119 115 117 90 109 118 fsuppssov1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
120 disjdifr ⊢ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∩ 𝐽 ) = ∅
121 120 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∩ 𝐽 ) = ∅ )
122 undifr ⊢ ( 𝐽 ⊆ 𝐼 ↔ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∪ 𝐽 ) = 𝐼 )
123 5 122 sylib ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∪ 𝐽 ) = 𝐼 )
124 123 eqcomd ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 = ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∪ 𝐽 ) )
125 124 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝐼 = ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∪ 𝐽 ) )
126 79 80 81 84 85 111 119 121 125 gsumsplit ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ 𝐽 ) ) ) )
127 eldifi ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) → 𝑘 ∈ 𝐼 )
128 127 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ 𝐼 )
129 127 107 sylan2 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
130 91 96 128 129 fvmptd3 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
131 eldifn ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐽 )
132 131 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐽 )
133 132 iffalsed ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
134 130 133 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
135 134 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
136 eqid ⊢ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
137 136 17 rhmmhm ⊢ ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) RingHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) MndHom ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
138 30 137 syl ⊢ ( 𝜑 → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) MndHom ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
139 138 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) MndHom ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
140 127 90 sylan2 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
141 102 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
142 39 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
143 142 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
144 141 143 eleqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
145 eqid ⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
146 136 145 mgpbas ⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
147 eqid ⊢ ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
148 146 147 18 mhmmulg ⊢ ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) MndHom ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
149 139 140 144 148 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
150 135 149 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
151 150 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
152 difssd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⊆ 𝐼 )
153 152 resmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
154 56 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) : ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
155 39 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
156 155 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) )
157 156 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) )
158 157 oveqd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
159 eqid ⊢ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
160 159 55 mgpbas ⊢ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
161 eqid ⊢ ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
162 159 crngmgp ⊢ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ CRing → ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ CMnd )
163 24 162 syl ⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ CMnd )
164 163 cmnmndd ⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ Mnd )
165 164 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ Mnd )
166 160 161 165 140 141 mulgnn0cld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
167 158 166 eqeltrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
168 154 167 cofmpt ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
169 151 153 168 3eqtr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
170 169 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
171 eqid ⊢ ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
172 39 24 eqeltrrd ⊢ ( 𝜑 → ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ CRing )
173 136 crngmgp ⊢ ( ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ CRing → ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ∈ CMnd )
174 172 173 syl ⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ∈ CMnd )
175 174 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ∈ CMnd )
176 86 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ Mnd )
177 23 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∈ V )
178 138 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) MndHom ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
179 167 143 eleqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
180 179 fmpttd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) : ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⟶ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
181 0zd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 0 ∈ ℤ )
182 115 152 181 fmptssfisupp ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) finSupp 0 )
183 142 eqimssd ⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ⊆ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
184 183 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → 𝑢 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
185 184 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑢 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → 𝑢 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
186 146 171 147 mulg0 ⊢ ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) 𝑢 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) )
187 185 186 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑢 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) 𝑢 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) )
188 fvexd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ∈ V )
189 182 187 140 141 188 fsuppssov1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) )
190 146 171 175 176 177 178 180 189 gsummhm ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
191 170 190 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
192 5 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝐽 ⊆ 𝐼 )
193 192 resmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ 𝐽 ) = ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
194 192 sselda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → 𝑘 ∈ 𝐼 )
195 194 107 syldan ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
196 91 96 194 195 fvmptd3 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
197 iftrue ⊢ ( 𝑘 ∈ 𝐽 → if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) )
198 197 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) )
199 196 198 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) )
200 199 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) )
201 200 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
202 193 201 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ 𝐽 ) = ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
203 202 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ 𝐽 ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
204 191 203 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
205 27 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ AssAlg )
206 146 171 175 177 180 189 gsumcl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
207 22 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝐽 ∈ V )
208 86 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ Mnd )
209 194 90 syldan ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
210 51 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
211 210 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
212 79 18 208 209 211 mulgnn0cld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
213 212 fmpttd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) : 𝐽 ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
214 115 192 181 fmptssfisupp ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) finSupp 0 )
215 214 117 209 211 118 fsuppssov1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
216 79 80 84 207 213 215 gsumcl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
217 eqid ⊢ ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
218 10 28 145 16 19 217 asclmul1 ⊢ ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ AssAlg ∧ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ∧ ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
219 205 206 216 218 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
220 156 oveqd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
221 220 mpteq2dv ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
222 155 221 oveq12d ⊢ ( 𝜑 → ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
223 222 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
224 223 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
225 219 224 eqtr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
226 126 204 225 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
227 78 226 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
228 75 76 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
229 142 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
230 228 229 eleqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
231 9 22 50 mpllmodd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ LMod )
232 231 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ LMod )
233 eqid ⊢ ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
234 163 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ CMnd )
235 166 fmpttd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) : ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
236 160 233 161 mulg0 ⊢ ( 𝑒 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) 𝑒 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
237 236 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑒 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) 𝑒 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
238 fvexd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ V )
239 182 237 140 141 238 fsuppssov1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
240 160 233 234 177 235 239 gsumcl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
241 240 229 eleqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
242 16 28 217 145 232 241 216 lmodvscld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
243 10 28 145 16 19 217 asclmul1 ⊢ ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ AssAlg ∧ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ∧ ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
244 205 230 242 243 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
245 227 244 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
246 245 mpteq2dva ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) )
247 246 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) )
248 12 68 247 3eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) = ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) )
249 248 fveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) )
250 249 fveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
251 eqid ⊢ ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
252 50 ringcmnd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ CMnd )
253 4 crnggrpd ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Grp )
254 253 grpmndd ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd )
255 ovex ⊢ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∈ V
256 1 255 rabex2 ⊢ 𝐷 ∈ V
257 256 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ V )
258 eqid ⊢ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } = { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin }
259 eqid ⊢ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
260 difssd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⊆ 𝐼 )
261 1 258 21 260 7 psrbagres ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } )
262 8 55 258 259 23 253 261 mplmapghm ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) GrpHom 𝑅 ) )
263 ghmmhm ⊢ ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) GrpHom 𝑅 ) → ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) MndHom 𝑅 ) )
264 262 263 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) MndHom 𝑅 ) )
265 eqid ⊢ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } = { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin }
266 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
267 9 55 16 265 266 mplelf ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → 𝑤 : { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
268 1 265 21 5 7 psrbagres ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } )
269 268 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } )
270 267 269 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
271 270 fmpttd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) : ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
272 16 28 217 145 232 230 242 lmodvscld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
273 272 fmpttd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
274 271 273 fcod ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
275 fvexd ⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ V )
276 25 crngringd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ Ring )
277 eqid ⊢ ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
278 16 277 ring0cl ⊢ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ Ring → ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
279 276 278 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
280 ssidd ⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ⊆ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
281 256 mptex ⊢ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) ∈ V
282 281 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) ∈ V )
283 fvexd ⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ∈ V )
284 funmpt ⊢ Fun ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) )
285 284 a1i ⊢ ( 𝜑 → Fun ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) )
286 eqid ⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 )
287 2 3 286 6 mplelsfi ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
288 ssidd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ⊆ ( 𝐹 supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
289 fvexd ⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V )
290 70 288 6 289 suppssrg ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝐷 ∖ ( 𝐹 supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
291 290 fveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝐷 ∖ ( 𝐹 supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) = ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
292 8 33 286 251 23 59 mplascl0 ⊢ ( 𝜑 → ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
293 39 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
294 292 293 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
295 294 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝐷 ∖ ( 𝐹 supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
296 291 295 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝐷 ∖ ( 𝐹 supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) = ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
297 296 257 suppss2 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) supp ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ⊆ ( 𝐹 supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
298 282 283 285 287 297 fsuppsssuppgd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
299 eqid ⊢ ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
300 16 28 217 299 277 lmod0vs ⊢ ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ LMod ∧ 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → ( ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) 𝑓 ) = ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
301 231 300 sylan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → ( ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) 𝑓 ) = ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
302 fvexd ⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ V )
303 298 301 228 242 302 fsuppssov1 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
304 eqid ⊢ ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) )
305 24 crnggrpd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ Grp )
306 9 16 265 304 22 305 268 mplmapghm ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) GrpHom ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
307 ghmmhm ⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) GrpHom ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) → ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) MndHom ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
308 306 307 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) MndHom ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
309 277 251 mhm0 ⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) MndHom ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) → ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
310 308 309 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
311 275 279 273 271 280 257 48 303 310 fsuppcor ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
312 55 251 252 254 257 264 274 311 gsummhm ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∘ ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
313 fveq1 ⊢ ( 𝑣 = ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) → ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
314 55 251 252 257 274 311 gsumcl ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
315 fvexd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ∈ V )
316 259 313 314 315 fvmptd3 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
317 276 ringcmnd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ CMnd )
318 305 grpmndd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ Mnd )
319 16 277 317 318 257 308 273 303 gsummhm ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
320 fveq1 ⊢ ( 𝑤 = ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) → ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) )
321 16 277 317 257 273 303 gsumcl ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
322 fvexd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ∈ V )
323 304 320 321 322 fvmptd3 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) )
324 319 323 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) )
325 324 fveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
326 312 316 325 3eqtrrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∘ ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
327 9 55 16 265 272 mplelf ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) : { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
328 268 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } )
329 327 328 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
330 eqidd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) )
331 eqidd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) )
332 fveq1 ⊢ ( 𝑤 = ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) → ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) )
333 272 330 331 332 fmptco ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) )
334 eqidd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) )
335 fveq1 ⊢ ( 𝑣 = ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) → ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
336 329 333 334 335 fmptco ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∘ ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) )
337 eqid ⊢ ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
338 9 217 55 16 337 265 228 242 328 mplvscaval ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) )
339 9 217 55 16 337 265 240 216 328 mplvscaval ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) )
340 339 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
341 32 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ AssAlg )
342 37 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
343 342 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
344 76 343 eleqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
345 50 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ Ring )
346 9 55 16 265 216 mplelf ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) : { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
347 346 328 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
348 55 337 345 240 347 ringcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
349 eqid ⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
350 eqid ⊢ ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
351 33 34 349 55 337 350 asclmul1 ⊢ ( ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ AssAlg ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
352 341 344 348 351 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
353 338 340 352 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
354 353 fveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
355 eqid ⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 )
356 261 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } )
357 8 350 69 55 355 258 76 348 356 mplvscaval ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) )
358 ovif2 ⊢ ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) , ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
359 358 fveq1i ⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) , ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) )
360 iffv ⊢ ( if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) , ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) , ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
361 359 360 eqtri ⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) , ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
362 eqeq1 ⊢ ( 𝑖 = ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ↔ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
363 362 ifbid ⊢ ( 𝑖 = ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
364 eqid ⊢ ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
365 eqid ⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ 𝑅 )
366 59 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑅 ∈ Ring )
367 1 258 85 152 72 psrbagres ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } )
368 8 55 286 365 258 177 366 367 mplmon ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
369 55 337 364 345 368 ringridmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
370 fvexd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ V )
371 fvexd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V )
372 370 371 ifcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ∈ V )
373 363 369 356 372 fvmptd4 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
374 55 337 251 345 368 ringrzd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
375 8 258 286 251 23 253 mpl0 ⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) )
376 375 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) )
377 374 376 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) )
378 377 fveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
379 fvex ⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V
380 379 fvconst2 ⊢ ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } → ( ( { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
381 356 380 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
382 378 381 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
383 373 382 ifeq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) , ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
384 361 383 eqtrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
385 384 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
386 ifan ⊢ if ( ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ∧ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) )
387 386 oveq2i ⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) if ( ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ∧ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
388 1 psrbagf ⊢ ( 𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 : 𝐼 ⟶ ℕ0 )
389 7 388 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 : 𝐼 ⟶ ℕ0 )
390 389 ffnd ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 Fn 𝐼 )
391 390 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑌 Fn 𝐼 )
392 undif ⊢ ( 𝐽 ⊆ 𝐼 ↔ ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = 𝐼 )
393 5 392 sylib ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = 𝐼 )
394 393 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = 𝐼 )
395 394 fneq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑌 Fn ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ↔ 𝑌 Fn 𝐼 ) )
396 391 395 mpbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑌 Fn ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) )
397 89 ffnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑔 Fn 𝐼 )
398 394 fneq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑔 Fn ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ↔ 𝑔 Fn 𝐼 ) )
399 397 398 mpbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑔 Fn ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) )
400 eqfnun ⊢ ( ( 𝑌 Fn ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∧ 𝑔 Fn ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑌 = 𝑔 ↔ ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ∧ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) )
401 396 399 400 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑌 = 𝑔 ↔ ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ∧ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) )
402 401 ifbid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = if ( ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ∧ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
403 402 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) if ( ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ∧ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
404 ovif2 ⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = if ( 𝑌 = 𝑔 , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
405 403 404 eqtr3di ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) if ( ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ∧ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = if ( 𝑌 = 𝑔 , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
406 387 405 eqtr3id ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = if ( 𝑌 = 𝑔 , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
407 385 406 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = if ( 𝑌 = 𝑔 , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
408 4 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑅 ∈ CRing )
409 8 258 286 365 177 159 161 58 408 367 mplcoe2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
410 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) )
411 410 fvresd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) )
412 411 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
413 412 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
414 413 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
415 409 414 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
416 eqid ⊢ ( 𝑗 ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑗 = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑗 = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
417 eqeq1 ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) → ( 𝑗 = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ↔ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ) )
418 417 ifbid ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) → if ( 𝑗 = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
419 fvexd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ V )
420 fvexd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ V )
421 419 420 ifcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ V )
422 416 418 328 421 fvmptd3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑗 ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑗 = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
423 24 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ CRing )
424 1 265 85 192 72 psrbagres ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } )
425 9 265 251 364 207 17 18 49 423 424 mplcoe2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑗 ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑗 = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
426 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → 𝑘 ∈ 𝐽 )
427 426 fvresd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) )
428 427 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) )
429 428 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
430 429 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
431 425 430 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑗 ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑗 = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
432 431 fveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑗 ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑗 = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) )
433 422 432 eqtr3d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) )
434 415 433 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) )
435 434 fveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
436 435 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) )
437 69 355 365 366 76 ringridmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) )
438 69 355 286 366 76 ringrzd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
439 437 438 ifeq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → if ( 𝑌 = 𝑔 , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
440 407 436 439 3eqtr3d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
441 354 357 440 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
442 441 mpteq2dva ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
443 336 442 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∘ ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
444 443 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∘ ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) )
445 59 ringcmnd ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd )
446 69 286 ring0cl ⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
447 59 446 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
448 447 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
449 76 448 ifcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
450 449 fmpttd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
451 eldifsnneq ⊢ ( 𝑔 ∈ ( 𝐷 ∖ { 𝑌 } ) → ¬ 𝑔 = 𝑌 )
452 451 neqcomd ⊢ ( 𝑔 ∈ ( 𝐷 ∖ { 𝑌 } ) → ¬ 𝑌 = 𝑔 )
453 452 iffalsed ⊢ ( 𝑔 ∈ ( 𝐷 ∖ { 𝑌 } ) → if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
454 453 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝐷 ∖ { 𝑌 } ) ) → if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
455 454 257 suppss2 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ⊆ { 𝑌 } )
456 257 mptexd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∈ V )
457 funmpt ⊢ Fun ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
458 457 a1i ⊢ ( 𝜑 → Fun ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
459 snfi ⊢ { 𝑌 } ∈ Fin
460 459 a1i ⊢ ( 𝜑 → { 𝑌 } ∈ Fin )
461 460 455 ssfid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ∈ Fin )
462 456 447 458 461 isfsuppd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
463 69 286 445 257 450 455 462 gsumres ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ↾ { 𝑌 } ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) )
464 7 snssd ⊢ ( 𝜑 → { 𝑌 } ⊆ 𝐷 )
465 464 resmptd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ↾ { 𝑌 } ) = ( 𝑔 ∈ { 𝑌 } ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
466 465 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ↾ { 𝑌 } ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑔 ∈ { 𝑌 } ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) )
467 70 7 ffvelcdmd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
468 iftrue ⊢ ( 𝑌 = 𝑔 → if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) )
469 468 eqcoms ⊢ ( 𝑔 = 𝑌 → if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) )
470 fveq2 ⊢ ( 𝑔 = 𝑌 → ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) )
471 469 470 eqtrd ⊢ ( 𝑔 = 𝑌 → if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) )
472 69 471 gsumsn ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑔 ∈ { 𝑌 } ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) )
473 254 7 467 472 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑔 ∈ { 𝑌 } ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) )
474 466 473 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ↾ { 𝑌 } ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) )
475 444 463 474 3eqtr2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∘ ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) )
476 250 326 475 3eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) )