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Theorem fourierdlem42

Description: The set of points in a moved partition are finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019) (Revised by AV, 29-Sep-2020)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem42.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
fourierdlem42.c ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ )
fourierdlem42.bc ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 < 𝐶 )
fourierdlem42.t ⊢ 𝑇 = ( 𝐶 − 𝐵 )
fourierdlem42.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
fourierdlem42.af ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ Fin )
fourierdlem42.ba ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴 )
fourierdlem42.ca ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴 )
fourierdlem42.d ⊢ 𝐷 = ( abs ∘ − )
fourierdlem42.i ⊢ 𝐼 = ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I )
fourierdlem42.r ⊢ 𝑅 = ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 )
fourierdlem42.e ⊢ 𝐸 = inf ( 𝑅 , ℝ , < )
fourierdlem42.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
fourierdlem42.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ )
fourierdlem42.j ⊢ 𝐽 = ( topGen ‘ ran (,) )
fourierdlem42.k ⊢ 𝐾 = ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
fourierdlem42.h ⊢ 𝐻 = { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 }
fourierdlem42.15 ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
Assertion fourierdlem42 ( 𝜑 → 𝐻 ∈ Fin )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem42.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
2 fourierdlem42.c ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ )
3 fourierdlem42.bc ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 < 𝐶 )
4 fourierdlem42.t ⊢ 𝑇 = ( 𝐶 − 𝐵 )
5 fourierdlem42.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
6 fourierdlem42.af ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ Fin )
7 fourierdlem42.ba ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴 )
8 fourierdlem42.ca ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴 )
9 fourierdlem42.d ⊢ 𝐷 = ( abs ∘ − )
10 fourierdlem42.i ⊢ 𝐼 = ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I )
11 fourierdlem42.r ⊢ 𝑅 = ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 )
12 fourierdlem42.e ⊢ 𝐸 = inf ( 𝑅 , ℝ , < )
13 fourierdlem42.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
14 fourierdlem42.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ )
15 fourierdlem42.j ⊢ 𝐽 = ( topGen ‘ ran (,) )
16 fourierdlem42.k ⊢ 𝐾 = ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
17 fourierdlem42.h ⊢ 𝐻 = { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 }
18 fourierdlem42.15 ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
19 15 16 icccmp ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → 𝐾 ∈ Comp )
20 13 14 19 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ Comp )
21 20 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → 𝐾 ∈ Comp )
22 ssrab2 ⊢ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 )
23 22 a1i ⊢ ( 𝜑 → { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
24 17 23 eqsstrid ⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
25 retop ⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
26 15 25 eqeltri ⊢ 𝐽 ∈ Top
27 13 14 iccssred ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ )
28 uniretop ⊢ ℝ = ∪ ( topGen ‘ ran (,) )
29 15 unieqi ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ ( topGen ‘ ran (,) )
30 28 29 eqtr4i ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
31 30 restuni ⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ ) → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) = ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
32 26 27 31 sylancr ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) = ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
33 16 unieqi ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
34 33 eqcomi ⊢ ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) = ∪ 𝐾
35 32 34 eqtrdi ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) = ∪ 𝐾 )
36 24 35 sseqtrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾 )
37 36 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾 )
38 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ¬ 𝐻 ∈ Fin )
39 eqid ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
40 39 bwth ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
41 21 37 38 40 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
42 24 27 sstrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ⊆ ℝ )
43 42 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → 𝐻 ⊆ ℝ )
44 ne0i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ≠ ∅ )
45 44 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ≠ ∅ )
46 absf ⊢ abs : ℂ ⟶ ℝ
47 ffn ⊢ ( abs : ℂ ⟶ ℝ → abs Fn ℂ )
48 46 47 ax-mp ⊢ abs Fn ℂ
49 subf ⊢ − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ
50 ffn ⊢ ( − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ → − Fn ( ℂ × ℂ ) )
51 49 50 ax-mp ⊢ − Fn ( ℂ × ℂ )
52 frn ⊢ ( − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ → ran − ⊆ ℂ )
53 49 52 ax-mp ⊢ ran − ⊆ ℂ
54 fnco ⊢ ( ( abs Fn ℂ ∧ − Fn ( ℂ × ℂ ) ∧ ran − ⊆ ℂ ) → ( abs ∘ − ) Fn ( ℂ × ℂ ) )
55 48 51 53 54 mp3an ⊢ ( abs ∘ − ) Fn ( ℂ × ℂ )
56 9 fneq1i ⊢ ( 𝐷 Fn ( ℂ × ℂ ) ↔ ( abs ∘ − ) Fn ( ℂ × ℂ ) )
57 55 56 mpbir ⊢ 𝐷 Fn ( ℂ × ℂ )
58 1 2 iccssred ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ⊆ ℝ )
59 ax-resscn ⊢ ℝ ⊆ ℂ
60 58 59 sstrdi ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ⊆ ℂ )
61 5 60 sstrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ )
62 xpss12 ⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ) → ( 𝐴 × 𝐴 ) ⊆ ( ℂ × ℂ ) )
63 61 61 62 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 × 𝐴 ) ⊆ ( ℂ × ℂ ) )
64 63 ssdifssd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ⊆ ( ℂ × ℂ ) )
65 10 64 eqsstrid ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ⊆ ( ℂ × ℂ ) )
66 fnssres ⊢ ( ( 𝐷 Fn ( ℂ × ℂ ) ∧ 𝐼 ⊆ ( ℂ × ℂ ) ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 )
67 57 65 66 sylancr ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 )
68 fvres ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐼 → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) )
69 68 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) )
70 9 fveq1i ⊢ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 )
71 70 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 ) )
72 ffun ⊢ ( − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ → Fun − )
73 49 72 ax-mp ⊢ Fun −
74 65 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ ( ℂ × ℂ ) )
75 49 fdmi ⊢ dom − = ( ℂ × ℂ )
76 74 75 eleqtrrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ dom − )
77 fvco ⊢ ( ( Fun − ∧ 𝑥 ∈ dom − ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) )
78 73 76 77 sylancr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) )
79 69 71 78 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) )
80 49 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ )
81 80 74 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( − ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
82 81 abscld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ )
83 79 82 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
84 elxp2 ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℂ × ℂ ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ℂ ∃ 𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ )
85 74 84 sylib ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ∃ 𝑦 ∈ ℂ ∃ 𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ )
86 fveq2 ⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ → ( − ‘ 𝑥 ) = ( − ‘ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) )
87 86 3ad2ant3 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ( − ‘ 𝑥 ) = ( − ‘ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) )
88 df-ov ⊢ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( − ‘ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ )
89 simp1l ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → 𝜑 )
90 simpr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ )
91 simpl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → 𝑥 ∈ 𝐼 )
92 90 91 eqeltrrd ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 )
93 92 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 )
94 93 3adant2 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 )
95 61 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝐴 ⊆ ℂ )
96 10 eleq2i ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) )
97 eldif ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ↔ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ∧ ¬ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ I ) )
98 96 97 sylbb ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ∧ ¬ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ I ) )
99 98 simpld ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
100 opelxp ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
101 99 100 sylib ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
102 101 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
103 102 simpld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑦 ∈ 𝐴 )
104 95 103 sseldd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑦 ∈ ℂ )
105 102 simprd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑧 ∈ 𝐴 )
106 95 105 sseldd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑧 ∈ ℂ )
107 98 simprd ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ¬ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ I )
108 df-br ⊢ ( 𝑦 I 𝑧 ↔ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ I )
109 107 108 sylnibr ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 I 𝑧 )
110 vex ⊢ 𝑧 ∈ V
111 110 ideq ⊢ ( 𝑦 I 𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧 )
112 109 111 sylnib ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 = 𝑧 )
113 112 neqned ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → 𝑦 ≠ 𝑧 )
114 113 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
115 104 106 114 subne0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ≠ 0 )
116 89 94 115 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ≠ 0 )
117 88 116 eqnetrrid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ( − ‘ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) ≠ 0 )
118 87 117 eqnetrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 )
119 118 3exp ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) )
120 119 rexlimdvv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℂ ∃ 𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) )
121 85 120 mpd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 )
122 absgt0 ⊢ ( ( − ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ → ( ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ 0 < ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ) )
123 81 122 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ 0 < ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ) )
124 121 123 mpbid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 0 < ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) )
125 79 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) )
126 124 125 breqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 0 < ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) )
127 83 126 elrpd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ )
128 127 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ )
129 fnfvrnss ⊢ ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ ) → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ℝ+ )
130 67 128 129 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ℝ+ )
131 11 130 eqsstrid ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ+ )
132 ltso ⊢ < Or ℝ
133 132 a1i ⊢ ( 𝜑 → < Or ℝ )
134 xpfi ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin ) → ( 𝐴 × 𝐴 ) ∈ Fin )
135 6 6 134 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 × 𝐴 ) ∈ Fin )
136 diffi ⊢ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∈ Fin → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ∈ Fin )
137 135 136 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ∈ Fin )
138 10 137 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ Fin )
139 fnfi ⊢ ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin )
140 67 138 139 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin )
141 rnfi ⊢ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin )
142 140 141 syl ⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin )
143 11 142 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Fin )
144 11 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 = ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
145 9 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 = ( abs ∘ − ) )
146 145 reseq1d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) = ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) )
147 146 fveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
148 opelxp ⊢ ( ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) )
149 7 8 148 sylanbrc ⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
150 1 3 ltned ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶 )
151 150 neneqd ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶 )
152 ideqg ⊢ ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( 𝐵 I 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶 ) )
153 8 152 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 I 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶 ) )
154 151 153 mtbird ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐵 I 𝐶 )
155 df-br ⊢ ( 𝐵 I 𝐶 ↔ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ I )
156 154 155 sylnib ⊢ ( 𝜑 → ¬ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ I )
157 149 156 eldifd ⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) )
158 157 10 eleqtrrdi ⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ 𝐼 )
159 fvres ⊢ ( ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ 𝐼 → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
160 158 159 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
161 1 recnd ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
162 2 recnd ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
163 opelxp ⊢ ( ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( ℂ × ℂ ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) )
164 161 162 163 sylanbrc ⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( ℂ × ℂ ) )
165 164 75 eleqtrrdi ⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ dom − )
166 fvco ⊢ ( ( Fun − ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ dom − ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ) )
167 73 165 166 sylancr ⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ) )
168 df-ov ⊢ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ )
169 168 eqcomi ⊢ ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( 𝐵 − 𝐶 )
170 169 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) )
171 170 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) )
172 167 171 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) )
173 147 160 172 3eqtrrd ⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
174 fnfvelrn ⊢ ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
175 67 158 174 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
176 173 175 eqeltrd ⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
177 ne0i ⊢ ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ≠ ∅ )
178 176 177 syl ⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ≠ ∅ )
179 144 178 eqnetrd ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ≠ ∅ )
180 resss ⊢ ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ 𝐷
181 rnss ⊢ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ 𝐷 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ran 𝐷 )
182 180 181 ax-mp ⊢ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ran 𝐷
183 9 rneqi ⊢ ran 𝐷 = ran ( abs ∘ − )
184 rncoss ⊢ ran ( abs ∘ − ) ⊆ ran abs
185 frn ⊢ ( abs : ℂ ⟶ ℝ → ran abs ⊆ ℝ )
186 46 185 ax-mp ⊢ ran abs ⊆ ℝ
187 184 186 sstri ⊢ ran ( abs ∘ − ) ⊆ ℝ
188 183 187 eqsstri ⊢ ran 𝐷 ⊆ ℝ
189 182 188 sstri ⊢ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ℝ
190 11 189 eqsstri ⊢ 𝑅 ⊆ ℝ
191 190 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ )
192 fiinfcl ⊢ ( ( < Or ℝ ∧ ( 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ⊆ ℝ ) ) → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ 𝑅 )
193 133 143 179 191 192 syl13anc ⊢ ( 𝜑 → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ 𝑅 )
194 131 193 sseldd ⊢ ( 𝜑 → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ ℝ+ )
195 12 194 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+ )
196 195 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ+ )
197 15 43 45 196 lptre2pt ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
198 simpll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝜑 )
199 42 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
200 199 adantrr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
201 200 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
202 42 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
203 202 adantrl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → 𝑧 ∈ ℝ )
204 203 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
205 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
206 201 204 205 3jca ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) )
207 17 eleq2i ⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ↔ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } )
208 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
209 208 eleq1d ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
210 209 rexbidv ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
211 oveq1 ⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( 𝑗 · 𝑇 ) )
212 211 oveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
213 212 eleq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
214 213 cbvrexvw ⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
215 210 214 bitrdi ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
216 215 elrab ⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ↔ ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
217 207 216 sylbb ⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐻 → ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
218 217 simprd ⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐻 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
219 218 adantr ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
220 17 eleq2i ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐻 ↔ 𝑧 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } )
221 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
222 221 eleq1d ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
223 222 rexbidv ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
224 223 elrab ⊢ ( 𝑧 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
225 220 224 sylbb ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐻 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
226 225 simprd ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐻 → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
227 226 adantl ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
228 reeanv ⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
229 219 227 228 sylanbrc ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
230 229 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
231 simplll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝜑 )
232 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
233 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
234 simpr ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 < 𝑧 )
235 232 233 234 3jca ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) )
236 235 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) )
237 236 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) )
238 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
239 eleq1 ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ ) )
240 breq2 ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑦 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑧 ) )
241 239 240 3anbi23d ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) )
242 241 anbi2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ) )
243 oveq1 ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
244 243 eleq1d ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
245 244 anbi2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
246 245 2rexbidv ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
247 242 246 anbi12d ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
248 oveq2 ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑦 − 𝑏 ) = ( 𝑦 − 𝑧 ) )
249 248 fveq2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
250 249 breq2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) )
251 247 250 imbi12d ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ) )
252 eleq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ ) )
253 breq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑏 ) )
254 252 253 3anbi13d ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) )
255 254 anbi2d ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ) )
256 oveq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
257 256 eleq1d ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
258 257 anbi1d ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
259 258 2rexbidv ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
260 255 259 anbi12d ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
261 oveq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 − 𝑏 ) = ( 𝑦 − 𝑏 ) )
262 261 fveq2d ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) )
263 262 breq2d ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) )
264 260 263 imbi12d ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) ) )
265 18 simprbi ⊢ ( 𝜓 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
266 18 biimpi ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
267 266 simpld ⊢ ( 𝜓 → ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) )
268 267 simpld ⊢ ( 𝜓 → 𝜑 )
269 268 1 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝐵 ∈ ℝ )
270 269 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
271 268 2 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝐶 ∈ ℝ )
272 271 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
273 268 5 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝐴 ⊆ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
274 273 sselda ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
275 274 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
276 273 sselda ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
277 276 adantrr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
278 270 272 275 277 iccsuble ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) )
279 278 4 breqtrrdi ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
280 279 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
281 280 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
282 simpr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 )
283 zre ⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ )
284 283 adantr ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℝ )
285 284 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
286 zre ⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ )
287 286 adantl ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℝ )
288 287 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
289 285 288 ltnled ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑗 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) )
290 282 289 mpbird ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑗 < 𝑘 )
291 2 1 resubcld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℝ )
292 4 291 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ )
293 268 292 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ∈ ℝ )
294 293 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
295 287 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
296 284 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
297 295 296 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 − 𝑗 ) ∈ ℝ )
298 293 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
299 297 298 remulcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
300 299 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
301 267 simprd ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) )
302 301 simp2d ⊢ ( 𝜓 → 𝑏 ∈ ℝ )
303 302 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
304 286 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℝ )
305 293 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℝ )
306 304 305 remulcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
307 306 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
308 303 307 readdcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
309 301 simp1d ⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ∈ ℝ )
310 309 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑎 ∈ ℝ )
311 283 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℝ )
312 293 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℝ )
313 311 312 remulcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
314 313 adantrr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
315 310 314 readdcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
316 308 315 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
317 316 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
318 293 recnd ⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ∈ ℂ )
319 318 mullidd ⊢ ( 𝜓 → ( 1 · 𝑇 ) = 𝑇 )
320 319 eqcomd ⊢ ( 𝜓 → 𝑇 = ( 1 · 𝑇 ) )
321 320 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 = ( 1 · 𝑇 ) )
322 simpr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑗 < 𝑘 )
323 zltlem1 ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 < 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
324 323 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 𝑗 < 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
325 322 324 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) )
326 284 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
327 peano2rem ⊢ ( 𝑘 ∈ ℝ → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
328 295 327 syl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
329 328 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
330 1re ⊢ 1 ∈ ℝ
331 resubcl ⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → ( 1 − 𝑗 ) ∈ ℝ )
332 330 326 331 sylancr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 1 − 𝑗 ) ∈ ℝ )
333 simpr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) )
334 326 329 332 333 leadd1dd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 𝑗 + ( 1 − 𝑗 ) ) ≤ ( ( 𝑘 − 1 ) + ( 1 − 𝑗 ) ) )
335 zcn ⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ )
336 335 adantr ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℂ )
337 1cnd ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 1 ∈ ℂ )
338 336 337 pncan3d ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 + ( 1 − 𝑗 ) ) = 1 )
339 338 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 𝑗 + ( 1 − 𝑗 ) ) = 1 )
340 zcn ⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ )
341 340 adantl ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℂ )
342 341 337 336 npncand ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + ( 1 − 𝑗 ) ) = ( 𝑘 − 𝑗 ) )
343 342 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + ( 1 − 𝑗 ) ) = ( 𝑘 − 𝑗 ) )
344 334 339 343 3brtr3d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → 1 ≤ ( 𝑘 − 𝑗 ) )
345 325 344 syldan ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 1 ≤ ( 𝑘 − 𝑗 ) )
346 330 a1i ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 1 ∈ ℝ )
347 297 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 𝑘 − 𝑗 ) ∈ ℝ )
348 1 2 posdifd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 < 𝐶 ↔ 0 < ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
349 3 348 mpbid ⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 𝐶 − 𝐵 ) )
350 349 4 breqtrrdi ⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑇 )
351 292 350 elrpd ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+ )
352 268 351 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ∈ ℝ+ )
353 352 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
354 346 347 353 lemul1d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 1 ≤ ( 𝑘 − 𝑗 ) ↔ ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) )
355 345 354 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) )
356 321 355 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) )
357 302 309 resubcld ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℝ )
358 301 simp3d ⊢ ( 𝜓 → 𝑎 < 𝑏 )
359 309 302 posdifd ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < ( 𝑏 − 𝑎 ) ) )
360 358 359 mpbid ⊢ ( 𝜓 → 0 < ( 𝑏 − 𝑎 ) )
361 357 360 elrpd ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℝ+ )
362 361 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℝ+ )
363 299 362 ltaddrp2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) < ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) )
364 302 recnd ⊢ ( 𝜓 → 𝑏 ∈ ℂ )
365 364 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑏 ∈ ℂ )
366 306 recnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
367 366 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
368 309 recnd ⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ∈ ℂ )
369 368 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑎 ∈ ℂ )
370 313 recnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
371 370 adantrr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
372 365 367 369 371 addsub4d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
373 340 ad2antll ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
374 335 ad2antrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
375 318 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑇 ∈ ℂ )
376 373 374 375 subdird ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) = ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
377 376 eqcomd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) )
378 377 oveq2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) )
379 372 378 eqtr2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
380 363 379 breqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
381 380 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
382 294 300 317 356 381 lelttrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
383 294 317 ltnled ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 𝑇 < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ↔ ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 ) )
384 382 383 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
385 290 384 syldan ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
386 385 3adantl3 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
387 281 386 condan ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑘 ≤ 𝑗 )
388 190 193 sselid ⊢ ( 𝜑 → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ ℝ )
389 12 388 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ )
390 268 389 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝐸 ∈ ℝ )
391 390 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
392 391 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
393 293 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
394 393 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
395 284 287 resubcld ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
396 395 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
397 396 298 remulcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
398 397 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
399 398 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
400 id ⊢ ( 𝜑 → 𝜑 )
401 7 8 jca ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) )
402 400 401 3 3jca ⊢ ( 𝜑 → ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) )
403 eleq1 ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴 ) )
404 403 anbi2d ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) )
405 breq2 ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝐵 < 𝑑 ↔ 𝐵 < 𝐶 ) )
406 404 405 3anbi23d ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) )
407 oveq1 ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑑 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝐵 ) )
408 407 breq2d ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
409 406 408 imbi12d ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) )
410 simp2l ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐵 ∈ 𝐴 )
411 eleq1 ⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝑐 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴 ) )
412 411 anbi1d ⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) )
413 breq1 ⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝑐 < 𝑑 ↔ 𝐵 < 𝑑 ) )
414 412 413 3anbi23d ⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) ) )
415 oveq2 ⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( 𝑑 − 𝐵 ) )
416 415 breq2d ⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) )
417 414 416 imbi12d ⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ) )
418 190 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑅 ⊆ ℝ )
419 0re ⊢ 0 ∈ ℝ
420 11 eleq2i ⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑅 ↔ 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
421 420 biimpi ⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑅 → 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
422 421 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
423 67 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 )
424 fvelrnb ⊢ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) )
425 423 424 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) )
426 422 425 mpbid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 )
427 127 rpge0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 0 ≤ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) )
428 427 3adant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) → 0 ≤ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) )
429 simp3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 )
430 428 429 breqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) → 0 ≤ 𝑦 )
431 430 3exp ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐼 → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦 ) ) )
432 431 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦 ) ) )
433 432 rexlimdv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦 ) )
434 426 433 mpd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → 0 ≤ 𝑦 )
435 434 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦 )
436 breq1 ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦 ) )
437 436 ralbidv ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦 ) )
438 437 rspcev ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 )
439 419 435 438 sylancr ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 )
440 439 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 )
441 pm3.22 ⊢ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) )
442 opelxp ⊢ ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ↔ ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) )
443 441 442 sylibr ⊢ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
444 443 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
445 5 58 sstrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ )
446 445 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝑐 ∈ ℝ )
447 446 adantrr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑐 ∈ ℝ )
448 447 3adant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 ∈ ℝ )
449 simp3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 < 𝑑 )
450 448 449 gtned ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑑 ≠ 𝑐 )
451 450 neneqd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ¬ 𝑑 = 𝑐 )
452 df-br ⊢ ( 𝑑 I 𝑐 ↔ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ I )
453 vex ⊢ 𝑐 ∈ V
454 453 ideq ⊢ ( 𝑑 I 𝑐 ↔ 𝑑 = 𝑐 )
455 452 454 bitr3i ⊢ ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ I ↔ 𝑑 = 𝑐 )
456 451 455 sylnibr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ¬ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ I )
457 444 456 eldifd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) )
458 457 10 eleqtrrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 )
459 448 449 ltned ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 ≠ 𝑑 )
460 146 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) = ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) )
461 460 fveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) )
462 443 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
463 necom ⊢ ( 𝑐 ≠ 𝑑 ↔ 𝑑 ≠ 𝑐 )
464 463 biimpi ⊢ ( 𝑐 ≠ 𝑑 → 𝑑 ≠ 𝑐 )
465 464 neneqd ⊢ ( 𝑐 ≠ 𝑑 → ¬ 𝑑 = 𝑐 )
466 465 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ¬ 𝑑 = 𝑐 )
467 466 455 sylnibr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ¬ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ I )
468 462 467 eldifd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) )
469 468 10 eleqtrrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 )
470 fvres ⊢ ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) )
471 469 470 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) )
472 simp1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → 𝜑 )
473 472 469 jca ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) )
474 eleq1 ⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↔ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) )
475 474 anbi2d ⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) ) )
476 eleq1 ⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( 𝑥 ∈ dom − ↔ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − ) )
477 475 476 imbi12d ⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ dom − ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − ) ) )
478 477 76 vtoclg ⊢ ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 → ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − ) )
479 469 473 478 sylc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − )
480 fvco ⊢ ( ( Fun − ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) ) )
481 73 479 480 sylancr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) ) )
482 df-ov ⊢ ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ )
483 482 eqcomi ⊢ ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( 𝑑 − 𝑐 )
484 483 fveq2i ⊢ ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) )
485 481 484 eqtrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
486 461 471 485 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
487 459 486 syld3an3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
488 445 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) → 𝑑 ∈ ℝ )
489 488 adantrl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
490 489 3adant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑑 ∈ ℝ )
491 448 490 449 ltled ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 ≤ 𝑑 )
492 448 490 491 abssubge0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) )
493 487 492 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) )
494 fveq2 ⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) )
495 494 eqeq1d ⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
496 495 rspcev ⊢ ( ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) )
497 458 493 496 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) )
498 489 447 resubcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ℝ )
499 elex ⊢ ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ℝ → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V )
500 498 499 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V )
501 500 3adant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V )
502 simp1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝜑 )
503 eleq1 ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ) )
504 eqeq2 ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
505 504 rexbidv ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
506 503 505 bibi12d ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) ↔ ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
507 506 imbi2d ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) )
508 67 424 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) )
509 507 508 vtoclg ⊢ ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V → ( 𝜑 → ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
510 501 502 509 sylc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
511 497 510 mpbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
512 511 11 eleqtrrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ 𝑅 )
513 infrelb ⊢ ( ( 𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ 𝑅 ) → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) )
514 418 440 512 513 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) )
515 12 514 eqbrtrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) )
516 417 515 vtoclg ⊢ ( 𝐵 ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) )
517 410 516 mpcom ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) )
518 409 517 vtoclg ⊢ ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
519 8 402 518 sylc ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) )
520 519 4 breqtrrdi ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ≤ 𝑇 )
521 268 520 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝐸 ≤ 𝑇 )
522 521 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ 𝑇 )
523 522 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ 𝑇 )
524 364 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑏 ∈ ℂ )
525 524 366 pncan2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( 𝑘 · 𝑇 ) )
526 525 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( 𝑘 · 𝑇 ) / 𝑇 ) )
527 340 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℂ )
528 318 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℂ )
529 419 a1i ⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ )
530 529 350 gtned ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ 0 )
531 268 530 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ≠ 0 )
532 531 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑇 ≠ 0 )
533 527 528 532 divcan4d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 · 𝑇 ) / 𝑇 ) = 𝑘 )
534 526 533 eqtr2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
535 534 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
536 535 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
537 oveq1 ⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) )
538 537 oveq1d ⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
539 538 adantl ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
540 368 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑎 ∈ ℂ )
541 364 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑏 ∈ ℂ )
542 540 370 541 addsubd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑎 − 𝑏 ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
543 540 541 subcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑎 − 𝑏 ) ∈ ℂ )
544 543 370 addcomd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
545 542 544 eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
546 545 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) / 𝑇 ) )
547 318 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℂ )
548 531 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑇 ≠ 0 )
549 370 543 547 548 divdird ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) / 𝑇 ) + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
550 335 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℂ )
551 550 547 548 divcan4d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 · 𝑇 ) / 𝑇 ) = 𝑗 )
552 551 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) / 𝑇 ) + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
553 546 549 552 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
554 553 adantrr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
555 554 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
556 536 539 555 3eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
557 309 302 resubcld ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 − 𝑏 ) ∈ ℝ )
558 309 302 sublt0d ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) < 0 ↔ 𝑎 < 𝑏 ) )
559 358 558 mpbird ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 − 𝑏 ) < 0 )
560 557 352 559 divlt0gt0d ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 0 )
561 560 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 0 )
562 335 subidd ⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − 𝑗 ) = 0 )
563 562 eqcomd ⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 0 = ( 𝑗 − 𝑗 ) )
564 563 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 0 = ( 𝑗 − 𝑗 ) )
565 561 564 breqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < ( 𝑗 − 𝑗 ) )
566 557 293 531 redivcld ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
567 566 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
568 311 567 311 ltaddsub2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 ↔ ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < ( 𝑗 − 𝑗 ) ) )
569 565 568 mpbird ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 )
570 569 adantrr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 )
571 570 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 )
572 556 571 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
573 320 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑇 = ( 1 · 𝑇 ) )
574 simpr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 < 𝑗 )
575 simplr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
576 simpll ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
577 zltp1le ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 < 𝑗 ↔ ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
578 575 576 577 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 𝑘 < 𝑗 ↔ ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
579 574 578 mpbid ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 )
580 286 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
581 330 a1i ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ∈ ℝ )
582 283 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
583 580 581 582 leaddsub2d ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 ↔ 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) )
584 579 583 mpbid ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) )
585 584 adantll ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) )
586 330 a1i ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ∈ ℝ )
587 395 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
588 352 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
589 586 587 588 lemul1d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ↔ ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
590 585 589 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
591 573 590 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
592 572 591 syldan ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
593 592 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
594 593 3adantll3 ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
595 392 394 399 523 594 letrd ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
596 oveq2 ⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
597 596 oveq1d ⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
598 597 adantl ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
599 268 445 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝐴 ⊆ ℝ )
600 599 sselda ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
601 600 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
602 601 recnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
603 602 subidd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = 0 )
604 603 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
605 604 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
606 598 605 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
607 606 3adantl2 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
608 607 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
609 374 373 subcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℂ )
610 609 375 mulcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
611 610 addlidd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
612 611 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
613 612 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
614 608 613 eqtr2d ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
615 595 614 breqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
616 615 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
617 391 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
618 599 sselda ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
619 618 adantrr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
620 601 619 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
621 620 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
622 621 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
623 621 398 readdcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
624 623 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
625 268 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝜑 )
626 625 3ad2antl1 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝜑 )
627 626 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝜑 )
628 simpl3 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
629 628 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
630 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
631 619 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
632 601 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
633 631 632 lenltd ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
634 630 633 mpbid ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
635 eqcom ⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
636 635 notbii ⊢ ( ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
637 636 biimpi ⊢ ( ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
638 637 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
639 ioran ⊢ ( ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∨ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
640 634 638 639 sylanbrc ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∨ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
641 632 631 leloed ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ↔ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∨ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
642 640 641 mtbird ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
643 642 3adantll2 ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
644 643 adantllr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
645 619 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
646 645 3adantl2 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
647 646 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
648 601 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
649 648 3adantl2 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
650 649 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
651 647 650 ltnled ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
652 644 651 mpbird ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
653 simp2l ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
654 eleq1 ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
655 654 anbi1d ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
656 breq1 ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
657 655 656 3anbi23d ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
658 oveq2 ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
659 658 breq2d ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
660 657 659 imbi12d ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
661 simp2r ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
662 eleq1 ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
663 662 anbi2d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
664 breq2 ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
665 663 664 3anbi23d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
666 oveq1 ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) )
667 666 breq2d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) )
668 665 667 imbi12d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) ) )
669 668 515 vtoclg ⊢ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) )
670 661 669 mpcom ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) )
671 660 670 vtoclg ⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
672 653 671 mpcom ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
673 627 629 652 672 syl3anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
674 395 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
675 293 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
676 simpr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑘 ≤ 𝑗 )
677 283 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
678 286 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
679 677 678 subge0d ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 0 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ 𝑗 ) )
680 676 679 mpbird ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) )
681 680 adantll ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) )
682 352 rpge0d ⊢ ( 𝜓 → 0 ≤ 𝑇 )
683 682 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ 𝑇 )
684 674 675 681 683 mulge0d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
685 684 3adantl3 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
686 621 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
687 398 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
688 686 687 addge01d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ↔ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) )
689 685 688 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
690 689 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
691 617 622 624 673 690 letrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
692 616 691 pm2.61dan ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
693 372 378 eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) )
694 693 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
695 365 369 subcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
696 373 374 subcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 − 𝑗 ) ∈ ℂ )
697 696 375 mulcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
698 695 697 610 addassd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) )
699 341 336 336 341 subadd4b ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) )
700 699 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) )
701 700 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) · 𝑇 ) )
702 696 609 375 adddird ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
703 340 subidd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → ( 𝑘 − 𝑘 ) = 0 )
704 703 adantl ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 − 𝑘 ) = 0 )
705 562 adantr ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 𝑗 ) = 0 )
706 704 705 oveq12d ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) = ( 0 + 0 ) )
707 00id ⊢ ( 0 + 0 ) = 0
708 706 707 eqtrdi ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) = 0 )
709 708 oveq1d ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) · 𝑇 ) = ( 0 · 𝑇 ) )
710 709 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) · 𝑇 ) = ( 0 · 𝑇 ) )
711 701 702 710 3eqtr3d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 · 𝑇 ) )
712 711 oveq2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) )
713 318 mul02d ⊢ ( 𝜓 → ( 0 · 𝑇 ) = 0 )
714 713 oveq2d ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + 0 ) )
715 364 368 subcld ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
716 715 addridd ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + 0 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
717 714 716 eqtrd ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
718 717 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
719 712 718 eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
720 694 698 719 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
721 720 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
722 721 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
723 692 722 breqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
724 simpll ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
725 simpr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
726 601 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
727 726 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
728 619 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
729 728 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
730 727 729 ltnled ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
731 725 730 mpbird ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
732 731 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
733 535 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
734 733 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
735 600 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
736 302 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑏 ∈ ℝ )
737 735 736 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
738 293 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
739 531 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ≠ 0 )
740 737 738 739 redivcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
741 740 3adant3l ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
742 741 3adant2l ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
743 742 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
744 618 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
745 302 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑏 ∈ ℝ )
746 744 745 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
747 293 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
748 531 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ≠ 0 )
749 746 747 748 redivcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
750 749 3adant3r ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
751 750 3adant2r ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
752 751 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
753 284 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
754 753 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
755 726 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
756 302 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
757 756 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
758 755 757 resubcld ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
759 728 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
760 759 757 resubcld ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
761 352 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
762 761 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
763 601 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
764 619 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
765 302 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
766 simpr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
767 763 764 765 766 ltsub1dd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) < ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) )
768 767 3adantl2 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) < ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) )
769 758 760 762 768 ltdiv1dd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
770 554 570 eqbrtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 )
771 770 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 )
772 771 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 )
773 743 752 754 769 772 lttrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 )
774 734 773 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
775 774 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
776 732 775 syldan ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
777 391 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
778 393 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
779 623 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
780 522 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ 𝑇 )
781 peano2rem ⊢ ( 𝑗 ∈ ℝ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
782 753 781 syl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
783 287 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
784 782 783 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ )
785 784 393 remulcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
786 785 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
787 753 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
788 330 a1i ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ∈ ℝ )
789 787 788 resubcld ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
790 286 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
791 790 3ad2antl2 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
792 789 791 resubcld ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ )
793 682 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 0 ≤ 𝑇 )
794 793 3ad2antl1 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 0 ≤ 𝑇 )
795 283 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
796 330 a1i ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ∈ ℝ )
797 795 796 resubcld ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
798 simpr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) )
799 simplr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
800 simpll ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
801 1zzd ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ∈ ℤ )
802 800 801 zsubcld ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
803 zltlem1 ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ↔ 𝑘 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 1 ) ) )
804 799 802 803 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ↔ 𝑘 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 1 ) ) )
805 798 804 mpbid ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 1 ) )
806 790 797 796 805 lesubd ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) )
807 806 3ad2antl2 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) )
808 778 792 794 807 lemulge12d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑇 ≤ ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
809 336 337 341 sub32d ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) )
810 809 oveq1d ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) · 𝑇 ) )
811 810 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) · 𝑇 ) )
812 1cnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 1 ∈ ℂ )
813 609 812 375 subdird ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( 1 · 𝑇 ) ) )
814 319 oveq2d ⊢ ( 𝜓 → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( 1 · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) )
815 814 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( 1 · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) )
816 811 813 815 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) )
817 816 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) )
818 728 726 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
819 270 272 277 275 iccsuble ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) )
820 819 4 breqtrrdi ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
821 820 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
822 818 393 398 821 lesub2dd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
823 817 822 eqbrtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
824 610 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
825 728 recnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
826 602 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
827 824 825 826 subsub2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
828 621 recnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
829 824 828 addcomd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
830 827 829 eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
831 823 830 breqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
832 831 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
833 778 786 779 808 832 letrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑇 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
834 777 778 779 780 833 letrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
835 721 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
836 834 835 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
837 836 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
838 837 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
839 simplll ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
840 simpll2 ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) )
841 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
842 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) )
843 581 582 580 584 lesubd ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
844 843 3adant3 ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
845 simpr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) )
846 284 781 syl ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
847 846 adantr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
848 286 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
849 847 848 lenltd ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) )
850 845 849 mpbird ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 )
851 850 3adant2 ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 )
852 580 3adant3 ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
853 846 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
854 852 853 letri3d ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ↔ ( 𝑘 ≤ ( 𝑗 − 1 ) ∧ ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 ) ) )
855 844 851 854 mpbir2and ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) )
856 840 841 842 855 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) )
857 856 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) )
858 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝜓 )
859 simpl2l ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
860 simpl3l ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
861 oveq1 ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) )
862 861 oveq2d ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
863 862 eqcomd ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
864 863 adantl ⊢ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
865 simpl ⊢ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
866 864 865 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
867 866 adantll ⊢ ( ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
868 867 3ad2antl3 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
869 860 868 jca ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
870 id ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
871 870 3adant3r ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
872 744 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
873 271 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
874 873 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
875 269 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
876 271 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
877 elicc2 ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) )
878 875 876 877 syl2anc ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) )
879 276 878 mpbid ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) )
880 879 simp3d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 )
881 880 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 )
882 881 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 )
883 nne ⊢ ( ¬ 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ↔ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
884 540 370 pncand ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = 𝑎 )
885 884 eqcomd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑎 = ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
886 885 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
887 oveq1 ⊢ ( 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
888 887 eqcomd ⊢ ( 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
889 888 adantl ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
890 4 oveq2i ⊢ ( 𝐵 + 𝑇 ) = ( 𝐵 + ( 𝐶 − 𝐵 ) )
891 268 161 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝐵 ∈ ℂ )
892 268 162 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝐶 ∈ ℂ )
893 891 892 pncan3d ⊢ ( 𝜓 → ( 𝐵 + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) = 𝐶 )
894 890 893 eqtr2id ⊢ ( 𝜓 → 𝐶 = ( 𝐵 + 𝑇 ) )
895 894 oveq1d ⊢ ( 𝜓 → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
896 895 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
897 891 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝐵 ∈ ℂ )
898 897 370 547 subsub3d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
899 550 547 mulsubfacd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 · 𝑇 ) − 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) )
900 899 oveq2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
901 896 898 900 3eqtr2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
902 901 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
903 886 889 902 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
904 903 3adantl3 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
905 904 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
906 oveq1 ⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
907 906 eqcomd ⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
908 907 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
909 364 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝑏 ∈ ℂ )
910 1cnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 1 ∈ ℂ )
911 550 910 subcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℂ )
912 911 547 mulcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
913 912 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
914 909 913 pncand ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝑏 )
915 914 3adantl3 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝑏 )
916 915 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝑏 )
917 905 908 916 3eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = 𝑏 )
918 883 917 sylan2b ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ¬ 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = 𝑏 )
919 309 358 ltned ⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ≠ 𝑏 )
920 919 neneqd ⊢ ( 𝜓 → ¬ 𝑎 = 𝑏 )
921 920 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ¬ 𝑎 = 𝑏 )
922 921 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ¬ 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ¬ 𝑎 = 𝑏 )
923 918 922 condan ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
924 872 874 882 923 leneltd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 )
925 871 924 sylan ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 )
926 268 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝜑 )
927 simplr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
928 926 8 syl ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐶 ∈ 𝐴 )
929 simpr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 )
930 simp2l ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
931 654 anbi1d ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) )
932 breq1 ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 < 𝐶 ↔ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) )
933 931 932 3anbi23d ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) ) )
934 oveq2 ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐶 − 𝑐 ) = ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
935 934 breq2d ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
936 933 935 imbi12d ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
937 simp2r ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐶 ∈ 𝐴 )
938 403 anbi2d ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) )
939 breq2 ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < 𝐶 ) )
940 938 939 3anbi23d ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) ) )
941 oveq1 ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( 𝐶 − 𝑐 ) )
942 941 breq2d ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) )
943 940 942 imbi12d ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) ) )
944 943 515 vtoclg ⊢ ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) )
945 937 944 mpcom ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) )
946 936 945 vtoclg ⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
947 930 946 mpcom ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
948 926 927 928 929 947 syl121anc ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
949 948 adantlrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
950 949 3adantl2 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
951 950 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
952 892 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℂ )
953 599 sselda ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
954 953 recnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
955 952 954 npcand ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = 𝐶 )
956 955 eqcomd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 = ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
957 956 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
958 957 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
959 958 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
960 959 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
961 oveq2 ⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐶 − 𝐵 ) )
962 961 oveq1d ⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
963 962 oveq1d ⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
964 963 adantl ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
965 4 eqcomi ⊢ ( 𝐶 − 𝐵 ) = 𝑇
966 965 oveq1i ⊢ ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑇 + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
967 966 a1i ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑇 + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
968 318 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℂ )
969 968 954 addcomd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) )
970 967 969 eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) )
971 970 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
972 971 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
973 972 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
974 973 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
975 954 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
976 975 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
977 976 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
978 318 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℂ )
979 978 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝑇 ∈ ℂ )
980 618 adantrr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
981 980 recnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
982 981 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
983 982 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
984 977 979 983 addsubd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
985 974 984 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
986 960 964 985 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
987 986 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
988 951 987 breqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
989 925 988 mpdan ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
990 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝜓 )
991 simpl3r ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
992 simpr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 )
993 269 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
994 953 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
995 273 sselda ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
996 269 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
997 271 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
998 elicc2 ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) )
999 996 997 998 syl2anc ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) )
1000 995 999 mpbid ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) )
1001 1000 simp2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1002 1001 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1003 neqne ⊢ ( ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≠ 𝐵 )
1004 1003 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≠ 𝐵 )
1005 993 994 1002 1004 leneltd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1006 990 991 992 1005 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1007 390 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
1008 1007 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
1009 953 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
1010 1009 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
1011 269 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
1012 1010 1011 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ )
1013 1012 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ )
1014 1009 980 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
1015 293 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
1016 1014 1015 readdcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ∈ ℝ )
1017 1016 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ∈ ℝ )
1018 1017 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ∈ ℝ )
1019 268 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝜑 )
1020 1019 3ad2antl1 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝜑 )
1021 1020 7 syl ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝐴 )
1022 simpl3r ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
1023 simpr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1024 simp2r ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
1025 eleq1 ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1026 1025 anbi2d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1027 breq2 ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝐵 < 𝑑 ↔ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
1028 1026 1027 3anbi23d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) )
1029 oveq1 ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 − 𝐵 ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) )
1030 1029 breq2d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ↔ 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) )
1031 1028 1030 imbi12d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) ) )
1032 1031 517 vtoclg ⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) )
1033 1024 1032 mpcom ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) )
1034 1020 1021 1022 1023 1033 syl121anc ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) )
1035 269 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
1036 980 1035 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ )
1037 965 1015 eqeltrid ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℝ )
1038 271 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
1039 880 adantrr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 )
1040 980 1038 1035 1039 lesub1dd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) )
1041 1036 1037 1014 1040 leadd2dd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
1042 975 981 npcand ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1043 1042 eqcomd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
1044 1043 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) = ( ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) − 𝐵 ) )
1045 1014 recnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
1046 891 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℂ )
1047 1045 981 1046 addsubassd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) − 𝐵 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) )
1048 1044 1047 eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) )
1049 4 oveq2i ⊢ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) )
1050 1049 a1i ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
1051 1041 1048 1050 3brtr4d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1052 1051 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1053 1052 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1054 1008 1013 1018 1034 1053 letrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1055 1006 1054 syldan ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1056 989 1055 pm2.61dan ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1057 858 859 869 1056 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1058 720 eqcomd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
1059 1058 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
1060 862 oveq1d ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
1061 1060 adantl ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
1062 oveq2 ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) = ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) )
1063 1062 oveq1d ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) )
1064 1063 adantl ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) )
1065 1cnd ⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ )
1066 335 1065 nncand ⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) = 1 )
1067 1066 oveq1d ⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) = ( 1 · 𝑇 ) )
1068 1067 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) = ( 1 · 𝑇 ) )
1069 319 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 1 · 𝑇 ) = 𝑇 )
1070 1064 1068 1069 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = 𝑇 )
1071 1061 1070 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1072 1071 adantlrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1073 1059 1072 eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1074 1073 3adantl3 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1075 1057 1074 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1076 839 857 1075 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1077 838 1076 pm2.61dan ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1078 724 776 732 1077 syl21anc ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1079 723 1078 pm2.61dan ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1080 387 1079 mpdan ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1081 309 302 358 ltled ⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ≤ 𝑏 )
1082 309 302 1081 abssuble0d ⊢ ( 𝜓 → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1083 1082 eqcomd ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1084 1083 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1085 1080 1084 breqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1086 1085 3exp ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) ) )
1087 1086 rexlimdvv ⊢ ( 𝜓 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) )
1088 265 1087 mpd ⊢ ( 𝜓 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1089 18 1088 sylbir ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1090 264 1089 chvarvv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) )
1091 251 1090 chvarvv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1092 231 237 238 1091 syl21anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1093 simpr ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ¬ 𝑦 < 𝑧 )
1094 simpl3 ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
1095 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
1096 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
1097 1095 1096 lttri2d ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ≠ 𝑧 ↔ ( 𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦 ) ) )
1098 1094 1097 mpbid ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦 ) )
1099 1098 ord ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( ¬ 𝑦 < 𝑧 → 𝑧 < 𝑦 ) )
1100 1093 1099 mpd ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 < 𝑦 )
1101 1100 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 < 𝑦 )
1102 1101 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 < 𝑦 )
1103 simplll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝜑 )
1104 simplr ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
1105 simpll ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
1106 simpr ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝑧 < 𝑦 )
1107 1104 1105 1106 3jca ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) )
1108 1107 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) )
1109 1108 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) )
1110 oveq1 ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 · 𝑇 ) = ( 𝑖 · 𝑇 ) )
1111 1110 oveq2d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) )
1112 1111 eleq1d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1113 1112 anbi1d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1114 oveq1 ⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( 𝑙 · 𝑇 ) )
1115 1114 oveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) )
1116 1115 eleq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1117 1116 anbi2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1118 1113 1117 cbvrex2vw ⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ℤ ∃ 𝑙 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1119 oveq1 ⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑖 · 𝑇 ) = ( 𝑘 · 𝑇 ) )
1120 1119 oveq2d ⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
1121 1120 eleq1d ⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1122 1121 anbi1d ⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1123 oveq1 ⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( 𝑙 · 𝑇 ) = ( 𝑗 · 𝑇 ) )
1124 1123 oveq2d ⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
1125 1124 eleq1d ⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1126 1125 anbi2d ⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1127 1122 1126 cbvrex2vw ⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ℤ ∃ 𝑙 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1128 rexcom ⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1129 ancom ⊢ ( ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1130 1129 2rexbii ⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1131 1127 1128 1130 3bitri ⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ℤ ∃ 𝑙 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1132 1118 1131 sylbb ⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1133 1132 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1134 eleq1 ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ ) )
1135 breq2 ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑧 < 𝑏 ↔ 𝑧 < 𝑦 ) )
1136 1134 1135 3anbi23d ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) )
1137 1136 anbi2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ) )
1138 oveq1 ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
1139 1138 eleq1d ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1140 1139 anbi2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1141 1140 2rexbidv ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1142 1137 1141 anbi12d ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
1143 oveq2 ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑧 − 𝑏 ) = ( 𝑧 − 𝑦 ) )
1144 1143 fveq2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) )
1145 1144 breq2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) ) )
1146 1142 1145 imbi12d ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) ) ) )
1147 eleq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ ) )
1148 breq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑧 < 𝑏 ) )
1149 1147 1148 3anbi13d ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) )
1150 1149 anbi2d ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ) )
1151 oveq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
1152 1151 eleq1d ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1153 1152 anbi1d ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1154 1153 2rexbidv ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1155 1150 1154 anbi12d ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
1156 oveq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 − 𝑏 ) = ( 𝑧 − 𝑏 ) )
1157 1156 fveq2d ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) )
1158 1157 breq2d ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) )
1159 1155 1158 imbi12d ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) ) )
1160 1159 1089 chvarvv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) )
1161 1146 1160 chvarvv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) )
1162 1103 1109 1133 1161 syl21anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) )
1163 recn ⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ )
1164 1163 adantl ⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑧 ∈ ℂ )
1165 recn ⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ )
1166 1165 adantr ⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑦 ∈ ℂ )
1167 1164 1166 abssubd ⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1168 1167 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1169 1168 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1170 1162 1169 breqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1171 1170 ex ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) )
1172 1171 3adantlr3 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) )
1173 1172 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) )
1174 1102 1173 mpd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1175 1092 1174 pm2.61dan ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1176 198 206 230 1175 syl21anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1177 389 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐸 ∈ ℝ )
1178 200 203 resubcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ∈ ℝ )
1179 1178 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ∈ ℂ )
1180 1179 abscld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
1181 1180 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
1182 1177 1181 lenltd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ↔ ¬ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1183 1176 1182 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ¬ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 )
1184 nan ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ¬ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1185 1183 1184 mpbir ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1186 1185 ralrimivva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ 𝐻 ∀ 𝑧 ∈ 𝐻 ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1187 ralnex2 ⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐻 ∀ 𝑧 ∈ 𝐻 ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ↔ ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1188 1186 1187 sylib ⊢ ( 𝜑 → ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1189 1188 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1190 197 1189 pm2.65da ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) )
1191 1190 intnanrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1192 elin ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1193 1191 1192 sylnibr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1194 26 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → 𝐽 ∈ Top )
1195 27 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ )
1196 24 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → 𝐻 ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
1197 30 16 restlp ⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ ∧ 𝐻 ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) → ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) = ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1198 1194 1195 1196 1197 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) = ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1199 1193 1198 neleqtrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
1200 1199 nrexdv ⊢ ( 𝜑 → ¬ ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
1201 1200 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ¬ ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
1202 41 1201 condan ⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ Fin )