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Theorem fourierdlem42

Description: The set of points in a moved partition are finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019) (Revised by AV, 29-Sep-2020)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem42.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
fourierdlem42.c ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ )
fourierdlem42.bc ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 < 𝐶 )
fourierdlem42.t ⊢ 𝑇 = ( 𝐶 − 𝐵 )
fourierdlem42.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
fourierdlem42.af ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ Fin )
fourierdlem42.ba ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴 )
fourierdlem42.ca ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴 )
fourierdlem42.d ⊢ 𝐷 = ( abs ∘ − )
fourierdlem42.i ⊢ 𝐼 = ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I )
fourierdlem42.r ⊢ 𝑅 = ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 )
fourierdlem42.e ⊢ 𝐸 = inf ( 𝑅 , ℝ , < )
fourierdlem42.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
fourierdlem42.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ )
fourierdlem42.j ⊢ 𝐽 = ( topGen ‘ ran (,) )
fourierdlem42.k ⊢ 𝐾 = ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
fourierdlem42.h ⊢ 𝐻 = { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 }
fourierdlem42.15 ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
Assertion fourierdlem42 ( 𝜑 → 𝐻 ∈ Fin )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem42.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
2 fourierdlem42.c ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ )
3 fourierdlem42.bc ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 < 𝐶 )
4 fourierdlem42.t ⊢ 𝑇 = ( 𝐶 − 𝐵 )
5 fourierdlem42.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
6 fourierdlem42.af ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ Fin )
7 fourierdlem42.ba ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴 )
8 fourierdlem42.ca ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴 )
9 fourierdlem42.d ⊢ 𝐷 = ( abs ∘ − )
10 fourierdlem42.i ⊢ 𝐼 = ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I )
11 fourierdlem42.r ⊢ 𝑅 = ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 )
12 fourierdlem42.e ⊢ 𝐸 = inf ( 𝑅 , ℝ , < )
13 fourierdlem42.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
14 fourierdlem42.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ )
15 fourierdlem42.j ⊢ 𝐽 = ( topGen ‘ ran (,) )
16 fourierdlem42.k ⊢ 𝐾 = ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
17 fourierdlem42.h ⊢ 𝐻 = { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 }
18 fourierdlem42.15 ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
19 15 16 icccmp ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → 𝐾 ∈ Comp )
20 13 14 19 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ Comp )
21 20 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → 𝐾 ∈ Comp )
22 ssrab2 ⊢ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 )
23 22 a1i ⊢ ( 𝜑 → { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
24 17 23 eqsstrid ⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
25 retop ⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
26 15 25 eqeltri ⊢ 𝐽 ∈ Top
27 13 14 iccssred ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ )
28 uniretop ⊢ ℝ = ∪ ( topGen ‘ ran (,) )
29 15 unieqi ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ ( topGen ‘ ran (,) )
30 28 29 eqtr4i ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
31 30 restuni ⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ ) → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) = ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
32 26 27 31 sylancr ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) = ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
33 16 unieqi ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
34 33 eqcomi ⊢ ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) = ∪ 𝐾
35 32 34 eqtrdi ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) = ∪ 𝐾 )
36 24 35 sseqtrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾 )
37 36 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾 )
38 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ¬ 𝐻 ∈ Fin )
39 eqid ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
40 39 bwth ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
41 21 37 38 40 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
42 24 27 sstrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ⊆ ℝ )
43 42 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → 𝐻 ⊆ ℝ )
44 ne0i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ≠ ∅ )
45 44 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ≠ ∅ )
46 absf ⊢ abs : ℂ ⟶ ℝ
47 ffn ⊢ ( abs : ℂ ⟶ ℝ → abs Fn ℂ )
48 46 47 ax-mp ⊢ abs Fn ℂ
49 subf ⊢ − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ
50 ffn ⊢ ( − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ → − Fn ( ℂ × ℂ ) )
51 49 50 ax-mp ⊢ − Fn ( ℂ × ℂ )
52 frn ⊢ ( − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ → ran − ⊆ ℂ )
53 49 52 ax-mp ⊢ ran − ⊆ ℂ
54 fnco ⊢ ( ( abs Fn ℂ ∧ − Fn ( ℂ × ℂ ) ∧ ran − ⊆ ℂ ) → ( abs ∘ − ) Fn ( ℂ × ℂ ) )
55 48 51 53 54 mp3an ⊢ ( abs ∘ − ) Fn ( ℂ × ℂ )
56 9 fneq1i ⊢ ( 𝐷 Fn ( ℂ × ℂ ) ↔ ( abs ∘ − ) Fn ( ℂ × ℂ ) )
57 55 56 mpbir ⊢ 𝐷 Fn ( ℂ × ℂ )
58 1 2 iccssred ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ⊆ ℝ )
59 ax-resscn ⊢ ℝ ⊆ ℂ
60 58 59 sstrdi ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ⊆ ℂ )
61 5 60 sstrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ )
62 xpss12 ⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ) → ( 𝐴 × 𝐴 ) ⊆ ( ℂ × ℂ ) )
63 61 61 62 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 × 𝐴 ) ⊆ ( ℂ × ℂ ) )
64 63 ssdifssd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ⊆ ( ℂ × ℂ ) )
65 10 64 eqsstrid ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ⊆ ( ℂ × ℂ ) )
66 fnssres ⊢ ( ( 𝐷 Fn ( ℂ × ℂ ) ∧ 𝐼 ⊆ ( ℂ × ℂ ) ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 )
67 57 65 66 sylancr ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 )
68 fvres ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐼 → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) )
69 68 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) )
70 9 fveq1i ⊢ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 )
71 70 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 ) )
72 ffun ⊢ ( − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ → Fun − )
73 49 72 ax-mp ⊢ Fun −
74 65 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ ( ℂ × ℂ ) )
75 49 fdmi ⊢ dom − = ( ℂ × ℂ )
76 74 75 eleqtrrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ dom − )
77 fvco ⊢ ( ( Fun − ∧ 𝑥 ∈ dom − ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) )
78 73 76 77 sylancr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) )
79 69 71 78 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) )
80 49 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ )
81 80 74 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( − ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
82 81 abscld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ )
83 79 82 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
84 elxp2 ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℂ × ℂ ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ℂ ∃ 𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ )
85 74 84 sylib ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ∃ 𝑦 ∈ ℂ ∃ 𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ )
86 fveq2 ⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ → ( − ‘ 𝑥 ) = ( − ‘ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) )
87 86 3ad2ant3 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ( − ‘ 𝑥 ) = ( − ‘ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) )
88 df-ov ⊢ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( − ‘ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ )
89 simp1l ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → 𝜑 )
90 simpr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ )
91 simpl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → 𝑥 ∈ 𝐼 )
92 90 91 eqeltrrd ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 )
93 92 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 )
94 93 3adant2 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 )
95 61 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝐴 ⊆ ℂ )
96 10 eleq2i ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) )
97 eldif ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ↔ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ∧ ¬ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ I ) )
98 96 97 sylbb ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ∧ ¬ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ I ) )
99 98 simpld ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
100 opelxp ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
101 99 100 sylib ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
102 101 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
103 102 simpld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑦 ∈ 𝐴 )
104 95 103 sseldd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑦 ∈ ℂ )
105 102 simprd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑧 ∈ 𝐴 )
106 95 105 sseldd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑧 ∈ ℂ )
107 98 simprd ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ¬ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ I )
108 df-br ⊢ ( 𝑦 I 𝑧 ↔ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ I )
109 107 108 sylnibr ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 I 𝑧 )
110 vex ⊢ 𝑧 ∈ V
111 110 ideq ⊢ ( 𝑦 I 𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧 )
112 109 111 sylnib ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 = 𝑧 )
113 112 neqned ⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → 𝑦 ≠ 𝑧 )
114 113 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
115 104 106 114 subne0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ≠ 0 )
116 89 94 115 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ≠ 0 )
117 88 116 eqnetrrid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ( − ‘ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) ≠ 0 )
118 87 117 eqnetrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 )
119 118 3exp ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) )
120 119 rexlimdvv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℂ ∃ 𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) )
121 85 120 mpd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 )
122 absgt0 ⊢ ( ( − ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ → ( ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ 0 < ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ) )
123 81 122 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ 0 < ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ) )
124 121 123 mpbid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 0 < ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) )
125 79 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) )
126 124 125 breqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 0 < ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) )
127 83 126 elrpd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ )
128 127 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ )
129 fnfvrnss ⊢ ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ ) → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ℝ+ )
130 67 128 129 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ℝ+ )
131 11 130 eqsstrid ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ+ )
132 ltso ⊢ < Or ℝ
133 132 a1i ⊢ ( 𝜑 → < Or ℝ )
134 xpfi ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin ) → ( 𝐴 × 𝐴 ) ∈ Fin )
135 6 6 134 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 × 𝐴 ) ∈ Fin )
136 diffi ⊢ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∈ Fin → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ∈ Fin )
137 135 136 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ∈ Fin )
138 10 137 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ Fin )
139 fnfi ⊢ ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin )
140 67 138 139 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin )
141 rnfi ⊢ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin )
142 140 141 syl ⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin )
143 11 142 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Fin )
144 11 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 = ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
145 9 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 = ( abs ∘ − ) )
146 145 reseq1d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) = ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) )
147 146 fveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
148 opelxp ⊢ ( ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) )
149 7 8 148 sylanbrc ⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
150 1 3 ltned ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶 )
151 150 neneqd ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶 )
152 ideqg ⊢ ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( 𝐵 I 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶 ) )
153 8 152 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 I 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶 ) )
154 151 153 mtbird ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐵 I 𝐶 )
155 df-br ⊢ ( 𝐵 I 𝐶 ↔ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ I )
156 154 155 sylnib ⊢ ( 𝜑 → ¬ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ I )
157 149 156 eldifd ⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) )
158 157 10 eleqtrrdi ⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ 𝐼 )
159 fvres ⊢ ( ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ 𝐼 → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
160 158 159 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
161 1 recnd ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
162 2 recnd ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
163 opelxp ⊢ ( ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( ℂ × ℂ ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) )
164 161 162 163 sylanbrc ⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( ℂ × ℂ ) )
165 164 75 eleqtrrdi ⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ dom − )
166 fvco ⊢ ( ( Fun − ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ dom − ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ) )
167 73 165 166 sylancr ⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ) )
168 df-ov ⊢ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ )
169 168 eqcomi ⊢ ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( 𝐵 − 𝐶 )
170 169 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) )
171 170 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) )
172 167 171 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) )
173 147 160 172 3eqtrrd ⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
174 fnfvelrn ⊢ ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
175 67 158 174 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
176 173 175 eqeltrd ⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
177 ne0i ⊢ ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ≠ ∅ )
178 176 177 syl ⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ≠ ∅ )
179 144 178 eqnetrd ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ≠ ∅ )
180 resss ⊢ ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ 𝐷
181 rnss ⊢ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ 𝐷 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ran 𝐷 )
182 180 181 ax-mp ⊢ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ran 𝐷
183 9 rneqi ⊢ ran 𝐷 = ran ( abs ∘ − )
184 rncoss ⊢ ran ( abs ∘ − ) ⊆ ran abs
185 frn ⊢ ( abs : ℂ ⟶ ℝ → ran abs ⊆ ℝ )
186 46 185 ax-mp ⊢ ran abs ⊆ ℝ
187 184 186 sstri ⊢ ran ( abs ∘ − ) ⊆ ℝ
188 183 187 eqsstri ⊢ ran 𝐷 ⊆ ℝ
189 182 188 sstri ⊢ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ℝ
190 11 189 eqsstri ⊢ 𝑅 ⊆ ℝ
191 190 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ )
192 fiinfcl ⊢ ( ( < Or ℝ ∧ ( 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ⊆ ℝ ) ) → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ 𝑅 )
193 133 143 179 191 192 syl13anc ⊢ ( 𝜑 → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ 𝑅 )
194 131 193 sseldd ⊢ ( 𝜑 → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ ℝ+ )
195 12 194 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+ )
196 195 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ+ )
197 15 43 45 196 lptre2pt ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
198 simpll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝜑 )
199 42 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
200 199 adantrr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
201 200 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
202 42 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
203 202 adantrl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → 𝑧 ∈ ℝ )
204 203 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
205 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
206 201 204 205 3jca ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) )
207 17 eleq2i ⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ↔ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } )
208 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
209 208 eleq1d ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
210 209 rexbidv ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
211 oveq1 ⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( 𝑗 · 𝑇 ) )
212 211 oveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
213 212 eleq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
214 213 cbvrexvw ⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
215 210 214 bitrdi ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
216 215 elrab ⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ↔ ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
217 207 216 sylbb ⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐻 → ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
218 217 simprd ⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐻 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
219 218 adantr ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
220 17 eleq2i ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐻 ↔ 𝑧 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } )
221 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
222 221 eleq1d ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
223 222 rexbidv ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
224 223 elrab ⊢ ( 𝑧 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
225 220 224 sylbb ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐻 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
226 225 simprd ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐻 → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
227 226 adantl ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
228 reeanv ⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
229 219 227 228 sylanbrc ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
230 229 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
231 simplll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝜑 )
232 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
233 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
234 simpr ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 < 𝑧 )
235 232 233 234 3jca ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) )
236 235 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) )
237 236 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) )
238 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
239 eleq1 ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ ) )
240 breq2 ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑦 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑧 ) )
241 239 240 3anbi23d ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) )
242 241 anbi2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ) )
243 oveq1 ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
244 243 eleq1d ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
245 244 anbi2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
246 245 2rexbidv ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
247 242 246 anbi12d ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
248 oveq2 ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑦 − 𝑏 ) = ( 𝑦 − 𝑧 ) )
249 248 fveq2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
250 249 breq2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) )
251 247 250 imbi12d ⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ) )
252 eleq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ ) )
253 breq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑏 ) )
254 252 253 3anbi13d ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) )
255 254 anbi2d ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ) )
256 oveq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
257 256 eleq1d ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
258 257 anbi1d ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
259 258 2rexbidv ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
260 255 259 anbi12d ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
261 oveq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 − 𝑏 ) = ( 𝑦 − 𝑏 ) )
262 261 fveq2d ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) )
263 262 breq2d ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) )
264 260 263 imbi12d ⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) ) )
265 18 simprbi ⊢ ( 𝜓 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
266 18 biimpi ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
267 266 simpld ⊢ ( 𝜓 → ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) )
268 267 simpld ⊢ ( 𝜓 → 𝜑 )
269 268 1 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝐵 ∈ ℝ )
270 269 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
271 268 2 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝐶 ∈ ℝ )
272 271 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
273 268 5 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝐴 ⊆ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
274 273 sselda ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
275 274 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
276 273 sselda ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
277 276 adantrr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
278 270 272 275 277 iccsuble ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) )
279 278 4 breqtrrdi ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
280 279 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
281 280 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
282 simpr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 )
283 zre ⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ )
284 283 adantr ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℝ )
285 284 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
286 zre ⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ )
287 286 adantl ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℝ )
288 287 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
289 285 288 ltnled ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑗 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) )
290 282 289 mpbird ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑗 < 𝑘 )
291 2 1 resubcld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℝ )
292 4 291 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ )
293 268 292 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ∈ ℝ )
294 293 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
295 287 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
296 284 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
297 295 296 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 − 𝑗 ) ∈ ℝ )
298 293 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
299 297 298 remulcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
300 299 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
301 267 simprd ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) )
302 301 simp2d ⊢ ( 𝜓 → 𝑏 ∈ ℝ )
303 302 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
304 286 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℝ )
305 293 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℝ )
306 304 305 remulcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
307 306 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
308 303 307 readdcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
309 301 simp1d ⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ∈ ℝ )
310 309 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑎 ∈ ℝ )
311 283 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℝ )
312 293 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℝ )
313 311 312 remulcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
314 313 adantrr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
315 310 314 readdcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
316 308 315 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
317 316 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
318 293 recnd ⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ∈ ℂ )
319 318 mullidd ⊢ ( 𝜓 → ( 1 · 𝑇 ) = 𝑇 )
320 319 eqcomd ⊢ ( 𝜓 → 𝑇 = ( 1 · 𝑇 ) )
321 320 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 = ( 1 · 𝑇 ) )
322 simpr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑗 < 𝑘 )
323 zltlem1 ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 < 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
324 323 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 𝑗 < 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
325 322 324 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) )
326 284 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
327 peano2rem ⊢ ( 𝑘 ∈ ℝ → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
328 295 327 syl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
329 328 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
330 1re ⊢ 1 ∈ ℝ
331 resubcl ⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → ( 1 − 𝑗 ) ∈ ℝ )
332 330 326 331 sylancr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 1 − 𝑗 ) ∈ ℝ )
333 simpr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) )
334 326 329 332 333 leadd1dd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 𝑗 + ( 1 − 𝑗 ) ) ≤ ( ( 𝑘 − 1 ) + ( 1 − 𝑗 ) ) )
335 zcn ⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ )
336 335 adantr ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℂ )
337 1cnd ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 1 ∈ ℂ )
338 336 337 pncan3d ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 + ( 1 − 𝑗 ) ) = 1 )
339 338 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 𝑗 + ( 1 − 𝑗 ) ) = 1 )
340 zcn ⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ )
341 340 adantl ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℂ )
342 341 337 336 npncand ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + ( 1 − 𝑗 ) ) = ( 𝑘 − 𝑗 ) )
343 342 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + ( 1 − 𝑗 ) ) = ( 𝑘 − 𝑗 ) )
344 334 339 343 3brtr3d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → 1 ≤ ( 𝑘 − 𝑗 ) )
345 325 344 syldan ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 1 ≤ ( 𝑘 − 𝑗 ) )
346 330 a1i ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 1 ∈ ℝ )
347 297 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 𝑘 − 𝑗 ) ∈ ℝ )
348 1 2 posdifd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 < 𝐶 ↔ 0 < ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
349 3 348 mpbid ⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 𝐶 − 𝐵 ) )
350 349 4 breqtrrdi ⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑇 )
351 292 350 elrpd ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+ )
352 268 351 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ∈ ℝ+ )
353 352 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
354 346 347 353 lemul1d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 1 ≤ ( 𝑘 − 𝑗 ) ↔ ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) )
355 345 354 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) )
356 321 355 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) )
357 302 309 resubcld ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℝ )
358 301 simp3d ⊢ ( 𝜓 → 𝑎 < 𝑏 )
359 309 302 posdifd ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < ( 𝑏 − 𝑎 ) ) )
360 358 359 mpbid ⊢ ( 𝜓 → 0 < ( 𝑏 − 𝑎 ) )
361 357 360 elrpd ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℝ+ )
362 361 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℝ+ )
363 299 362 ltaddrp2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) < ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) )
364 302 recnd ⊢ ( 𝜓 → 𝑏 ∈ ℂ )
365 364 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑏 ∈ ℂ )
366 306 recnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
367 366 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
368 309 recnd ⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ∈ ℂ )
369 368 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑎 ∈ ℂ )
370 313 recnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
371 370 adantrr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
372 365 367 369 371 addsub4d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
373 340 ad2antll ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
374 335 ad2antrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
375 318 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑇 ∈ ℂ )
376 373 374 375 subdird ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) = ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
377 376 eqcomd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) )
378 377 oveq2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) )
379 372 378 eqtr2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
380 363 379 breqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
381 380 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
382 294 300 317 356 381 lelttrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
383 294 317 ltnled ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 𝑇 < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ↔ ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 ) )
384 382 383 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
385 290 384 syldan ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
386 385 3adantl3 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
387 281 386 condan ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑘 ≤ 𝑗 )
388 190 193 sselid ⊢ ( 𝜑 → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ ℝ )
389 12 388 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ )
390 268 389 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝐸 ∈ ℝ )
391 390 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
392 391 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
393 293 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
394 393 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
395 284 287 resubcld ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
396 395 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
397 396 298 remulcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
398 397 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
399 398 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
400 id ⊢ ( 𝜑 → 𝜑 )
401 7 8 jca ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) )
402 400 401 3 3jca ⊢ ( 𝜑 → ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) )
403 eleq1 ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴 ) )
404 403 anbi2d ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) )
405 breq2 ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝐵 < 𝑑 ↔ 𝐵 < 𝐶 ) )
406 404 405 3anbi23d ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) )
407 oveq1 ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑑 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝐵 ) )
408 407 breq2d ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
409 406 408 imbi12d ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) )
410 simp2l ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐵 ∈ 𝐴 )
411 eleq1 ⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝑐 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴 ) )
412 411 anbi1d ⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) )
413 breq1 ⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝑐 < 𝑑 ↔ 𝐵 < 𝑑 ) )
414 412 413 3anbi23d ⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) ) )
415 oveq2 ⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( 𝑑 − 𝐵 ) )
416 415 breq2d ⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) )
417 414 416 imbi12d ⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ) )
418 190 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑅 ⊆ ℝ )
419 0re ⊢ 0 ∈ ℝ
420 11 eleq2i ⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑅 ↔ 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
421 420 bilani ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
422 67 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 )
423 fvelrnb ⊢ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) )
424 422 423 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) )
425 421 424 mpbid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 )
426 127 rpge0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 0 ≤ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) )
427 426 3adant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) → 0 ≤ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) )
428 simp3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 )
429 427 428 breqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) → 0 ≤ 𝑦 )
430 429 3exp ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐼 → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦 ) ) )
431 430 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦 ) ) )
432 431 rexlimdv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦 ) )
433 425 432 mpd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → 0 ≤ 𝑦 )
434 433 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦 )
435 breq1 ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦 ) )
436 435 ralbidv ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦 ) )
437 436 rspcev ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 )
438 419 434 437 sylancr ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 )
439 438 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 )
440 pm3.22 ⊢ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) )
441 opelxp ⊢ ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ↔ ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) )
442 440 441 sylibr ⊢ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
443 442 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
444 5 58 sstrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ )
445 444 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝑐 ∈ ℝ )
446 445 adantrr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑐 ∈ ℝ )
447 446 3adant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 ∈ ℝ )
448 simp3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 < 𝑑 )
449 447 448 gtned ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑑 ≠ 𝑐 )
450 449 neneqd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ¬ 𝑑 = 𝑐 )
451 df-br ⊢ ( 𝑑 I 𝑐 ↔ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ I )
452 vex ⊢ 𝑐 ∈ V
453 452 ideq ⊢ ( 𝑑 I 𝑐 ↔ 𝑑 = 𝑐 )
454 451 453 bitr3i ⊢ ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ I ↔ 𝑑 = 𝑐 )
455 450 454 sylnibr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ¬ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ I )
456 443 455 eldifd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) )
457 456 10 eleqtrrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 )
458 447 448 ltned ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 ≠ 𝑑 )
459 146 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) = ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) )
460 459 fveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) )
461 442 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
462 necom ⊢ ( 𝑐 ≠ 𝑑 ↔ 𝑑 ≠ 𝑐 )
463 462 biimpi ⊢ ( 𝑐 ≠ 𝑑 → 𝑑 ≠ 𝑐 )
464 463 neneqd ⊢ ( 𝑐 ≠ 𝑑 → ¬ 𝑑 = 𝑐 )
465 464 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ¬ 𝑑 = 𝑐 )
466 465 454 sylnibr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ¬ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ I )
467 461 466 eldifd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) )
468 467 10 eleqtrrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 )
469 fvres ⊢ ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) )
470 468 469 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) )
471 simp1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → 𝜑 )
472 471 468 jca ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) )
473 eleq1 ⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↔ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) )
474 473 anbi2d ⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) ) )
475 eleq1 ⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( 𝑥 ∈ dom − ↔ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − ) )
476 474 475 imbi12d ⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ dom − ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − ) ) )
477 476 76 vtoclg ⊢ ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 → ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − ) )
478 468 472 477 sylc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − )
479 fvco ⊢ ( ( Fun − ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) ) )
480 73 478 479 sylancr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) ) )
481 df-ov ⊢ ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ )
482 481 eqcomi ⊢ ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( 𝑑 − 𝑐 )
483 482 fveq2i ⊢ ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) )
484 480 483 eqtrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
485 460 470 484 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
486 458 485 syld3an3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
487 444 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) → 𝑑 ∈ ℝ )
488 487 adantrl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
489 488 3adant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑑 ∈ ℝ )
490 447 489 448 ltled ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 ≤ 𝑑 )
491 447 489 490 abssubge0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) )
492 486 491 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) )
493 fveq2 ⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) )
494 493 eqeq1d ⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
495 494 rspcev ⊢ ( ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) )
496 457 492 495 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) )
497 488 446 resubcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ℝ )
498 elex ⊢ ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ℝ → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V )
499 497 498 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V )
500 499 3adant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V )
501 simp1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝜑 )
502 eleq1 ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ) )
503 eqeq2 ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
504 503 rexbidv ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
505 502 504 bibi12d ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) ↔ ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
506 505 imbi2d ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) )
507 67 423 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) )
508 506 507 vtoclg ⊢ ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V → ( 𝜑 → ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
509 500 501 508 sylc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
510 496 509 mpbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
511 510 11 eleqtrrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ 𝑅 )
512 infrelb ⊢ ( ( 𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ 𝑅 ) → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) )
513 418 439 511 512 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) )
514 12 513 eqbrtrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) )
515 417 514 vtoclg ⊢ ( 𝐵 ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) )
516 410 515 mpcom ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) )
517 409 516 vtoclg ⊢ ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
518 8 402 517 sylc ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) )
519 518 4 breqtrrdi ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ≤ 𝑇 )
520 268 519 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝐸 ≤ 𝑇 )
521 520 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ 𝑇 )
522 521 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ 𝑇 )
523 364 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑏 ∈ ℂ )
524 523 366 pncan2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( 𝑘 · 𝑇 ) )
525 524 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( 𝑘 · 𝑇 ) / 𝑇 ) )
526 340 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℂ )
527 318 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℂ )
528 419 a1i ⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ )
529 528 350 gtned ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ 0 )
530 268 529 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ≠ 0 )
531 530 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑇 ≠ 0 )
532 526 527 531 divcan4d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 · 𝑇 ) / 𝑇 ) = 𝑘 )
533 525 532 eqtr2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
534 533 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
535 534 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
536 oveq1 ⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) )
537 536 oveq1d ⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
538 537 adantl ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
539 368 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑎 ∈ ℂ )
540 364 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑏 ∈ ℂ )
541 539 370 540 addsubd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑎 − 𝑏 ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
542 539 540 subcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑎 − 𝑏 ) ∈ ℂ )
543 542 370 addcomd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
544 541 543 eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
545 544 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) / 𝑇 ) )
546 318 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℂ )
547 530 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑇 ≠ 0 )
548 370 542 546 547 divdird ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) / 𝑇 ) + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
549 335 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℂ )
550 549 546 547 divcan4d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 · 𝑇 ) / 𝑇 ) = 𝑗 )
551 550 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) / 𝑇 ) + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
552 545 548 551 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
553 552 adantrr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
554 553 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
555 535 538 554 3eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
556 309 302 resubcld ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 − 𝑏 ) ∈ ℝ )
557 309 302 sublt0d ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) < 0 ↔ 𝑎 < 𝑏 ) )
558 358 557 mpbird ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 − 𝑏 ) < 0 )
559 556 352 558 divlt0gt0d ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 0 )
560 559 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 0 )
561 335 subidd ⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − 𝑗 ) = 0 )
562 561 eqcomd ⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 0 = ( 𝑗 − 𝑗 ) )
563 562 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 0 = ( 𝑗 − 𝑗 ) )
564 560 563 breqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < ( 𝑗 − 𝑗 ) )
565 556 293 530 redivcld ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
566 565 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
567 311 566 311 ltaddsub2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 ↔ ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < ( 𝑗 − 𝑗 ) ) )
568 564 567 mpbird ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 )
569 568 adantrr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 )
570 569 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 )
571 555 570 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
572 320 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑇 = ( 1 · 𝑇 ) )
573 simpr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 < 𝑗 )
574 simplr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
575 simpll ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
576 zltp1le ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 < 𝑗 ↔ ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
577 574 575 576 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 𝑘 < 𝑗 ↔ ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
578 573 577 mpbid ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 )
579 286 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
580 330 a1i ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ∈ ℝ )
581 283 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
582 579 580 581 leaddsub2d ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 ↔ 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) )
583 578 582 mpbid ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) )
584 583 adantll ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) )
585 330 a1i ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ∈ ℝ )
586 395 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
587 352 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
588 585 586 587 lemul1d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ↔ ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
589 584 588 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
590 572 589 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
591 571 590 syldan ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
592 591 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
593 592 3adantll3 ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
594 392 394 399 522 593 letrd ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
595 oveq2 ⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
596 595 oveq1d ⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
597 596 adantl ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
598 268 444 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝐴 ⊆ ℝ )
599 598 sselda ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
600 599 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
601 600 recnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
602 601 subidd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = 0 )
603 602 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
604 603 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
605 597 604 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
606 605 3adantl2 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
607 606 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
608 374 373 subcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℂ )
609 608 375 mulcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
610 609 addlidd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
611 610 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
612 611 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
613 607 612 eqtr2d ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
614 594 613 breqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
615 614 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
616 391 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
617 598 sselda ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
618 617 adantrr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
619 600 618 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
620 619 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
621 620 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
622 620 398 readdcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
623 622 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
624 268 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝜑 )
625 624 3ad2antl1 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝜑 )
626 625 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝜑 )
627 simpl3 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
628 627 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
629 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
630 618 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
631 600 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
632 630 631 lenltd ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
633 629 632 mpbid ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
634 eqcom ⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
635 634 notbii ⊢ ( ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
636 635 bilani ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
637 ioran ⊢ ( ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∨ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
638 633 636 637 sylanbrc ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∨ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
639 631 630 leloed ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ↔ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∨ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
640 638 639 mtbird ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
641 640 3adantll2 ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
642 641 adantllr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
643 618 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
644 643 3adantl2 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
645 644 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
646 600 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
647 646 3adantl2 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
648 647 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
649 645 648 ltnled ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
650 642 649 mpbird ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
651 simp2l ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
652 eleq1 ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
653 652 anbi1d ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
654 breq1 ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
655 653 654 3anbi23d ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
656 oveq2 ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
657 656 breq2d ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
658 655 657 imbi12d ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
659 simp2r ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
660 eleq1 ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
661 660 anbi2d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
662 breq2 ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
663 661 662 3anbi23d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
664 oveq1 ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) )
665 664 breq2d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) )
666 663 665 imbi12d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) ) )
667 666 514 vtoclg ⊢ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) )
668 659 667 mpcom ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) )
669 658 668 vtoclg ⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
670 651 669 mpcom ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
671 626 628 650 670 syl3anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
672 395 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
673 293 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
674 simpr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑘 ≤ 𝑗 )
675 283 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
676 286 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
677 675 676 subge0d ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 0 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ 𝑗 ) )
678 674 677 mpbird ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) )
679 678 adantll ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) )
680 352 rpge0d ⊢ ( 𝜓 → 0 ≤ 𝑇 )
681 680 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ 𝑇 )
682 672 673 679 681 mulge0d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
683 682 3adantl3 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
684 620 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
685 398 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
686 684 685 addge01d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ↔ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) )
687 683 686 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
688 687 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
689 616 621 623 671 688 letrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
690 615 689 pm2.61dan ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
691 372 378 eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) )
692 691 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
693 365 369 subcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
694 373 374 subcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 − 𝑗 ) ∈ ℂ )
695 694 375 mulcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
696 693 695 609 addassd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) )
697 341 336 336 341 subadd4b ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) )
698 697 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) )
699 698 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) · 𝑇 ) )
700 694 608 375 adddird ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
701 340 subidd ⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → ( 𝑘 − 𝑘 ) = 0 )
702 701 adantl ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 − 𝑘 ) = 0 )
703 561 adantr ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 𝑗 ) = 0 )
704 702 703 oveq12d ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) = ( 0 + 0 ) )
705 00id ⊢ ( 0 + 0 ) = 0
706 704 705 eqtrdi ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) = 0 )
707 706 oveq1d ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) · 𝑇 ) = ( 0 · 𝑇 ) )
708 707 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) · 𝑇 ) = ( 0 · 𝑇 ) )
709 699 700 708 3eqtr3d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 · 𝑇 ) )
710 709 oveq2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) )
711 318 mul02d ⊢ ( 𝜓 → ( 0 · 𝑇 ) = 0 )
712 711 oveq2d ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + 0 ) )
713 364 368 subcld ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
714 713 addridd ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + 0 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
715 712 714 eqtrd ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
716 715 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
717 710 716 eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
718 692 696 717 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
719 718 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
720 719 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
721 690 720 breqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
722 simpll ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
723 simpr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
724 600 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
725 724 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
726 618 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
727 726 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
728 725 727 ltnled ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
729 723 728 mpbird ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
730 729 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
731 534 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
732 731 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
733 599 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
734 302 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑏 ∈ ℝ )
735 733 734 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
736 293 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
737 530 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ≠ 0 )
738 735 736 737 redivcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
739 738 3adant3l ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
740 739 3adant2l ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
741 740 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
742 617 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
743 302 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑏 ∈ ℝ )
744 742 743 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
745 293 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
746 530 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ≠ 0 )
747 744 745 746 redivcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
748 747 3adant3r ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
749 748 3adant2r ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
750 749 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
751 284 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
752 751 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
753 724 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
754 302 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
755 754 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
756 753 755 resubcld ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
757 726 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
758 757 755 resubcld ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
759 352 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
760 759 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
761 600 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
762 618 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
763 302 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
764 simpr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
765 761 762 763 764 ltsub1dd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) < ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) )
766 765 3adantl2 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) < ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) )
767 756 758 760 766 ltdiv1dd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
768 553 569 eqbrtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 )
769 768 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 )
770 769 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 )
771 741 750 752 767 770 lttrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 )
772 732 771 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
773 772 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
774 730 773 syldan ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
775 391 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
776 393 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
777 622 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
778 521 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ 𝑇 )
779 peano2rem ⊢ ( 𝑗 ∈ ℝ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
780 751 779 syl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
781 287 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
782 780 781 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ )
783 782 393 remulcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
784 783 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
785 751 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
786 330 a1i ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ∈ ℝ )
787 785 786 resubcld ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
788 286 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
789 788 3ad2antl2 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
790 787 789 resubcld ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ )
791 680 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 0 ≤ 𝑇 )
792 791 3ad2antl1 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 0 ≤ 𝑇 )
793 283 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
794 330 a1i ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ∈ ℝ )
795 793 794 resubcld ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
796 simpr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) )
797 simplr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
798 simpll ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
799 1zzd ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ∈ ℤ )
800 798 799 zsubcld ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
801 zltlem1 ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ↔ 𝑘 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 1 ) ) )
802 797 800 801 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ↔ 𝑘 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 1 ) ) )
803 796 802 mpbid ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 1 ) )
804 788 795 794 803 lesubd ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) )
805 804 3ad2antl2 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) )
806 776 790 792 805 lemulge12d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑇 ≤ ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
807 336 337 341 sub32d ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) )
808 807 oveq1d ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) · 𝑇 ) )
809 808 adantl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) · 𝑇 ) )
810 1cnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 1 ∈ ℂ )
811 608 810 375 subdird ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( 1 · 𝑇 ) ) )
812 319 oveq2d ⊢ ( 𝜓 → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( 1 · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) )
813 812 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( 1 · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) )
814 809 811 813 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) )
815 814 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) )
816 726 724 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
817 270 272 277 275 iccsuble ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) )
818 817 4 breqtrrdi ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
819 818 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
820 816 393 398 819 lesub2dd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
821 815 820 eqbrtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
822 609 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
823 726 recnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
824 601 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
825 822 823 824 subsub2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
826 620 recnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
827 822 826 addcomd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
828 825 827 eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
829 821 828 breqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
830 829 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
831 776 784 777 806 830 letrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑇 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
832 775 776 777 778 831 letrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
833 719 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
834 832 833 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
835 834 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
836 835 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
837 simplll ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
838 simpll2 ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) )
839 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
840 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) )
841 580 581 579 583 lesubd ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
842 841 3adant3 ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
843 simpr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) )
844 284 779 syl ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
845 844 adantr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
846 286 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
847 845 846 lenltd ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) )
848 843 847 mpbird ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 )
849 848 3adant2 ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 )
850 579 3adant3 ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
851 844 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
852 850 851 letri3d ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ↔ ( 𝑘 ≤ ( 𝑗 − 1 ) ∧ ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 ) ) )
853 842 849 852 mpbir2and ⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) )
854 838 839 840 853 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) )
855 854 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) )
856 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝜓 )
857 simpl2l ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
858 simpl3l ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
859 oveq1 ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) )
860 859 oveq2d ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
861 860 eqcomd ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
862 861 adantl ⊢ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
863 simpl ⊢ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
864 862 863 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
865 864 adantll ⊢ ( ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
866 865 3ad2antl3 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
867 858 866 jca ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
868 id ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
869 868 3adant3r ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
870 742 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
871 271 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
872 871 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
873 269 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
874 271 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
875 elicc2 ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) )
876 873 874 875 syl2anc ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) )
877 276 876 mpbid ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) )
878 877 simp3d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 )
879 878 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 )
880 879 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 )
881 nne ⊢ ( ¬ 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ↔ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
882 539 370 pncand ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = 𝑎 )
883 882 eqcomd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑎 = ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
884 883 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
885 oveq1 ⊢ ( 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
886 885 eqcomd ⊢ ( 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
887 886 adantl ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
888 4 oveq2i ⊢ ( 𝐵 + 𝑇 ) = ( 𝐵 + ( 𝐶 − 𝐵 ) )
889 268 161 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝐵 ∈ ℂ )
890 268 162 syl ⊢ ( 𝜓 → 𝐶 ∈ ℂ )
891 889 890 pncan3d ⊢ ( 𝜓 → ( 𝐵 + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) = 𝐶 )
892 888 891 eqtr2id ⊢ ( 𝜓 → 𝐶 = ( 𝐵 + 𝑇 ) )
893 892 oveq1d ⊢ ( 𝜓 → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
894 893 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
895 889 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝐵 ∈ ℂ )
896 895 370 546 subsub3d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
897 549 546 mulsubfacd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 · 𝑇 ) − 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) )
898 897 oveq2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
899 894 896 898 3eqtr2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
900 899 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
901 884 887 900 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
902 901 3adantl3 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
903 902 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
904 oveq1 ⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
905 904 eqcomd ⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
906 905 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
907 364 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝑏 ∈ ℂ )
908 1cnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 1 ∈ ℂ )
909 549 908 subcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℂ )
910 909 546 mulcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
911 910 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
912 907 911 pncand ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝑏 )
913 912 3adantl3 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝑏 )
914 913 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝑏 )
915 903 906 914 3eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = 𝑏 )
916 881 915 sylan2b ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ¬ 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = 𝑏 )
917 309 358 ltned ⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ≠ 𝑏 )
918 917 neneqd ⊢ ( 𝜓 → ¬ 𝑎 = 𝑏 )
919 918 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ¬ 𝑎 = 𝑏 )
920 919 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ¬ 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ¬ 𝑎 = 𝑏 )
921 916 920 condan ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
922 870 872 880 921 leneltd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 )
923 869 922 sylan ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 )
924 268 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝜑 )
925 simplr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
926 924 8 syl ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐶 ∈ 𝐴 )
927 simpr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 )
928 simp2l ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
929 652 anbi1d ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) )
930 breq1 ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 < 𝐶 ↔ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) )
931 929 930 3anbi23d ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) ) )
932 oveq2 ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐶 − 𝑐 ) = ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
933 932 breq2d ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
934 931 933 imbi12d ⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
935 simp2r ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐶 ∈ 𝐴 )
936 403 anbi2d ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) )
937 breq2 ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < 𝐶 ) )
938 936 937 3anbi23d ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) ) )
939 oveq1 ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( 𝐶 − 𝑐 ) )
940 939 breq2d ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) )
941 938 940 imbi12d ⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) ) )
942 941 514 vtoclg ⊢ ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) )
943 935 942 mpcom ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) )
944 934 943 vtoclg ⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
945 928 944 mpcom ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
946 924 925 926 927 945 syl121anc ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
947 946 adantlrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
948 947 3adantl2 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
949 948 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
950 890 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℂ )
951 598 sselda ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
952 951 recnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
953 950 952 npcand ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = 𝐶 )
954 953 eqcomd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 = ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
955 954 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
956 955 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
957 956 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
958 957 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
959 oveq2 ⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐶 − 𝐵 ) )
960 959 oveq1d ⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
961 960 oveq1d ⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
962 961 adantl ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
963 4 eqcomi ⊢ ( 𝐶 − 𝐵 ) = 𝑇
964 963 oveq1i ⊢ ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑇 + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
965 964 a1i ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑇 + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
966 318 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℂ )
967 966 952 addcomd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) )
968 965 967 eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) )
969 968 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
970 969 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
971 970 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
972 971 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
973 952 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
974 973 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
975 974 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
976 318 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℂ )
977 976 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝑇 ∈ ℂ )
978 617 adantrr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
979 978 recnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
980 979 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
981 980 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
982 975 977 981 addsubd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
983 972 982 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
984 958 962 983 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
985 984 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
986 949 985 breqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
987 923 986 mpdan ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
988 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝜓 )
989 simpl3r ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
990 simpr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 )
991 269 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
992 951 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
993 273 sselda ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
994 269 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
995 271 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
996 elicc2 ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) )
997 994 995 996 syl2anc ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) )
998 993 997 mpbid ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) )
999 998 simp2d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1000 999 3adant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1001 neqne ⊢ ( ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≠ 𝐵 )
1002 1001 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≠ 𝐵 )
1003 991 992 1000 1002 leneltd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1004 988 989 990 1003 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1005 390 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
1006 1005 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
1007 951 adantrl ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
1008 1007 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
1009 269 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
1010 1008 1009 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ )
1011 1010 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ )
1012 1007 978 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
1013 293 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
1014 1012 1013 readdcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ∈ ℝ )
1015 1014 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ∈ ℝ )
1016 1015 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ∈ ℝ )
1017 268 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝜑 )
1018 1017 3ad2antl1 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝜑 )
1019 1018 7 syl ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝐴 )
1020 simpl3r ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
1021 simpr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1022 simp2r ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
1023 eleq1 ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1024 1023 anbi2d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1025 breq2 ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝐵 < 𝑑 ↔ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
1026 1024 1025 3anbi23d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) )
1027 oveq1 ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 − 𝐵 ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) )
1028 1027 breq2d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ↔ 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) )
1029 1026 1028 imbi12d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) ) )
1030 1029 516 vtoclg ⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) )
1031 1022 1030 mpcom ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) )
1032 1018 1019 1020 1021 1031 syl121anc ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) )
1033 269 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
1034 978 1033 resubcld ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ )
1035 963 1013 eqeltrid ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℝ )
1036 271 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
1037 878 adantrr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 )
1038 978 1036 1033 1037 lesub1dd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) )
1039 1034 1035 1012 1038 leadd2dd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
1040 973 979 npcand ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1041 1040 eqcomd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
1042 1041 oveq1d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) = ( ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) − 𝐵 ) )
1043 1012 recnd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
1044 889 adantr ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℂ )
1045 1043 979 1044 addsubassd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) − 𝐵 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) )
1046 1042 1045 eqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) )
1047 4 oveq2i ⊢ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) )
1048 1047 a1i ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
1049 1039 1046 1048 3brtr4d ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1050 1049 3adant2 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1051 1050 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1052 1006 1011 1016 1032 1051 letrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1053 1004 1052 syldan ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1054 987 1053 pm2.61dan ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1055 856 857 867 1054 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1056 718 eqcomd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
1057 1056 adantr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
1058 860 oveq1d ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
1059 1058 adantl ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
1060 oveq2 ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) = ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) )
1061 1060 oveq1d ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) )
1062 1061 adantl ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) )
1063 1cnd ⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ )
1064 335 1063 nncand ⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) = 1 )
1065 1064 oveq1d ⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) = ( 1 · 𝑇 ) )
1066 1065 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) = ( 1 · 𝑇 ) )
1067 319 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 1 · 𝑇 ) = 𝑇 )
1068 1062 1066 1067 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = 𝑇 )
1069 1059 1068 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1070 1069 adantlrr ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1071 1057 1070 eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1072 1071 3adantl3 ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1073 1055 1072 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1074 837 855 1073 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1075 836 1074 pm2.61dan ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1076 722 774 730 1075 syl21anc ⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1077 721 1076 pm2.61dan ⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1078 387 1077 mpdan ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1079 309 302 358 ltled ⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ≤ 𝑏 )
1080 309 302 1079 abssuble0d ⊢ ( 𝜓 → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1081 1080 eqcomd ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1082 1081 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1083 1078 1082 breqtrd ⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1084 1083 3exp ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) ) )
1085 1084 rexlimdvv ⊢ ( 𝜓 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) )
1086 265 1085 mpd ⊢ ( 𝜓 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1087 18 1086 sylbir ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1088 264 1087 chvarvv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) )
1089 251 1088 chvarvv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1090 231 237 238 1089 syl21anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1091 simpr ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ¬ 𝑦 < 𝑧 )
1092 simpl3 ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
1093 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
1094 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
1095 1093 1094 lttri2d ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ≠ 𝑧 ↔ ( 𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦 ) ) )
1096 1092 1095 mpbid ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦 ) )
1097 1096 ord ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( ¬ 𝑦 < 𝑧 → 𝑧 < 𝑦 ) )
1098 1091 1097 mpd ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 < 𝑦 )
1099 1098 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 < 𝑦 )
1100 1099 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 < 𝑦 )
1101 simplll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝜑 )
1102 simplr ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
1103 simpll ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
1104 simpr ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝑧 < 𝑦 )
1105 1102 1103 1104 3jca ⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) )
1106 1105 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) )
1107 1106 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) )
1108 oveq1 ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 · 𝑇 ) = ( 𝑖 · 𝑇 ) )
1109 1108 oveq2d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) )
1110 1109 eleq1d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1111 1110 anbi1d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1112 oveq1 ⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( 𝑙 · 𝑇 ) )
1113 1112 oveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) )
1114 1113 eleq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1115 1114 anbi2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1116 1111 1115 cbvrex2vw ⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ℤ ∃ 𝑙 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1117 oveq1 ⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑖 · 𝑇 ) = ( 𝑘 · 𝑇 ) )
1118 1117 oveq2d ⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
1119 1118 eleq1d ⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1120 1119 anbi1d ⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1121 oveq1 ⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( 𝑙 · 𝑇 ) = ( 𝑗 · 𝑇 ) )
1122 1121 oveq2d ⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
1123 1122 eleq1d ⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1124 1123 anbi2d ⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1125 1120 1124 cbvrex2vw ⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ℤ ∃ 𝑙 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1126 rexcom ⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1127 ancom ⊢ ( ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1128 1127 2rexbii ⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1129 1125 1126 1128 3bitri ⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ℤ ∃ 𝑙 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1130 1116 1129 sylbb ⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1131 1130 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1132 eleq1 ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ ) )
1133 breq2 ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑧 < 𝑏 ↔ 𝑧 < 𝑦 ) )
1134 1132 1133 3anbi23d ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) )
1135 1134 anbi2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ) )
1136 oveq1 ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
1137 1136 eleq1d ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1138 1137 anbi2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1139 1138 2rexbidv ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1140 1135 1139 anbi12d ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
1141 oveq2 ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑧 − 𝑏 ) = ( 𝑧 − 𝑦 ) )
1142 1141 fveq2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) )
1143 1142 breq2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) ) )
1144 1140 1143 imbi12d ⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) ) ) )
1145 eleq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ ) )
1146 breq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑧 < 𝑏 ) )
1147 1145 1146 3anbi13d ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) )
1148 1147 anbi2d ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ) )
1149 oveq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
1150 1149 eleq1d ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1151 1150 anbi1d ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1152 1151 2rexbidv ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1153 1148 1152 anbi12d ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
1154 oveq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 − 𝑏 ) = ( 𝑧 − 𝑏 ) )
1155 1154 fveq2d ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) )
1156 1155 breq2d ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) )
1157 1153 1156 imbi12d ⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) ) )
1158 1157 1087 chvarvv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) )
1159 1144 1158 chvarvv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) )
1160 1101 1107 1131 1159 syl21anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) )
1161 recn ⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ )
1162 1161 adantl ⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑧 ∈ ℂ )
1163 recn ⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ )
1164 1163 adantr ⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑦 ∈ ℂ )
1165 1162 1164 abssubd ⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1166 1165 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1167 1166 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1168 1160 1167 breqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1169 1168 ex ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) )
1170 1169 3adantlr3 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) )
1171 1170 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) )
1172 1100 1171 mpd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1173 1090 1172 pm2.61dan ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1174 198 206 230 1173 syl21anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1175 389 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐸 ∈ ℝ )
1176 200 203 resubcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ∈ ℝ )
1177 1176 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ∈ ℂ )
1178 1177 abscld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
1179 1178 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
1180 1175 1179 lenltd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ↔ ¬ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1181 1174 1180 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ¬ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 )
1182 nan ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ¬ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1183 1181 1182 mpbir ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1184 1183 ralrimivva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ 𝐻 ∀ 𝑧 ∈ 𝐻 ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1185 ralnex2 ⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐻 ∀ 𝑧 ∈ 𝐻 ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ↔ ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1186 1184 1185 sylib ⊢ ( 𝜑 → ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1187 1186 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1188 197 1187 pm2.65da ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) )
1189 1188 intnanrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1190 elin ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1191 1189 1190 sylnibr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1192 26 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → 𝐽 ∈ Top )
1193 27 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ )
1194 24 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → 𝐻 ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
1195 30 16 restlp ⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ ∧ 𝐻 ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) → ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) = ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1196 1192 1193 1194 1195 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) = ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1197 1191 1196 neleqtrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
1198 1197 nrexdv ⊢ ( 𝜑 → ¬ ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
1199 1198 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ¬ ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
1200 41 1199 condan ⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ Fin )