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Theorem zltlem1

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004)

Ref Expression
Assertion zltlem1 ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 peano2zm ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ )
2 zleltp1 ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ↔ 𝑀 < ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) )
3 1 2 sylan2 ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ↔ 𝑀 < ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) )
4 zcn ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ )
5 ax-1cn ⊢ 1 ∈ ℂ
6 npcan ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
7 4 5 6 sylancl ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
8 7 adantl ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
9 8 breq2d ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 < ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ↔ 𝑀 < 𝑁 ) )
10 3 9 bitr2d ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) )