elrspunidl

Description: Elementhood in the span of a union of ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024)

	Ref	Expression
Hypotheses	elrspunidl.n	⊢ 𝑁 = ( RSpan ‘ 𝑅 )
	elrspunidl.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
	elrspunidl.1	⊢ 0 = ( 0_g ‘ 𝑅 )
	elrspunidl.x	⊢ · = ( ._r ‘ 𝑅 )
	elrspunidl.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
	elrspunidl.i	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
Assertion	elrspunidl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ ∪ 𝑆 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrspunidl.n	⊢ 𝑁 = ( RSpan ‘ 𝑅 )
2		elrspunidl.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
3		elrspunidl.1	⊢ 0 = ( 0_g ‘ 𝑅 )
4		elrspunidl.x	⊢ · = ( ._r ‘ 𝑅 )
5		elrspunidl.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
6		elrspunidl.i	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
7	6	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝑖 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
8		eqid	⊢ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) = ( LIdeal ‘ 𝑅 )
9	2 8	lidlss	⊢ ( 𝑖 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) → 𝑖 ⊆ 𝐵 )
10	7 9	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝑖 ⊆ 𝐵 )
11	10	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑖 ⊆ 𝐵 )
12		unissb	⊢ ( ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑖 ⊆ 𝐵 )
13	11 12	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
14	1 2 3 4 5 13	elrsp	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ ∪ 𝑆 ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
15		fvexd	⊢ ( 𝜑 → ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ∈ V )
16	15 6	ssexd	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ V )
17	16	uniexd	⊢ ( 𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V )
18		eluni2	⊢ ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↔ ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 )
19	18	bilani	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 )
20	19	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 )
21		eleq2	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) → ( 𝑗 ∈ 𝑖 ↔ 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) )
22	21	ac6sg	⊢ ( ∪ 𝑆 ∈ V → ( ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ) )
23	17 20 22	sylc	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) )
24	23	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) )
25		simp-5l	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝜑 )
26	25	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝜑 )
27		ringcmn	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd )
28	26 5 27	3syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
29		vex	⊢ 𝑓 ∈ V
30		cnvexg	⊢ ( 𝑓 ∈ V → ^◡ 𝑓 ∈ V )
31		imaexg	⊢ ( ^◡ 𝑓 ∈ V → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∈ V )
32	29 30 31	mp2b	⊢ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∈ V
33	32	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∈ V )
34	5	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
35		elmapi	⊢ ( 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
36	35	ad7antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
37		cnvimass	⊢ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ dom 𝑓
38		fdm	⊢ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 → dom 𝑓 = ∪ 𝑆 )
39	37 38	sseqtrid	⊢ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
40	39	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
41	40	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑙 ∈ ∪ 𝑆 )
42	36 41	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) ∈ 𝐵 )
43	13	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
44	43 41	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑙 ∈ 𝐵 )
45	2 4	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) ∈ 𝐵 )
46	34 42 44 45	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) ∈ 𝐵 )
47		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) )
48		id	⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → 𝑗 = 𝑙 )
49	47 48	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) )
50	49	cbvmptv	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) )
51	46 50	fmptd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) : ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⟶ 𝐵 )
52	33	mptexd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V )
53	51	ffund	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → Fun ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
54		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝑏 finSupp 0 )
55		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 )
56		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑅
57		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 Σ_g
58		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) )
59	56 57 58	nfov	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
60	59	nfeq2	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
61	55 60	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
62		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆
63	61 62	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 )
64		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑗 ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 )
65	63 64	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) )
66		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑖 ∈ 𝑆
67	65 66	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 )
68		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } )
69		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑏 supp 0 )
70	35	ad7antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
71	70	ffnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 Fn ∪ 𝑆 )
72	25 17	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
73	72	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
74	3	fvexi	⊢ 0 ∈ V
75	74	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 0 ∈ V )
76	40	ssdifd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ⊆ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
77	76	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
78	71 73 75 77	fvdifsupp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
79	78	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
80	5	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
81	13	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
82	77	eldifad	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 )
83	81 82	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
84	2 4 3	ringlz	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
85	80 83 84	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
86	79 85	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
87	67 68 69 86 33	suppss2f	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) )
88		fsuppsssupp	⊢ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V ∧ Fun ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∧ ( 𝑏 finSupp 0 ∧ ( ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
89	52 53 54 87 88	syl22anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
90	2 3 28 33 51 89	gsumcl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∈ 𝐵 )
91	90	fmpttd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 )
92	2	fvexi	⊢ 𝐵 ∈ V
93	92	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ V )
94	93 16	elmapd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ↔ ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) )
95	94	biimpar	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) )
96	25 91 95	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) )
97		breq1	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( 𝑎 finSupp 0 ↔ ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ) )
98		oveq2	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
99	98	eqeq2d	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ↔ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ) )
100		fveq1	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) )
101	100	eleq1d	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ↔ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
102	101	ralbidv	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ↔ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
103	97 99 102	3anbi123d	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ↔ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )
104	103	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ↔ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )
105	25 16	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑆 ∈ V )
106	105	mptexd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ V )
107	74	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 0 ∈ V )
108		funmpt	⊢ Fun ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
109	108	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → Fun ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
110		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 )
111	110	ffund	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → Fun 𝑓 )
112		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑏 finSupp 0 )
113	112	fsuppimpd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ∈ Fin )
114		imafi	⊢ ( ( Fun 𝑓 ∧ ( 𝑏 supp 0 ) ∈ Fin ) → ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ∈ Fin )
115	111 113 114	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ∈ Fin )
116		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
117	65 116	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
118		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 )
119	118	ffund	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → Fun 𝑓 )
120		snssi	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → { 𝑖 } ⊆ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
121	120	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → { 𝑖 } ⊆ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
122		sspreima	⊢ ( ( Fun 𝑓 ∧ { 𝑖 } ⊆ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
123	119 121 122	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
124		difpreima	⊢ ( Fun 𝑓 → ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) = ( ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
125	119 124	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) = ( ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
126	123 125	sseqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
127		suppssdm	⊢ ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑏
128	35	ad6antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
129	127 128	fssdm	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ ∪ 𝑆 )
130	118	fdmd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → dom 𝑓 = ∪ 𝑆 )
131	129 130	sseqtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 )
132		sseqin2	⊢ ( ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 ↔ ( dom 𝑓 ∩ ( 𝑏 supp 0 ) ) = ( 𝑏 supp 0 ) )
133	132	biimpi	⊢ ( ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → ( dom 𝑓 ∩ ( 𝑏 supp 0 ) ) = ( 𝑏 supp 0 ) )
134		dminss	⊢ ( dom 𝑓 ∩ ( 𝑏 supp 0 ) ) ⊆ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
135	133 134	eqsstrrdi	⊢ ( ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
136	131 135	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
137	136	sscond	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ⊆ ( ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
138	126 137	sstrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
139		fimacnv	⊢ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 → ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) = ∪ 𝑆 )
140	118 139	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) = ∪ 𝑆 )
141	140	difeq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) = ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
142	138 141	sseqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
143	142	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
144		ssidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) )
145	72	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
146	74	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → 0 ∈ V )
147	128 144 145 146	suppssr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
148	143 147	syldan	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
149	148	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
150	5	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
151	13	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
152	39	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
153	152	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 )
154	151 153	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
155	150 154 84	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
156	149 155	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
157	117 156	mpteq2da	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ 0 ) )
158	157	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ 0 ) ) )
159	5 27	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd )
160	159	cmnmndd	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd )
161	160	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ Mnd )
162	3	gsumz	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∈ V ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ 0 ) ) = 0 )
163	161 32 162	sylancl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ 0 ) ) = 0 )
164	158 163	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = 0 )
165	164 105	suppss2	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
166	115 165	ssfid	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) supp 0 ) ∈ Fin )
167		isfsupp	⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ V ∧ 0 ∈ V ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ↔ ( Fun ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) supp 0 ) ∈ Fin ) ) )
168	167	biimpar	⊢ ( ( ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ V ∧ 0 ∈ V ) ∧ ( Fun ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) supp 0 ) ∈ Fin ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 )
169	106 107 109 166 168	syl22anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 )
170		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
171	25 159	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑅 ∈ CMnd )
172	5	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Ring )
173	35	ad5antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
174	173	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
175	25 13	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
176	175	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
177	2 4	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
178	172 174 176 177	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
179		eqid	⊢ ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) )
180	65 178 179	fmptdf	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
181	72	mptexd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V )
182		funmpt	⊢ Fun ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) )
183	182	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → Fun ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
184		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ∪ 𝑆
185	173	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
186	185	ffnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 Fn ∪ 𝑆 )
187	72	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
188	74	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 0 ∈ V )
189		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
190	186 187 188 189	fvdifsupp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
191	190	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
192	5	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
193	175	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
194	189	eldifad	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 )
195	193 194	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
196	192 195 84	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
197	191 196	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
198	65 184 69 197 72	suppss2f	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) )
199		fsuppsssupp	⊢ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V ∧ Fun ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∧ ( 𝑏 finSupp 0 ∧ ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
200	181 183 112 198 199	syl22anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
201		sndisj	⊢ Disj 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 }
202		disjpreima	⊢ ( ( Fun 𝑓 ∧ Disj 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } ) → Disj 𝑖 ∈ 𝑆 ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) )
203	111 201 202	sylancl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → Disj 𝑖 ∈ 𝑆 ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) )
204		iunid	⊢ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } = 𝑆
205	204	imaeq2i	⊢ ( ^◡ 𝑓 “ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } ) = ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 )
206		iunpreima	⊢ ( Fun 𝑓 → ( ^◡ 𝑓 “ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } ) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) )
207	111 206	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } ) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) )
208	139	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) = ∪ 𝑆 )
209	205 207 208	3eqtr3a	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) = ∪ 𝑆 )
210	2 3 171 72 105 180 200 203 209	gsumpart	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) ) ) ) )
211	40	resmptd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
212	211	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σ_g ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
213	212	mpteq2dva	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
214	213	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
215	170 210 214	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
216		eqid	⊢ ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
217		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → 𝑖 = 𝑘 )
218	217	sneqd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → { 𝑖 } = { 𝑘 } )
219	218	imaeq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) = ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) )
220	219	mpteq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
221	220	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
222		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑘 ∈ 𝑆 )
223		ovexd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∈ V )
224	216 221 222 223	fvmptd2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
225	159	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
226	29	cnvex	⊢ ^◡ 𝑓 ∈ V
227	226	imaex	⊢ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∈ V
228	227	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∈ V )
229	5	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Ring )
230	25 6	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑆 ⊆ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
231	230	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
232	8	lidlsubg	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) → 𝑘 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) )
233		subgsubm	⊢ ( 𝑘 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) → 𝑘 ∈ ( SubMnd ‘ 𝑅 ) )
234	232 233	syl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) → 𝑘 ∈ ( SubMnd ‘ 𝑅 ) )
235	229 231 234	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑘 ∈ ( SubMnd ‘ 𝑅 ) )
236	229	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
237	231	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
238	35	ad7antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
239		cnvimass	⊢ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ⊆ dom 𝑓
240	239 38	sseqtrid	⊢ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
241	240	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
242	241	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑙 ∈ ∪ 𝑆 )
243	238 242	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) ∈ 𝐵 )
244		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) )
245	48 244	eleq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → ( 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ↔ 𝑙 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) ) )
246		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) )
247	245 246 242	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑙 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) )
248		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 )
249	248	ffnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑓 Fn ∪ 𝑆 )
250		elpreima	⊢ ( 𝑓 Fn ∪ 𝑆 → ( 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↔ ( 𝑙 ∈ ∪ 𝑆 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) ∈ { 𝑘 } ) ) )
251	250	biimpa	⊢ ( ( 𝑓 Fn ∪ 𝑆 ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( 𝑙 ∈ ∪ 𝑆 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) ∈ { 𝑘 } ) )
252		elsni	⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) ∈ { 𝑘 } → ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) = 𝑘 )
253	251 252	simpl2im	⊢ ( ( 𝑓 Fn ∪ 𝑆 ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) = 𝑘 )
254	249 253	sylancom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) = 𝑘 )
255	247 254	eleqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑙 ∈ 𝑘 )
256	8 2 4	lidlmcl	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ 𝑘 ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) ∈ 𝑘 )
257	236 237 243 255 256	syl22anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) ∈ 𝑘 )
258	49	cbvmptv	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) )
259	257 258	fmptd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) : ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ⟶ 𝑘 )
260	228	mptexd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V )
261	259	ffund	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → Fun ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
262		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑏 finSupp 0 )
263		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑘 ∈ 𝑆
264	65 263	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 )
265		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } )
266	35	ad7antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
267	266	ffnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 Fn ∪ 𝑆 )
268	72	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
269	74	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 0 ∈ V )
270	241	ssdifd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ⊆ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
271	270	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
272	267 268 269 271	fvdifsupp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
273	272	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
274	13	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
275	271	eldifad	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 )
276	274 275	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
277	229 276 84	syl2an2r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
278	273 277	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
279	264 265 69 278 228	suppss2f	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) )
280		fsuppsssupp	⊢ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V ∧ Fun ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∧ ( 𝑏 finSupp 0 ∧ ( ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
281	260 261 262 279 280	syl22anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
282	3 225 228 235 259 281	gsumsubmcl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∈ 𝑘 )
283	224 282	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 )
284	283	ralrimiva	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 )
285	169 215 284	3jca	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
286	96 104 285	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
287	286	anasss	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
288	24 287	exlimddv	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
289	288	anasss	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
290	289	r19.29an	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
291	5	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑅 ∈ Ring )
292	291	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
293		eqid	⊢ ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) = ( ℤRHom ‘ 𝑅 )
294	293	zrhrhm	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∈ ( ℤ_ring RingHom 𝑅 ) )
295		zringbas	⊢ ℤ = ( Base ‘ ℤ_ring )
296	295 2	rhmf	⊢ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∈ ( ℤ_ring RingHom 𝑅 ) → ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) : ℤ ⟶ 𝐵 )
297	292 294 296	3syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) : ℤ ⟶ 𝐵 )
298		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) )
299	74	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 0 ∈ V )
300		ssv	⊢ ran 𝑎 ⊆ V
301		ssdif	⊢ ( ran 𝑎 ⊆ V → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ ( V ∖ { 0 } ) )
302	300 301	ax-mp	⊢ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ ( V ∖ { 0 } )
303	302	sseli	⊢ ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) → 𝑚 ∈ ( V ∖ { 0 } ) )
304	303	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑚 ∈ ( V ∖ { 0 } ) )
305		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑎 finSupp 0 )
306	298 299 304 305	fsuppinisegfi	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ∈ Fin )
307		hashcl	⊢ ( ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ∈ ℕ₀ )
308	306 307	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ∈ ℕ₀ )
309	308	nn0zd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ∈ ℤ )
310	297 309	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ∈ 𝐵 )
311		eqid	⊢ ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) = ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) )
312	310 311	fmptd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) : ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⟶ 𝐵 )
313	2 3	ring0cl	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵 )
314		fconst6g	⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) : ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ⟶ 𝐵 )
315	291 313 314	3syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) : ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ⟶ 𝐵 )
316		disjdif	⊢ ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅
317	316	a1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ )
318	312 315 317	fun2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∪ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) ⟶ 𝐵 )
319		simplll	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) )
320	93 16	elmapd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ↔ 𝑎 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) )
321	320	biimpa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) → 𝑎 : 𝑆 ⟶ 𝐵 )
322	319 321	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑎 : 𝑆 ⟶ 𝐵 )
323	322	ffnd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑎 Fn 𝑆 )
324		elssuni	⊢ ( 𝑘 ∈ 𝑆 → 𝑘 ⊆ ∪ 𝑆 )
325	324	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑘 ⊆ ∪ 𝑆 )
326	325	sseld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 → ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ ∪ 𝑆 ) )
327	326	ralimdva	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 → ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ ∪ 𝑆 ) )
328	327	imp	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ ∪ 𝑆 )
329		fnfvrnss	⊢ ( ( 𝑎 Fn 𝑆 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ ∪ 𝑆 ) → ran 𝑎 ⊆ ∪ 𝑆 )
330	323 328 329	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ran 𝑎 ⊆ ∪ 𝑆 )
331	330	ssdifssd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
332		undif	⊢ ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ ∪ 𝑆 ↔ ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∪ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∪ 𝑆 )
333	331 332	sylib	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∪ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∪ 𝑆 )
334	333	feq2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∪ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) ⟶ 𝐵 ↔ ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 ) )
335	318 334	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
336	92	a1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝐵 ∈ V )
337	17	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
338	336 337	elmapd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ↔ ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 ) )
339	335 338	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) )
340		breq1	⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑏 finSupp 0 ↔ ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ) )
341		fveq1	⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) )
342	341	oveq1d	⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) )
343	342	mpteq2dv	⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
344	343	oveq2d	⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
345	344	eqeq2d	⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ↔ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
346	340 345	anbi12d	⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
347	346	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ) → ( ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
348	318	ffund	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → Fun ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) )
349	339	elexd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∈ V )
350	74	a1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 0 ∈ V )
351	322	ffund	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → Fun 𝑎 )
352	319	simprd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) )
353		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑎 finSupp 0 )
354		fsupprnfi	⊢ ( ( ( Fun 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ) → ran 𝑎 ∈ Fin )
355		diffi	⊢ ( ran 𝑎 ∈ Fin → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∈ Fin )
356	354 355	syl	⊢ ( ( ( Fun 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ) → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∈ Fin )
357	351 352 350 353 356	syl22anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∈ Fin )
358	312 357 350	fdmfifsupp	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) finSupp 0 )
359	13	ssdifssd	⊢ ( 𝜑 → ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ⊆ 𝐵 )
360	359	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ⊆ 𝐵 )
361	336 360	ssexd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ∈ V )
362	361 350	fczfsuppd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) finSupp 0 )
363	358 362	fsuppun	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) supp 0 ) ∈ Fin )
364		funisfsupp	⊢ ( ( Fun ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∧ ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∈ V ∧ 0 ∈ V ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ↔ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) supp 0 ) ∈ Fin ) )
365	364	biimpar	⊢ ( ( ( Fun ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∧ ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∈ V ∧ 0 ∈ V ) ∧ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) supp 0 ) ∈ Fin ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 )
366	348 349 350 363 365	syl31anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 )
367		fvex	⊢ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ∈ V
368	367 311	fnmpti	⊢ ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) Fn ( ran 𝑎 ∖ { 0 } )
369	368	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) Fn ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) )
370		fnconstg	⊢ ( 0 ∈ V → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) Fn ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) )
371	74 370	ax-mp	⊢ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) Fn ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) )
372	371	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) Fn ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) )
373	316	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ )
374		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) )
375	369 372 373 374	fvun1d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) )
376		sneq	⊢ ( 𝑚 = 𝑗 → { 𝑚 } = { 𝑗 } )
377	376	imaeq2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑗 → ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) = ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) )
378	377	fveq2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑗 → ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) = ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) )
379	378	fveq2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑗 → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) = ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) )
380		fvexd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) ∈ V )
381	311 379 374 380	fvmptd3	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) )
382	375 381	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) )
383	382	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) )
384	383	mpteq2dva	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) )
385	384	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) ) )
386	291 27	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
387	316	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ )
388		fvun2	⊢ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) Fn ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) Fn ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) )
389	368 371 388	mp3an12	⊢ ( ( ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) )
390	387 389	sylancom	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) )
391	74	fvconst2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) = 0 )
392	391	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) = 0 )
393	390 392	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = 0 )
394	393	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
395	360	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
396	291 395 84	syl2an2r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
397	394 396	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
398	291	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Ring )
399	335	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
400	13	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
401	400	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
402	2 4	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
403	398 399 401 402	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
404	2 3 386 337 397 357 403 331	gsummptres2	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
405		eqid	⊢ ( ._g ‘ 𝑅 ) = ( ._g ‘ 𝑅 )
406	2 3 405 386 322 353	gsumhashmul	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) ) ) )
407		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) )
408	291	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
409	352	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) )
410	74	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 0 ∈ V )
411	302 374	sselid	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ( V ∖ { 0 } ) )
412	353	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑎 finSupp 0 )
413	409 410 411 412	fsuppinisegfi	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ∈ Fin )
414		hashcl	⊢ ( ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℕ₀ )
415	413 414	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℕ₀ )
416	415	nn0zd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ )
417	331 400	sstrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ 𝐵 )
418	417	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
419		eqid	⊢ ( 1_r ‘ 𝑅 ) = ( 1_r ‘ 𝑅 )
420	293 405 419	zrhmulg	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) = ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) ( 1_r ‘ 𝑅 ) ) )
421	420	adantr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) = ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) ( 1_r ‘ 𝑅 ) ) )
422	421	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) = ( ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) ( 1_r ‘ 𝑅 ) ) · 𝑗 ) )
423		simpll	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 ∈ Ring )
424		simplr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ )
425	2 419	ringidcl	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( 1_r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
426	425	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( 1_r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
427		simpr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
428	2 405 4	mulgass2	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ∧ ( 1_r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) ( 1_r ‘ 𝑅 ) ) · 𝑗 ) = ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) ( ( 1_r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) ) )
429	423 424 426 427 428	syl13anc	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) ( 1_r ‘ 𝑅 ) ) · 𝑗 ) = ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) ( ( 1_r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) ) )
430	2 4 419	ringlidm	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( 1_r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) = 𝑗 )
431	423 430	sylancom	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( 1_r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) = 𝑗 )
432	431	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) ( ( 1_r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) ) = ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) )
433	422 429 432	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) = ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) )
434	408 416 418 433	syl21anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) = ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) )
435	434	mpteq2dva	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) ) )
436	435	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) ) ) )
437	406 407 436	3eqtr4d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) ) )
438	385 404 437	3eqtr4rd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
439	366 438	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
440	339 347 439	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
441	440	exp41	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) → ( 𝑎 finSupp 0 → ( 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) )
442	441	3imp2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
443	442	r19.29an	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
444	290 443	impbida	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )
445	14 444	bitrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ ∪ 𝑆 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )

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