elrspunidl

Description: Elementhood in the span of a union of ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024)

	Ref	Expression
Hypotheses	elrspunidl.n	⊢ 𝑁 = ( RSpan ‘ 𝑅 )
	elrspunidl.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
	elrspunidl.1	⊢ 0 = ( 0_g ‘ 𝑅 )
	elrspunidl.x	⊢ · = ( ._r ‘ 𝑅 )
	elrspunidl.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
	elrspunidl.i	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
Assertion	elrspunidl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ ∪ 𝑆 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrspunidl.n	⊢ 𝑁 = ( RSpan ‘ 𝑅 )
2		elrspunidl.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
3		elrspunidl.1	⊢ 0 = ( 0_g ‘ 𝑅 )
4		elrspunidl.x	⊢ · = ( ._r ‘ 𝑅 )
5		elrspunidl.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
6		elrspunidl.i	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
7	6	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝑖 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
8		eqid	⊢ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) = ( LIdeal ‘ 𝑅 )
9	2 8	lidlss	⊢ ( 𝑖 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) → 𝑖 ⊆ 𝐵 )
10	7 9	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝑖 ⊆ 𝐵 )
11	10	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑖 ⊆ 𝐵 )
12		unissb	⊢ ( ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑖 ⊆ 𝐵 )
13	11 12	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
14	1 2 3 4 5 13	elrsp	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ ∪ 𝑆 ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
15		fvexd	⊢ ( 𝜑 → ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ∈ V )
16	15 6	ssexd	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ V )
17	16	uniexd	⊢ ( 𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V )
18		eluni2	⊢ ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↔ ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 )
19	18	biimpi	⊢ ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 → ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 )
20	19	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 )
21	20	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 )
22		eleq2	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) → ( 𝑗 ∈ 𝑖 ↔ 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) )
23	22	ac6sg	⊢ ( ∪ 𝑆 ∈ V → ( ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ) )
24	17 21 23	sylc	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) )
25	24	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) )
26		simp-5l	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝜑 )
27	26	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝜑 )
28		ringcmn	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd )
29	27 5 28	3syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
30		vex	⊢ 𝑓 ∈ V
31		cnvexg	⊢ ( 𝑓 ∈ V → ^◡ 𝑓 ∈ V )
32		imaexg	⊢ ( ^◡ 𝑓 ∈ V → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∈ V )
33	30 31 32	mp2b	⊢ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∈ V
34	33	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∈ V )
35	5	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
36		elmapi	⊢ ( 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
37	36	ad7antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
38		cnvimass	⊢ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ dom 𝑓
39		fdm	⊢ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 → dom 𝑓 = ∪ 𝑆 )
40	38 39	sseqtrid	⊢ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
41	40	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
42	41	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑙 ∈ ∪ 𝑆 )
43	37 42	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) ∈ 𝐵 )
44	13	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
45	44 42	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑙 ∈ 𝐵 )
46	2 4	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) ∈ 𝐵 )
47	35 43 45 46	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) ∈ 𝐵 )
48		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) )
49		id	⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → 𝑗 = 𝑙 )
50	48 49	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) )
51	50	cbvmptv	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) )
52	47 51	fmptd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) : ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⟶ 𝐵 )
53	34	mptexd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V )
54	52	ffund	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → Fun ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
55		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝑏 finSupp 0 )
56		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 )
57		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑅
58		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 Σ_g
59		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) )
60	57 58 59	nfov	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
61	60	nfeq2	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
62	56 61	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
63		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆
64	62 63	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 )
65		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑗 ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 )
66	64 65	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) )
67		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑖 ∈ 𝑆
68	66 67	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 )
69		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } )
70		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑏 supp 0 )
71	36	ad7antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
72	71	ffnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 Fn ∪ 𝑆 )
73	26 17	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
74	73	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
75	3	fvexi	⊢ 0 ∈ V
76	75	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 0 ∈ V )
77	41	ssdifd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ⊆ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
78	77	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
79	72 74 76 78	fvdifsupp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
80	79	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
81	5	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
82	13	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
83	78	eldifad	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 )
84	82 83	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
85	2 4 3	ringlz	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
86	81 84 85	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
87	80 86	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
88	68 69 70 87 34	suppss2f	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) )
89		fsuppsssupp	⊢ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V ∧ Fun ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∧ ( 𝑏 finSupp 0 ∧ ( ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
90	53 54 55 88 89	syl22anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
91	2 3 29 34 52 90	gsumcl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∈ 𝐵 )
92	91	fmpttd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 )
93	2	fvexi	⊢ 𝐵 ∈ V
94	93	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ V )
95	94 16	elmapd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ↔ ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) )
96	95	biimpar	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) )
97	26 92 96	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) )
98		breq1	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( 𝑎 finSupp 0 ↔ ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ) )
99		oveq2	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
100	99	eqeq2d	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ↔ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ) )
101		fveq1	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) )
102	101	eleq1d	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ↔ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
103	102	ralbidv	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ↔ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
104	98 100 103	3anbi123d	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ↔ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )
105	104	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ↔ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )
106	26 16	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑆 ∈ V )
107	106	mptexd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ V )
108	75	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 0 ∈ V )
109		funmpt	⊢ Fun ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
110	109	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → Fun ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
111		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 )
112	111	ffund	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → Fun 𝑓 )
113		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑏 finSupp 0 )
114	113	fsuppimpd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ∈ Fin )
115		imafi	⊢ ( ( Fun 𝑓 ∧ ( 𝑏 supp 0 ) ∈ Fin ) → ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ∈ Fin )
116	112 114 115	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ∈ Fin )
117		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
118	66 117	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
119		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 )
120	119	ffund	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → Fun 𝑓 )
121		snssi	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → { 𝑖 } ⊆ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
122	121	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → { 𝑖 } ⊆ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
123		sspreima	⊢ ( ( Fun 𝑓 ∧ { 𝑖 } ⊆ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
124	120 122 123	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
125		difpreima	⊢ ( Fun 𝑓 → ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) = ( ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
126	120 125	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) = ( ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
127	124 126	sseqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
128		suppssdm	⊢ ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑏
129	36	ad6antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
130	128 129	fssdm	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ ∪ 𝑆 )
131	119	fdmd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → dom 𝑓 = ∪ 𝑆 )
132	130 131	sseqtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 )
133		sseqin2	⊢ ( ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 ↔ ( dom 𝑓 ∩ ( 𝑏 supp 0 ) ) = ( 𝑏 supp 0 ) )
134	133	biimpi	⊢ ( ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → ( dom 𝑓 ∩ ( 𝑏 supp 0 ) ) = ( 𝑏 supp 0 ) )
135		dminss	⊢ ( dom 𝑓 ∩ ( 𝑏 supp 0 ) ) ⊆ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
136	134 135	eqsstrrdi	⊢ ( ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
137	132 136	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
138	137	sscond	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( ^◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ⊆ ( ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
139	127 138	sstrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
140		fimacnv	⊢ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 → ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) = ∪ 𝑆 )
141	119 140	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) = ∪ 𝑆 )
142	141	difeq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) = ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
143	139 142	sseqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
144	143	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
145		ssidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) )
146	73	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
147	75	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → 0 ∈ V )
148	129 145 146 147	suppssr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
149	144 148	syldan	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
150	149	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
151	5	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
152	13	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
153	40	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
154	153	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 )
155	152 154	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
156	151 155 85	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
157	150 156	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
158	118 157	mpteq2da	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ 0 ) )
159	158	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ 0 ) ) )
160	5 28	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd )
161	160	cmnmndd	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd )
162	161	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ Mnd )
163	3	gsumz	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∈ V ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ 0 ) ) = 0 )
164	162 33 163	sylancl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ 0 ) ) = 0 )
165	159 164	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = 0 )
166	165 106	suppss2	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
167	116 166	ssfid	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) supp 0 ) ∈ Fin )
168		isfsupp	⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ V ∧ 0 ∈ V ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ↔ ( Fun ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) supp 0 ) ∈ Fin ) ) )
169	168	biimpar	⊢ ( ( ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ V ∧ 0 ∈ V ) ∧ ( Fun ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) supp 0 ) ∈ Fin ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 )
170	107 108 110 167 169	syl22anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 )
171		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
172	26 160	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑅 ∈ CMnd )
173	5	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Ring )
174	36	ad5antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
175	174	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
176	26 13	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
177	176	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
178	2 4	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
179	173 175 177 178	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
180		eqid	⊢ ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) )
181	66 179 180	fmptdf	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
182	73	mptexd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V )
183		funmpt	⊢ Fun ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) )
184	183	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → Fun ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
185		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ∪ 𝑆
186	174	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
187	186	ffnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 Fn ∪ 𝑆 )
188	73	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
189	75	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 0 ∈ V )
190		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
191	187 188 189 190	fvdifsupp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
192	191	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
193	5	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
194	176	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
195	190	eldifad	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 )
196	194 195	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
197	193 196 85	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
198	192 197	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
199	66 185 70 198 73	suppss2f	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) )
200		fsuppsssupp	⊢ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V ∧ Fun ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∧ ( 𝑏 finSupp 0 ∧ ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
201	182 184 113 199 200	syl22anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
202		sndisj	⊢ Disj 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 }
203		disjpreima	⊢ ( ( Fun 𝑓 ∧ Disj 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } ) → Disj 𝑖 ∈ 𝑆 ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) )
204	112 202 203	sylancl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → Disj 𝑖 ∈ 𝑆 ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) )
205		iunid	⊢ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } = 𝑆
206	205	imaeq2i	⊢ ( ^◡ 𝑓 “ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } ) = ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 )
207		iunpreima	⊢ ( Fun 𝑓 → ( ^◡ 𝑓 “ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } ) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) )
208	112 207	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } ) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) )
209	140	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ^◡ 𝑓 “ 𝑆 ) = ∪ 𝑆 )
210	206 208 209	3eqtr3a	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) = ∪ 𝑆 )
211	2 3 172 73 106 181 201 204 210	gsumpart	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) ) ) ) )
212	41	resmptd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
213	212	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σ_g ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
214	213	mpteq2dva	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
215	214	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
216	171 211 215	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
217		eqid	⊢ ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
218		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → 𝑖 = 𝑘 )
219	218	sneqd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → { 𝑖 } = { 𝑘 } )
220	219	imaeq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) = ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) )
221	220	mpteq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
222	221	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
223		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑘 ∈ 𝑆 )
224		ovexd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∈ V )
225	217 222 223 224	fvmptd2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
226	160	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
227	30	cnvex	⊢ ^◡ 𝑓 ∈ V
228	227	imaex	⊢ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∈ V
229	228	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∈ V )
230	5	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Ring )
231	26 6	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑆 ⊆ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
232	231	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
233	8	lidlsubg	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) → 𝑘 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) )
234		subgsubm	⊢ ( 𝑘 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) → 𝑘 ∈ ( SubMnd ‘ 𝑅 ) )
235	233 234	syl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) → 𝑘 ∈ ( SubMnd ‘ 𝑅 ) )
236	230 232 235	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑘 ∈ ( SubMnd ‘ 𝑅 ) )
237	230	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
238	232	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
239	36	ad7antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
240		cnvimass	⊢ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ⊆ dom 𝑓
241	240 39	sseqtrid	⊢ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
242	241	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
243	242	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑙 ∈ ∪ 𝑆 )
244	239 243	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) ∈ 𝐵 )
245		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) )
246	49 245	eleq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → ( 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ↔ 𝑙 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) ) )
247		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) )
248	246 247 243	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑙 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) )
249		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 )
250	249	ffnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑓 Fn ∪ 𝑆 )
251		elpreima	⊢ ( 𝑓 Fn ∪ 𝑆 → ( 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↔ ( 𝑙 ∈ ∪ 𝑆 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) ∈ { 𝑘 } ) ) )
252	251	biimpa	⊢ ( ( 𝑓 Fn ∪ 𝑆 ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( 𝑙 ∈ ∪ 𝑆 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) ∈ { 𝑘 } ) )
253		elsni	⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) ∈ { 𝑘 } → ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) = 𝑘 )
254	252 253	simpl2im	⊢ ( ( 𝑓 Fn ∪ 𝑆 ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) = 𝑘 )
255	250 254	sylancom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) = 𝑘 )
256	248 255	eleqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑙 ∈ 𝑘 )
257	8 2 4	lidlmcl	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ 𝑘 ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) ∈ 𝑘 )
258	237 238 244 256 257	syl22anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) ∈ 𝑘 )
259	50	cbvmptv	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑙 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) )
260	258 259	fmptd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) : ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ⟶ 𝑘 )
261	229	mptexd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V )
262	260	ffund	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → Fun ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
263		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑏 finSupp 0 )
264		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑘 ∈ 𝑆
265	66 264	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 )
266		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } )
267	36	ad7antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
268	267	ffnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 Fn ∪ 𝑆 )
269	73	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
270	75	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 0 ∈ V )
271	242	ssdifd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ⊆ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
272	271	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
273	268 269 270 272	fvdifsupp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
274	273	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
275	13	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
276	272	eldifad	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 )
277	275 276	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
278	230 277 85	syl2an2r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
279	274 278	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
280	265 266 70 279 229	suppss2f	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) )
281		fsuppsssupp	⊢ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V ∧ Fun ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∧ ( 𝑏 finSupp 0 ∧ ( ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
282	261 262 263 280 281	syl22anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
283	3 226 229 236 260 282	gsumsubmcl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∈ 𝑘 )
284	225 283	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 )
285	284	ralrimiva	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 )
286	170 216 285	3jca	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ^◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
287	97 105 286	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
288	287	anasss	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
289	25 288	exlimddv	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
290	289	anasss	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
291	290	r19.29an	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
292	5	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑅 ∈ Ring )
293	292	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
294		eqid	⊢ ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) = ( ℤRHom ‘ 𝑅 )
295	294	zrhrhm	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∈ ( ℤ_ring RingHom 𝑅 ) )
296		zringbas	⊢ ℤ = ( Base ‘ ℤ_ring )
297	296 2	rhmf	⊢ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∈ ( ℤ_ring RingHom 𝑅 ) → ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) : ℤ ⟶ 𝐵 )
298	293 295 297	3syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) : ℤ ⟶ 𝐵 )
299		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) )
300	75	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 0 ∈ V )
301		ssv	⊢ ran 𝑎 ⊆ V
302		ssdif	⊢ ( ran 𝑎 ⊆ V → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ ( V ∖ { 0 } ) )
303	301 302	ax-mp	⊢ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ ( V ∖ { 0 } )
304	303	sseli	⊢ ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) → 𝑚 ∈ ( V ∖ { 0 } ) )
305	304	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑚 ∈ ( V ∖ { 0 } ) )
306		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑎 finSupp 0 )
307	299 300 305 306	fsuppinisegfi	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ∈ Fin )
308		hashcl	⊢ ( ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ∈ ℕ₀ )
309	307 308	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ∈ ℕ₀ )
310	309	nn0zd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ∈ ℤ )
311	298 310	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ∈ 𝐵 )
312		eqid	⊢ ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) = ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) )
313	311 312	fmptd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) : ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⟶ 𝐵 )
314	2 3	ring0cl	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵 )
315		fconst6g	⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) : ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ⟶ 𝐵 )
316	292 314 315	3syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) : ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ⟶ 𝐵 )
317		disjdif	⊢ ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅
318	317	a1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ )
319	313 316 318	fun2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∪ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) ⟶ 𝐵 )
320		simplll	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) )
321	94 16	elmapd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ↔ 𝑎 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) )
322	321	biimpa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) → 𝑎 : 𝑆 ⟶ 𝐵 )
323	320 322	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑎 : 𝑆 ⟶ 𝐵 )
324	323	ffnd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑎 Fn 𝑆 )
325		elssuni	⊢ ( 𝑘 ∈ 𝑆 → 𝑘 ⊆ ∪ 𝑆 )
326	325	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑘 ⊆ ∪ 𝑆 )
327	326	sseld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 → ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ ∪ 𝑆 ) )
328	327	ralimdva	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 → ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ ∪ 𝑆 ) )
329	328	imp	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ ∪ 𝑆 )
330		fnfvrnss	⊢ ( ( 𝑎 Fn 𝑆 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ ∪ 𝑆 ) → ran 𝑎 ⊆ ∪ 𝑆 )
331	324 329 330	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ran 𝑎 ⊆ ∪ 𝑆 )
332	331	ssdifssd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
333		undif	⊢ ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ ∪ 𝑆 ↔ ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∪ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∪ 𝑆 )
334	332 333	sylib	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∪ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∪ 𝑆 )
335	334	feq2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∪ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) ⟶ 𝐵 ↔ ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 ) )
336	319 335	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
337	93	a1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝐵 ∈ V )
338	17	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
339	337 338	elmapd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ↔ ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 ) )
340	336 339	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) )
341		breq1	⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑏 finSupp 0 ↔ ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ) )
342		fveq1	⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) )
343	342	oveq1d	⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) )
344	343	mpteq2dv	⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
345	344	oveq2d	⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
346	345	eqeq2d	⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ↔ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
347	341 346	anbi12d	⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
348	347	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ) → ( ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
349	319	ffund	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → Fun ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) )
350	340	elexd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∈ V )
351	75	a1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 0 ∈ V )
352	323	ffund	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → Fun 𝑎 )
353	320	simprd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) )
354		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑎 finSupp 0 )
355		fsupprnfi	⊢ ( ( ( Fun 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ) → ran 𝑎 ∈ Fin )
356		diffi	⊢ ( ran 𝑎 ∈ Fin → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∈ Fin )
357	355 356	syl	⊢ ( ( ( Fun 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ) → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∈ Fin )
358	352 353 351 354 357	syl22anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∈ Fin )
359	313 358 351	fdmfifsupp	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) finSupp 0 )
360	13	ssdifssd	⊢ ( 𝜑 → ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ⊆ 𝐵 )
361	360	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ⊆ 𝐵 )
362	337 361	ssexd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ∈ V )
363	362 351	fczfsuppd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) finSupp 0 )
364	359 363	fsuppun	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) supp 0 ) ∈ Fin )
365		funisfsupp	⊢ ( ( Fun ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∧ ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∈ V ∧ 0 ∈ V ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ↔ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) supp 0 ) ∈ Fin ) )
366	365	biimpar	⊢ ( ( ( Fun ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∧ ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∈ V ∧ 0 ∈ V ) ∧ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) supp 0 ) ∈ Fin ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 )
367	349 350 351 364 366	syl31anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 )
368		fvex	⊢ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ∈ V
369	368 312	fnmpti	⊢ ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) Fn ( ran 𝑎 ∖ { 0 } )
370	369	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) Fn ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) )
371		fnconstg	⊢ ( 0 ∈ V → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) Fn ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) )
372	75 371	ax-mp	⊢ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) Fn ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) )
373	372	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) Fn ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) )
374	317	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ )
375		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) )
376	370 373 374 375	fvun1d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) )
377		sneq	⊢ ( 𝑚 = 𝑗 → { 𝑚 } = { 𝑗 } )
378	377	imaeq2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑗 → ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) = ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) )
379	378	fveq2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑗 → ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) = ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) )
380	379	fveq2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑗 → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) = ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) )
381		fvexd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) ∈ V )
382	312 380 375 381	fvmptd3	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) )
383	376 382	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) )
384	383	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) )
385	384	mpteq2dva	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) )
386	385	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) ) )
387	292 28	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
388	317	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ )
389		fvun2	⊢ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) Fn ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) Fn ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) )
390	369 372 389	mp3an12	⊢ ( ( ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) )
391	388 390	sylancom	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) )
392	75	fvconst2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) = 0 )
393	392	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) = 0 )
394	391 393	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = 0 )
395	394	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
396	361	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
397	292 396 85	syl2an2r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
398	395 397	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
399	292	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Ring )
400	336	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
401	13	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
402	401	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
403	2 4	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
404	399 400 402 403	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
405	2 3 387 338 398 358 404 332	gsummptres2	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
406		eqid	⊢ ( ._g ‘ 𝑅 ) = ( ._g ‘ 𝑅 )
407	2 3 406 387 323 354	gsumhashmul	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) ) ) )
408		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) )
409	292	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
410	353	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) )
411	75	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 0 ∈ V )
412	303 375	sselid	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ( V ∖ { 0 } ) )
413	354	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑎 finSupp 0 )
414	410 411 412 413	fsuppinisegfi	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ∈ Fin )
415		hashcl	⊢ ( ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℕ₀ )
416	414 415	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℕ₀ )
417	416	nn0zd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ )
418	332 401	sstrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ 𝐵 )
419	418	sselda	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
420		eqid	⊢ ( 1_r ‘ 𝑅 ) = ( 1_r ‘ 𝑅 )
421	294 406 420	zrhmulg	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) = ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) ( 1_r ‘ 𝑅 ) ) )
422	421	adantr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) = ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) ( 1_r ‘ 𝑅 ) ) )
423	422	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) = ( ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) ( 1_r ‘ 𝑅 ) ) · 𝑗 ) )
424		simpll	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 ∈ Ring )
425		simplr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ )
426	2 420	ringidcl	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( 1_r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
427	426	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( 1_r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
428		simpr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
429	2 406 4	mulgass2	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ∧ ( 1_r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) ( 1_r ‘ 𝑅 ) ) · 𝑗 ) = ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) ( ( 1_r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) ) )
430	424 425 427 428 429	syl13anc	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) ( 1_r ‘ 𝑅 ) ) · 𝑗 ) = ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) ( ( 1_r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) ) )
431	2 4 420	ringlidm	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( 1_r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) = 𝑗 )
432	424 431	sylancom	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( 1_r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) = 𝑗 )
433	432	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) ( ( 1_r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) ) = ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) )
434	423 430 433	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) = ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) )
435	409 417 419 434	syl21anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) = ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) )
436	435	mpteq2dva	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) ) )
437	436	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( ._g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) ) ) )
438	407 408 437	3eqtr4d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) ) )
439	386 405 438	3eqtr4rd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
440	367 439	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ^◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
441	340 348 440	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
442	441	exp41	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) → ( 𝑎 finSupp 0 → ( 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) )
443	442	3imp2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
444	443	r19.29an	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
445	291 444	impbida	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑_m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )
446	14 445	bitrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ ∪ 𝑆 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑_m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σ_g 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )

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