fourierdlem48

Description: The given periodic function F has a right limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem48.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
	fourierdlem48.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
	fourierdlem48.altb	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 )
	fourierdlem48.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑_m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
	fourierdlem48.t	⊢ 𝑇 = ( 𝐵 − 𝐴 )
	fourierdlem48.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
	fourierdlem48.q	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
	fourierdlem48.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
	fourierdlem48.dper	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
	fourierdlem48.per	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
	fourierdlem48.cn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
	fourierdlem48.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
	fourierdlem48.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
	fourierdlem48.z	⊢ 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
	fourierdlem48.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) )
	fourierdlem48.ch	⊢ ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
Assertion	fourierdlem48	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem48.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
2		fourierdlem48.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
3		fourierdlem48.altb	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 )
4		fourierdlem48.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑_m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
5		fourierdlem48.t	⊢ 𝑇 = ( 𝐵 − 𝐴 )
6		fourierdlem48.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
7		fourierdlem48.q	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
8		fourierdlem48.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
9		fourierdlem48.dper	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
10		fourierdlem48.per	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
11		fourierdlem48.cn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
12		fourierdlem48.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
13		fourierdlem48.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
14		fourierdlem48.z	⊢ 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
15		fourierdlem48.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) )
16		fourierdlem48.ch	⊢ ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
17		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → 𝜑 )
18		0zd	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℤ )
19	6	nnzd	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
20	6	nngt0d	⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑀 )
21		fzolb	⊢ ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀 ) )
22	18 19 20 21	syl3anbrc	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
23	22	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
24	2 13	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝑋 ) ∈ ℝ )
25	2 1	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ )
26	5 25	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ )
27	1 2	posdifd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) )
28	3 27	mpbid	⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) )
29	28 5	breqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑇 )
30	29	gt0ne0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ 0 )
31	24 26 30	redivcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
32	31	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
33	32	flcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
34		1zzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → 1 ∈ ℤ )
35	33 34	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) ∈ ℤ )
36		id	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 )
37	5	a1i	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 → 𝑇 = ( 𝐵 − 𝐴 ) )
38	36 37	oveq12d	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝐵 − ( 𝐵 − 𝐴 ) ) )
39	2	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
40	1	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
41	39 40	nncand	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = 𝐴 )
42	38 41	sylan9eqr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = 𝐴 )
43	4	fourierdlem2	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑_m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
44	6 43	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑_m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
45	7 44	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑_m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
46	45	simpld	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( ℝ ↑_m ( 0 ... 𝑀 ) ) )
47		elmapi	⊢ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑_m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
48	46 47	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
49	6	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀ )
50		nn0uz	⊢ ℕ₀ = ( ℤ_≥ ‘ 0 )
51	49 50	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) )
52		eluzfz1	⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
53	51 52	syl	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
54	48 53	ffvelcdmd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) ∈ ℝ )
55	54	rexrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) ∈ ℝ^* )
56		1zzd	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
57		0le1	⊢ 0 ≤ 1
58	57	a1i	⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 1 )
59	6	nnge1d	⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ 𝑀 )
60	18 19 56 58 59	elfzd	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
61	48 60	ffvelcdmd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 1 ) ∈ ℝ )
62	61	rexrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 1 ) ∈ ℝ^* )
63	1	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^* )
64	45	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
65	64	simplld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
66	1	leidd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴 )
67	65 66	eqbrtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) ≤ 𝐴 )
68	65	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
69		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
70		eleq1	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
71	70	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
72		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
73		oveq1	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
74	73	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
75	72 74	breq12d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
76	71 75	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ) )
77	45	simprrd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
78	77	r19.21bi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
79	76 78	vtoclg	⊢ ( 0 ∈ ℝ → ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
80	69 79	ax-mp	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
81	22 80	mpdan	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
82		1e0p1	⊢ 1 = ( 0 + 1 )
83	82	fveq2i	⊢ ( 𝑄 ‘ 1 ) = ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) )
84	81 83	breqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ 1 ) )
85	68 84	eqbrtrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < ( 𝑄 ‘ 1 ) )
86	55 62 63 67 85	elicod	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ 1 ) ) )
87	83	oveq2i	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ 1 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
88	86 87	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
89	88	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
90	42 89	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
91	15	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) ) )
92		id	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋 )
93		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) )
94	92 93	oveq12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
95	94	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
96	14	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
97		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝑋 ) )
98	97	oveq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) = ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) )
99	98	fveq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) )
100	99	oveq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
101	100	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
102	31	flcld	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
103	102	zred	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
104	103 26	remulcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
105	96 101 13 104	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
106	105 104	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
107	13 106	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
108	91 95 13 107	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
109	105	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
110	108 109	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
111	110	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) − 𝑇 ) )
112	13	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ )
113	104	recnd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
114	26	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ )
115	112 113 114	addsubassd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) )
116	102	zcnd	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
117	116 114	mulsubfacd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) )
118	117	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
119	111 115 118	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
120	119	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
121		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) )
122	121	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
123	122	eqeq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
124	123	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) )
125	124	rspcev	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
126	35 90 120 125	syl12anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
127	72 74	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
128	127	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ) )
129	128	anbi1d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
130	129	rexbidv	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
131	130	rspcev	⊢ ( ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
132	23 126 131	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
133		ovex	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ V
134		eleq1	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
135		eqeq1	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
136	134 135	anbi12d	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
137	136	2rexbidv	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
138	137	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
139	138	imbi1d	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
140		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
141		nfv	⊢ Ⅎ 𝑖 𝜑
142		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑖 ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
143	141 142	nfan	⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
144		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝜑
145		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 0 ..^ 𝑀 )
146		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑘 ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
147	145 146	nfrexw	⊢ Ⅎ 𝑘 ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
148	144 147	nfan	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
149		simp1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝜑 )
150		simp2l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
151		simp3l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
152	149 150 151	jca31	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
153		simp2r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
154		simp3r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
155	16	biimpi	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
156	155	simplld	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
157	156	simplld	⊢ ( 𝜒 → 𝜑 )
158		frel	⊢ ( 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ → Rel 𝐹 )
159		resindm	⊢ ( Rel 𝐹 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) )
160	159	eqcomd	⊢ ( Rel 𝐹 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) )
161	157 8 158 160	4syl	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) )
162		fdm	⊢ ( 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ → dom 𝐹 = 𝐷 )
163	157 8 162	3syl	⊢ ( 𝜒 → dom 𝐹 = 𝐷 )
164	163	ineq2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) = ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
165	164	reseq2d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) )
166	161 165	eqtrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) )
167	166	oveq1d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) lim_ℂ 𝑋 ) )
168	157 8	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
169		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
170	169	a1i	⊢ ( 𝜒 → ℝ ⊆ ℂ )
171	168 170	fssd	⊢ ( 𝜒 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ )
172		inss2	⊢ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷
173	172	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷 )
174	171 173	fssresd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) : ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⟶ ℂ )
175		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ^*
176	175	a1i	⊢ ( 𝜒 → +∞ ∈ ℝ^* )
177	156	simplrd	⊢ ( 𝜒 → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
178	48	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
179		fzofzp1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
180	179	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
181	178 180	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
182	157 177 181	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
183	155	simplrd	⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℤ )
184	183	zred	⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ )
185	157 26	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝑇 ∈ ℝ )
186	184 185	remulcld	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
187	182 186	resubcld	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
188	187	rexrd	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ^* )
189	187	ltpnfd	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < +∞ )
190	188 176 189	xrltled	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ +∞ )
191		iooss2	⊢ ( ( +∞ ∈ ℝ^* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ +∞ ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
192	176 190 191	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
193	183	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
194	193	zcnd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
195	185	recnd	⊢ ( 𝜒 → 𝑇 ∈ ℂ )
196	195	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℂ )
197	194 196	mulneg1d	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( - 𝑘 · 𝑇 ) = - ( 𝑘 · 𝑇 ) )
198	197	oveq2d	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
199		elioore	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ )
200	199	recnd	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
201	200	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
202	194 196	mulcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
203	201 202	addcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
204	203 202	negsubd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
205	201 202	pncand	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑤 )
206	198 204 205	3eqtrrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
207	157	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝜑 )
208	156	simpld	⊢ ( 𝜒 → ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
209		cncff	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
210		fdm	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
211	11 209 210	3syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
212		ssdmres	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
213	211 212	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
214	8 162	syl	⊢ ( 𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷 )
215	214	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom 𝐹 = 𝐷 )
216	213 215	sseqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
217	208 216	syl	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
218	217	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
219		elfzofz	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
220	219	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
221	178 220	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
222	157 177 221	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
223	222	rexrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ^* )
224	223	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ^* )
225	182	rexrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ^* )
226	225	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ^* )
227	199	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ )
228	193	zred	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
229	207 26	syl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
230	228 229	remulcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
231	227 230	readdcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
232	222	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
233	157 13	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ )
234	233 186	readdcld	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
235	234	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
236	16	simprbi	⊢ ( 𝜒 → 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
237	236	eqcomd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑦 )
238	156	simprd	⊢ ( 𝜒 → 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
239	237 238	eqeltrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
240		icogelb	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
241	223 225 239 240	syl3anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
242	241	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
243	207 13	syl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
244	243	rexrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ^* )
245	182	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
246	245 230	resubcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
247	246	rexrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ^* )
248		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
249		ioogtlb	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ^* ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑤 )
250	244 247 248 249	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑤 )
251	243 227 230 250	ltadd1dd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
252	232 235 231 242 251	lelttrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
253		iooltub	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ^* ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
254	244 247 248 253	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
255	227 246 230 254	ltadd1dd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
256	182	recnd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
257	186	recnd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
258	256 257	npcand	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
259	258	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
260	255 259	breqtrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
261	224 226 231 252 260	eliood	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
262	218 261	sseldd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
263	193	znegcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
264		ovex	⊢ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ V
265		eleq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
266	265	3anbi2d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
267		oveq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
268	267	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
269	266 268	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
270		negex	⊢ - 𝑘 ∈ V
271		eleq1	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝑗 ∈ ℤ ↔ - 𝑘 ∈ ℤ ) )
272	271	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
273		oveq1	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝑗 · 𝑇 ) = ( - 𝑘 · 𝑇 ) )
274	273	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
275	274	eleq1d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
276	272 275	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
277		eleq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 ∈ ℤ ↔ 𝑗 ∈ ℤ ) )
278	277	3anbi3d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ) )
279		oveq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( 𝑗 · 𝑇 ) )
280	279	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
281	280	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
282	278 281	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
283	282 9	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
284	270 276 283	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
285	264 269 284	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
286	207 262 263 285	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
287	206 286	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
288	287	ralrimiva	⊢ ( 𝜒 → ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 ∈ 𝐷 )
289		dfss3	⊢ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 ↔ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 ∈ 𝐷 )
290	288 289	sylibr	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
291	192 290	ssind	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
292		ioosscn	⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ
293		ssinss1	⊢ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℂ )
294	292 293	mp1i	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℂ )
295		eqid	⊢ ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) = ( TopOpen ‘ ℂ_fld )
296		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
297	233	rexrd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ^* )
298	233	leidd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ≤ 𝑋 )
299	236	oveq1d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
300	233	recnd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ∈ ℂ )
301	300 257	pncand	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
302	299 301	eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 = ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
303		icossre	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ^* ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
304	222 225 303	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
305	304 238	sseldd	⊢ ( 𝜒 → 𝑦 ∈ ℝ )
306		icoltub	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
307	223 225 238 306	syl3anc	⊢ ( 𝜒 → 𝑦 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
308	305 182 186 307	ltsub1dd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
309	302 308	eqbrtrd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
310	297 188 297 298 309	elicod	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
311		snunioo1	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
312	297 188 309 311	syl3anc	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
313	312	fveq2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
314	295	cnfldtop	⊢ ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ∈ Top
315		ovex	⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ∈ V
316	315	inex1	⊢ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∈ V
317		snex	⊢ { 𝑋 } ∈ V
318	316 317	unex	⊢ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V
319		resttop	⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ∈ Top ∧ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V ) → ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top )
320	314 318 319	mp2an	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top
321	320	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top )
322		retop	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
323	322	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top )
324	318	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V )
325		iooretop	⊢ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
326	325	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) )
327		elrestr	⊢ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V ∧ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
328	323 324 326 327	syl3anc	⊢ ( 𝜒 → ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
329		mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ^*
330	329	a1i	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → -∞ ∈ ℝ^* )
331	188	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ^* )
332		icossre	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ^* ) → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℝ )
333	233 188 332	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℝ )
334	333	sselda	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
335	334	mnfltd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → -∞ < 𝑥 )
336	297	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ^* )
337		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
338		icoltub	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
339	336 331 337 338	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
340	330 331 334 335 339	eliood	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
341		vsnid	⊢ 𝑥 ∈ { 𝑥 }
342	341	a1i	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ { 𝑥 } )
343		sneq	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → { 𝑥 } = { 𝑋 } )
344	342 343	eleqtrd	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ { 𝑋 } )
345		elun2	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑋 } → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
346	344 345	syl	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
347	346	adantl	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
348	297	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ^* )
349	175	a1i	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → +∞ ∈ ℝ^* )
350	334	adantr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
351	233	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
352		icogelb	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
353	336 331 337 352	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
354	353	adantr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
355		neqne	⊢ ( ¬ 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ≠ 𝑋 )
356	355	adantl	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ≠ 𝑋 )
357	351 350 354 356	leneltd	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 < 𝑥 )
358	350	ltpnfd	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 < +∞ )
359	348 349 350 357 358	eliood	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
360	183	zcnd	⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℂ )
361	360 195	mulneg1d	⊢ ( 𝜒 → ( - 𝑘 · 𝑇 ) = - ( 𝑘 · 𝑇 ) )
362	361	oveq2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
363	362	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
364		ioosscn	⊢ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℂ
365	364	sseli	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
366	365	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
367	257	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
368	366 367	addcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
369	368 367	negsubd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
370	366 367	pncand	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑤 )
371	363 369 370	3eqtrrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
372	186	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
373	227 372	readdcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
374	224 226 373 252 260	eliood	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
375	218 374	sseldd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
376	271	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
377	273	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
378	377	eleq1d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
379	376 378	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
380	265	3anbi2d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ) )
381		oveq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
382	381	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
383	380 382	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
384	264 383 283	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
385	270 379 384	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
386	207 375 263 385	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
387	371 386	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
388	387	ralrimiva	⊢ ( 𝜒 → ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 ∈ 𝐷 )
389	388 289	sylibr	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
390	389	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
391	188	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ^* )
392	339	adantr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
393	348 391 350 357 392	eliood	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
394	390 393	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
395	359 394	elind	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
396		elun1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
397	395 396	syl	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
398	347 397	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
399	340 398	elind	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
400	297	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ^* )
401	188	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ^* )
402		elinel1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
403		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
404	402 403	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
405	404	rexrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ^* )
406	405	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ^* )
407		elinel2	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
408	233	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
409	92	eqcomd	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑋 = 𝑥 )
410	409	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 = 𝑥 )
411	408 410	eqled	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
412	411	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
413		simpll	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝜒 )
414		simplr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
415		id	⊢ ( ¬ 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 = 𝑋 )
416		velsn	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑋 } ↔ 𝑥 = 𝑋 )
417	415 416	sylnibr	⊢ ( ¬ 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } )
418	417	adantl	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } )
419		elunnel2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
420	414 418 419	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
421		elinel1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
422	420 421	syl	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
423	233	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
424		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
425	424	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
426	297	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 ∈ ℝ^* )
427	175	a1i	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → +∞ ∈ ℝ^* )
428		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
429		ioogtlb	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
430	426 427 428 429	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
431	423 425 430	ltled	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
432	413 422 431	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
433	412 432	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
434	407 433	sylan2	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
435	329	a1i	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → -∞ ∈ ℝ^* )
436	188	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ^* )
437		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
438		iooltub	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ^* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
439	435 436 437 438	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
440	402 439	sylan2	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
441	400 401 406 434 440	elicod	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
442	399 441	impbida	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) )
443	442	eqrdv	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
444		ioossre	⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ
445		ssinss1	⊢ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℝ )
446	444 445	mp1i	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℝ )
447	233	snssd	⊢ ( 𝜒 → { 𝑋 } ⊆ ℝ )
448	446 447	unssd	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ⊆ ℝ )
449		eqid	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( topGen ‘ ran (,) )
450	295 449	rerest	⊢ ( ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ⊆ ℝ → ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
451	448 450	syl	⊢ ( 𝜒 → ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
452	328 443 451	3eltr4d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
453		isopn3i	⊢ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top ∧ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
454	321 452 453	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
455	313 454	eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
456	310 455	eleqtrd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
457	174 291 294 295 296 456	limcres	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) lim_ℂ 𝑋 ) )
458	291	resabs1d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
459	458	oveq1d	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) )
460	169	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ )
461	8 460	fssd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ )
462	214	feq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ ↔ 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ ) )
463	461 462	mpbird	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
464	157 463	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
465	464	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
466	364	a1i	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℂ )
467	389 163	sseqtrrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
468	467	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
469	257	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
470		eqid	⊢ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) }
471		eqeq1	⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
472	471	rexbidv	⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
473	472	elrab	⊢ ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ↔ ( 𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
474	473	simprbi	⊢ ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
475	474	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
476		nfv	⊢ Ⅎ 𝑥 𝜒
477		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑥 ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) )
478		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑥 ℂ
479	477 478	nfrabw	⊢ Ⅎ 𝑥 { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) }
480	479	nfcri	⊢ Ⅎ 𝑥 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) }
481	476 480	nfan	⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
482		nfv	⊢ Ⅎ 𝑥 𝑤 ∈ 𝐷
483		simp3	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
484		eleq1	⊢ ( 𝑤 = 𝑥 → ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
485	484	anbi2d	⊢ ( 𝑤 = 𝑥 → ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
486		oveq1	⊢ ( 𝑤 = 𝑥 → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
487	486	eleq1d	⊢ ( 𝑤 = 𝑥 → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
488	485 487	imbi12d	⊢ ( 𝑤 = 𝑥 → ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
489	488 262	chvarvv	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
490	489	3adant3	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
491	483 490	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
492	491	3exp	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) ) )
493	492	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) ) )
494	481 482 493	rexlimd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) )
495	475 494	mpd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
496	495	ralrimiva	⊢ ( 𝜒 → ∀ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } 𝑤 ∈ 𝐷 )
497		dfss3	⊢ ( { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 ↔ ∀ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } 𝑤 ∈ 𝐷 )
498	496 497	sylibr	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 )
499	498 163	sseqtrrd	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
500	499	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
501	157	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝜑 )
502	389	sselda	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
503	183	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
504	501 502 503 10	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
505	504	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
506		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) )
507	465 466 468 469 470 500 505 506	limcperiod	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) lim_ℂ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
508	258	eqcomd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
509	236 508	oveq12d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
510	233 187 186	iooshift	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
511	509 510	eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } = ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
512	511	reseq2d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
513	512 237	oveq12d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) lim_ℂ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) )
514	513	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) lim_ℂ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) )
515	507 514	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) )
516	464	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
517		ioosscn	⊢ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
518	517	a1i	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
519		icogelb	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑦 )
520	223 225 238 519	syl3anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑦 )
521		iooss1	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
522	223 520 521	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
523	522 217	sstrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
524	523 163	sseqtrrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
525	524	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
526	360	negcld	⊢ ( 𝜒 → - 𝑘 ∈ ℂ )
527	526 195	mulcld	⊢ ( 𝜒 → ( - 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
528	527	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) → ( - 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
529		eqid	⊢ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) }
530		eqeq1	⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
531	530	rexbidv	⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
532	531	elrab	⊢ ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ↔ ( 𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
533	532	simprbi	⊢ ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
534	533	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
535		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑥 ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) )
536	535 478	nfrabw	⊢ Ⅎ 𝑥 { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) }
537	536	nfcri	⊢ Ⅎ 𝑥 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) }
538	476 537	nfan	⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
539		simp3	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
540	157	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝜑 )
541	523	sselda	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
542	183	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
543	542	znegcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
544	540 541 543 284	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
545	544	3adant3	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
546	539 545	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
547	546	3exp	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) ) )
548	547	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) ) )
549	538 482 548	rexlimd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) )
550	534 549	mpd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
551	550	ralrimiva	⊢ ( 𝜒 → ∀ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } 𝑤 ∈ 𝐷 )
552		dfss3	⊢ ( { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 ↔ ∀ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } 𝑤 ∈ 𝐷 )
553	551 552	sylibr	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 )
554	553 163	sseqtrrd	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
555	554	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
556	157	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝜑 )
557	541	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
558	543	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
559	274	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
560	559	eqeq1d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
561	272 560	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
562	280	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
563	562	eqeq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
564	278 563	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
565	564 10	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
566	270 561 565	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
567	556 557 558 566	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
568		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) )
569	516 518 525 528 529 555 567 568	limcperiod	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) lim_ℂ ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
570	361	oveq2d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
571	305	recnd	⊢ ( 𝜒 → 𝑦 ∈ ℂ )
572	571 257	negsubd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
573	302	eqcomd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
574	570 572 573	3eqtrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
575	574	eqcomd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 = ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
576	361	oveq2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
577	256 257	negsubd	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
578	576 577	eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
579	575 578	oveq12d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
580	184	renegcld	⊢ ( 𝜒 → - 𝑘 ∈ ℝ )
581	580 185	remulcld	⊢ ( 𝜒 → ( - 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
582	305 182 581	iooshift	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
583	579 582	eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } = ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
584	583	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } = ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
585	584	reseq2d	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) → ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
586	574	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) → ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
587	585 586	oveq12d	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) lim_ℂ ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) )
588	569 587	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) )
589	515 588	impbida	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ↔ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ) )
590	589	eqrdv	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) )
591	459 590	eqtrd	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) )
592	167 457 591	3eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) )
593	157 177 78	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
594	157 177 11	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
595	157 177 12	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
596		eqid	⊢ if ( 𝑦 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) = if ( 𝑦 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) )
597		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
598	222 182 593 594 595 305 182 307 522 596 597	fourierdlem32	⊢ ( 𝜒 → if ( 𝑦 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) )
599	522	resabs1d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
600	599	oveq1d	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) )
601	598 600	eleqtrd	⊢ ( 𝜒 → if ( 𝑦 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) )
602		ne0i	⊢ ( if ( 𝑦 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ≠ ∅ )
603	601 602	syl	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim_ℂ 𝑦 ) ≠ ∅ )
604	592 603	eqnetrd	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
605	16 604	sylbir	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
606	152 153 154 605	syl21anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
607	606	3exp	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
608	607	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
609	143 148 608	rexlim2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) )
610	140 609	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
611	133 139 610	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
612	17 132 611	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
613		iocssre	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
614	63 2 613	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
615		ovex	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ V
616	14	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ V ) → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
617	615 616	mpan2	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
618	617	oveq2d	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
619	618	mpteq2ia	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
620	15 619	eqtri	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
621	1 2 3 5 620	fourierdlem4	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 : ℝ ⟶ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
622	621 13	ffvelcdmd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
623	614 622	sseldd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
624	623	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
625		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → 𝜑 )
626		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 )
627		ffn	⊢ ( 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
628	48 627	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
629	628	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
630		fvelrnb	⊢ ( 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
631	629 630	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
632	626 631	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
633		1zzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 1 ∈ ℤ )
634		elfzelz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
635	634	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
636	635	zred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
637		elfzle1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 0 ≤ 𝑗 )
638	637	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 ≤ 𝑗 )
639		id	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
640	639	eqcomd	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
641	640	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
642		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 0 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
643	642	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
644	45	simprld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) )
645	644	simpld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
646	645	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
647	641 643 646	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
648	647	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
649	648	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
650	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
651	63	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ^* )
652	2	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^* )
653	652	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ^* )
654		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
655		iocgtlb	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
656	651 653 654 655	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
657	650 656	gtned	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐴 )
658	657	neneqd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
659	658	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
660	649 659	pm2.65da	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ¬ 𝑗 = 0 )
661	660	neqned	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ≠ 0 )
662	636 638 661	ne0gt0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 < 𝑗 )
663		0zd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 ∈ ℤ )
664		zltp1le	⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 0 < 𝑗 ↔ ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
665	663 635 664	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 0 < 𝑗 ↔ ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
666	662 665	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 )
667	82 666	eqbrtrid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
668		eluz2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 1 ) ↔ ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗 ) )
669	633 635 667 668	syl3anbrc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 1 ) )
670		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ_≥ ‘ 1 )
671	669 670	eleqtrrdi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ )
672		nnm1nn0	⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ₀ )
673	671 672	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ₀ )
674	673 50	eleqtrdi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) )
675	19	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
676		peano2zm	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
677	634 676	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
678	677	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
679	634	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
680		elfzel2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℤ )
681	680	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℝ )
682	679	ltm1d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑗 )
683		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ≤ 𝑀 )
684	678 679 681 682 683	ltletrd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 )
685	684	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 )
686		elfzo2	⊢ ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 ) )
687	674 675 685 686	syl3anbrc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
688	48	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
689	635 676	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
690	673	nn0ge0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
691	678 681 684	ltled	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑀 )
692	691	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑀 )
693	663 675 689 690 692	elfzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
694	688 693	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℝ )
695	694	rexrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℝ^* )
696	48	ffvelcdmda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
697	696	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ^* )
698	697	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ^* )
699	698	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ^* )
700	614	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
701	700	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ^* )
702	701	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ^* )
703		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝜑 )
704		ovex	⊢ ( 𝑗 − 1 ) ∈ V
705		eleq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
706	705	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
707		fveq2	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) )
708		oveq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 + 1 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
709	708	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
710	707 709	breq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
711	706 710	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) )
712	704 711 78	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
713	703 687 712	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
714	634	zcnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℂ )
715		1cnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 1 ∈ ℂ )
716	714 715	npcand	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 )
717	716	eqcomd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 = ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
718	717	fveq2d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
719	718	eqcomd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
720	719	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
721	713 720	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
722		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
723	721 722	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
724	623	leidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
725	724	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
726	640	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
727	725 726	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
728	727	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
729	695 699 702 723 728	eliocd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) )
730	718	oveq2d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
731	730	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
732	729 731	eleqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
733	707 709	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
734	733	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) )
735	734	rspcev	⊢ ( ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
736	687 732 735	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
737	736	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
738	737	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
739	738	rexlimdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
740	632 739	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
741	6	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑀 ∈ ℕ )
742	48	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
743		iocssicc	⊢ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 )
744	645	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
745	644	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 )
746	745	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
747	744 746	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
748	743 747	sseqtrid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
749	748	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
750	749	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
751		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 )
752		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
753	752	breq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
754	753	cbvrabv	⊢ { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } = { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) }
755	754	supeq1i	⊢ sup ( { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } , ℝ , < ) = sup ( { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } , ℝ , < )
756	741 742 750 751 755	fourierdlem25	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
757		ioossioc	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
758	757	sseli	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
759	758	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
760	759	reximdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
761	756 760	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
762	740 761	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
763	622 762	mpdan	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
764		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
765		oveq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝑗 + 1 ) )
766	765	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
767	764 766	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
768	767	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
769	768	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
770	763 769	sylib	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
771	770	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
772		elfzonn0	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℕ₀ )
773		1nn0	⊢ 1 ∈ ℕ₀
774	773	a1i	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 1 ∈ ℕ₀ )
775	772 774	nn0addcld	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ℕ₀ )
776	775 50	eleqtrdi	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) )
777	776	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) )
778	777	3ad2antl2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) )
779	19	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
780	779	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
781	772	nn0red	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
782	781	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
783	782	3ad2antl2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
784		1red	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
785	783 784	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ℝ )
786	780	zred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℝ )
787		elfzop1le2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ≤ 𝑀 )
788	787	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ≤ 𝑀 )
789	788	3ad2antl2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ≤ 𝑀 )
790		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
791		fveq2	⊢ ( 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
792	791	eqcomd	⊢ ( 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
793	792	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
794	745	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 )
795	790 793 794	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 )
796	795	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 )
797		simpllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 )
798	797	neneqd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 )
799	796 798	pm2.65da	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ¬ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) )
800	799	neqned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ≠ ( 𝑗 + 1 ) )
801	800	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ≠ ( 𝑗 + 1 ) )
802	785 786 789 801	leneltd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) < 𝑀 )
803		elfzo2	⊢ ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 + 1 ) < 𝑀 ) )
804	778 780 802 803	syl3anbrc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
805	48	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
806		fzofzp1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
807	806	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
808	805 807	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
809	808	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ^* )
810	809	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ^* )
811	810	3adant3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ^* )
812	811	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ^* )
813		simpl1l	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
814	813 48	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
815		fzofzp1	⊢ ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
816	804 815	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
817	814 816	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
818	817	rexrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ^* )
819	623	rexrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ^* )
820	819	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ^* )
821	820	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ^* )
822	808	leidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
823	822	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
824		id	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
825	824	eqcomd	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
826	825	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
827	823 826	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
828	827	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
829	828	3adantl3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
830		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
831		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
832		ovex	⊢ ( 𝑗 + 1 ) ∈ V
833		eleq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
834	833	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
835		fveq2	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
836		oveq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑖 + 1 ) = ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) )
837	836	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
838	835 837	breq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) )
839	834 838	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
840	832 839 78	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
841	840	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
842	831 841	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
843	813 804 830 842	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
844	812 818 821 829 843	elicod	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) )
845	835 837	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) )
846	845	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
847	846	rspcev	⊢ ( ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
848	804 844 847	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
849		simpl2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
850		id	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
851	850	3adant1r	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
852		elfzofz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
853	852	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
854	805 853	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
855	854	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ^* )
856	855	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ^* )
857	856	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ^* )
858	809	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ^* )
859	858	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ^* )
860	819	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ^* )
861	860	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ^* )
862	854	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
863	623	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
864	855	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ^* )
865	809	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ^* )
866		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
867		iocgtlb	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
868	864 865 866 867	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
869	862 863 868	ltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
870	869	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
871	863	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
872	808	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
873	872	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
874		iocleub	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
875	864 865 866 874	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
876	875	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
877		neqne	⊢ ( ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
878	877	necomd	⊢ ( ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≠ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
879	878	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≠ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
880	871 873 876 879	leneltd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
881	857 859 861 870 880	elicod	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
882	851 881	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
883	764 766	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
884	883	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
885	884	rspcev	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
886	849 882 885	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
887	848 886	pm2.61dan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
888	887	rexlimdv3a	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
889	771 888	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
890		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
891		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
892	891	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
893	892	eqeq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
894	893	rspcev	⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
895	102 110 894	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
896	895	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
897		r19.42v	⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
898	890 896 897	sylanbrc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
899	898	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
900	899	reximdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
901	889 900	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
902	625 901	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
903		eleq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
904		eqeq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
905	903 904	anbi12d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
906	905	2rexbidv	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
907	906	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
908	907	imbi1d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
909	908 610	vtoclg	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) )
910	624 902 909	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
911	612 910	pm2.61dane	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim_ℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )

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Theorem fourierdlem48

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