This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem fourierdlem111

Description: The fourier partial sum for F is the sum of two integrals, with the same integrand involving F and the Dirichlet Kernel D , but on two opposite intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem111.a ⊢ 𝐴 = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑡 ) ) ) d 𝑡 / π ) )
fourierdlem111.b ⊢ 𝐵 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑡 ) ) ) d 𝑡 / π ) )
fourierdlem111.s ⊢ 𝑆 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
fourierdlem111.d ⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
fourierdlem111.p ⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
fourierdlem111.m ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
fourierdlem111.q ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
fourierdlem111.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
fourierdlem111.6 ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
fourierdlem111.fper ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
fourierdlem111.g ⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) )
fourierdlem111.fcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
fourierdlem111.r ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
fourierdlem111.l ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
fourierdlem111.t ⊢ 𝑇 = ( 2 · π )
fourierdlem111.o ⊢ 𝑂 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( π − 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
fourierdlem111.14 ⊢ 𝑊 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
Assertion fourierdlem111 ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem111.a ⊢ 𝐴 = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑡 ) ) ) d 𝑡 / π ) )
2 fourierdlem111.b ⊢ 𝐵 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑡 ) ) ) d 𝑡 / π ) )
3 fourierdlem111.s ⊢ 𝑆 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
4 fourierdlem111.d ⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
5 fourierdlem111.p ⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
6 fourierdlem111.m ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
7 fourierdlem111.q ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
8 fourierdlem111.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
9 fourierdlem111.6 ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
10 fourierdlem111.fper ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
11 fourierdlem111.g ⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) )
12 fourierdlem111.fcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
13 fourierdlem111.r ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
14 fourierdlem111.l ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
15 fourierdlem111.t ⊢ 𝑇 = ( 2 · π )
16 fourierdlem111.o ⊢ 𝑂 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( π − 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
17 fourierdlem111.14 ⊢ 𝑊 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
18 eleq1 ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ ) )
19 18 anbi2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ) )
20 fveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝑆 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) )
21 fveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) )
22 21 fveq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) )
23 22 oveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) )
24 23 adantr ⊢ ( ( 𝑘 = 𝑛 ∧ 𝑡 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) )
25 24 itgeq2dv ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 )
26 20 25 eqeq12d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝑆 ‘ 𝑘 ) = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 ↔ ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 ) )
27 19 26 imbi12d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑘 ) = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 ) ) )
28 9 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
29 eqid ⊢ ( - π (,) π ) = ( - π (,) π )
30 ioossre ⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ℝ
31 30 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) π ) ⊆ ℝ )
32 9 31 feqresmpt ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π (,) π ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
33 ioossicc ⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ( - π [,] π )
34 33 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) π ) ⊆ ( - π [,] π ) )
35 ioombl ⊢ ( - π (,) π ) ∈ dom vol
36 35 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) π ) ∈ dom vol )
37 9 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
38 pire ⊢ π ∈ ℝ
39 38 renegcli ⊢ - π ∈ ℝ
40 39 38 elicc2i ⊢ ( 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ↔ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ - π ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ π ) )
41 40 simp1bi ⊢ ( 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) → 𝑡 ∈ ℝ )
42 41 ssriv ⊢ ( - π [,] π ) ⊆ ℝ
43 42 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( - π [,] π ) ⊆ ℝ )
44 43 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
45 37 44 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
46 9 43 feqresmpt ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
47 ax-resscn ⊢ ℝ ⊆ ℂ
48 47 a1i ⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ )
49 9 48 fssd ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
50 49 43 fssresd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ )
51 ioossicc ⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
52 39 rexri ⊢ - π ∈ ℝ*
53 52 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → - π ∈ ℝ* )
54 38 rexri ⊢ π ∈ ℝ*
55 54 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → π ∈ ℝ* )
56 5 6 7 fourierdlem15 ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) )
57 56 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) )
58 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
59 53 55 57 58 fourierdlem8 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
60 51 59 sstrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
61 60 resabs1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
62 61 12 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
63 61 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
64 13 63 eleqtrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
65 61 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
66 14 65 eleqtrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
67 5 6 7 50 62 64 66 fourierdlem69 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ∈ 𝐿1 )
68 46 67 eqeltrrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
69 34 36 45 68 iblss ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
70 32 69 eqeltrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ 𝐿1 )
71 70 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐹 ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ 𝐿1 )
72 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
73 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℕ )
74 28 29 71 1 2 72 3 4 73 fourierdlem83 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑘 ) = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 )
75 27 74 chvarvv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 )
76 39 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ∈ ℝ )
77 38 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ℝ )
78 49 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
79 41 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
80 78 79 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ∈ ℂ )
81 80 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ∈ ℂ )
82 4 dirkerf ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
83 82 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
84 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
85 79 84 resubcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑡 − 𝑋 ) ∈ ℝ )
86 85 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑡 − 𝑋 ) ∈ ℝ )
87 83 86 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
88 87 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ∈ ℂ )
89 81 88 mulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) ∈ ℂ )
90 76 77 89 itgioo ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 = ∫ ( - π [,] π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 )
91 fvres ⊢ ( 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) )
92 91 eqcomd ⊢ ( 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) → ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) )
93 92 oveq1d ⊢ ( 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) )
94 93 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) )
95 94 itgeq2dv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π [,] π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 = ∫ ( - π [,] π ) ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 )
96 simpl ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → 𝑛 = 𝑚 )
97 96 oveq2d ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 2 · 𝑛 ) = ( 2 · 𝑚 ) )
98 97 oveq1d ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) = ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) )
99 98 oveq1d ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) = ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) )
100 96 oveq1d ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) )
101 100 oveq1d ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) = ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) )
102 101 fveq2d ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) )
103 102 oveq1d ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) )
104 99 103 ifeq12d ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) )
105 104 mpteq2dva ⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
106 105 cbvmptv ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
107 4 106 eqtri ⊢ 𝐷 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
108 fveq2 ⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) )
109 oveq1 ⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( 𝑠 − 𝑋 ) = ( 𝑡 − 𝑋 ) )
110 109 fveq2d ⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 − 𝑋 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) )
111 108 110 oveq12d ⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 − 𝑋 ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) )
112 111 cbvmptv ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 − 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) )
113 7 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
114 6 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑀 ∈ ℕ )
115 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℕ )
116 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
117 50 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ )
118 62 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
119 64 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
120 66 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
121 107 5 112 113 114 115 116 117 118 119 120 fourierdlem101 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π [,] π ) ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) d 𝑦 )
122 oveq2 ⊢ ( 𝑠 = 𝑦 → ( 𝑋 + 𝑠 ) = ( 𝑋 + 𝑦 ) )
123 122 fveq2d ⊢ ( 𝑠 = 𝑦 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
124 fveq2 ⊢ ( 𝑠 = 𝑦 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) )
125 123 124 oveq12d ⊢ ( 𝑠 = 𝑦 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) )
126 125 cbvitgv ⊢ ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) d 𝑦
127 126 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) d 𝑦 )
128 39 a1i ⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℝ )
129 128 8 resubcld ⊢ ( 𝜑 → ( - π − 𝑋 ) ∈ ℝ )
130 129 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( - π − 𝑋 ) ∈ ℝ )
131 38 a1i ⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℝ )
132 131 8 resubcld ⊢ ( 𝜑 → ( π − 𝑋 ) ∈ ℝ )
133 132 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( π − 𝑋 ) ∈ ℝ )
134 49 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
135 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
136 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) )
137 129 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( - π − 𝑋 ) ∈ ℝ )
138 132 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( π − 𝑋 ) ∈ ℝ )
139 elicc2 ⊢ ( ( ( - π − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ ( π − 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( - π − 𝑋 ) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ( π − 𝑋 ) ) ) )
140 137 138 139 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( - π − 𝑋 ) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ( π − 𝑋 ) ) ) )
141 136 140 mpbid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( - π − 𝑋 ) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ( π − 𝑋 ) ) )
142 141 simp1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
143 135 142 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) ∈ ℝ )
144 134 143 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) ∈ ℂ )
145 144 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) ∈ ℂ )
146 82 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
147 142 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
148 146 147 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ )
149 148 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ )
150 145 149 mulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ℂ )
151 130 133 150 itgioo ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) d 𝑦 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) d 𝑦 )
152 39 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → - π ∈ ℝ )
153 38 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → π ∈ ℝ )
154 8 recnd ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ )
155 131 recnd ⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℂ )
156 155 negcld ⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℂ )
157 154 156 pncan3d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( - π − 𝑋 ) ) = - π )
158 157 eqcomd ⊢ ( 𝜑 → - π = ( 𝑋 + ( - π − 𝑋 ) ) )
159 158 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → - π = ( 𝑋 + ( - π − 𝑋 ) ) )
160 141 simp2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( - π − 𝑋 ) ≤ 𝑦 )
161 137 142 135 160 leadd2dd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑋 + ( - π − 𝑋 ) ) ≤ ( 𝑋 + 𝑦 ) )
162 159 161 eqbrtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → - π ≤ ( 𝑋 + 𝑦 ) )
163 141 simp3d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑦 ≤ ( π − 𝑋 ) )
164 142 138 135 163 leadd2dd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) ≤ ( 𝑋 + ( π − 𝑋 ) ) )
165 154 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑋 ∈ ℂ )
166 155 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → π ∈ ℂ )
167 165 166 pncan3d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑋 + ( π − 𝑋 ) ) = π )
168 164 167 breqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) ≤ π )
169 152 153 143 162 168 eliccd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) ∈ ( - π [,] π ) )
170 fvres ⊢ ( ( 𝑋 + 𝑦 ) ∈ ( - π [,] π ) → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
171 169 170 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
172 171 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
173 172 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
174 173 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) )
175 174 itgeq2dv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) d 𝑦 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) d 𝑦 )
176 127 151 175 3eqtrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) d 𝑦 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
177 121 176 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π [,] π ) ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
178 90 95 177 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
179 elioore ⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
180 179 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
181 49 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
182 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
183 179 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
184 182 183 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
185 181 184 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
186 185 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
187 82 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
188 187 180 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
189 188 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℂ )
190 186 189 mulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
191 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝑋 + 𝑥 ) = ( 𝑋 + 𝑠 ) )
192 191 fveq2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
193 fveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
194 192 193 oveq12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
195 194 cbvmptv ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
196 11 195 eqtri ⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
197 196 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
198 180 190 197 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
199 198 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
200 199 itgeq2dv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
201 49 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
202 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
203 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
204 202 203 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ )
205 201 204 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
206 205 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
207 82 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
208 207 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
209 208 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
210 206 209 mulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
211 210 11 fmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 : ℝ ⟶ ℂ )
212 211 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝐺 : ℝ ⟶ ℂ )
213 129 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( - π − 𝑋 ) ∈ ℝ )
214 132 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( π − 𝑋 ) ∈ ℝ )
215 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) )
216 eliccre ⊢ ( ( ( - π − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ ( π − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
217 213 214 215 216 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
218 217 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
219 212 218 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ ℂ )
220 130 133 219 itgioo ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
221 fveq2 ⊢ ( 𝑠 = 𝑥 → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
222 221 cbvitgv ⊢ ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥
223 220 222 eqtrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 )
224 200 223 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 )
225 eqid ⊢ ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) = ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) )
226 116 renegcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - 𝑋 ∈ ℝ )
227 5 fourierdlem2 ⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
228 6 227 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
229 7 228 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
230 229 simpld ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) )
231 elmapi ⊢ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
232 230 231 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
233 232 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
234 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
235 233 234 resubcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
236 235 17 fmptd ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
237 reex ⊢ ℝ ∈ V
238 ovex ⊢ ( 0 ... 𝑀 ) ∈ V
239 237 238 pm3.2i ⊢ ( ℝ ∈ V ∧ ( 0 ... 𝑀 ) ∈ V )
240 elmapg ⊢ ( ( ℝ ∈ V ∧ ( 0 ... 𝑀 ) ∈ V ) → ( 𝑊 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ↔ 𝑊 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ ) )
241 239 240 mp1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ↔ 𝑊 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ ) )
242 236 241 mpbird ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) )
243 17 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
244 fveq2 ⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
245 229 simprd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
246 245 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) )
247 246 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π )
248 244 247 sylan9eqr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = - π )
249 248 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( - π − 𝑋 ) )
250 0zd ⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℤ )
251 6 nnzd ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
252 0red ⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ )
253 nnre ⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ )
254 nngt0 ⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀 )
255 252 253 254 ltled ⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀 )
256 6 255 syl ⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 𝑀 )
257 eluz2 ⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ↔ ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀 ) )
258 250 251 256 257 syl3anbrc ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
259 eluzfz1 ⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
260 258 259 syl ⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
261 243 249 260 129 fvmptd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) )
262 fveq2 ⊢ ( 𝑖 = 𝑀 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
263 246 simprd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π )
264 262 263 sylan9eqr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑀 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = π )
265 264 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑀 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( π − 𝑋 ) )
266 eluzfz2 ⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
267 258 266 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
268 243 265 267 132 fvmptd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 ‘ 𝑀 ) = ( π − 𝑋 ) )
269 261 268 jca ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑊 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 𝑀 ) = ( π − 𝑋 ) ) )
270 232 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
271 elfzofz ⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
272 271 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
273 270 272 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
274 fzofzp1 ⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
275 274 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
276 270 275 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
277 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
278 245 simprd ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
279 278 r19.21bi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
280 273 276 277 279 ltsub1dd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
281 272 235 syldan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
282 17 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
283 272 281 282 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
284 fveq2 ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
285 284 oveq1d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) )
286 285 cbvmptv ⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) )
287 17 286 eqtri ⊢ 𝑊 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) )
288 287 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑊 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) )
289 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
290 289 oveq1d ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
291 290 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
292 276 277 resubcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
293 288 291 275 292 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
294 280 283 293 3brtr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
295 294 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
296 242 269 295 jca32 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑊 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 𝑀 ) = ( π − 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
297 16 fourierdlem2 ⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑊 ∈ ( 𝑂 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑊 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑊 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 𝑀 ) = ( π − 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
298 6 297 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 ∈ ( 𝑂 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑊 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑊 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 𝑀 ) = ( π − 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
299 296 298 mpbird ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ( 𝑂 ‘ 𝑀 ) )
300 299 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑊 ∈ ( 𝑂 ‘ 𝑀 ) )
301 155 156 154 nnncan2d ⊢ ( 𝜑 → ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) = ( π − - π ) )
302 picn ⊢ π ∈ ℂ
303 302 2timesi ⊢ ( 2 · π ) = ( π + π )
304 302 302 subnegi ⊢ ( π − - π ) = ( π + π )
305 303 15 304 3eqtr4i ⊢ 𝑇 = ( π − - π )
306 301 305 eqtr4di ⊢ ( 𝜑 → ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) = 𝑇 )
307 306 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 + ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) ) = ( 𝑥 + 𝑇 ) )
308 307 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ‘ ( 𝑥 + ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) )
309 308 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑥 + ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) )
310 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
311 11 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) )
312 310 210 311 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) )
313 154 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑋 ∈ ℂ )
314 203 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℂ )
315 2re ⊢ 2 ∈ ℝ
316 315 38 remulcli ⊢ ( 2 · π ) ∈ ℝ
317 15 316 eqeltri ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
318 317 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ )
319 318 recnd ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ )
320 319 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑇 ∈ ℂ )
321 313 314 320 addassd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) )
322 321 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) )
323 322 fveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) ) )
324 simpl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝜑 )
325 324 204 jca ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ ) )
326 eleq1 ⊢ ( 𝑠 = ( 𝑋 + 𝑥 ) → ( 𝑠 ∈ ℝ ↔ ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ ) )
327 326 anbi2d ⊢ ( 𝑠 = ( 𝑋 + 𝑥 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ ) ) )
328 oveq1 ⊢ ( 𝑠 = ( 𝑋 + 𝑥 ) → ( 𝑠 + 𝑇 ) = ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) )
329 328 fveq2d ⊢ ( 𝑠 = ( 𝑋 + 𝑥 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) ) )
330 fveq2 ⊢ ( 𝑠 = ( 𝑋 + 𝑥 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) )
331 329 330 eqeq12d ⊢ ( 𝑠 = ( 𝑋 + 𝑥 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) )
332 327 331 imbi12d ⊢ ( 𝑠 = ( 𝑋 + 𝑥 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ) )
333 eleq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝑠 ∈ ℝ ) )
334 333 anbi2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ) )
335 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝑥 + 𝑇 ) = ( 𝑠 + 𝑇 ) )
336 335 fveq2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) )
337 fveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) )
338 336 337 eqeq12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) )
339 334 338 imbi12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) ) )
340 339 10 chvarvv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) )
341 332 340 vtoclg ⊢ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) )
342 204 325 341 sylc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) )
343 323 342 eqtr2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) )
344 343 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) )
345 4 15 dirkerper ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) )
346 345 eqcomd ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) )
347 346 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) )
348 344 347 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) )
349 196 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) )
350 oveq2 ⊢ ( 𝑠 = ( 𝑥 + 𝑇 ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) = ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) )
351 350 fveq2d ⊢ ( 𝑠 = ( 𝑥 + 𝑇 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) )
352 fveq2 ⊢ ( 𝑠 = ( 𝑥 + 𝑇 ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) )
353 351 352 oveq12d ⊢ ( 𝑠 = ( 𝑥 + 𝑇 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) )
354 353 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ 𝑠 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) )
355 317 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑇 ∈ ℝ )
356 310 355 readdcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) ∈ ℝ )
357 317 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑇 ∈ ℝ )
358 203 357 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) ∈ ℝ )
359 202 358 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
360 201 359 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
361 360 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
362 82 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
363 362 356 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
364 363 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
365 361 364 mulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
366 349 354 356 365 fvmptd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) )
367 366 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) )
368 312 348 367 3eqtrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
369 309 368 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑥 + ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
370 196 reseq1i ⊢ ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
371 370 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
372 ioossre ⊢ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ
373 resmpt ⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ → ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) )
374 372 373 ax-mp ⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
375 371 374 eqtrdi ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) )
376 273 rexrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
377 376 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
378 276 rexrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
379 378 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
380 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
381 elioore ⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
382 381 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
383 380 382 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
384 383 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
385 eleq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
386 385 anbi2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
387 191 breq2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + 𝑥 ) ↔ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
388 386 387 imbi12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
389 154 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℂ )
390 283 281 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
391 390 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
392 389 391 addcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) )
393 283 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) )
394 273 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
395 394 389 npcand ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
396 392 393 395 3eqtrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
397 396 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
398 390 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
399 elioore ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
400 399 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
401 8 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
402 390 rexrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
403 402 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
404 293 292 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
405 404 rexrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
406 405 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
407 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
408 ioogtlb ⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
409 403 406 407 408 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
410 398 400 401 409 ltadd2dd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) < ( 𝑋 + 𝑥 ) )
411 397 410 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + 𝑥 ) )
412 388 411 chvarvv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + 𝑠 ) )
413 191 breq1d ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 𝑋 + 𝑥 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑋 + 𝑠 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
414 386 413 imbi12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
415 404 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
416 iooltub ⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
417 403 406 407 416 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
418 400 415 401 417 ltadd2dd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) < ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
419 404 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
420 389 419 addcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) )
421 293 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) = ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) )
422 276 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
423 422 389 npcand ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
424 420 421 423 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
425 424 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
426 418 425 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
427 414 426 chvarvv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
428 377 379 384 412 427 eliood ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
429 191 cbvmptv ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑠 ) )
430 429 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
431 ioossre ⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ
432 431 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
433 9 432 feqresmpt ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
434 433 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
435 fveq2 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
436 428 430 434 435 fmptco ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
437 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) )
438 ssid ⊢ ℂ ⊆ ℂ
439 438 a1i ⊢ ( 𝜑 → ℂ ⊆ ℂ )
440 439 154 439 constcncfg ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑋 ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
441 cncfmptid ⊢ ( ( ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥 ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
442 438 438 441 mp2an ⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥 ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ )
443 442 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥 ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
444 440 443 addcncf ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
445 444 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
446 ioosscn ⊢ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
447 446 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
448 ioosscn ⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
449 448 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
450 376 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
451 378 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
452 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
453 399 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
454 452 453 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ )
455 454 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ )
456 450 451 455 411 426 eliood ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
457 437 445 447 449 456 cncfmptssg ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
458 457 12 cncfco ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
459 436 458 eqeltrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
460 459 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
461 eqid ⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
462 82 feqmptd ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
463 cncfss ⊢ ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( ℝ –cn→ ℝ ) ⊆ ( ℝ –cn→ ℂ ) )
464 47 438 463 mp2an ⊢ ( ℝ –cn→ ℝ ) ⊆ ( ℝ –cn→ ℂ )
465 4 dirkercncf ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
466 464 465 sselid ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℂ ) )
467 462 466 eqeltrrd ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℂ ) )
468 372 a1i ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
469 438 a1i ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ℂ ⊆ ℂ )
470 cncff ⊢ ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℂ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℂ )
471 466 470 syl ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℂ )
472 471 adantr ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℂ )
473 381 adantl ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
474 472 473 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℂ )
475 461 467 468 469 474 cncfmptssg ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
476 475 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
477 460 476 mulcncf ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
478 375 477 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
479 453 205 syldan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
480 479 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
481 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) )
482 480 481 fmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) : ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
483 482 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) : ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
484 82 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
485 372 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
486 484 485 fssresd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
487 47 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ℝ ⊆ ℂ )
488 486 487 fssd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
489 eqid ⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
490 fdm ⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ → dom 𝐹 = ℝ )
491 49 490 syl ⊢ ( 𝜑 → dom 𝐹 = ℝ )
492 431 491 sseqtrrid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
493 ssdmres ⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
494 492 493 sylib ⊢ ( 𝜑 → dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
495 494 eqcomd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
496 495 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
497 456 496 eleqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
498 273 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
499 498 411 gtned ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
500 eldifsn ⊢ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) } ) ↔ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝑋 + 𝑥 ) ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
501 497 499 500 sylanbrc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) } ) )
502 501 ralrimiva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) } ) )
503 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) )
504 503 rnmptss ⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) } ) → ran ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ⊆ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) } ) )
505 502 504 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ran ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ⊆ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) } ) )
506 eqidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) )
507 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
508 507 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
509 390 leidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) )
510 390 404 294 ltled ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
511 390 404 390 509 510 eliccd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
512 396 273 eqeltrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
513 506 508 511 512 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
514 396 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
515 513 514 eqtr2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
516 390 404 iccssred ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
517 516 47 sstrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
518 517 resmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) )
519 rescncf ⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) )
520 517 445 519 sylc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
521 518 520 eqeltrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
522 521 511 cnlimci ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
523 515 522 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
524 ioossicc ⊢ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
525 resmpt ⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) )
526 524 525 ax-mp ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) )
527 526 eqcomi ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
528 527 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
529 528 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
530 154 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℂ )
531 390 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
532 404 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
533 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
534 eliccre ⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
535 531 532 533 534 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
536 535 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
537 530 536 addcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℂ )
538 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) )
539 537 538 fmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) : ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
540 390 404 294 539 limciccioolb ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
541 529 540 eqtr2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
542 523 541 eleqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
543 505 542 13 limccog ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
544 49 432 fssresd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
545 544 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
546 456 503 fmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) : ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
547 fcompt ⊢ ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) : ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ) ) )
548 545 546 547 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ) ) )
549 eqidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) )
550 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑋 + 𝑥 ) = ( 𝑋 + 𝑦 ) )
551 550 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑦 ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) = ( 𝑋 + 𝑦 ) )
552 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
553 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
554 372 552 sselid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
555 553 554 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) ∈ ℝ )
556 549 551 552 555 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) = ( 𝑋 + 𝑦 ) )
557 556 fveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
558 557 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
559 376 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
560 378 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
561 555 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) ∈ ℝ )
562 396 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
563 390 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
564 554 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
565 8 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
566 402 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
567 405 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
568 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
569 ioogtlb ⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < 𝑦 )
570 566 567 568 569 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < 𝑦 )
571 563 564 565 570 ltadd2dd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) < ( 𝑋 + 𝑦 ) )
572 562 571 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + 𝑦 ) )
573 404 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
574 iooltub ⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
575 566 567 568 574 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
576 564 573 565 575 ltadd2dd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) < ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
577 424 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
578 576 577 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
579 559 560 561 572 578 eliood ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
580 fvres ⊢ ( ( 𝑋 + 𝑦 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
581 579 580 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
582 558 581 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
583 582 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) ) )
584 550 fveq2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
585 584 cbvmptv ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
586 583 585 eqtr4di ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) )
587 548 586 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) )
588 587 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
589 543 588 eleqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
590 589 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
591 fvres ⊢ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
592 511 591 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
593 592 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
594 593 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
595 516 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
596 465 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
597 rescncf ⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) ) )
598 595 596 597 sylc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) )
599 511 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
600 598 599 cnlimci ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
601 594 600 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
602 524 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
603 602 resabs1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
604 603 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
605 604 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
606 605 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
607 390 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
608 404 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
609 294 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
610 471 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℂ )
611 610 595 fssresd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
612 607 608 609 611 limciccioolb ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
613 606 612 eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
614 601 613 eleqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
615 483 488 489 590 614 mullimcf ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑅 · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
616 eqidd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) )
617 192 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑠 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
618 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
619 49 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
620 619 383 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
621 620 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
622 616 617 618 621 fvmptd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
623 622 adantllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
624 fvres ⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
625 624 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
626 623 625 oveq12d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
627 626 eqcomd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
628 627 mpteq2dva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) )
629 375 628 eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
630 629 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
631 615 630 eleqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑅 · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
632 455 426 ltned ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ≠ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
633 eldifsn ⊢ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ↔ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝑋 + 𝑥 ) ≠ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
634 497 632 633 sylanbrc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) )
635 634 ralrimiva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) )
636 503 rnmptss ⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) → ran ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ⊆ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) )
637 635 636 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ran ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ⊆ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) )
638 404 leidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
639 390 404 404 510 638 eliccd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
640 521 639 cnlimci ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
641 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
642 641 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
643 277 404 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
644 506 642 639 643 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
645 644 424 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
646 528 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
647 390 404 294 539 limcicciooub ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
648 646 647 eqtr2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
649 640 645 648 3eltr3d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
650 637 649 14 limccog ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
651 587 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
652 650 651 eleqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
653 652 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
654 639 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
655 598 654 cnlimci ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
656 fvres ⊢ ( ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
657 654 656 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
658 607 608 609 611 limcicciooub ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
659 658 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
660 resabs1 ⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
661 524 660 mp1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
662 661 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
663 659 662 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
664 655 657 663 3eltr3d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
665 483 488 489 653 664 mullimcf ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐿 · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
666 629 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
667 665 666 eleqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐿 · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
668 130 133 225 226 16 114 300 211 369 478 631 667 fourierdlem110 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( ( - π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) [,] ( ( π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 )
669 668 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( ( ( - π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) [,] ( ( π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 )
670 129 recnd ⊢ ( 𝜑 → ( - π − 𝑋 ) ∈ ℂ )
671 670 154 subnegd ⊢ ( 𝜑 → ( ( - π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) = ( ( - π − 𝑋 ) + 𝑋 ) )
672 156 154 npcand ⊢ ( 𝜑 → ( ( - π − 𝑋 ) + 𝑋 ) = - π )
673 671 672 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( - π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) = - π )
674 132 recnd ⊢ ( 𝜑 → ( π − 𝑋 ) ∈ ℂ )
675 674 154 subnegd ⊢ ( 𝜑 → ( ( π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) = ( ( π − 𝑋 ) + 𝑋 ) )
676 155 154 npcand ⊢ ( 𝜑 → ( ( π − 𝑋 ) + 𝑋 ) = π )
677 675 676 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) = π )
678 673 677 oveq12d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( - π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) [,] ( ( π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) ) = ( - π [,] π ) )
679 678 itgeq1d ⊢ ( 𝜑 → ∫ ( ( ( - π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) [,] ( ( π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( - π [,] π ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 )
680 679 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( ( - π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) [,] ( ( π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( - π [,] π ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 )
681 669 680 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( - π [,] π ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 )
682 fveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
683 682 cbvitgv ⊢ ∫ ( - π (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( - π (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠
684 211 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝐺 : ℝ ⟶ ℂ )
685 44 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
686 684 685 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
687 76 77 686 itgioo ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( - π [,] π ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 )
688 elioore ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) → 𝑠 ∈ ℝ )
689 688 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
690 49 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
691 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
692 688 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
693 691 692 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
694 690 693 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
695 694 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
696 82 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
697 696 689 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
698 697 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℂ )
699 695 698 mulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
700 689 699 197 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
701 700 itgeq2dv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
702 683 687 701 3eqtr3a ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π [,] π ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
703 224 681 702 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
704 75 178 703 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
705 77 renegcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ∈ ℝ )
706 0red ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ∈ ℝ )
707 0re ⊢ 0 ∈ ℝ
708 negpilt0 ⊢ - π < 0
709 39 707 708 ltleii ⊢ - π ≤ 0
710 709 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ≤ 0 )
711 pipos ⊢ 0 < π
712 707 38 711 ltleii ⊢ 0 ≤ π
713 712 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ≤ π )
714 76 77 706 710 713 eliccd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ∈ ( - π [,] π ) )
715 ioossicc ⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] 0 )
716 715 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] 0 ) )
717 ioombl ⊢ ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol
718 717 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol )
719 49 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
720 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
721 39 a1i ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) → - π ∈ ℝ )
722 0red ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) → 0 ∈ ℝ )
723 id ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) )
724 eliccre ⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
725 721 722 723 724 syl3anc ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) → 𝑠 ∈ ℝ )
726 725 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
727 720 726 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
728 719 727 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
729 728 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
730 82 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
731 725 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
732 730 731 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
733 732 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℂ )
734 729 733 mulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
735 731 734 197 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
736 735 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
737 736 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) )
738 306 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 + ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) ) = ( 𝑠 + 𝑇 ) )
739 738 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑠 + ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) ) = ( 𝑠 + 𝑇 ) )
740 739 fveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑠 + ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) )
741 11 a1i ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
742 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑠 + 𝑇 ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) = ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) )
743 742 fveq2d ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑠 + 𝑇 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) )
744 fveq2 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑠 + 𝑇 ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) )
745 743 744 oveq12d ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑠 + 𝑇 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) )
746 745 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 = ( 𝑠 + 𝑇 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) )
747 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑠 ∈ ℝ )
748 317 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑇 ∈ ℝ )
749 747 748 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑠 + 𝑇 ) ∈ ℝ )
750 749 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑠 + 𝑇 ) ∈ ℝ )
751 49 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
752 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
753 752 749 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
754 751 753 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
755 754 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
756 82 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
757 756 750 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
758 757 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
759 755 758 mulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
760 741 746 750 759 fvmptd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) )
761 154 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑋 ∈ ℂ )
762 747 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑠 ∈ ℂ )
763 319 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑇 ∈ ℂ )
764 761 762 763 addassd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) )
765 764 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) )
766 765 fveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) ) )
767 752 747 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
768 simpl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝜑 )
769 768 767 jca ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) )
770 eleq1 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↔ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) )
771 770 anbi2d ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) ) )
772 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) = ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) )
773 772 fveq2d ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) ) )
774 773 435 eqeq12d ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
775 771 774 imbi12d ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ) )
776 775 10 vtoclg ⊢ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
777 767 769 776 sylc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
778 766 777 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
779 778 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
780 4 15 dirkerper ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
781 780 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
782 779 781 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
783 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑠 ∈ ℝ )
784 782 759 eqeltrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
785 783 784 197 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
786 785 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
787 782 786 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
788 740 760 787 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑠 + ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
789 0ltpnf ⊢ 0 < +∞
790 pnfxr ⊢ +∞ ∈ ℝ*
791 elioo2 ⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) → ( 0 ∈ ( - π (,) +∞ ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ - π < 0 ∧ 0 < +∞ ) ) )
792 52 790 791 mp2an ⊢ ( 0 ∈ ( - π (,) +∞ ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ - π < 0 ∧ 0 < +∞ ) )
793 707 708 789 792 mpbir3an ⊢ 0 ∈ ( - π (,) +∞ )
794 793 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ∈ ( - π (,) +∞ ) )
795 16 225 114 300 211 788 478 631 667 76 794 fourierdlem105 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 )
796 737 795 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
797 716 718 734 796 iblss ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
798 elioore ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ∈ ℝ )
799 798 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
800 799 784 syldan ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
801 799 800 197 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
802 801 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
803 802 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) )
804 ioossicc ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 [,] π )
805 804 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 [,] π ) )
806 ioombl ⊢ ( 0 (,) π ) ∈ dom vol
807 806 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 (,) π ) ∈ dom vol )
808 211 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ) → 𝐺 : ℝ ⟶ ℂ )
809 0red ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ) → 0 ∈ ℝ )
810 38 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ) → π ∈ ℝ )
811 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) )
812 eliccre ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
813 809 810 811 812 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
814 813 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
815 808 814 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ ℂ )
816 0xr ⊢ 0 ∈ ℝ*
817 816 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ∈ ℝ* )
818 790 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → +∞ ∈ ℝ* )
819 711 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 < π )
820 ltpnf ⊢ ( π ∈ ℝ → π < +∞ )
821 38 820 mp1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π < +∞ )
822 817 818 77 819 821 eliood ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ( 0 (,) +∞ ) )
823 16 225 114 300 211 788 478 631 667 706 822 fourierdlem105 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 )
824 805 807 815 823 iblss ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 )
825 803 824 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
826 705 77 714 699 797 825 itgsplitioo ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
827 704 826 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )