dvnprodlem2

	Ref	Expression
Hypotheses	dvnprodlem2.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
	dvnprodlem2.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t 𝑆 ) )
	dvnprodlem2.t	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ Fin )
	dvnprodlem2.h	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
	dvnprodlem2.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀ )
	dvnprodlem2.dvnh	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
	dvnprodlem2.c	⊢ 𝐶 = ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ ( 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
	dvnprodlem2.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑇 )
	dvnprodlem2.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑇 ∖ 𝑅 ) )
	dvnprodlem2.ind	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
	dvnprodlem2.j	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
	dvnprodlem2.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ↦ ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ )
Assertion	dvnprodlem2	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝐽 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvnprodlem2.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
2		dvnprodlem2.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t 𝑆 ) )
3		dvnprodlem2.t	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ Fin )
4		dvnprodlem2.h	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
5		dvnprodlem2.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀ )
6		dvnprodlem2.dvnh	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
7		dvnprodlem2.c	⊢ 𝐶 = ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ ( 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
8		dvnprodlem2.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑇 )
9		dvnprodlem2.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑇 ∖ 𝑅 ) )
10		dvnprodlem2.ind	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
11		dvnprodlem2.j	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
12		dvnprodlem2.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ↦ ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ )
13		nfv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 )
14		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 )
15		ssfi	⊢ ( ( 𝑇 ∈ Fin ∧ 𝑅 ⊆ 𝑇 ) → 𝑅 ∈ Fin )
16	3 8 15	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Fin )
17	16	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑅 ∈ Fin )
18	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑍 ∈ ( 𝑇 ∖ 𝑅 ) )
19	9	eldifbd	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝑅 )
20	19	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ¬ 𝑍 ∈ 𝑅 )
21		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝜑 )
22	8	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
23	21 22 4	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
24	23	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
25		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
26	24 25	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
27		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) = ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) )
28	27	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) )
29		id	⊢ ( 𝜑 → 𝜑 )
30		eldifi	⊢ ( 𝑍 ∈ ( 𝑇 ∖ 𝑅 ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
31	9 30	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇 )
32		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
33		id	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) → ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) )
34		eleq1	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( 𝑡 ∈ 𝑇 ↔ 𝑍 ∈ 𝑇 ) )
35	34	anbi2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) ) )
36	27	feq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
37	35 36	imbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
38	37 4	vtoclg	⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑇 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
39	32 33 38	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
40	29 31 39	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
41	40	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
42		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
43	41 42	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
44	13 14 17 18 20 26 28 43	fprodsplitsn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) = ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) )
45	44	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
46	45	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
47	46	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝐽 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝐽 ) )
48	13 17 26	fprodclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
49		elfznn0	⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝐽 ∈ ℕ₀ )
50	11 49	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀ )
51		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) )
52		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) )
53		oveq2	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑠 ) = ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) )
54		rabeq	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑠 ) = ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
55	53 54	syl	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
56		sumeq1	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) )
57	56	eqeq1d	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ↔ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ) )
58	57	rabbidv	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
59	55 58	eqtrd	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
60	59	mpteq2dv	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) = ( 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
61		ssexg	⊢ ( ( 𝑅 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Fin ) → 𝑅 ∈ V )
62	8 3 61	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ V )
63		elpwg	⊢ ( 𝑅 ∈ V → ( 𝑅 ∈ 𝒫 𝑇 ↔ 𝑅 ⊆ 𝑇 ) )
64	62 63	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∈ 𝒫 𝑇 ↔ 𝑅 ⊆ 𝑇 ) )
65	8 64	mpbird	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝒫 𝑇 )
66	65	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝑇 )
67		nn0ex	⊢ ℕ₀ ∈ V
68	67	mptex	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) ∈ V
69	68	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) ∈ V )
70	7 60 66 69	fvmptd3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
71		oveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 0 ... 𝑛 ) = ( 0 ... 𝑘 ) )
72	71	oveq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) = ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) )
73		rabeq	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) = ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
74	72 73	syl	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
75		eqeq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ↔ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 ) )
76	75	rabbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } )
77	74 76	eqtrd	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } )
78	77	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } )
79		elfznn0	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝑘 ∈ ℕ₀ )
80	79	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ₀ )
81		fzfid	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝑘 ) ∈ Fin )
82		mapfi	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑘 ) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Fin ) → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∈ Fin )
83	81 16 82	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∈ Fin )
84	83	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∈ Fin )
85		ssrab2	⊢ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ⊆ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 )
86	85	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ⊆ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) )
87	84 86	ssexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ∈ V )
88	70 78 80 87	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } )
89		ssfi	⊢ ( ( ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∈ Fin ∧ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ⊆ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ∈ Fin )
90	83 85 89	sylancl	⊢ ( 𝜑 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ∈ Fin )
91	90	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ∈ Fin )
92	88 91	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ Fin )
93	92	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ Fin )
94	79	faccld	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ! ‘ 𝑘 ) ∈ ℕ )
95	94	nncnd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ! ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
96	95	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ! ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
97	16	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
98	97	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
99		elfznn0	⊢ ( 𝑧 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) → 𝑧 ∈ ℕ₀ )
100	99	ssriv	⊢ ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ℕ₀
101	100	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ℕ₀ )
102		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
103	88	eleq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ↔ 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ) )
104	103	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ↔ 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ) )
105	102 104	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } )
106	85	sseli	⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } → 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) )
107	105 106	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) )
108		elmapi	⊢ ( 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) → 𝑐 : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝑘 ) )
109	107 108	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑐 : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝑘 ) )
110	109	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑐 : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝑘 ) )
111		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ 𝑅 )
112	110 111	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑘 ) )
113	101 112	sseldd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ℕ₀ )
114	113	faccld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
115	114	nncnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
116	98 115	fprodcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
117	114	nnne0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
118	98 115 117	fprodn0	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
119	96 116 118	divcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ∈ ℂ )
120	119	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ∈ ℂ )
121	98	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
122	29	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝜑 )
123	122 22	sylancom	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
124		elfzuz3	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝐽 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 𝑘 ) )
125		fzss2	⊢ ( 𝐽 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 𝑘 ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝐽 ) )
126	124 125	syl	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝐽 ) )
127	126	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝐽 ) )
128	50	nn0zd	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ )
129	5	nn0zd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
130		elfzle2	⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝐽 ≤ 𝑁 )
131	11 130	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ≤ 𝑁 )
132	128 129 131	3jca	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ≤ 𝑁 ) )
133		eluz2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 𝐽 ) ↔ ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ≤ 𝑁 ) )
134	132 133	sylibr	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 𝐽 ) )
135		fzss2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 𝐽 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
136	134 135	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
137	136	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
138	127 137	sstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
139	138	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
140	139 112	sseldd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
141	140	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
142		fvex	⊢ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ V
143		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
144	143	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
145		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
146	145	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
147	144 146	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
148	142 147 6	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
149	122 123 141 148	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
150		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
151	149 150	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
152	121 151	fprodcl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
153	120 152	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
154	93 153	fsumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
155	154	fmpttd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
156	10	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
157		0zd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 0 ∈ ℤ )
158	129	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
159		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
160	159	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
161		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 0 ≤ 𝑘 )
162	161	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 0 ≤ 𝑘 )
163	160	zred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
164	50	nn0red	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ )
165	164	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ℝ )
166	158	zred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
167		elfzle2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝑘 ≤ 𝐽 )
168	167	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ≤ 𝐽 )
169	131	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐽 ≤ 𝑁 )
170	163 165 166 168 169	letrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ≤ 𝑁 )
171	157 158 160 162 170	elfzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
172		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
173	156 171 172	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
174	173	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
175	155 174	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
176	31	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
177		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝜑 )
178	177 176 171	3jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
179	34	3anbi2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
180	27	oveq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) = ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) )
181	180	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) )
182	181	feq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
183	179 182	imbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
184		eleq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
185	184	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
186		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) )
187	186	feq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
188	185 187	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
189	188 6	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
190	183 189	vtoclg	⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑇 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
191	176 178 190	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
192	40	feqmptd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) )
193	192	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) )
194	193	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) )
195	194	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) )
196	195	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) )
197	196	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
198	191 197	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
199		fveq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) )
200	199	prodeq2ad	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) )
201	200	cbvmptv	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) )
202	201	oveq2i	⊢ ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) )
203	202	fveq1i	⊢ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 )
204	203	mpteq2i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) )
205		fveq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) )
206	205	cbvmptv	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) )
207	206	oveq2i	⊢ ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) )
208	207	fveq1i	⊢ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 )
209	208	mpteq2i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) )
210	1 2 48 43 50 51 52 175 198 204 209	dvnmul	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝐽 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
211	203	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) )
212	10	r19.21bi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
213	177 171 212	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
214	211 213	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
215	214	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
216		mptexg	⊢ ( 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂ_fld ) ↾_t 𝑆 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ V )
217	2 216	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ V )
218	217	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ V )
219	215 218	fvmpt2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
220	219	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
221	220	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
222	42	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
223	154	an32s	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
224		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
225	224	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
226	222 223 225	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
227	221 226	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
228		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑗 ) )
229	228	cbvmptv	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑗 ) )
230	229	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑗 ) ) )
231	207 194	eqtrid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) )
232	231	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) )
233	232	mpteq2dv	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) ) )
234	230 233	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) ) )
235	234	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) ) )
236		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) )
237	236	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) )
238		0zd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 0 ∈ ℤ )
239		elfzel2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝐽 ∈ ℤ )
240	239 159	zsubcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ℤ )
241	238 239 240	3jca	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ℤ ) )
242	239	zred	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝐽 ∈ ℝ )
243	79	nn0red	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
244	242 243	subge0d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 0 ≤ ( 𝐽 − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ 𝐽 ) )
245	167 244	mpbird	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 0 ≤ ( 𝐽 − 𝑘 ) )
246	242 243	subge02d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 0 ≤ 𝑘 ↔ ( 𝐽 − 𝑘 ) ≤ 𝐽 ) )
247	161 246	mpbid	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝐽 − 𝑘 ) ≤ 𝐽 )
248	241 245 247	jca32	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ≤ 𝐽 ) ) )
249	248	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ≤ 𝐽 ) ) )
250		elfz2	⊢ ( ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↔ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ≤ 𝐽 ) ) )
251	249 250	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
252		fvex	⊢ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ∈ V
253	252	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ∈ V )
254	235 237 251 253	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) )
255	254	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) )
256	255	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
257	227 256	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
258	257	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
259	92	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ Fin )
260		ovex	⊢ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ V
261		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↔ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
262	261	anbi2d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
263	236	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
264	262 263	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
265		eleq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↔ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
266	265	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
267		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) )
268	267	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
269	266 268	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
270	269 191	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
271	260 264 270	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
272	177 251 271	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
273	272	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
274	273 222	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
275		anass	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) )
276		ancom	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
277	276	anbi2i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
278		anass	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
279	278	bicomi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
280	277 279	bitri	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
281	275 280	bitri	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
282	281	anbi1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
283	282	imbi1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) )
284	153 283	mpbi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
285	259 274 284	fsummulc1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
286	285	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
287	177 50	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ℕ₀ )
288	287 160	bccld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C 𝑘 ) ∈ ℕ₀ )
289	288	nn0cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
290	289	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
291	274	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
292	284 291	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
293	259 290 292	fsummulc2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
294	258 286 293	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
295	294	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
296		vex	⊢ 𝑘 ∈ V
297		vex	⊢ 𝑐 ∈ V
298	296 297	op1std	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( 1^st ‘ 𝑝 ) = 𝑘 )
299	298	oveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( 𝐽 C ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝐽 C 𝑘 ) )
300	298	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) = ( ! ‘ 𝑘 ) )
301	296 297	op2ndd	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) = 𝑐 )
302	301	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) )
303	302	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
304	303	prodeq2ad	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
305	300 304	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
306	302	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
307	306	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
308	307	prodeq2ad	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
309	305 308	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
310	298	oveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝐽 − 𝑘 ) )
311	310	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) )
312	311	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
313	309 312	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
314	299 313	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝐽 C ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
315		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ∈ Fin )
316	290	adantrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
317	292	anasss	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
318	316 317	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
319	314 315 259 318	fsum2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ( ( 𝐽 C ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
320		ovex	⊢ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ V
321	297	resex	⊢ ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ∈ V
322	320 321	op1std	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( 1^st ‘ 𝑝 ) = ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
323	322	oveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( 𝐽 C ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) )
324	322	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) = ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) )
325	320 321	op2ndd	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) = ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) )
326	325	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) = ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) )
327	326	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) )
328	327	prodeq2ad	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) )
329	324 328	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) )
330	326	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) )
331	330	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
332	331	prodeq2ad	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
333	329 332	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
334	322	oveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) )
335	334	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) )
336	335	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
337	333 336	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( ( ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
338	323 337	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( 𝐽 C ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
339		oveq2	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑠 ) = ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) )
340		rabeq	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑠 ) = ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
341	339 340	syl	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
342		sumeq1	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) )
343	342	eqeq1d	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → ( Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ↔ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ) )
344	343	rabbidv	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
345	341 344	eqtrd	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
346	345	mpteq2dv	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → ( 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) = ( 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
347	31	snssd	⊢ ( 𝜑 → { 𝑍 } ⊆ 𝑇 )
348	8 347	unssd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⊆ 𝑇 )
349	3 348	ssexd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ V )
350		elpwg	⊢ ( ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ V → ( ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ 𝒫 𝑇 ↔ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⊆ 𝑇 ) )
351	349 350	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ 𝒫 𝑇 ↔ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⊆ 𝑇 ) )
352	348 351	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ 𝒫 𝑇 )
353	67	mptex	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) ∈ V
354	353	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) ∈ V )
355	7 346 352 354	fvmptd3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
356		oveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → ( 0 ... 𝑛 ) = ( 0 ... 𝐽 ) )
357	356	oveq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) = ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) )
358		rabeq	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) = ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
359	357 358	syl	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
360		eqeq2	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → ( Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ↔ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 ) )
361	360	rabbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
362	359 361	eqtrd	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
363	362	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 = 𝐽 ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
364		ovex	⊢ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∈ V
365	364	rabex	⊢ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ∈ V
366	365	a1i	⊢ ( 𝜑 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ∈ V )
367	355 363 50 366	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
368		fzfid	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝐽 ) ∈ Fin )
369		snfi	⊢ { 𝑍 } ∈ Fin
370	369	a1i	⊢ ( 𝜑 → { 𝑍 } ∈ Fin )
371		unfi	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Fin ∧ { 𝑍 } ∈ Fin ) → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
372	16 370 371	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
373		mapfi	⊢ ( ( ( 0 ... 𝐽 ) ∈ Fin ∧ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin ) → ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∈ Fin )
374	368 372 373	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∈ Fin )
375		ssrab2	⊢ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
376	375	a1i	⊢ ( 𝜑 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) )
377		ssfi	⊢ ( ( ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∈ Fin ∧ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ∈ Fin )
378	374 376 377	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ∈ Fin )
379	367 378	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ∈ Fin )
380	379	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ∈ Fin )
381	7 50 12 3 31 19 348	dvnprodlem1	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 : ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) –1-1-onto→ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
382	381	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐷 : ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) –1-1-onto→ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
383		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) )
384		opex	⊢ ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ ∈ V
385	384	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ ∈ V )
386	12	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ∧ ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ ∈ V ) → ( 𝐷 ‘ 𝑐 ) = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ )
387	383 385 386	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑐 ) = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ )
388	387	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑐 ) = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ )
389	50	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝐽 ∈ ℕ₀ )
390		eliun	⊢ ( 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
391	390	biimpi	⊢ ( 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
392	391	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
393		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝜑
394		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑝
395		nfiu1	⊢ Ⅎ 𝑘 ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
396	394 395	nfel	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
397	393 396	nfan	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
398		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 )
399		xp1st	⊢ ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ { 𝑘 } )
400		elsni	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ { 𝑘 } → ( 1^st ‘ 𝑝 ) = 𝑘 )
401	399 400	syl	⊢ ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) = 𝑘 )
402	401	adantl	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) = 𝑘 )
403		simpl	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
404	402 403	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
405	404	ex	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
406	405	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
407	397 398 406	rexlimd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
408	392 407	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
409		elfzelz	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ ℤ )
410	408 409	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ ℤ )
411	389 410	bccld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 C ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℕ₀ )
412	411	nn0cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 C ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℂ )
413	412	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 C ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℂ )
414		elfznn0	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ ℕ₀ )
415	408 414	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ ℕ₀ )
416	415	faccld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℕ )
417	416	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℂ )
418	417	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℂ )
419	16	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
420		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 2^nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 )
421	88 86	eqsstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) )
422		ovex	⊢ ( 0 ... 𝐽 ) ∈ V
423	422	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ∈ V )
424		mapss	⊢ ( ( ( 0 ... 𝐽 ) ∈ V ∧ ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m 𝑅 ) )
425	423 126 424	syl2anc	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m 𝑅 ) )
426	425	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑_m 𝑅 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m 𝑅 ) )
427	421 426	sstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m 𝑅 ) )
428	427	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m 𝑅 ) )
429		xp2nd	⊢ ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
430	429	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
431	428 430	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m 𝑅 ) )
432		elmapi	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m 𝑅 ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
433	431 432	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
434	433	3exp	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
435	434	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
436	397 420 435	rexlimd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
437	392 436	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
438	437	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
439		elfznn0	⊢ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ℕ₀ )
440	439	faccld	⊢ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
441	440	nncnd	⊢ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
442	438 441	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
443	419 442	fprodcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
444	443	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
445	438 440	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
446		nnne0	⊢ ( ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ → ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
447	445 446	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
448	419 442 447	fprodn0	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
449	448	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
450	418 444 449	divcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) ∈ ℂ )
451	17	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
452		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝜑 )
453	452 22	sylancom	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
454	452 136	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
455	454 438	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
456	452 453 455	3jca	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
457		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
458	457	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
459		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) )
460	459	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
461	458 460	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
462	461 6	vtoclg	⊢ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
463	438 456 462	sylc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
464	463	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
465	25	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
466	464 465	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
467	451 466	fprodcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
468	450 467	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
469		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 )
470		simp1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝜑 )
471	404	3adant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
472		fznn0sub2	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
473	472	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
474	470 471 473	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
475	474	3exp	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
476	475	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
477	397 469 476	rexlimd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
478	392 477	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
479		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝜑 )
480	479 31	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
481	479 136	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
482	481 478	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
483	479 480 482	3jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
484		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
485	484	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
486		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) )
487	486	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
488	485 487	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
489		simp2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
490		id	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
491	34	3anbi2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
492	180	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) )
493	492	feq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
494	491 493	imbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
495	494 6	vtoclg	⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑇 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
496	489 490 495	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
497	488 496	vtoclg	⊢ ( ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
498	478 483 497	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
499	498	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
500	42	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
501	499 500	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
502	468 501	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( ( ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
503	413 502	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝐽 C ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
504	338 380 382 388 503	fsumf1o	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ( ( 𝐽 C ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
505		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝜑 )
506	367	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
507	383 506	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
508	375	sseli	⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } → 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) )
509	507 508	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) )
510		elmapi	⊢ ( 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑_m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → 𝑐 : ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
511	509 510	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑐 : ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
512		snidg	⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑇 → 𝑍 ∈ { 𝑍 } )
513	31 512	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ { 𝑍 } )
514		elun2	⊢ ( 𝑍 ∈ { 𝑍 } → 𝑍 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
515	513 514	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
516	515	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑍 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
517	511 516	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
518		0zd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 0 ∈ ℤ )
519	128	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ℤ )
520		fzssz	⊢ ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℤ
521	520	sseli	⊢ ( ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℤ )
522	521	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℤ )
523	519 522	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℤ )
524		elfzle2	⊢ ( ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ≤ 𝐽 )
525	524	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ≤ 𝐽 )
526	164	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ℝ )
527	522	zred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℝ )
528	526 527	subge0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ≤ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ↔ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ≤ 𝐽 ) )
529	525 528	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 0 ≤ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
530		elfzle1	⊢ ( ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 0 ≤ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) )
531	530	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 0 ≤ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) )
532	526 527	subge02d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ≤ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ↔ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ≤ 𝐽 ) )
533	531 532	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ≤ 𝐽 )
534	518 519 523 529 533	elfzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
535	505 517 534	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
536		bcval2	⊢ ( ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) )
537	535 536	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) )
538	164	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ )
539	538	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ℂ )
540		zsscn	⊢ ℤ ⊆ ℂ
541	520 540	sstri	⊢ ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℂ
542	541	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℂ )
543	542 517	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℂ )
544	539 543	nncand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) )
545	544	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) = ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
546	545	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) )
547	546	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) )
548	50	faccld	⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ 𝐽 ) ∈ ℕ )
549	548	nncnd	⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ )
550	549	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ )
551		elfznn0	⊢ ( ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℕ₀ )
552	517 551	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℕ₀ )
553	552	faccld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℕ )
554	553	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℂ )
555		elfznn0	⊢ ( ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℕ₀ )
556	535 555	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℕ₀ )
557	556	faccld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ∈ ℕ )
558	557	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ∈ ℂ )
559	553	nnne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ≠ 0 )
560	557	nnne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ≠ 0 )
561	550 554 558 559 560	divdiv1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) )
562	561	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) )
563	537 547 562	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) )
564	563	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) )
565		fvres	⊢ ( 𝑡 ∈ 𝑅 → ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) )
566	565	fveq2d	⊢ ( 𝑡 ∈ 𝑅 → ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
567	566	prodeq2i	⊢ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) )
568	567	oveq2i	⊢ ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
569	565	fveq2d	⊢ ( 𝑡 ∈ 𝑅 → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
570	569	fveq1d	⊢ ( 𝑡 ∈ 𝑅 → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
571	570	prodeq2i	⊢ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 )
572	568 571	oveq12i	⊢ ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
573	572	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
574	573	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
575	558	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ∈ ℂ )
576	505 16	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
577	79	ssriv	⊢ ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℕ₀
578	577	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℕ₀ )
579	511	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑐 : ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
580		elun1	⊢ ( 𝑡 ∈ 𝑅 → 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
581	580	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
582	579 581	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
583	578 582	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ℕ₀ )
584	583	faccld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
585	584	nncnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
586	576 585	fprodcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
587	586	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
588	17	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
589	505	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝜑 )
590	505 22	sylan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
591	589 136	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
592	591 582	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
593	589 590 592 148	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
594	593	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
595	25	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
596	594 595	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
597	588 596	fprodcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
598	576 584	fprodnncl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
599		nnne0	⊢ ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
600	598 599	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
601	600	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
602	575 587 597 601	div32d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) )
603	574 602	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) )
604	544	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
605	604	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) )
606	605	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) )
607	603 606	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
608	597 587 601	divcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ∈ ℂ )
609	505 31	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
610	505 136	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
611	610 517	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
612	505 609 611	3jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
613		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
614	613	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
615		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
616	615	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
617	614 616	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
618	617 496	vtoclg	⊢ ( ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
619	517 612 618	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
620	619	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
621	42	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
622	620 621	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
623	575 608 622	mulassd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
624	607 623	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
625	564 624	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
626	549	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ )
627	554	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℂ )
628	559	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ≠ 0 )
629	626 627 628	divcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ∈ ℂ )
630	608 622	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
631	560	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ≠ 0 )
632	629 575 630 631	dmmcand	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
633	597 622 587 601	div23d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
634	633	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
635		nfv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) )
636		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 )
637	609	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
638	20	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ¬ 𝑍 ∈ 𝑅 )
639		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) )
640	180 639	fveq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) = ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
641	640	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) )
642	635 636 588 637 638 596 641 622	fprodsplitsn	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
643	642	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
644	643	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
645	634 644	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
646	645	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) )
647	588 369 371	sylancl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
648	505	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → 𝜑 )
649	348	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
650	649	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
651	511 610	fssd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑐 : ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⟶ ( 0 ... 𝑁 ) )
652	651	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
653	648 650 652 148	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
654	653	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
655	621	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
656	654 655	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
657	647 656	fprodcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
658	626 627 657 587 628 601	divmuldivd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) )
659	554 586	mulcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) · ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) )
660		nfv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) )
661		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) )
662	505 19	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ¬ 𝑍 ∈ 𝑅 )
663	639	fveq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) = ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
664	660 661 576 609 662 585 663 554	fprodsplitsn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) = ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) · ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) )
665	664	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) · ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
666	659 665	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) = ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
667	666	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
668	667	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
669	505 372	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
670	577	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℕ₀ )
671	511	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
672	670 671	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ℕ₀ )
673	672	faccld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
674	673	nncnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
675	669 674	fprodcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
676	675	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
677	673	nnne0d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
678	669 674 677	fprodn0	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
679	678	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
680	626 657 676 679	div23d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
681		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
682	668 680 681	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
683	646 658 682	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
684	625 632 683	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
685	684	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
686	504 685	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ( ( 𝐽 C ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
687	295 319 686	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
688	687	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
689	47 210 688	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝐽 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D^𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )

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Theorem dvnprodlem2

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