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Theorem efopn

Description: The exponential map is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015)

Ref Expression
Hypothesis efopn.j ⊢ 𝐽 = ( TopOpen ‘ ℂfld )
Assertion efopn ( 𝑆 ∈ 𝐽 → ( exp “ 𝑆 ) ∈ 𝐽 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 efopn.j ⊢ 𝐽 = ( TopOpen ‘ ℂfld )
2 1 cnfldtopon ⊢ 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ ℂ )
3 toponss ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ ℂ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ) → 𝑆 ⊆ ℂ )
4 2 3 mpan ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐽 → 𝑆 ⊆ ℂ )
5 4 sselda ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑥 ∈ ℂ )
6 cnxmet ⊢ ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ )
7 pirp ⊢ π ∈ ℝ+
8 1 cnfldtopn ⊢ 𝐽 = ( MetOpen ‘ ( abs ∘ − ) )
9 8 mopni3 ⊢ ( ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ π ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ( 𝑟 < π ∧ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ 𝑆 ) )
10 7 9 mpan2 ⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ( 𝑟 < π ∧ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ 𝑆 ) )
11 6 10 mp3an1 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ( 𝑟 < π ∧ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ 𝑆 ) )
12 imass2 ⊢ ( ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ 𝑆 → ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ( exp “ 𝑆 ) )
13 imassrn ⊢ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ran exp
14 eff ⊢ exp : ℂ ⟶ ℂ
15 frn ⊢ ( exp : ℂ ⟶ ℂ → ran exp ⊆ ℂ )
16 14 15 ax-mp ⊢ ran exp ⊆ ℂ
17 13 16 sstri ⊢ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ℂ
18 sseqin2 ⊢ ( ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ℂ ↔ ( ℂ ∩ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) = ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) )
19 17 18 mpbi ⊢ ( ℂ ∩ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) = ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) )
20 rpxr ⊢ ( 𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ* )
21 blssm ⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ ℂ )
22 6 21 mp3an1 ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ ℂ )
23 20 22 sylan2 ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ ℂ )
24 23 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ ℂ )
25 24 sselda ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑦 ∈ ℂ )
26 simp-4l ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
27 25 26 subcld ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑦 − 𝑥 ) ∈ ℂ )
28 27 subid1d ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑦 − 𝑥 ) − 0 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) )
29 28 fveq2d ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑦 − 𝑥 ) − 0 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑥 ) ) )
30 0cn ⊢ 0 ∈ ℂ
31 eqid ⊢ ( abs ∘ − ) = ( abs ∘ − )
32 31 cnmetdval ⊢ ( ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ( abs ∘ − ) 0 ) = ( abs ‘ ( ( 𝑦 − 𝑥 ) − 0 ) ) )
33 27 30 32 sylancl ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ( abs ∘ − ) 0 ) = ( abs ‘ ( ( 𝑦 − 𝑥 ) − 0 ) ) )
34 31 cnmetdval ⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( 𝑦 ( abs ∘ − ) 𝑥 ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑥 ) ) )
35 25 26 34 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑦 ( abs ∘ − ) 𝑥 ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑥 ) ) )
36 29 33 35 3eqtr4d ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ( abs ∘ − ) 0 ) = ( 𝑦 ( abs ∘ − ) 𝑥 ) )
37 simpr ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) )
38 6 a1i ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) )
39 simpllr ⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
40 39 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
41 40 rpxrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ* )
42 elbl3 ⊢ ( ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ↔ ( 𝑦 ( abs ∘ − ) 𝑥 ) < 𝑟 ) )
43 38 41 26 25 42 syl22anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ↔ ( 𝑦 ( abs ∘ − ) 𝑥 ) < 𝑟 ) )
44 37 43 mpbid ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑦 ( abs ∘ − ) 𝑥 ) < 𝑟 )
45 36 44 eqbrtrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ( abs ∘ − ) 0 ) < 𝑟 )
46 0cnd ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 0 ∈ ℂ )
47 elbl3 ⊢ ( ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ) ∧ ( 0 ∈ ℂ ∧ ( 𝑦 − 𝑥 ) ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ↔ ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ( abs ∘ − ) 0 ) < 𝑟 ) )
48 38 41 46 27 47 syl22anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ↔ ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ( abs ∘ − ) 0 ) < 𝑟 ) )
49 45 48 mpbird ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑦 − 𝑥 ) ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) )
50 efsub ⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( exp ‘ ( 𝑦 − 𝑥 ) ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) )
51 25 26 50 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( exp ‘ ( 𝑦 − 𝑥 ) ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) )
52 fveqeq2 ⊢ ( 𝑤 = ( 𝑦 − 𝑥 ) → ( ( exp ‘ 𝑤 ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( exp ‘ ( 𝑦 − 𝑥 ) ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) )
53 52 rspcev ⊢ ( ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ∧ ( exp ‘ ( 𝑦 − 𝑥 ) ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) )
54 49 51 53 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) )
55 oveq1 ⊢ ( ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 → ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) )
56 55 eqeq2d ⊢ ( ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 → ( ( exp ‘ 𝑤 ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) )
57 56 rexbidv ⊢ ( ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 → ( ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) )
58 54 57 syl5ibcom ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 → ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) )
59 58 rexlimdva ⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 → ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) )
60 eqcom ⊢ ( ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) = ( exp ‘ 𝑤 ) )
61 simplr ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑧 ∈ ℂ )
62 simp-4l ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
63 efcl ⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ → ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
64 62 63 syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
65 39 rpxrd ⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → 𝑟 ∈ ℝ* )
66 blssm ⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ) → ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ ℂ )
67 6 30 65 66 mp3an12i ⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ ℂ )
68 67 sselda ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
69 efcl ⊢ ( 𝑤 ∈ ℂ → ( exp ‘ 𝑤 ) ∈ ℂ )
70 68 69 syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( exp ‘ 𝑤 ) ∈ ℂ )
71 efne0 ⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ → ( exp ‘ 𝑥 ) ≠ 0 )
72 62 71 syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( exp ‘ 𝑥 ) ≠ 0 )
73 61 64 70 72 divmuld ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) = ( exp ‘ 𝑤 ) ↔ ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) = 𝑧 ) )
74 60 73 bitrid ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) = 𝑧 ) )
75 62 68 pncan2d ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑤 ) − 𝑥 ) = 𝑤 )
76 68 subid1d ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑤 − 0 ) = 𝑤 )
77 75 76 eqtr4d ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑤 ) − 𝑥 ) = ( 𝑤 − 0 ) )
78 77 fveq2d ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 + 𝑤 ) − 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑤 − 0 ) ) )
79 62 68 addcld ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑥 + 𝑤 ) ∈ ℂ )
80 31 cnmetdval ⊢ ( ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ( abs ∘ − ) 𝑥 ) = ( abs ‘ ( ( 𝑥 + 𝑤 ) − 𝑥 ) ) )
81 79 62 80 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ( abs ∘ − ) 𝑥 ) = ( abs ‘ ( ( 𝑥 + 𝑤 ) − 𝑥 ) ) )
82 31 cnmetdval ⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ) → ( 𝑤 ( abs ∘ − ) 0 ) = ( abs ‘ ( 𝑤 − 0 ) ) )
83 68 30 82 sylancl ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑤 ( abs ∘ − ) 0 ) = ( abs ‘ ( 𝑤 − 0 ) ) )
84 78 81 83 3eqtr4d ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ( abs ∘ − ) 𝑥 ) = ( 𝑤 ( abs ∘ − ) 0 ) )
85 simpr ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) )
86 6 a1i ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) )
87 39 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
88 87 rpxrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ* )
89 0cnd ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 0 ∈ ℂ )
90 elbl3 ⊢ ( ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ) ∧ ( 0 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ ) ) → ( 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ↔ ( 𝑤 ( abs ∘ − ) 0 ) < 𝑟 ) )
91 86 88 89 68 90 syl22anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ↔ ( 𝑤 ( abs ∘ − ) 0 ) < 𝑟 ) )
92 85 91 mpbid ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑤 ( abs ∘ − ) 0 ) < 𝑟 )
93 84 92 eqbrtrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ( abs ∘ − ) 𝑥 ) < 𝑟 )
94 elbl3 ⊢ ( ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ ( 𝑥 + 𝑤 ) ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ↔ ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ( abs ∘ − ) 𝑥 ) < 𝑟 ) )
95 86 88 62 79 94 syl22anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ↔ ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ( abs ∘ − ) 𝑥 ) < 𝑟 ) )
96 93 95 mpbird ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑥 + 𝑤 ) ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) )
97 efadd ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ ) → ( exp ‘ ( 𝑥 + 𝑤 ) ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) )
98 62 68 97 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( exp ‘ ( 𝑥 + 𝑤 ) ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) )
99 fveqeq2 ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑤 ) → ( ( exp ‘ 𝑦 ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) ↔ ( exp ‘ ( 𝑥 + 𝑤 ) ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) ) )
100 99 rspcev ⊢ ( ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ∧ ( exp ‘ ( 𝑥 + 𝑤 ) ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) )
101 96 98 100 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) )
102 eqeq2 ⊢ ( ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) = 𝑧 → ( ( exp ‘ 𝑦 ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) ↔ ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 ) )
103 102 rexbidv ⊢ ( ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) = 𝑧 → ( ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 ) )
104 101 103 syl5ibcom ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) = 𝑧 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 ) )
105 74 104 sylbid ⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 ) )
106 105 rexlimdva ⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 ) )
107 59 106 impbid ⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 ↔ ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) )
108 ffn ⊢ ( exp : ℂ ⟶ ℂ → exp Fn ℂ )
109 14 108 ax-mp ⊢ exp Fn ℂ
110 fvelimab ⊢ ( ( exp Fn ℂ ∧ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ ℂ ) → ( 𝑧 ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 ) )
111 109 24 110 sylancr ⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( 𝑧 ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 ) )
112 fvelimab ⊢ ( ( exp Fn ℂ ∧ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ ℂ ) → ( ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) )
113 109 67 112 sylancr ⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) )
114 107 111 113 3bitr4d ⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( 𝑧 ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ↔ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) )
115 114 rabbi2dva ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( ℂ ∩ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) } )
116 19 115 eqtr3id ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) } )
117 eqid ⊢ ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) )
118 117 mptpreima ⊢ ( ◡ ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) “ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) }
119 116 118 eqtr4di ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) = ( ◡ ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) “ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) )
120 63 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
121 71 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( exp ‘ 𝑥 ) ≠ 0 )
122 117 divccncf ⊢ ( ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ∧ ( exp ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) → ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
123 120 121 122 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
124 1 cncfcn1 ⊢ ( ℂ –cn→ ℂ ) = ( 𝐽 Cn 𝐽 )
125 123 124 eleqtrdi ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) )
126 1 efopnlem2 ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑟 < π ) → ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ∈ 𝐽 )
127 126 adantll ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ∈ 𝐽 )
128 cnima ⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ∧ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ∈ 𝐽 ) → ( ◡ ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) “ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) ∈ 𝐽 )
129 125 127 128 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( ◡ ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) “ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) ∈ 𝐽 )
130 119 129 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ∈ 𝐽 )
131 blcntr ⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑥 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) )
132 6 131 mp3an1 ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑥 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) )
133 ffun ⊢ ( exp : ℂ ⟶ ℂ → Fun exp )
134 14 133 ax-mp ⊢ Fun exp
135 14 fdmi ⊢ dom exp = ℂ
136 23 135 sseqtrrdi ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ dom exp )
137 funfvima2 ⊢ ( ( Fun exp ∧ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ dom exp ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) → ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) )
138 134 136 137 sylancr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) → ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) )
139 132 138 mpd ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) )
140 139 adantr ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) )
141 eleq2 ⊢ ( 𝑦 = ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ↔ ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) )
142 sseq1 ⊢ ( 𝑦 = ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ↔ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) )
143 141 142 anbi12d ⊢ ( 𝑦 = ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ↔ ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ∧ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) )
144 143 rspcev ⊢ ( ( ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ∈ 𝐽 ∧ ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ∧ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) )
145 144 expr ⊢ ( ( ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ∈ 𝐽 ∧ ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) → ( ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ( exp “ 𝑆 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) )
146 130 140 145 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ( exp “ 𝑆 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) )
147 12 146 syl5 ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ 𝑆 → ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) )
148 147 expimpd ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑟 < π ∧ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ 𝑆 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) )
149 148 rexlimdva ⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ → ( ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ( 𝑟 < π ∧ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ 𝑆 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) )
150 5 11 149 sylc ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) )
151 150 ralrimiva ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐽 → ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) )
152 eleq1 ⊢ ( 𝑧 = ( exp ‘ 𝑥 ) → ( 𝑧 ∈ 𝑦 ↔ ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ) )
153 152 anbi1d ⊢ ( 𝑧 = ( exp ‘ 𝑥 ) → ( ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ↔ ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) )
154 153 rexbidv ⊢ ( 𝑧 = ( exp ‘ 𝑥 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) )
155 154 ralima ⊢ ( ( exp Fn ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ) → ( ∀ 𝑧 ∈ ( exp “ 𝑆 ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) )
156 109 4 155 sylancr ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐽 → ( ∀ 𝑧 ∈ ( exp “ 𝑆 ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) )
157 151 156 mpbird ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐽 → ∀ 𝑧 ∈ ( exp “ 𝑆 ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) )
158 1 cnfldtop ⊢ 𝐽 ∈ Top
159 eltop2 ⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ( exp “ 𝑆 ) ∈ 𝐽 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( exp “ 𝑆 ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) )
160 158 159 ax-mp ⊢ ( ( exp “ 𝑆 ) ∈ 𝐽 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( exp “ 𝑆 ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) )
161 157 160 sylibr ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐽 → ( exp “ 𝑆 ) ∈ 𝐽 )