dvmulbrOLD

Description: Obsolete version of dvmulbr as of 10-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	dvadd.f	\|- ( ph -> F : X --> CC )
	dvadd.x	\|- ( ph -> X C_ S )
	dvadd.g	\|- ( ph -> G : Y --> CC )
	dvadd.y	\|- ( ph -> Y C_ S )
	dvaddbr.s	\|- ( ph -> S C_ CC )
	dvadd.bf	\|- ( ph -> C ( S _D F ) K )
	dvadd.bg	\|- ( ph -> C ( S _D G ) L )
	dvadd.j	\|- J = ( TopOpen ` CCfld )
Assertion	dvmulbrOLD	\|- ( ph -> C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadd.f	\|- ( ph -> F : X --> CC )
2		dvadd.x	\|- ( ph -> X C_ S )
3		dvadd.g	\|- ( ph -> G : Y --> CC )
4		dvadd.y	\|- ( ph -> Y C_ S )
5		dvaddbr.s	\|- ( ph -> S C_ CC )
6		dvadd.bf	\|- ( ph -> C ( S _D F ) K )
7		dvadd.bg	\|- ( ph -> C ( S _D G ) L )
8		dvadd.j	\|- J = ( TopOpen ` CCfld )
9		eqid	\|- ( J \|`t S ) = ( J \|`t S )
10		eqid	\|- ( z e. ( X \ { C } ) \|-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( X \ { C } ) \|-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) )
11	9 8 10 5 1 2	eldv	\|- ( ph -> ( C ( S _D F ) K <-> ( C e. ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) \|-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
12	6 11	mpbid	\|- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) \|-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) )
13	12	simpld	\|- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` X ) )
14		eqid	\|- ( z e. ( Y \ { C } ) \|-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) \|-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
15	9 8 14 5 3 4	eldv	\|- ( ph -> ( C ( S _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) \|-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
16	7 15	mpbid	\|- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) \|-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) )
17	16	simpld	\|- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` Y ) )
18	13 17	elind	\|- ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` Y ) ) )
19	8	cnfldtopon	\|- J e. ( TopOn ` CC )
20		resttopon	\|- ( ( J e. ( TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( J \|`t S ) e. ( TopOn ` S ) )
21	19 5 20	sylancr	\|- ( ph -> ( J \|`t S ) e. ( TopOn ` S ) )
22		topontop	\|- ( ( J \|`t S ) e. ( TopOn ` S ) -> ( J \|`t S ) e. Top )
23	21 22	syl	\|- ( ph -> ( J \|`t S ) e. Top )
24		toponuni	\|- ( ( J \|`t S ) e. ( TopOn ` S ) -> S = U. ( J \|`t S ) )
25	21 24	syl	\|- ( ph -> S = U. ( J \|`t S ) )
26	2 25	sseqtrd	\|- ( ph -> X C_ U. ( J \|`t S ) )
27	4 25	sseqtrd	\|- ( ph -> Y C_ U. ( J \|`t S ) )
28		eqid	\|- U. ( J \|`t S ) = U. ( J \|`t S )
29	28	ntrin	\|- ( ( ( J \|`t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J \|`t S ) /\ Y C_ U. ( J \|`t S ) ) -> ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` Y ) ) )
30	23 26 27 29	syl3anc	\|- ( ph -> ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` Y ) ) )
31	18 30	eleqtrrd	\|- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
32	1	adantr	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> F : X --> CC )
33		inss1	\|- ( X i^i Y ) C_ X
34		eldifi	\|- ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) -> z e. ( X i^i Y ) )
35	34	adantl	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. ( X i^i Y ) )
36	33 35	sselid	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. X )
37	32 36	ffvelcdmd	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
38	5 1 2	dvbss	\|- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ X )
39		reldv	\|- Rel ( S _D F )
40		releldm	\|- ( ( Rel ( S _D F ) /\ C ( S _D F ) K ) -> C e. dom ( S _D F ) )
41	39 6 40	sylancr	\|- ( ph -> C e. dom ( S _D F ) )
42	38 41	sseldd	\|- ( ph -> C e. X )
43	1 42	ffvelcdmd	\|- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
44	43	adantr	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
45	37 44	subcld	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
46	2 5	sstrd	\|- ( ph -> X C_ CC )
47	46	adantr	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> X C_ CC )
48	47 36	sseldd	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. CC )
49	46 42	sseldd	\|- ( ph -> C e. CC )
50	49	adantr	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. CC )
51	48 50	subcld	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( z - C ) e. CC )
52		eldifsni	\|- ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) -> z =/= C )
53	52	adantl	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z =/= C )
54	48 50 53	subne0d	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( z - C ) =/= 0 )
55	45 51 54	divcld	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
56	3	adantr	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> G : Y --> CC )
57		inss2	\|- ( X i^i Y ) C_ Y
58	57 35	sselid	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. Y )
59	56 58	ffvelcdmd	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
60	55 59	mulcld	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
61		ssdif	\|- ( ( X i^i Y ) C_ Y -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( Y \ { C } ) )
62	57 61	mp1i	\|- ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( Y \ { C } ) )
63	62	sselda	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. ( Y \ { C } ) )
64	4 5	sstrd	\|- ( ph -> Y C_ CC )
65	5 3 4	dvbss	\|- ( ph -> dom ( S _D G ) C_ Y )
66		reldv	\|- Rel ( S _D G )
67		releldm	\|- ( ( Rel ( S _D G ) /\ C ( S _D G ) L ) -> C e. dom ( S _D G ) )
68	66 7 67	sylancr	\|- ( ph -> C e. dom ( S _D G ) )
69	65 68	sseldd	\|- ( ph -> C e. Y )
70	3 64 69	dvlem	\|- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
71	63 70	syldan	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
72	71 44	mulcld	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) e. CC )
73		ssidd	\|- ( ph -> CC C_ CC )
74		txtopon	\|- ( ( J e. ( TopOn ` CC ) /\ J e. ( TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. ( TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
75	19 19 74	mp2an	\|- ( J tX J ) e. ( TopOn ` ( CC X. CC ) )
76	75	toponrestid	\|- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) \|`t ( CC X. CC ) )
77	12	simprd	\|- ( ph -> K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) \|-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
78	1 46 42	dvlem	\|- ( ( ph /\ z e. ( X \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
79	78	fmpttd	\|- ( ph -> ( z e. ( X \ { C } ) \|-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) : ( X \ { C } ) --> CC )
80		ssdif	\|- ( ( X i^i Y ) C_ X -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X \ { C } ) )
81	33 80	mp1i	\|- ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X \ { C } ) )
82	46	ssdifssd	\|- ( ph -> ( X \ { C } ) C_ CC )
83		eqid	\|- ( J \|`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J \|`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) )
84	33 2	sstrid	\|- ( ph -> ( X i^i Y ) C_ S )
85	84 25	sseqtrd	\|- ( ph -> ( X i^i Y ) C_ U. ( J \|`t S ) )
86		difssd	\|- ( ph -> ( U. ( J \|`t S ) \ X ) C_ U. ( J \|`t S ) )
87	85 86	unssd	\|- ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ X ) ) C_ U. ( J \|`t S ) )
88		ssun1	\|- ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ X ) )
89	88	a1i	\|- ( ph -> ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ X ) ) )
90	28	ntrss	\|- ( ( ( J \|`t S ) e. Top /\ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ X ) ) C_ U. ( J \|`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ X ) ) ) -> ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ X ) ) ) )
91	23 87 89 90	syl3anc	\|- ( ph -> ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ X ) ) ) )
92	91 31	sseldd	\|- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ X ) ) ) )
93	92 42	elind	\|- ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
94	33	a1i	\|- ( ph -> ( X i^i Y ) C_ X )
95		eqid	\|- ( ( J \|`t S ) \|`t X ) = ( ( J \|`t S ) \|`t X )
96	28 95	restntr	\|- ( ( ( J \|`t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J \|`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ X ) -> ( ( int ` ( ( J \|`t S ) \|`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
97	23 26 94 96	syl3anc	\|- ( ph -> ( ( int ` ( ( J \|`t S ) \|`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
98	8	cnfldtop	\|- J e. Top
99	98	a1i	\|- ( ph -> J e. Top )
100		cnex	\|- CC e. _V
101		ssexg	\|- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
102	5 100 101	sylancl	\|- ( ph -> S e. _V )
103		restabs	\|- ( ( J e. Top /\ X C_ S /\ S e. _V ) -> ( ( J \|`t S ) \|`t X ) = ( J \|`t X ) )
104	99 2 102 103	syl3anc	\|- ( ph -> ( ( J \|`t S ) \|`t X ) = ( J \|`t X ) )
105	104	fveq2d	\|- ( ph -> ( int ` ( ( J \|`t S ) \|`t X ) ) = ( int ` ( J \|`t X ) ) )
106	105	fveq1d	\|- ( ph -> ( ( int ` ( ( J \|`t S ) \|`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( int ` ( J \|`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
107	97 106	eqtr3d	\|- ( ph -> ( ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) = ( ( int ` ( J \|`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
108	93 107	eleqtrd	\|- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J \|`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
109		undif1	\|- ( ( X \ { C } ) u. { C } ) = ( X u. { C } )
110	42	snssd	\|- ( ph -> { C } C_ X )
111		ssequn2	\|- ( { C } C_ X <-> ( X u. { C } ) = X )
112	110 111	sylib	\|- ( ph -> ( X u. { C } ) = X )
113	109 112	eqtrid	\|- ( ph -> ( ( X \ { C } ) u. { C } ) = X )
114	113	oveq2d	\|- ( ph -> ( J \|`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J \|`t X ) )
115	114	fveq2d	\|- ( ph -> ( int ` ( J \|`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) = ( int ` ( J \|`t X ) ) )
116		undif1	\|- ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) = ( ( X i^i Y ) u. { C } )
117	42 69	elind	\|- ( ph -> C e. ( X i^i Y ) )
118	117	snssd	\|- ( ph -> { C } C_ ( X i^i Y ) )
119		ssequn2	\|- ( { C } C_ ( X i^i Y ) <-> ( ( X i^i Y ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
120	118 119	sylib	\|- ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
121	116 120	eqtrid	\|- ( ph -> ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
122	115 121	fveq12d	\|- ( ph -> ( ( int ` ( J \|`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( J \|`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
123	108 122	eleqtrrd	\|- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J \|`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) )
124	79 81 82 8 83 123	limcres	\|- ( ph -> ( ( ( z e. ( X \ { C } ) \|-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) \|` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( X \ { C } ) \|-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
125	81	resmptd	\|- ( ph -> ( ( z e. ( X \ { C } ) \|-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) \|` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
126	125	oveq1d	\|- ( ph -> ( ( ( z e. ( X \ { C } ) \|-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) \|` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
127	124 126	eqtr3d	\|- ( ph -> ( ( z e. ( X \ { C } ) \|-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
128	77 127	eleqtrd	\|- ( ph -> K e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
129		eqid	\|- ( J \|`t Y ) = ( J \|`t Y )
130	129 8	dvcnp2	\|- ( ( ( S C_ CC /\ G : Y --> CC /\ Y C_ S ) /\ C e. dom ( S _D G ) ) -> G e. ( ( ( J \|`t Y ) CnP J ) ` C ) )
131	5 3 4 68 130	syl31anc	\|- ( ph -> G e. ( ( ( J \|`t Y ) CnP J ) ` C ) )
132	8 129	cnplimc	\|- ( ( Y C_ CC /\ C e. Y ) -> ( G e. ( ( ( J \|`t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G limCC C ) ) ) )
133	64 69 132	syl2anc	\|- ( ph -> ( G e. ( ( ( J \|`t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G limCC C ) ) ) )
134	131 133	mpbid	\|- ( ph -> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G limCC C ) ) )
135	134	simprd	\|- ( ph -> ( G ` C ) e. ( G limCC C ) )
136		difss	\|- ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X i^i Y )
137	136 57	sstri	\|- ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ Y
138	137	a1i	\|- ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ Y )
139		eqid	\|- ( J \|`t ( Y u. { C } ) ) = ( J \|`t ( Y u. { C } ) )
140		difssd	\|- ( ph -> ( U. ( J \|`t S ) \ Y ) C_ U. ( J \|`t S ) )
141	85 140	unssd	\|- ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ Y ) ) C_ U. ( J \|`t S ) )
142		ssun1	\|- ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ Y ) )
143	142	a1i	\|- ( ph -> ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ Y ) ) )
144	28	ntrss	\|- ( ( ( J \|`t S ) e. Top /\ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ Y ) ) C_ U. ( J \|`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ Y ) ) ) -> ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ Y ) ) ) )
145	23 141 143 144	syl3anc	\|- ( ph -> ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ Y ) ) ) )
146	145 31	sseldd	\|- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ Y ) ) ) )
147	146 69	elind	\|- ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
148	57	a1i	\|- ( ph -> ( X i^i Y ) C_ Y )
149		eqid	\|- ( ( J \|`t S ) \|`t Y ) = ( ( J \|`t S ) \|`t Y )
150	28 149	restntr	\|- ( ( ( J \|`t S ) e. Top /\ Y C_ U. ( J \|`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ Y ) -> ( ( int ` ( ( J \|`t S ) \|`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
151	23 27 148 150	syl3anc	\|- ( ph -> ( ( int ` ( ( J \|`t S ) \|`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
152		restabs	\|- ( ( J e. Top /\ Y C_ S /\ S e. _V ) -> ( ( J \|`t S ) \|`t Y ) = ( J \|`t Y ) )
153	99 4 102 152	syl3anc	\|- ( ph -> ( ( J \|`t S ) \|`t Y ) = ( J \|`t Y ) )
154	153	fveq2d	\|- ( ph -> ( int ` ( ( J \|`t S ) \|`t Y ) ) = ( int ` ( J \|`t Y ) ) )
155	154	fveq1d	\|- ( ph -> ( ( int ` ( ( J \|`t S ) \|`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( int ` ( J \|`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
156	151 155	eqtr3d	\|- ( ph -> ( ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J \|`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) = ( ( int ` ( J \|`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
157	147 156	eleqtrd	\|- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J \|`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
158	69	snssd	\|- ( ph -> { C } C_ Y )
159		ssequn2	\|- ( { C } C_ Y <-> ( Y u. { C } ) = Y )
160	158 159	sylib	\|- ( ph -> ( Y u. { C } ) = Y )
161	160	oveq2d	\|- ( ph -> ( J \|`t ( Y u. { C } ) ) = ( J \|`t Y ) )
162	161	fveq2d	\|- ( ph -> ( int ` ( J \|`t ( Y u. { C } ) ) ) = ( int ` ( J \|`t Y ) ) )
163	162 121	fveq12d	\|- ( ph -> ( ( int ` ( J \|`t ( Y u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( J \|`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
164	157 163	eleqtrrd	\|- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J \|`t ( Y u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) )
165	3 138 64 8 139 164	limcres	\|- ( ph -> ( ( G \|` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( G limCC C ) )
166	3 138	feqresmpt	\|- ( ph -> ( G \|` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( G ` z ) ) )
167	166	oveq1d	\|- ( ph -> ( ( G \|` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( G ` z ) ) limCC C ) )
168	165 167	eqtr3d	\|- ( ph -> ( G limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( G ` z ) ) limCC C ) )
169	135 168	eleqtrd	\|- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( G ` z ) ) limCC C ) )
170	8	mulcn	\|- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
171	5 1 2	dvcl	\|- ( ( ph /\ C ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
172	6 171	mpdan	\|- ( ph -> K e. CC )
173	3 69	ffvelcdmd	\|- ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
174	172 173	opelxpd	\|- ( ph -> <. K , ( G ` C ) >. e. ( CC X. CC ) )
175	75	toponunii	\|- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
176	175	cncnpi	\|- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , ( G ` C ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , ( G ` C ) >. ) )
177	170 174 176	sylancr	\|- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , ( G ` C ) >. ) )
178	55 59 73 73 8 76 128 169 177	limccnp2	\|- ( ph -> ( K x. ( G ` C ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) ) limCC C ) )
179	16	simprd	\|- ( ph -> L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) \|-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
180	70	fmpttd	\|- ( ph -> ( z e. ( Y \ { C } ) \|-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) : ( Y \ { C } ) --> CC )
181	64	ssdifssd	\|- ( ph -> ( Y \ { C } ) C_ CC )
182		eqid	\|- ( J \|`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J \|`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) )
183		undif1	\|- ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) = ( Y u. { C } )
184	183 160	eqtrid	\|- ( ph -> ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) = Y )
185	184	oveq2d	\|- ( ph -> ( J \|`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J \|`t Y ) )
186	185	fveq2d	\|- ( ph -> ( int ` ( J \|`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) = ( int ` ( J \|`t Y ) ) )
187	186 121	fveq12d	\|- ( ph -> ( ( int ` ( J \|`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( J \|`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
188	157 187	eleqtrrd	\|- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J \|`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) )
189	180 62 181 8 182 188	limcres	\|- ( ph -> ( ( ( z e. ( Y \ { C } ) \|-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) \|` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( Y \ { C } ) \|-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
190	62	resmptd	\|- ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) \|-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) \|` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
191	190	oveq1d	\|- ( ph -> ( ( ( z e. ( Y \ { C } ) \|-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) \|` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
192	189 191	eqtr3d	\|- ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) \|-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
193	179 192	eleqtrd	\|- ( ph -> L e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
194	84 5	sstrd	\|- ( ph -> ( X i^i Y ) C_ CC )
195		cncfmptc	\|- ( ( ( F ` C ) e. CC /\ ( X i^i Y ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. ( X i^i Y ) \|-> ( F ` C ) ) e. ( ( X i^i Y ) -cn-> CC ) )
196	43 194 73 195	syl3anc	\|- ( ph -> ( z e. ( X i^i Y ) \|-> ( F ` C ) ) e. ( ( X i^i Y ) -cn-> CC ) )
197		eqidd	\|- ( z = C -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
198	196 117 197	cnmptlimc	\|- ( ph -> ( F ` C ) e. ( ( z e. ( X i^i Y ) \|-> ( F ` C ) ) limCC C ) )
199	43	adantr	\|- ( ( ph /\ z e. ( X i^i Y ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
200	199	fmpttd	\|- ( ph -> ( z e. ( X i^i Y ) \|-> ( F ` C ) ) : ( X i^i Y ) --> CC )
201	200	limcdif	\|- ( ph -> ( ( z e. ( X i^i Y ) \|-> ( F ` C ) ) limCC C ) = ( ( ( z e. ( X i^i Y ) \|-> ( F ` C ) ) \|` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) )
202		resmpt	\|- ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X i^i Y ) -> ( ( z e. ( X i^i Y ) \|-> ( F ` C ) ) \|` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( F ` C ) ) )
203	136 202	mp1i	\|- ( ph -> ( ( z e. ( X i^i Y ) \|-> ( F ` C ) ) \|` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( F ` C ) ) )
204	203	oveq1d	\|- ( ph -> ( ( ( z e. ( X i^i Y ) \|-> ( F ` C ) ) \|` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( F ` C ) ) limCC C ) )
205	201 204	eqtrd	\|- ( ph -> ( ( z e. ( X i^i Y ) \|-> ( F ` C ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( F ` C ) ) limCC C ) )
206	198 205	eleqtrd	\|- ( ph -> ( F ` C ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( F ` C ) ) limCC C ) )
207	5 3 4	dvcl	\|- ( ( ph /\ C ( S _D G ) L ) -> L e. CC )
208	7 207	mpdan	\|- ( ph -> L e. CC )
209	208 43	opelxpd	\|- ( ph -> <. L , ( F ` C ) >. e. ( CC X. CC ) )
210	175	cncnpi	\|- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. L , ( F ` C ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. L , ( F ` C ) >. ) )
211	170 209 210	sylancr	\|- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. L , ( F ` C ) >. ) )
212	71 44 73 73 8 76 193 206 211	limccnp2	\|- ( ph -> ( L x. ( F ` C ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) limCC C ) )
213	8	addcn	\|- + e. ( ( J tX J ) Cn J )
214	172 173	mulcld	\|- ( ph -> ( K x. ( G ` C ) ) e. CC )
215	208 43	mulcld	\|- ( ph -> ( L x. ( F ` C ) ) e. CC )
216	214 215	opelxpd	\|- ( ph -> <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. e. ( CC X. CC ) )
217	175	cncnpi	\|- ( ( + e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. ) )
218	213 216 217	sylancr	\|- ( ph -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. ) )
219	60 72 73 73 8 76 178 212 218	limccnp2	\|- ( ph -> ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) limCC C ) )
220	42	adantr	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. X )
221	32 220	ffvelcdmd	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
222	37 221	subcld	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
223	222 59	mulcld	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
224	69	adantr	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. Y )
225	56 224	ffvelcdmd	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( G ` C ) e. CC )
226	59 225	subcld	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
227	226 221	mulcld	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) e. CC )
228	47 220	sseldd	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. CC )
229	48 228	subcld	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( z - C ) e. CC )
230	223 227 229 54	divdird	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
231	37 59	mulcld	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
232	221 59	mulcld	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
233	221 225	mulcld	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) e. CC )
234	231 232 233	npncand	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) + ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
235	37 221 59	subdird	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) )
236	226 221	mulcomd	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) = ( ( F ` C ) x. ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
237	221 59 225	subdid	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` C ) x. ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
238	236 237	eqtrd	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
239	235 238	oveq12d	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) = ( ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) + ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) ) )
240	1	ffnd	\|- ( ph -> F Fn X )
241	240	adantr	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> F Fn X )
242	3	ffnd	\|- ( ph -> G Fn Y )
243	242	adantr	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> G Fn Y )
244		ssexg	\|- ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
245	46 100 244	sylancl	\|- ( ph -> X e. _V )
246	245	adantr	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> X e. _V )
247		ssexg	\|- ( ( Y C_ CC /\ CC e. _V ) -> Y e. _V )
248	64 100 247	sylancl	\|- ( ph -> Y e. _V )
249	248	adantr	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> Y e. _V )
250		eqid	\|- ( X i^i Y ) = ( X i^i Y )
251		eqidd	\|- ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
252		eqidd	\|- ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. Y ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
253	241 243 246 249 250 251 252	ofval	\|- ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. ( X i^i Y ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
254	35 253	mpdan	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
255		eqidd	\|- ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
256		eqidd	\|- ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. Y ) -> ( G ` C ) = ( G ` C ) )
257	241 243 246 249 250 255 256	ofval	\|- ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. ( X i^i Y ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` C ) = ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) )
258	117 257	mpidan	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` C ) = ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) )
259	254 258	oveq12d	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
260	234 239 259	3eqtr4d	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) = ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) )
261	260	oveq1d	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
262	222 59 229 54	div23d	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) )
263	226 221 229 54	div23d	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) )
264	262 263	oveq12d	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) )
265	230 261 264	3eqtr3d	\|- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) )
266	265	mpteq2dva	\|- ( ph -> ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) )
267	266	oveq1d	\|- ( ph -> ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) limCC C ) )
268	219 267	eleqtrrd	\|- ( ph -> ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
269		eqid	\|- ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
270		mulcl	\|- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
271	270	adantl	\|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
272	271 1 3 245 248 250	off	\|- ( ph -> ( F oF x. G ) : ( X i^i Y ) --> CC )
273	9 8 269 5 272 84	eldv	\|- ( ph -> ( C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J \|`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) /\ ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) \|-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
274	31 268 273	mpbir2and	\|- ( ph -> C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) )

Metamath Proof Explorer

Theorem dvmulbrOLD

Proof