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Theorem seqf1olem1

Description: Lemma for seqf1o . (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2014) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014)

Ref Expression
Hypotheses seqf1o.1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ) ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) ∈ 𝑆 )
seqf1o.2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ) ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) = ( 𝑦 + 𝑥 ) )
seqf1o.3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑦 ) + 𝑧 ) = ( 𝑥 + ( 𝑦 + 𝑧 ) ) )
seqf1o.4 ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
seqf1o.5 ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑆 )
seqf1olem.5 ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
seqf1olem.6 ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ⟶ 𝐶 )
seqf1olem.7 ⊢ 𝐽 = ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
seqf1olem.8 ⊢ 𝐾 = ( ◡ 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) )
Assertion seqf1olem1 ( 𝜑 → 𝐽 : ( 𝑀 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 seqf1o.1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ) ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) ∈ 𝑆 )
2 seqf1o.2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ) ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) = ( 𝑦 + 𝑥 ) )
3 seqf1o.3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑦 ) + 𝑧 ) = ( 𝑥 + ( 𝑦 + 𝑧 ) ) )
4 seqf1o.4 ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
5 seqf1o.5 ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑆 )
6 seqf1olem.5 ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
7 seqf1olem.6 ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ⟶ 𝐶 )
8 seqf1olem.7 ⊢ 𝐽 = ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
9 seqf1olem.8 ⊢ 𝐾 = ( ◡ 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) )
10 fvexd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ V )
11 fvex ⊢ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ V
12 ovex ⊢ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ∈ V
13 11 12 ifex ⊢ if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ∈ V
14 13 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ∈ V )
15 iftrue ⊢ ( 𝑘 < 𝐾 → if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) = 𝑘 )
16 15 fveq2d ⊢ ( 𝑘 < 𝐾 → ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) )
17 16 eqeq2d ⊢ ( 𝑘 < 𝐾 → ( 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↔ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) )
18 17 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 < 𝐾 ) → ( 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↔ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) )
19 simprr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) )
20 elfzelz ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
21 20 zred ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
22 21 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
23 simprl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑘 < 𝐾 )
24 22 23 gtned ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝐾 ≠ 𝑘 )
25 f1of ⊢ ( 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ⟶ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
26 6 25 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ⟶ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
27 26 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ⟶ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
28 fzssp1 ⊢ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ⊆ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) )
29 simplr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
30 28 29 sselid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
31 27 30 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
32 elfzp1 ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) )
33 4 32 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) )
34 33 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) )
35 31 34 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) )
36 35 ord ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ¬ ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) )
37 6 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
38 f1ocnvfv ⊢ ( ( 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( ◡ 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑘 ) )
39 37 30 38 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( ◡ 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑘 ) )
40 9 eqeq1i ⊢ ( 𝐾 = 𝑘 ↔ ( ◡ 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑘 )
41 39 40 imbitrrdi ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑁 + 1 ) → 𝐾 = 𝑘 ) )
42 36 41 syld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ¬ ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝐾 = 𝑘 ) )
43 42 necon1ad ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐾 ≠ 𝑘 → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) )
44 24 43 mpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
45 19 44 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
46 19 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = 𝑥 )
47 f1ocnvfv ⊢ ( ( 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = 𝑥 → ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 𝑘 ) )
48 37 30 47 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = 𝑥 → ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 𝑘 ) )
49 46 48 mpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 𝑘 )
50 49 23 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 )
51 iftrue ⊢ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 → if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
52 50 51 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
53 52 49 eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) )
54 45 53 jca ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) )
55 54 expr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 < 𝐾 ) → ( 𝑥 = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) )
56 18 55 sylbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 < 𝐾 ) → ( 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) )
57 iffalse ⊢ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 → if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑘 + 1 ) )
58 57 fveq2d ⊢ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 → ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
59 58 eqeq2d ⊢ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 → ( 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↔ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
60 59 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝑘 < 𝐾 ) → ( 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↔ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
61 simprr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
62 f1ocnv ⊢ ( 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ◡ 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
63 6 62 syl ⊢ ( 𝜑 → ◡ 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
64 f1of1 ⊢ ( ◡ 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ◡ 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
65 63 64 syl ⊢ ( 𝜑 → ◡ 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
66 f1f ⊢ ( ◡ 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ◡ 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ⟶ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
67 65 66 syl ⊢ ( 𝜑 → ◡ 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ⟶ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
68 peano2uz ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
69 4 68 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
70 eluzfz2 ⊢ ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
71 69 70 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
72 67 71 ffvelcdmd ⊢ ( 𝜑 → ( ◡ 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
73 9 72 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
74 73 elfzelzd ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ )
75 74 zred ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ )
76 75 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
77 21 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
78 peano2re ⊢ ( 𝑘 ∈ ℝ → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℝ )
79 77 78 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℝ )
80 simprl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ¬ 𝑘 < 𝐾 )
81 76 77 80 nltled ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝐾 ≤ 𝑘 )
82 77 ltp1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) )
83 76 77 79 81 82 lelttrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝐾 < ( 𝑘 + 1 ) )
84 76 83 ltned ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝐾 ≠ ( 𝑘 + 1 ) )
85 26 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ⟶ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
86 fzp1elp1 ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
87 86 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
88 85 87 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
89 elfzp1 ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) )
90 4 89 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) )
91 90 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) )
92 88 91 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑁 + 1 ) ) )
93 92 ord ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ¬ ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑁 + 1 ) ) )
94 6 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
95 f1ocnvfv ⊢ ( ( 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( ◡ 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( 𝑘 + 1 ) ) )
96 94 87 95 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( ◡ 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( 𝑘 + 1 ) ) )
97 9 eqeq1i ⊢ ( 𝐾 = ( 𝑘 + 1 ) ↔ ( ◡ 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( 𝑘 + 1 ) )
98 96 97 imbitrrdi ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑁 + 1 ) → 𝐾 = ( 𝑘 + 1 ) ) )
99 93 98 syld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ¬ ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝐾 = ( 𝑘 + 1 ) ) )
100 99 necon1ad ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐾 ≠ ( 𝑘 + 1 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) )
101 84 100 mpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
102 61 101 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
103 61 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = 𝑥 )
104 f1ocnvfv ⊢ ( ( 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = 𝑥 → ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑘 + 1 ) ) )
105 94 87 104 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = 𝑥 → ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑘 + 1 ) ) )
106 103 105 mpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑘 + 1 ) )
107 106 breq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ↔ ( 𝑘 + 1 ) < 𝐾 ) )
108 lttr ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℝ ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) ∧ ( 𝑘 + 1 ) < 𝐾 ) → 𝑘 < 𝐾 ) )
109 77 79 76 108 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) ∧ ( 𝑘 + 1 ) < 𝐾 ) → 𝑘 < 𝐾 ) )
110 82 109 mpand ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑘 + 1 ) < 𝐾 → 𝑘 < 𝐾 ) )
111 107 110 sylbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 → 𝑘 < 𝐾 ) )
112 80 111 mtod ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 )
113 iffalse ⊢ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 → if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) )
114 112 113 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) )
115 106 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) = ( ( 𝑘 + 1 ) − 1 ) )
116 77 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
117 ax-1cn ⊢ 1 ∈ ℂ
118 pncan ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑘 + 1 ) − 1 ) = 𝑘 )
119 116 117 118 sylancl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑘 + 1 ) − 1 ) = 𝑘 )
120 114 115 119 3eqtrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) )
121 102 120 jca ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ 𝑘 < 𝐾 ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) )
122 121 expr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝑘 < 𝐾 ) → ( 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) )
123 60 122 sylbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝑘 < 𝐾 ) → ( 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) )
124 56 123 pm2.61dan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) )
125 124 expimpd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) )
126 51 eqeq2d ⊢ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 → ( 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ↔ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
127 126 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ) → ( 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ↔ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
128 eluzel2 ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℤ )
129 4 128 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
130 129 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
131 eluzelz ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑁 ∈ ℤ )
132 4 131 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
133 132 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
134 simprr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
135 67 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → ◡ 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ⟶ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
136 simplr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
137 28 136 sselid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
138 135 137 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
139 134 138 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
140 139 elfzelzd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
141 elfzle1 ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑀 ≤ 𝑘 )
142 139 141 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑀 ≤ 𝑘 )
143 140 zred ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
144 75 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
145 132 peano2zd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℤ )
146 145 zred ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ )
147 146 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ )
148 simprl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 )
149 134 148 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑘 < 𝐾 )
150 elfzle2 ⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝐾 ≤ ( 𝑁 + 1 ) )
151 73 150 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ≤ ( 𝑁 + 1 ) )
152 151 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝐾 ≤ ( 𝑁 + 1 ) )
153 143 144 147 149 152 ltletrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑘 < ( 𝑁 + 1 ) )
154 zleltp1 ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑘 < ( 𝑁 + 1 ) ) )
155 140 133 154 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑘 < ( 𝑁 + 1 ) ) )
156 153 155 mpbird ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑘 ≤ 𝑁 )
157 130 133 140 142 156 elfzd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
158 149 16 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) )
159 134 fveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐹 ‘ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
160 6 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
161 f1ocnvfv2 ⊢ ( ( 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = 𝑥 )
162 160 137 161 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = 𝑥 )
163 158 159 162 3eqtrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
164 157 163 jca ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
165 164 expr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ) → ( 𝑘 = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
166 127 165 sylbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ) → ( 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
167 113 eqeq2d ⊢ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 → ( 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ↔ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) )
168 167 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ) → ( 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ↔ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) )
169 129 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
170 132 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
171 simprr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) )
172 67 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ◡ 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ⟶ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
173 simplr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
174 28 173 sselid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
175 172 174 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
176 175 elfzelzd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℤ )
177 peano2zm ⊢ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℤ → ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ∈ ℤ )
178 176 177 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ∈ ℤ )
179 171 178 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
180 129 zred ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ )
181 180 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℝ )
182 75 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
183 179 zred ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
184 elfzle1 ⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑀 ≤ 𝐾 )
185 73 184 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾 )
186 185 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝑀 ≤ 𝐾 )
187 176 zred ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
188 simprl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 )
189 182 187 188 nltled ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝐾 ≤ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
190 elfzelz ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑥 ∈ ℤ )
191 190 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑥 ∈ ℤ )
192 191 zred ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
193 132 zred ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ )
194 193 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
195 146 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ )
196 elfzle2 ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑥 ≤ 𝑁 )
197 196 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑥 ≤ 𝑁 )
198 194 ltp1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑁 < ( 𝑁 + 1 ) )
199 192 194 195 197 198 lelttrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑥 < ( 𝑁 + 1 ) )
200 192 199 gtned ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 + 1 ) ≠ 𝑥 )
201 200 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( 𝑁 + 1 ) ≠ 𝑥 )
202 65 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ◡ 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
203 71 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
204 f1fveq ⊢ ( ( ◡ 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) → ( ( ◡ 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑁 + 1 ) = 𝑥 ) )
205 202 203 174 204 syl12anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( ( ◡ 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑁 + 1 ) = 𝑥 ) )
206 205 necon3bid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( ( ◡ 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ≠ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑁 + 1 ) ≠ 𝑥 ) )
207 201 206 mpbird ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( ◡ 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ≠ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
208 9 neeq1i ⊢ ( 𝐾 ≠ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( ◡ 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ≠ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
209 207 208 sylibr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝐾 ≠ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
210 209 necomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ 𝐾 )
211 182 187 189 210 leneltd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝐾 < ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
212 74 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
213 zltlem1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℤ ) → ( 𝐾 < ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ 𝐾 ≤ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) )
214 212 176 213 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( 𝐾 < ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ 𝐾 ≤ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) )
215 211 214 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝐾 ≤ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) )
216 215 171 breqtrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝐾 ≤ 𝑘 )
217 181 182 183 186 216 letrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝑀 ≤ 𝑘 )
218 elfzle2 ⊢ ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≤ ( 𝑁 + 1 ) )
219 175 218 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≤ ( 𝑁 + 1 ) )
220 193 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
221 1re ⊢ 1 ∈ ℝ
222 lesubadd ⊢ ( ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ≤ 𝑁 ↔ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≤ ( 𝑁 + 1 ) ) )
223 221 222 mp3an2 ⊢ ( ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ≤ 𝑁 ↔ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≤ ( 𝑁 + 1 ) ) )
224 187 220 223 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ≤ 𝑁 ↔ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≤ ( 𝑁 + 1 ) ) )
225 219 224 mpbird ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ≤ 𝑁 )
226 171 225 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝑘 ≤ 𝑁 )
227 169 170 179 217 226 elfzd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
228 182 183 216 lensymd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ¬ 𝑘 < 𝐾 )
229 228 58 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
230 171 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( 𝑘 + 1 ) = ( ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) + 1 ) )
231 176 zcnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
232 npcan ⊢ ( ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) + 1 ) = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
233 231 117 232 sylancl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) + 1 ) = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
234 230 233 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( 𝑘 + 1 ) = ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
235 234 fveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
236 6 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝐹 : ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
237 236 174 161 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = 𝑥 )
238 229 235 237 3eqtrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
239 227 238 jca ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ∧ 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
240 239 expr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ) → ( 𝑘 = ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
241 168 240 sylbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ∧ ¬ ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 ) → ( 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
242 166 241 pm2.61dan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
243 242 expimpd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
244 125 243 impbid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐹 ‘ if ( 𝑘 < 𝐾 , 𝑘 , ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑘 = if ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) < 𝐾 , ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) , ( ( ◡ 𝐹 ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) )
245 8 10 14 244 f1od ⊢ ( 𝜑 → 𝐽 : ( 𝑀 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )