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Theorem zprod

Description: Series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017)

Ref Expression
Hypotheses zprod.1 ⊢ 𝑍 = ( ℤ≥ ‘ 𝑀 )
zprod.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
zprod.3 ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑛 ∈ 𝑍 ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , 𝐹 ) ⇝ 𝑦 ) )
zprod.4 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍 )
zprod.5 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) )
zprod.6 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
Assertion zprod ( 𝜑 → ∏ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 zprod.1 ⊢ 𝑍 = ( ℤ≥ ‘ 𝑀 )
2 zprod.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
3 zprod.3 ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑛 ∈ 𝑍 ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , 𝐹 ) ⇝ 𝑦 ) )
4 zprod.4 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍 )
5 zprod.5 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) )
6 zprod.6 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
7 3simpb ⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ∧ seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) → ( 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∧ seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) )
8 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑖 if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 )
9 nfv ⊢ Ⅎ 𝑘 𝑖 ∈ 𝐴
10 nfcsb1v ⊢ Ⅎ 𝑘 ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝐵
11 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑘 1
12 9 10 11 nfif ⊢ Ⅎ 𝑘 if ( 𝑖 ∈ 𝐴 , ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 )
13 eleq1w ⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑖 ∈ 𝐴 ) )
14 csbeq1a ⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
15 13 14 ifbieq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) = if ( 𝑖 ∈ 𝐴 , ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) )
16 8 12 15 cbvmpt ⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) = ( 𝑖 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝐴 , ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) )
17 simpll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ) → 𝜑 )
18 6 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ )
19 10 nfel1 ⊢ Ⅎ 𝑘 ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℂ
20 14 eleq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℂ ) )
21 19 20 rspc ⊢ ( 𝑖 ∈ 𝐴 → ( ∀ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℂ ) )
22 18 21 syl5 ⊢ ( 𝑖 ∈ 𝐴 → ( 𝜑 → ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℂ ) )
23 17 22 mpan9 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐴 ) → ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℂ )
24 simplr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ) → 𝑚 ∈ ℤ )
25 2 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
26 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ) → 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) )
27 4 1 sseqtrdi ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
28 27 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ) → 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
29 16 23 24 25 26 28 prodrb ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ) → ( seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ↔ seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) )
30 29 biimpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ) → ( seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 → seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) )
31 30 expimpd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∧ seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) → seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) )
32 7 31 syl5 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ∧ seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) → seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) )
33 32 rexlimdva ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ∧ seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) → seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) )
34 uzssz ⊢ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ⊆ ℤ
35 zssre ⊢ ℤ ⊆ ℝ
36 34 35 sstri ⊢ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ⊆ ℝ
37 1 36 eqsstri ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
38 4 37 sstrdi ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ )
39 38 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ) → 𝐴 ⊆ ℝ )
40 ltso ⊢ < Or ℝ
41 soss ⊢ ( 𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴 ) )
42 39 40 41 mpisyl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ) → < Or 𝐴 )
43 fzfi ⊢ ( 1 ... 𝑚 ) ∈ Fin
44 ovex ⊢ ( 1 ... 𝑚 ) ∈ V
45 44 f1oen ⊢ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 → ( 1 ... 𝑚 ) ≈ 𝐴 )
46 45 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ) → ( 1 ... 𝑚 ) ≈ 𝐴 )
47 46 ensymd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ) → 𝐴 ≈ ( 1 ... 𝑚 ) )
48 enfii ⊢ ( ( ( 1 ... 𝑚 ) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ ( 1 ... 𝑚 ) ) → 𝐴 ∈ Fin )
49 43 47 48 sylancr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ) → 𝐴 ∈ Fin )
50 fz1iso ⊢ ( ( < Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ) → ∃ 𝑔 𝑔 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) )
51 42 49 50 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ) → ∃ 𝑔 𝑔 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) )
52 simpll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑔 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) ) ) → 𝜑 )
53 52 22 mpan9 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑔 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐴 ) → ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℂ )
54 fveq2 ⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) )
55 54 csbeq1d ⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 = ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
56 csbcow ⊢ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) / 𝑖 ⦌ ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝐵 = ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵
57 55 56 eqtr4di ⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 = ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) / 𝑖 ⦌ ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
58 57 cbvmptv ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) / 𝑖 ⦌ ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
59 eqid ⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑔 ‘ 𝑗 ) / 𝑖 ⦌ ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑔 ‘ 𝑗 ) / 𝑖 ⦌ ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
60 simplr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑔 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) ) ) → 𝑚 ∈ ℕ )
61 2 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑔 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
62 27 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑔 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
63 simprl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑔 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) ) ) → 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 )
64 simprr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑔 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) ) ) → 𝑔 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) )
65 16 53 58 59 60 61 62 63 64 prodmolem2a ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑔 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) ) ) → seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) )
66 65 expr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ) → ( 𝑔 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) → seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) ) )
67 66 exlimdv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ) → ( ∃ 𝑔 𝑔 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) → seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) ) )
68 51 67 mpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ) → seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) )
69 breq2 ⊢ ( 𝑥 = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) → ( seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ↔ seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) ) )
70 68 69 syl5ibrcom ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ) → ( 𝑥 = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) → seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) )
71 70 expimpd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) ) → seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) )
72 71 exlimdv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) ) → seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) )
73 72 rexlimdva ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) ) → seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) )
74 33 73 jaod ⊢ ( 𝜑 → ( ( ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ∧ seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) ∨ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) ) ) → seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) )
75 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) → 𝑀 ∈ ℤ )
76 4 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) → 𝐴 ⊆ 𝑍 )
77 1 eleq2i ⊢ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
78 eluzelz ⊢ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑛 ∈ ℤ )
79 78 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑛 ∈ ℤ )
80 uztrn ⊢ ( ( 𝑧 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑧 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
81 80 ancoms ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ) → 𝑧 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
82 1 eleq2i ⊢ ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
83 1 34 eqsstri ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
84 83 sseli ⊢ ( 𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ )
85 iftrue ⊢ ( 𝑘 ∈ 𝐴 → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) = 𝐵 )
86 85 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) = 𝐵 )
87 86 6 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ )
88 87 ex ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ 𝐴 → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ ) )
89 iffalse ⊢ ( ¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) = 1 )
90 ax-1cn ⊢ 1 ∈ ℂ
91 89 90 eqeltrdi ⊢ ( ¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ )
92 88 91 pm2.61d1 ⊢ ( 𝜑 → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ )
93 eqid ⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) = ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) )
94 93 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) = if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) )
95 84 92 94 syl2anr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) = if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) )
96 5 95 eqtr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) )
97 82 96 sylan2br ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) )
98 97 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) )
99 nffvmpt1 ⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑧 )
100 99 nfeq2 ⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑧 )
101 fveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝑧 → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
102 fveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝑧 → ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑧 ) )
103 101 102 eqeq12d ⊢ ( 𝑘 = 𝑧 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑧 ) ) )
104 100 103 rspc ⊢ ( 𝑧 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑧 ) ) )
105 98 104 mpan9 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑧 ) )
106 81 105 sylan2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑧 ) )
107 106 anassrs ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑧 ) )
108 79 107 seqfeq ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → seq 𝑛 ( · , 𝐹 ) = seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) )
109 108 breq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( seq 𝑛 ( · , 𝐹 ) ⇝ 𝑦 ↔ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) )
110 109 anbi2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , 𝐹 ) ⇝ 𝑦 ) ↔ ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ) )
111 110 exbidv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , 𝐹 ) ⇝ 𝑦 ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ) )
112 77 111 sylan2b ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , 𝐹 ) ⇝ 𝑦 ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ) )
113 112 rexbidva ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑛 ∈ 𝑍 ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , 𝐹 ) ⇝ 𝑦 ) ↔ ∃ 𝑛 ∈ 𝑍 ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ) )
114 3 113 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑛 ∈ 𝑍 ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) )
115 114 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) → ∃ 𝑛 ∈ 𝑍 ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) )
116 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) → seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 )
117 fveq2 ⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) = ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
118 117 1 eqtr4di ⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) = 𝑍 )
119 118 sseq2d ⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ↔ 𝐴 ⊆ 𝑍 ) )
120 118 rexeqdv ⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( ∃ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ↔ ∃ 𝑛 ∈ 𝑍 ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ) )
121 seqeq1 ⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) = seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) )
122 121 breq1d ⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ↔ seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) )
123 119 120 122 3anbi123d ⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( ( 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ∧ seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) ↔ ( 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃ 𝑛 ∈ 𝑍 ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ∧ seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) ) )
124 123 rspcev ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃ 𝑛 ∈ 𝑍 ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ∧ seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) ) → ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ∧ seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) )
125 75 76 115 116 124 syl13anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) → ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ∧ seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) )
126 125 orcd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ∧ seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) ∨ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) ) ) )
127 126 ex ⊢ ( 𝜑 → ( seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 → ( ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ∧ seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) ∨ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) ) ) ) )
128 74 127 impbid ⊢ ( 𝜑 → ( ( ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ∧ seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) ∨ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) ) ) ↔ seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) )
129 95 5 eqtr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) )
130 82 129 sylan2br ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) )
131 130 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) )
132 99 nfeq1 ⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 )
133 102 101 eqeq12d ⊢ ( 𝑘 = 𝑧 → ( ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ↔ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
134 132 133 rspc ⊢ ( 𝑧 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) → ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
135 131 134 mpan9 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
136 2 135 seqfeq ⊢ ( 𝜑 → seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) = seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) )
137 136 breq1d ⊢ ( 𝜑 → ( seq 𝑀 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ↔ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ 𝑥 ) )
138 128 137 bitrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ∧ seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) ∨ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) ) ) ↔ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ 𝑥 ) )
139 138 iotabidv ⊢ ( 𝜑 → ( ℩ 𝑥 ( ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ∧ seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) ∨ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑥 seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ 𝑥 ) )
140 df-prod ⊢ ∏ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ( ℩ 𝑥 ( ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑚 ) ∃ 𝑦 ( 𝑦 ≠ 0 ∧ seq 𝑛 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑦 ) ∧ seq 𝑚 ( · , ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) ) ⇝ 𝑥 ) ∨ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑚 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) ) ‘ 𝑚 ) ) ) )
141 df-fv ⊢ ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) = ( ℩ 𝑥 seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ 𝑥 )
142 139 140 141 3eqtr4g ⊢ ( 𝜑 → ∏ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) )