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Theorem wemapso2lem

Description: Lemma for wemapso2 . (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015) (Revised by AV, 1-Jul-2019)

Ref Expression
Hypotheses wemapso.t ⊢ 𝑇 = { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( 𝑥 ‘ 𝑧 ) 𝑆 ( 𝑦 ‘ 𝑧 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( 𝑤 𝑅 𝑧 → ( 𝑥 ‘ 𝑤 ) = ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) ) ) }
wemapso2.u ⊢ 𝑈 = { 𝑥 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍 }
Assertion wemapso2lem ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → 𝑇 Or 𝑈 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 wemapso.t ⊢ 𝑇 = { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( 𝑥 ‘ 𝑧 ) 𝑆 ( 𝑦 ‘ 𝑧 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( 𝑤 𝑅 𝑧 → ( 𝑥 ‘ 𝑤 ) = ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) ) ) }
2 wemapso2.u ⊢ 𝑈 = { 𝑥 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍 }
3 2 ssrab3 ⊢ 𝑈 ⊆ ( 𝐵 ↑m 𝐴 )
4 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → 𝑅 Or 𝐴 )
5 simpl3 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → 𝑆 Or 𝐵 )
6 simprll ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑎 ∈ 𝑈 )
7 breq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( 𝑥 finSupp 𝑍 ↔ 𝑎 finSupp 𝑍 ) )
8 7 2 elrab2 ⊢ ( 𝑎 ∈ 𝑈 ↔ ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ 𝑎 finSupp 𝑍 ) )
9 8 simprbi ⊢ ( 𝑎 ∈ 𝑈 → 𝑎 finSupp 𝑍 )
10 6 9 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑎 finSupp 𝑍 )
11 simprlr ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑏 ∈ 𝑈 )
12 breq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( 𝑥 finSupp 𝑍 ↔ 𝑏 finSupp 𝑍 ) )
13 12 2 elrab2 ⊢ ( 𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ( 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ 𝑏 finSupp 𝑍 ) )
14 13 simprbi ⊢ ( 𝑏 ∈ 𝑈 → 𝑏 finSupp 𝑍 )
15 11 14 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑏 finSupp 𝑍 )
16 10 15 fsuppunfi ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ∈ Fin )
17 3 6 sselid ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) )
18 elmapi ⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) → 𝑎 : 𝐴 ⟶ 𝐵 )
19 17 18 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑎 : 𝐴 ⟶ 𝐵 )
20 19 ffnd ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑎 Fn 𝐴 )
21 3 11 sselid ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) )
22 elmapi ⊢ ( 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) → 𝑏 : 𝐴 ⟶ 𝐵 )
23 21 22 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑏 : 𝐴 ⟶ 𝐵 )
24 23 ffnd ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑏 Fn 𝐴 )
25 fndmdif ⊢ ( ( 𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴 ) → dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) = { 𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) } )
26 20 24 25 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) = { 𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) } )
27 neneor ⊢ ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ∨ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) )
28 elun ⊢ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ↔ ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∨ 𝑐 ∈ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) )
29 simpr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝑐 ∈ 𝐴 )
30 20 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝑎 Fn 𝐴 )
31 elex ⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V )
32 31 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) → 𝐴 ∈ V )
33 32 adantr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → 𝐴 ∈ V )
34 33 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝐴 ∈ V )
35 simpr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → 𝑍 ∈ 𝑊 )
36 35 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝑍 ∈ 𝑊 )
37 elsuppfn ⊢ ( ( 𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) )
38 30 34 36 37 syl3anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) )
39 29 38 mpbirand ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) )
40 24 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝑏 Fn 𝐴 )
41 simpll1 ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑉 )
42 41 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝐴 ∈ 𝑉 )
43 elsuppfn ⊢ ( ( 𝑏 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) )
44 40 42 36 43 syl3anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) )
45 29 44 mpbirand ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) )
46 39 45 orbi12d ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∨ 𝑐 ∈ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ↔ ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ∨ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) )
47 28 46 bitrid ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑐 ∈ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ↔ ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ∨ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) )
48 27 47 imbitrrid ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) )
49 48 ralrimiva ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ∀ 𝑐 ∈ 𝐴 ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) )
50 rabss ⊢ ( { 𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) } ⊆ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ↔ ∀ 𝑐 ∈ 𝐴 ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) )
51 49 50 sylibr ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → { 𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) } ⊆ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) )
52 26 51 eqsstrd ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ⊆ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) )
53 16 52 ssfid ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ∈ Fin )
54 suppssdm ⊢ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ⊆ dom 𝑎
55 54 19 fssdm ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ( 𝑎 supp 𝑍 ) ⊆ 𝐴 )
56 suppssdm ⊢ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ⊆ dom 𝑏
57 56 23 fssdm ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ( 𝑏 supp 𝑍 ) ⊆ 𝐴 )
58 55 57 unssd ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ⊆ 𝐴 )
59 4 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑅 Or 𝐴 )
60 soss ⊢ ( ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ⊆ 𝐴 → ( 𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) )
61 58 59 60 sylc ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑅 Or ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) )
62 wofi ⊢ ( ( 𝑅 Or ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ∧ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ∈ Fin ) → 𝑅 We ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) )
63 61 16 62 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑅 We ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) )
64 wefr ⊢ ( 𝑅 We ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) → 𝑅 Fr ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) )
65 63 64 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑅 Fr ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) )
66 simprr ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑎 ≠ 𝑏 )
67 fndmdifeq0 ⊢ ( ( 𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴 ) → ( dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏 ) )
68 20 24 67 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ( dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏 ) )
69 68 necon3bid ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ( dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ≠ ∅ ↔ 𝑎 ≠ 𝑏 ) )
70 66 69 mpbird ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ≠ ∅ )
71 fri ⊢ ( ( ( dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) ∧ ( dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ⊆ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ∧ dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ≠ ∅ ) ) → ∃ 𝑐 ∈ dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ∀ 𝑑 ∈ dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ¬ 𝑑 𝑅 𝑐 )
72 53 65 52 70 71 syl22anc ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ∀ 𝑑 ∈ dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ¬ 𝑑 𝑅 𝑐 )
73 1 3 4 5 72 wemapsolem ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → 𝑇 Or 𝑈 )