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Theorem dalawlem3

Description: Lemma for dalaw . First piece of dalawlem5 . (Contributed by NM, 4-Oct-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalawlem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dalawlem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dalawlem.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
dalawlem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion dalawlem3 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalawlem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 dalawlem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 dalawlem.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 dalawlem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
6 simp11 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
7 6 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
8 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
9 simp32 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
10 5 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
11 6 8 9 10 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
13 5 4 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
14 12 13 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 7 11 14 15 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17 simp31 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
18 5 4 atbase ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 17 18 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20 5 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21 7 16 19 20 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
23 5 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
24 6 8 22 23 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 simp33 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
26 5 4 atbase ⊢ ( 𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
27 25 26 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28 5 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
29 7 24 27 28 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
30 5 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
31 6 22 12 30 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
32 5 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
33 6 25 17 32 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
34 5 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
35 7 31 33 34 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
36 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
37 7 29 35 36 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
38 5 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
39 6 9 25 38 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
40 5 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
41 7 24 39 40 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
42 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
43 7 41 35 42 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
44 5 4 atbase ⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
45 8 44 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
46 5 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
47 7 45 27 46 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
48 5 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
49 6 12 17 48 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
50 5 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
51 7 49 45 50 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
52 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
53 7 47 51 52 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
54 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
55 7 14 53 54 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
56 5 4 atbase ⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
57 22 56 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
58 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
59 7 57 29 58 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
60 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
61 7 14 59 60 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
62 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
63 7 47 14 62 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
64 5 1 2 3 latmlej22 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ 𝑃 ) ∨ 𝑆 ) )
65 7 19 16 63 64 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ 𝑃 ) ∨ 𝑆 ) )
66 5 2 latjass ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ 𝑃 ) ∨ 𝑆 ) = ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) )
67 7 47 14 19 66 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ 𝑃 ) ∨ 𝑆 ) = ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) )
68 65 67 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) )
69 5 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
70 7 11 49 69 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
71 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
72 7 70 14 71 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
73 5 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
74 6 12 8 73 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
75 1 2 4 hlatlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) )
76 6 12 17 75 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) )
77 5 1 3 latmlem2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ) )
78 7 19 49 16 77 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ) )
79 76 78 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) )
80 1 2 4 hlatlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) )
81 6 12 17 80 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) )
82 5 1 2 3 4 atmod4i1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∨ 𝑃 ) = ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) )
83 6 12 11 49 81 82 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∨ 𝑃 ) = ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) )
84 79 83 breqtrrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∨ 𝑃 ) )
85 5 3 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) )
86 7 11 49 85 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) )
87 simp12 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
88 86 87 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
89 1 2 4 hlatlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
90 6 12 8 89 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
91 5 1 2 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ↔ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∨ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
92 7 70 14 74 91 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ↔ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∨ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
93 88 90 92 mpbi2and ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∨ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
94 5 1 7 21 72 74 84 93 lattrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
95 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
96 7 47 49 95 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
97 5 1 3 latlem12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ↔ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) )
98 7 21 96 74 97 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ↔ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) )
99 68 94 98 mpbi2and ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
100 5 1 2 3 4 atmod3i1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
101 6 12 49 45 81 100 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
102 101 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) = ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) )
103 5 2 latj12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) = ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) )
104 7 47 14 51 103 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) = ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) )
105 5 1 2 3 latmlej12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
106 7 45 27 14 105 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
107 5 1 2 3 4 atmod1i1m ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) = ( ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
108 6 25 45 49 74 106 107 syl231anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) = ( ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
109 102 104 108 3eqtr3rd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) )
110 99 109 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) )
111 1 2 4 hlatlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → 𝑄 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
112 6 8 22 111 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑄 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
113 1 2 4 hlatlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → 𝑈 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
114 6 22 25 113 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑈 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
115 5 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
116 7 49 11 115 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
117 5 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
118 6 22 25 117 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
119 1 2 4 hlatlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → 𝑄 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) )
120 6 8 9 119 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑄 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) )
121 5 1 3 latmlem2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝑄 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ) )
122 7 45 11 49 121 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ) )
123 120 122 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) )
124 simp13 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
125 5 1 7 51 116 118 123 124 lattrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
126 5 1 2 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑈 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ↔ ( 𝑈 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) )
127 7 27 51 118 126 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑈 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ↔ ( 𝑈 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) )
128 114 125 127 mpbi2and ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑈 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
129 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑈 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
130 7 27 51 129 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑈 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
131 5 1 3 latmlem12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( ( 𝑈 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑄 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑈 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑄 ∧ ( 𝑈 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) )
132 7 45 24 130 118 131 syl122anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑈 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑄 ∧ ( 𝑈 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) )
133 112 128 132 mp2and ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∧ ( 𝑈 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) )
134 5 1 3 latmle2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ≤ 𝑄 )
135 7 49 45 134 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ≤ 𝑄 )
136 5 1 2 3 4 atmod2i2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ≤ 𝑄 ) → ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) = ( 𝑄 ∧ ( 𝑈 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) )
137 6 25 45 51 135 136 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) = ( 𝑄 ∧ ( 𝑈 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) )
138 1 2 4 hlatlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → 𝑅 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
139 6 8 22 138 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑅 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
140 5 1 2 3 4 atmod3i2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) )
141 6 25 57 24 139 140 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) )
142 133 137 141 3brtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) )
143 5 1 2 latjlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) ) ) )
144 7 53 59 14 143 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) ) ) )
145 142 144 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑄 ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑄 ) ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) ) )
146 5 1 7 21 55 61 110 145 lattrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) ) )
147 5 2 latj13 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) ) = ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) )
148 7 14 57 29 147 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ) ) = ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) )
149 146 148 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) )
150 5 1 2 3 latmlej22 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) )
151 7 19 16 27 150 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) )
152 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
153 7 29 31 152 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
154 5 1 3 latlem12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ↔ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )
155 7 21 153 33 154 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ↔ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )
156 149 151 155 mpbi2and ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) )
157 5 1 2 3 latmlej21 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) )
158 7 27 24 19 157 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) )
159 5 1 2 3 4 atmod1i1m ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) )
160 6 25 24 31 33 158 159 syl231anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) )
161 156 160 breqtrrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )
162 1 2 4 hlatlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → 𝑈 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
163 6 9 25 162 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑈 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
164 5 1 3 latmlem2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝑈 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) )
165 7 27 39 24 164 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑈 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) )
166 163 165 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) )
167 5 1 2 latjlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) )
168 7 29 41 35 167 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) )
169 166 168 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )
170 5 1 7 21 37 43 161 169 lattrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )