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Theorem atmod2i2

Description: Version of modular law pmod2iN that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 14-May-2012) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses atmod.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
atmod.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
atmod.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
atmod.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
atmod.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion atmod2i2 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ 𝑌 ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 atmod.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 atmod.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 atmod.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 atmod.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 atmod.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 hllat ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat )
7 6 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → 𝐾 ∈ Lat )
8 simp21 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
9 1 5 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵 )
10 8 9 syl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → 𝑃 ∈ 𝐵 )
11 simp23 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
12 1 3 latjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) = ( 𝑌 ∨ 𝑃 ) )
13 7 10 11 12 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) = ( 𝑌 ∨ 𝑃 ) )
14 13 oveq1d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ) = ( ( 𝑌 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑋 ) )
15 simp22 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
16 1 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
17 7 10 11 16 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
18 1 4 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ) )
19 7 15 17 18 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑋 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ) )
20 simp1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → 𝐾 ∈ HL )
21 simp3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → 𝑌 ≤ 𝑋 )
22 1 2 3 4 5 atmod1i2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑌 ∨ ( 𝑃 ∧ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑌 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑋 ) )
23 20 8 11 15 21 22 syl131anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑌 ∨ ( 𝑃 ∧ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑌 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑋 ) )
24 14 19 23 3eqtr4d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑋 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ) = ( 𝑌 ∨ ( 𝑃 ∧ 𝑋 ) ) )
25 1 4 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∧ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
26 7 10 15 25 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∧ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
27 1 3 latjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∧ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∨ ( 𝑃 ∧ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑃 ∧ 𝑋 ) ∨ 𝑌 ) )
28 7 11 26 27 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑌 ∨ ( 𝑃 ∧ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑃 ∧ 𝑋 ) ∨ 𝑌 ) )
29 1 4 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∧ 𝑋 ) = ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) )
30 7 10 15 29 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∧ 𝑋 ) = ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) )
31 30 oveq1d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → ( ( 𝑃 ∧ 𝑋 ) ∨ 𝑌 ) = ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ 𝑌 ) )
32 24 28 31 3eqtrrd ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ 𝑌 ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ) )