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Theorem dalawlem4

Description: Lemma for dalaw . Second piece of dalawlem5 . (Contributed by NM, 4-Oct-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalawlem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dalawlem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dalawlem.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
dalawlem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion dalawlem4 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalawlem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 dalawlem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 dalawlem.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 dalawlem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 simp11 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
6 simp12 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
7 5 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
8 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
9 simp32 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
10 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
11 10 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12 5 8 9 11 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
13 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
14 simp31 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
15 10 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 5 13 14 15 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17 10 3 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) )
18 7 12 16 17 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) )
19 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
20 5 8 13 19 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
21 6 18 20 3brtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) )
22 simp13 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
23 18 22 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
24 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
25 simp33 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
26 1 2 3 4 dalawlem3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑇 ) ) ) )
27 5 21 23 8 13 24 9 14 25 26 syl333anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑇 ) ) ) )
28 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) )
29 5 13 24 28 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) )
30 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) = ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) )
31 5 14 25 30 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) = ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) )
32 29 31 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ) = ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) )
33 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
34 5 24 8 33 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
35 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑈 ∨ 𝑇 ) = ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
36 5 25 9 35 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑈 ∨ 𝑇 ) = ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
37 34 36 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) )
38 32 37 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) )
39 10 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
40 5 24 13 39 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
41 10 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
42 5 25 14 41 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
43 10 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
44 7 40 42 43 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
45 10 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
46 5 8 24 45 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
47 10 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
48 5 9 25 47 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
49 10 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
50 7 46 48 49 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
51 10 2 latjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) = ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )
52 7 44 50 51 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) = ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )
53 38 52 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )
54 27 53 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )