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Theorem atmod1i1m

Description: Version of modular law pmod1i that holds in a Hilbert lattice, when an element meets an atom. (Contributed by NM, 2-Sep-2012) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses atmod.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
atmod.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
atmod.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
atmod.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
atmod.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion atmod1i1m ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 atmod.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 atmod.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 atmod.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 atmod.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 atmod.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 simpl1l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ HL )
7 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
8 simpl22 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
9 simpl23 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
10 simpl3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 )
11 1 2 3 4 5 atmod1i1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) )
12 6 7 8 9 10 11 syl131anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) )
13 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) → 𝐾 ∈ HL )
14 hlol ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL )
15 13 14 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) → 𝐾 ∈ OL )
16 15 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ OL )
17 13 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) → 𝐾 ∈ Lat )
18 17 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
19 simpl22 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
20 simpl23 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
21 1 4 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
22 18 19 20 21 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
23 eqid ⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
24 1 3 23 olj02 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) )
25 16 22 24 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) )
26 oveq1 ⊢ ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) )
27 26 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) )
28 oveq1 ⊢ ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ 𝑌 ) = ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ 𝑌 ) )
29 28 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ 𝑌 ) = ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ 𝑌 ) )
30 1 3 23 olj02 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ 𝑌 ) = 𝑌 )
31 16 19 30 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ 𝑌 ) = 𝑌 )
32 29 31 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ 𝑌 ) = 𝑌 )
33 32 oveq1d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) = ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) )
34 25 27 33 3eqtr4d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) )
35 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
36 simp1r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
37 1 4 23 5 meetat2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
38 15 35 36 37 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
39 12 34 38 mpjaodan ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ≤ 𝑍 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( ( ( 𝑋 ∧ 𝑃 ) ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) )