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Theorem ptunhmeo

Description: Define a homeomorphism from a binary product of indexed product topologies to an indexed product topology on the union of the index sets. This is the topological analogue of ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) = A ^ ( B + C ) . (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015)

Ref Expression
Hypotheses ptunhmeo.x 
|- X = U. K
ptunhmeo.y 
|- Y = U. L
ptunhmeo.j 
|- J = ( Xt_ ` F )
ptunhmeo.k 
|- K = ( Xt_ ` ( F |` A ) )
ptunhmeo.l 
|- L = ( Xt_ ` ( F |` B ) )
ptunhmeo.g 
|- G = ( x e. X , y e. Y |-> ( x u. y ) )
ptunhmeo.c 
|- ( ph -> C e. V )
ptunhmeo.f 
|- ( ph -> F : C --> Top )
ptunhmeo.u 
|- ( ph -> C = ( A u. B ) )
ptunhmeo.i 
|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
Assertion ptunhmeo 
|- ( ph -> G e. ( ( K tX L ) Homeo J ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ptunhmeo.x 
 |-  X = U. K
2 ptunhmeo.y 
 |-  Y = U. L
3 ptunhmeo.j 
 |-  J = ( Xt_ ` F )
4 ptunhmeo.k 
 |-  K = ( Xt_ ` ( F |` A ) )
5 ptunhmeo.l 
 |-  L = ( Xt_ ` ( F |` B ) )
6 ptunhmeo.g 
 |-  G = ( x e. X , y e. Y |-> ( x u. y ) )
7 ptunhmeo.c 
 |-  ( ph -> C e. V )
8 ptunhmeo.f 
 |-  ( ph -> F : C --> Top )
9 ptunhmeo.u 
 |-  ( ph -> C = ( A u. B ) )
10 ptunhmeo.i 
 |-  ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
11 vex 
 |-  x e. _V
12 vex 
 |-  y e. _V
13 11 12 op1std 
 |-  ( z = <. x , y >. -> ( 1st ` z ) = x )
14 11 12 op2ndd 
 |-  ( z = <. x , y >. -> ( 2nd ` z ) = y )
15 13 14 uneq12d 
 |-  ( z = <. x , y >. -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) = ( x u. y ) )
16 15 mpompt 
 |-  ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> ( x u. y ) )
17 6 16 eqtr4i 
 |-  G = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) )
18 xp1st 
 |-  ( z e. ( X X. Y ) -> ( 1st ` z ) e. X )
19 18 adantl 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` z ) e. X )
20 ixpeq2 
 |-  ( A. n e. A U. ( ( F |` A ) ` n ) = U. ( F ` n ) -> X_ n e. A U. ( ( F |` A ) ` n ) = X_ n e. A U. ( F ` n ) )
21 fvres 
 |-  ( n e. A -> ( ( F |` A ) ` n ) = ( F ` n ) )
22 21 unieqd 
 |-  ( n e. A -> U. ( ( F |` A ) ` n ) = U. ( F ` n ) )
23 20 22 mprg 
 |-  X_ n e. A U. ( ( F |` A ) ` n ) = X_ n e. A U. ( F ` n )
24 ssun1 
 |-  A C_ ( A u. B )
25 24 9 sseqtrrid 
 |-  ( ph -> A C_ C )
26 7 25 ssexd 
 |-  ( ph -> A e. _V )
27 8 25 fssresd 
 |-  ( ph -> ( F |` A ) : A --> Top )
28 4 ptuni 
 |-  ( ( A e. _V /\ ( F |` A ) : A --> Top ) -> X_ n e. A U. ( ( F |` A ) ` n ) = U. K )
29 26 27 28 syl2anc 
 |-  ( ph -> X_ n e. A U. ( ( F |` A ) ` n ) = U. K )
30 23 29 eqtr3id 
 |-  ( ph -> X_ n e. A U. ( F ` n ) = U. K )
31 30 1 eqtr4di 
 |-  ( ph -> X_ n e. A U. ( F ` n ) = X )
32 31 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> X_ n e. A U. ( F ` n ) = X )
33 19 32 eleqtrrd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` z ) e. X_ n e. A U. ( F ` n ) )
34 xp2nd 
 |-  ( z e. ( X X. Y ) -> ( 2nd ` z ) e. Y )
35 34 adantl 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) e. Y )
36 9 eqcomd 
 |-  ( ph -> ( A u. B ) = C )
37 uneqdifeq 
 |-  ( ( A C_ C /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( A u. B ) = C <-> ( C \ A ) = B ) )
38 25 10 37 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( A u. B ) = C <-> ( C \ A ) = B ) )
39 36 38 mpbid 
 |-  ( ph -> ( C \ A ) = B )
40 39 ixpeq1d 
 |-  ( ph -> X_ n e. ( C \ A ) U. ( F ` n ) = X_ n e. B U. ( F ` n ) )
41 ixpeq2 
 |-  ( A. n e. B U. ( ( F |` B ) ` n ) = U. ( F ` n ) -> X_ n e. B U. ( ( F |` B ) ` n ) = X_ n e. B U. ( F ` n ) )
42 fvres 
 |-  ( n e. B -> ( ( F |` B ) ` n ) = ( F ` n ) )
43 42 unieqd 
 |-  ( n e. B -> U. ( ( F |` B ) ` n ) = U. ( F ` n ) )
44 41 43 mprg 
 |-  X_ n e. B U. ( ( F |` B ) ` n ) = X_ n e. B U. ( F ` n )
45 ssun2 
 |-  B C_ ( A u. B )
46 45 9 sseqtrrid 
 |-  ( ph -> B C_ C )
47 7 46 ssexd 
 |-  ( ph -> B e. _V )
48 8 46 fssresd 
 |-  ( ph -> ( F |` B ) : B --> Top )
49 5 ptuni 
 |-  ( ( B e. _V /\ ( F |` B ) : B --> Top ) -> X_ n e. B U. ( ( F |` B ) ` n ) = U. L )
50 47 48 49 syl2anc 
 |-  ( ph -> X_ n e. B U. ( ( F |` B ) ` n ) = U. L )
51 44 50 eqtr3id 
 |-  ( ph -> X_ n e. B U. ( F ` n ) = U. L )
52 51 2 eqtr4di 
 |-  ( ph -> X_ n e. B U. ( F ` n ) = Y )
53 40 52 eqtrd 
 |-  ( ph -> X_ n e. ( C \ A ) U. ( F ` n ) = Y )
54 53 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> X_ n e. ( C \ A ) U. ( F ` n ) = Y )
55 35 54 eleqtrrd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) e. X_ n e. ( C \ A ) U. ( F ` n ) )
56 25 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> A C_ C )
57 undifixp 
 |-  ( ( ( 1st ` z ) e. X_ n e. A U. ( F ` n ) /\ ( 2nd ` z ) e. X_ n e. ( C \ A ) U. ( F ` n ) /\ A C_ C ) -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) e. X_ n e. C U. ( F ` n ) )
58 33 55 56 57 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) e. X_ n e. C U. ( F ` n ) )
59 ixpfn 
 |-  ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) e. X_ n e. C U. ( F ` n ) -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) Fn C )
60 58 59 syl 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) Fn C )
61 dffn5 
 |-  ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) Fn C <-> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) = ( k e. C |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) )
62 60 61 sylib 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) = ( k e. C |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) )
63 62 mpteq2dva 
 |-  ( ph -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ) = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( k e. C |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) ) )
64 17 63 eqtrid 
 |-  ( ph -> G = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( k e. C |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) ) )
65 pttop 
 |-  ( ( A e. _V /\ ( F |` A ) : A --> Top ) -> ( Xt_ ` ( F |` A ) ) e. Top )
66 26 27 65 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( Xt_ ` ( F |` A ) ) e. Top )
67 4 66 eqeltrid 
 |-  ( ph -> K e. Top )
68 1 toptopon 
 |-  ( K e. Top <-> K e. ( TopOn ` X ) )
69 67 68 sylib 
 |-  ( ph -> K e. ( TopOn ` X ) )
70 pttop 
 |-  ( ( B e. _V /\ ( F |` B ) : B --> Top ) -> ( Xt_ ` ( F |` B ) ) e. Top )
71 47 48 70 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( Xt_ ` ( F |` B ) ) e. Top )
72 5 71 eqeltrid 
 |-  ( ph -> L e. Top )
73 2 toptopon 
 |-  ( L e. Top <-> L e. ( TopOn ` Y ) )
74 72 73 sylib 
 |-  ( ph -> L e. ( TopOn ` Y ) )
75 txtopon 
 |-  ( ( K e. ( TopOn ` X ) /\ L e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( K tX L ) e. ( TopOn ` ( X X. Y ) ) )
76 69 74 75 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( K tX L ) e. ( TopOn ` ( X X. Y ) ) )
77 9 eleq2d 
 |-  ( ph -> ( k e. C <-> k e. ( A u. B ) ) )
78 77 biimpa 
 |-  ( ( ph /\ k e. C ) -> k e. ( A u. B ) )
79 elun 
 |-  ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
80 78 79 sylib 
 |-  ( ( ph /\ k e. C ) -> ( k e. A \/ k e. B ) )
81 ixpfn 
 |-  ( ( 1st ` z ) e. X_ n e. A U. ( F ` n ) -> ( 1st ` z ) Fn A )
82 33 81 syl 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` z ) Fn A )
83 82 adantlr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` z ) Fn A )
84 52 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> X_ n e. B U. ( F ` n ) = Y )
85 35 84 eleqtrrd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) e. X_ n e. B U. ( F ` n ) )
86 ixpfn 
 |-  ( ( 2nd ` z ) e. X_ n e. B U. ( F ` n ) -> ( 2nd ` z ) Fn B )
87 85 86 syl 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) Fn B )
88 87 adantlr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) Fn B )
89 10 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
90 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> k e. A )
91 fvun1 
 |-  ( ( ( 1st ` z ) Fn A /\ ( 2nd ` z ) Fn B /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ k e. A ) ) -> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) = ( ( 1st ` z ) ` k ) )
92 83 88 89 90 91 syl112anc 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) = ( ( 1st ` z ) ` k ) )
93 92 mpteq2dva 
 |-  ( ( ph /\ k e. A ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` z ) ` k ) ) )
94 76 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. A ) -> ( K tX L ) e. ( TopOn ` ( X X. Y ) ) )
95 13 mpompt 
 |-  ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 1st ` z ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> x )
96 69 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. A ) -> K e. ( TopOn ` X ) )
97 74 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. A ) -> L e. ( TopOn ` Y ) )
98 96 97 cnmpt1st 
 |-  ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X , y e. Y |-> x ) e. ( ( K tX L ) Cn K ) )
99 95 98 eqeltrid 
 |-  ( ( ph /\ k e. A ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 1st ` z ) ) e. ( ( K tX L ) Cn K ) )
100 26 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. A ) -> A e. _V )
101 27 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. A ) -> ( F |` A ) : A --> Top )
102 simpr 
 |-  ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. A )
103 1 4 ptpjcn 
 |-  ( ( A e. _V /\ ( F |` A ) : A --> Top /\ k e. A ) -> ( f e. X |-> ( f ` k ) ) e. ( K Cn ( ( F |` A ) ` k ) ) )
104 100 101 102 103 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ k e. A ) -> ( f e. X |-> ( f ` k ) ) e. ( K Cn ( ( F |` A ) ` k ) ) )
105 fvres 
 |-  ( k e. A -> ( ( F |` A ) ` k ) = ( F ` k ) )
106 105 adantl 
 |-  ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( F |` A ) ` k ) = ( F ` k ) )
107 106 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ k e. A ) -> ( K Cn ( ( F |` A ) ` k ) ) = ( K Cn ( F ` k ) ) )
108 104 107 eleqtrd 
 |-  ( ( ph /\ k e. A ) -> ( f e. X |-> ( f ` k ) ) e. ( K Cn ( F ` k ) ) )
109 fveq1 
 |-  ( f = ( 1st ` z ) -> ( f ` k ) = ( ( 1st ` z ) ` k ) )
110 94 99 96 108 109 cnmpt11 
 |-  ( ( ph /\ k e. A ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` z ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
111 93 110 eqeltrd 
 |-  ( ( ph /\ k e. A ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
112 82 adantlr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` z ) Fn A )
113 87 adantlr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) Fn B )
114 10 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
115 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> k e. B )
116 fvun2 
 |-  ( ( ( 1st ` z ) Fn A /\ ( 2nd ` z ) Fn B /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ k e. B ) ) -> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) = ( ( 2nd ` z ) ` k ) )
117 112 113 114 115 116 syl112anc 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) = ( ( 2nd ` z ) ` k ) )
118 117 mpteq2dva 
 |-  ( ( ph /\ k e. B ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 2nd ` z ) ` k ) ) )
119 76 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. B ) -> ( K tX L ) e. ( TopOn ` ( X X. Y ) ) )
120 14 mpompt 
 |-  ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 2nd ` z ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> y )
121 69 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. B ) -> K e. ( TopOn ` X ) )
122 74 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. B ) -> L e. ( TopOn ` Y ) )
123 121 122 cnmpt2nd 
 |-  ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. X , y e. Y |-> y ) e. ( ( K tX L ) Cn L ) )
124 120 123 eqeltrid 
 |-  ( ( ph /\ k e. B ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 2nd ` z ) ) e. ( ( K tX L ) Cn L ) )
125 47 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. B ) -> B e. _V )
126 48 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. B ) -> ( F |` B ) : B --> Top )
127 simpr 
 |-  ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. B )
128 2 5 ptpjcn 
 |-  ( ( B e. _V /\ ( F |` B ) : B --> Top /\ k e. B ) -> ( f e. Y |-> ( f ` k ) ) e. ( L Cn ( ( F |` B ) ` k ) ) )
129 125 126 127 128 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ k e. B ) -> ( f e. Y |-> ( f ` k ) ) e. ( L Cn ( ( F |` B ) ` k ) ) )
130 fvres 
 |-  ( k e. B -> ( ( F |` B ) ` k ) = ( F ` k ) )
131 130 adantl 
 |-  ( ( ph /\ k e. B ) -> ( ( F |` B ) ` k ) = ( F ` k ) )
132 131 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ k e. B ) -> ( L Cn ( ( F |` B ) ` k ) ) = ( L Cn ( F ` k ) ) )
133 129 132 eleqtrd 
 |-  ( ( ph /\ k e. B ) -> ( f e. Y |-> ( f ` k ) ) e. ( L Cn ( F ` k ) ) )
134 fveq1 
 |-  ( f = ( 2nd ` z ) -> ( f ` k ) = ( ( 2nd ` z ) ` k ) )
135 119 124 122 133 134 cnmpt11 
 |-  ( ( ph /\ k e. B ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 2nd ` z ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
136 118 135 eqeltrd 
 |-  ( ( ph /\ k e. B ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
137 111 136 jaodan 
 |-  ( ( ph /\ ( k e. A \/ k e. B ) ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
138 80 137 syldan 
 |-  ( ( ph /\ k e. C ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
139 3 76 7 8 138 ptcn 
 |-  ( ph -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( k e. C |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J ) )
140 64 139 eqeltrd 
 |-  ( ph -> G e. ( ( K tX L ) Cn J ) )
141 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ptuncnv 
 |-  ( ph -> `' G = ( z e. U. J |-> <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. ) )
142 pttop 
 |-  ( ( C e. V /\ F : C --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
143 7 8 142 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
144 3 143 eqeltrid 
 |-  ( ph -> J e. Top )
145 eqid 
 |-  U. J = U. J
146 145 toptopon 
 |-  ( J e. Top <-> J e. ( TopOn ` U. J ) )
147 144 146 sylib 
 |-  ( ph -> J e. ( TopOn ` U. J ) )
148 145 3 4 ptrescn 
 |-  ( ( C e. V /\ F : C --> Top /\ A C_ C ) -> ( z e. U. J |-> ( z |` A ) ) e. ( J Cn K ) )
149 7 8 25 148 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( z e. U. J |-> ( z |` A ) ) e. ( J Cn K ) )
150 145 3 5 ptrescn 
 |-  ( ( C e. V /\ F : C --> Top /\ B C_ C ) -> ( z e. U. J |-> ( z |` B ) ) e. ( J Cn L ) )
151 7 8 46 150 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( z e. U. J |-> ( z |` B ) ) e. ( J Cn L ) )
152 147 149 151 cnmpt1t 
 |-  ( ph -> ( z e. U. J |-> <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
153 141 152 eqeltrd 
 |-  ( ph -> `' G e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
154 ishmeo 
 |-  ( G e. ( ( K tX L ) Homeo J ) <-> ( G e. ( ( K tX L ) Cn J ) /\ `' G e. ( J Cn ( K tX L ) ) ) )
155 140 153 154 sylanbrc 
 |-  ( ph -> G e. ( ( K tX L ) Homeo J ) )