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Theorem psrlidm

Description: The identity element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019)

Ref Expression
Hypotheses psrring.s 
|- S = ( I mPwSer R )
psrring.i 
|- ( ph -> I e. V )
psrring.r 
|- ( ph -> R e. Ring )
psr1cl.d 
|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psr1cl.z 
|- .0. = ( 0g ` R )
psr1cl.o 
|- .1. = ( 1r ` R )
psr1cl.u 
|- U = ( x e. D |-> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
psr1cl.b 
|- B = ( Base ` S )
psrlidm.t 
|- .x. = ( .r ` S )
psrlidm.x 
|- ( ph -> X e. B )
Assertion psrlidm 
|- ( ph -> ( U .x. X ) = X )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 psrring.s 
 |-  S = ( I mPwSer R )
2 psrring.i 
 |-  ( ph -> I e. V )
3 psrring.r 
 |-  ( ph -> R e. Ring )
4 psr1cl.d 
 |-  D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5 psr1cl.z 
 |-  .0. = ( 0g ` R )
6 psr1cl.o 
 |-  .1. = ( 1r ` R )
7 psr1cl.u 
 |-  U = ( x e. D |-> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
8 psr1cl.b 
 |-  B = ( Base ` S )
9 psrlidm.t 
 |-  .x. = ( .r ` S )
10 psrlidm.x 
 |-  ( ph -> X e. B )
11 eqid 
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` R )
12 1 2 3 4 5 6 7 8 psr1cl 
 |-  ( ph -> U e. B )
13 1 8 9 3 12 10 psrmulcl 
 |-  ( ph -> ( U .x. X ) e. B )
14 1 11 4 8 13 psrelbas 
 |-  ( ph -> ( U .x. X ) : D --> ( Base ` R ) )
15 14 ffnd 
 |-  ( ph -> ( U .x. X ) Fn D )
16 1 11 4 8 10 psrelbas 
 |-  ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
17 16 ffnd 
 |-  ( ph -> X Fn D )
18 eqid 
 |-  ( .r ` R ) = ( .r ` R )
19 12 adantr 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> U e. B )
20 10 adantr 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> X e. B )
21 simpr 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> y e. D )
22 1 8 18 9 4 19 20 21 psrmulval 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( U .x. X ) ` y ) = ( R gsum ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) ) )
23 breq1 
 |-  ( g = ( I X. { 0 } ) -> ( g oR <_ y <-> ( I X. { 0 } ) oR <_ y ) )
24 fconstmpt 
 |-  ( I X. { 0 } ) = ( x e. I |-> 0 )
25 4 fczpsrbag 
 |-  ( I e. V -> ( x e. I |-> 0 ) e. D )
26 2 25 syl 
 |-  ( ph -> ( x e. I |-> 0 ) e. D )
27 24 26 eqeltrid 
 |-  ( ph -> ( I X. { 0 } ) e. D )
28 27 adantr 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( I X. { 0 } ) e. D )
29 4 psrbagf 
 |-  ( y e. D -> y : I --> NN0 )
30 29 adantl 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> y : I --> NN0 )
31 30 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ x e. I ) -> ( y ` x ) e. NN0 )
32 31 nn0ge0d 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( y ` x ) )
33 32 ralrimiva 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> A. x e. I 0 <_ ( y ` x ) )
34 0nn0 
 |-  0 e. NN0
35 34 fconst6 
 |-  ( I X. { 0 } ) : I --> NN0
36 ffn 
 |-  ( ( I X. { 0 } ) : I --> NN0 -> ( I X. { 0 } ) Fn I )
37 35 36 mp1i 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( I X. { 0 } ) Fn I )
38 30 ffnd 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> y Fn I )
39 2 adantr 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> I e. V )
40 inidm 
 |-  ( I i^i I ) = I
41 34 a1i 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> 0 e. NN0 )
42 fvconst2g 
 |-  ( ( 0 e. NN0 /\ x e. I ) -> ( ( I X. { 0 } ) ` x ) = 0 )
43 41 42 sylan 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ x e. I ) -> ( ( I X. { 0 } ) ` x ) = 0 )
44 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ x e. I ) -> ( y ` x ) = ( y ` x ) )
45 37 38 39 39 40 43 44 ofrfval 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( I X. { 0 } ) oR <_ y <-> A. x e. I 0 <_ ( y ` x ) ) )
46 33 45 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( I X. { 0 } ) oR <_ y )
47 23 28 46 elrabd 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( I X. { 0 } ) e. { g e. D | g oR <_ y } )
48 47 snssd 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> { ( I X. { 0 } ) } C_ { g e. D | g oR <_ y } )
49 48 resmptd 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) |` { ( I X. { 0 } ) } ) = ( z e. { ( I X. { 0 } ) } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) )
50 49 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( R gsum ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) |` { ( I X. { 0 } ) } ) ) = ( R gsum ( z e. { ( I X. { 0 } ) } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) ) )
51 ringcmn 
 |-  ( R e. Ring -> R e. CMnd )
52 3 51 syl 
 |-  ( ph -> R e. CMnd )
53 52 adantr 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> R e. CMnd )
54 ovex 
 |-  ( NN0 ^m I ) e. _V
55 4 54 rab2ex 
 |-  { g e. D | g oR <_ y } e. _V
56 55 a1i 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> { g e. D | g oR <_ y } e. _V )
57 3 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> R e. Ring )
58 breq1 
 |-  ( g = z -> ( g oR <_ y <-> z oR <_ y ) )
59 58 elrab 
 |-  ( z e. { g e. D | g oR <_ y } <-> ( z e. D /\ z oR <_ y ) )
60 59 bilani 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( z e. D /\ z oR <_ y ) )
61 60 simpld 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> z e. D )
62 1 11 4 8 19 psrelbas 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> U : D --> ( Base ` R ) )
63 62 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. D ) -> ( U ` z ) e. ( Base ` R ) )
64 61 63 syldan 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( U ` z ) e. ( Base ` R ) )
65 16 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
66 21 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> y e. D )
67 4 psrbagf 
 |-  ( z e. D -> z : I --> NN0 )
68 61 67 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> z : I --> NN0 )
69 60 simprd 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> z oR <_ y )
70 4 psrbagcon 
 |-  ( ( y e. D /\ z : I --> NN0 /\ z oR <_ y ) -> ( ( y oF - z ) e. D /\ ( y oF - z ) oR <_ y ) )
71 66 68 69 70 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( ( y oF - z ) e. D /\ ( y oF - z ) oR <_ y ) )
72 71 simpld 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( y oF - z ) e. D )
73 65 72 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( X ` ( y oF - z ) ) e. ( Base ` R ) )
74 11 18 ringcl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( U ` z ) e. ( Base ` R ) /\ ( X ` ( y oF - z ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) e. ( Base ` R ) )
75 57 64 73 74 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) e. ( Base ` R ) )
76 75 fmpttd 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) : { g e. D | g oR <_ y } --> ( Base ` R ) )
77 eldifi 
 |-  ( z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) -> z e. { g e. D | g oR <_ y } )
78 77 60 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( z e. D /\ z oR <_ y ) )
79 78 simpld 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> z e. D )
80 eqeq1 
 |-  ( x = z -> ( x = ( I X. { 0 } ) <-> z = ( I X. { 0 } ) ) )
81 80 ifbid 
 |-  ( x = z -> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) = if ( z = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
82 6 fvexi 
 |-  .1. e. _V
83 5 fvexi 
 |-  .0. e. _V
84 82 83 ifex 
 |-  if ( z = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) e. _V
85 81 7 84 fvmpt 
 |-  ( z e. D -> ( U ` z ) = if ( z = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
86 79 85 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( U ` z ) = if ( z = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
87 eldifn 
 |-  ( z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) -> -. z e. { ( I X. { 0 } ) } )
88 87 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> -. z e. { ( I X. { 0 } ) } )
89 velsn 
 |-  ( z e. { ( I X. { 0 } ) } <-> z = ( I X. { 0 } ) )
90 88 89 sylnib 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> -. z = ( I X. { 0 } ) )
91 90 iffalsed 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> if ( z = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) = .0. )
92 86 91 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( U ` z ) = .0. )
93 92 oveq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) = ( .0. ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) )
94 3 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> R e. Ring )
95 77 73 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( X ` ( y oF - z ) ) e. ( Base ` R ) )
96 11 18 5 ringlz 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X ` ( y oF - z ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) = .0. )
97 94 95 96 syl2anc 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) = .0. )
98 93 97 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) = .0. )
99 98 56 suppss2 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) supp .0. ) C_ { ( I X. { 0 } ) } )
100 4 54 rabex2 
 |-  D e. _V
101 100 mptrabex 
 |-  ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) e. _V
102 101 a1i 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) e. _V )
103 funmpt 
 |-  Fun ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) )
104 103 a1i 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> Fun ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) )
105 83 a1i 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> .0. e. _V )
106 snfi 
 |-  { ( I X. { 0 } ) } e. Fin
107 106 a1i 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> { ( I X. { 0 } ) } e. Fin )
108 suppssfifsupp 
 |-  ( ( ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) /\ .0. e. _V ) /\ ( { ( I X. { 0 } ) } e. Fin /\ ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) supp .0. ) C_ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) finSupp .0. )
109 102 104 105 107 99 108 syl32anc 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) finSupp .0. )
110 11 5 53 56 76 99 109 gsumres 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( R gsum ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) |` { ( I X. { 0 } ) } ) ) = ( R gsum ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) ) )
111 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> R e. Ring )
112 ringmnd 
 |-  ( R e. Ring -> R e. Mnd )
113 111 112 syl 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> R e. Mnd )
114 iftrue 
 |-  ( x = ( I X. { 0 } ) -> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) = .1. )
115 114 7 82 fvmpt 
 |-  ( ( I X. { 0 } ) e. D -> ( U ` ( I X. { 0 } ) ) = .1. )
116 28 115 syl 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( U ` ( I X. { 0 } ) ) = .1. )
117 nn0cn 
 |-  ( z e. NN0 -> z e. CC )
118 117 subid1d 
 |-  ( z e. NN0 -> ( z - 0 ) = z )
119 118 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. NN0 ) -> ( z - 0 ) = z )
120 39 30 41 119 caofid0r 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) = y )
121 120 fveq2d 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) = ( X ` y ) )
122 116 121 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( U ` ( I X. { 0 } ) ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) ) = ( .1. ( .r ` R ) ( X ` y ) ) )
123 16 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( X ` y ) e. ( Base ` R ) )
124 11 18 6 ringlidm 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X ` y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .1. ( .r ` R ) ( X ` y ) ) = ( X ` y ) )
125 111 123 124 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( .1. ( .r ` R ) ( X ` y ) ) = ( X ` y ) )
126 122 125 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( U ` ( I X. { 0 } ) ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) ) = ( X ` y ) )
127 126 123 eqeltrd 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( U ` ( I X. { 0 } ) ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
128 fveq2 
 |-  ( z = ( I X. { 0 } ) -> ( U ` z ) = ( U ` ( I X. { 0 } ) ) )
129 oveq2 
 |-  ( z = ( I X. { 0 } ) -> ( y oF - z ) = ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) )
130 129 fveq2d 
 |-  ( z = ( I X. { 0 } ) -> ( X ` ( y oF - z ) ) = ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) )
131 128 130 oveq12d 
 |-  ( z = ( I X. { 0 } ) -> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) = ( ( U ` ( I X. { 0 } ) ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) ) )
132 11 131 gsumsn 
 |-  ( ( R e. Mnd /\ ( I X. { 0 } ) e. D /\ ( ( U ` ( I X. { 0 } ) ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( R gsum ( z e. { ( I X. { 0 } ) } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) ) = ( ( U ` ( I X. { 0 } ) ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) ) )
133 113 28 127 132 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( R gsum ( z e. { ( I X. { 0 } ) } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) ) = ( ( U ` ( I X. { 0 } ) ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) ) )
134 50 110 133 3eqtr3d 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( R gsum ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) ) = ( ( U ` ( I X. { 0 } ) ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) ) )
135 22 134 126 3eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( U .x. X ) ` y ) = ( X ` y ) )
136 15 17 135 eqfnfvd 
 |-  ( ph -> ( U .x. X ) = X )