fourierdlem64

Description: The partition V is finer than Q , when Q is moved on the same interval where V lies. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem64.t	\|- T = ( B - A )
	fourierdlem64.p	\|- P = ( m e. NN \|-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) \| ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
	fourierdlem64.m	\|- ( ph -> M e. NN )
	fourierdlem64.q	\|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
	fourierdlem64.c	\|- ( ph -> C e. RR )
	fourierdlem64.d	\|- ( ph -> D e. RR )
	fourierdlem64.cltd	\|- ( ph -> C < D )
	fourierdlem64.h	\|- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) \| E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
	fourierdlem64.n	\|- N = ( ( # ` H ) - 1 )
	fourierdlem64.v	\|- V = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
	fourierdlem64.j	\|- ( ph -> J e. ( 0 ..^ N ) )
	fourierdlem64.l	\|- L = sup ( { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < )
	fourierdlem64.i	\|- I = sup ( { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < )
Assertion	fourierdlem64	\|- ( ph -> ( ( I e. ( 0 ..^ M ) /\ L e. ZZ ) /\ E. i e. ( 0 ..^ M ) E. l e. ZZ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem64.t	\|- T = ( B - A )
2		fourierdlem64.p	\|- P = ( m e. NN \|-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) \| ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
3		fourierdlem64.m	\|- ( ph -> M e. NN )
4		fourierdlem64.q	\|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
5		fourierdlem64.c	\|- ( ph -> C e. RR )
6		fourierdlem64.d	\|- ( ph -> D e. RR )
7		fourierdlem64.cltd	\|- ( ph -> C < D )
8		fourierdlem64.h	\|- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) \| E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
9		fourierdlem64.n	\|- N = ( ( # ` H ) - 1 )
10		fourierdlem64.v	\|- V = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
11		fourierdlem64.j	\|- ( ph -> J e. ( 0 ..^ N ) )
12		fourierdlem64.l	\|- L = sup ( { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < )
13		fourierdlem64.i	\|- I = sup ( { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < )
14		ssrab2	\|- { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ ( 0 ..^ M )
15		fzossfz	\|- ( 0 ..^ M ) C_ ( 0 ... M )
16		fzssz	\|- ( 0 ... M ) C_ ZZ
17	15 16	sstri	\|- ( 0 ..^ M ) C_ ZZ
18	14 17	sstri	\|- { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ ZZ
19	18	a1i	\|- ( ph -> { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ ZZ )
20		0zd	\|- ( ph -> 0 e. ZZ )
21	3	nnzd	\|- ( ph -> M e. ZZ )
22	3	nngt0d	\|- ( ph -> 0 < M )
23		fzolb	\|- ( 0 e. ( 0 ..^ M ) <-> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 0 < M ) )
24	20 21 22 23	syl3anbrc	\|- ( ph -> 0 e. ( 0 ..^ M ) )
25		ssrab2	\|- { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ ZZ
26	25	a1i	\|- ( ph -> { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ ZZ )
27		prssi	\|- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> { C , D } C_ RR )
28	5 6 27	syl2anc	\|- ( ph -> { C , D } C_ RR )
29		ssrab2	\|- { y e. ( C [,] D ) \| E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } C_ ( C [,] D )
30	29	a1i	\|- ( ph -> { y e. ( C [,] D ) \| E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } C_ ( C [,] D ) )
31	5 6	iccssred	\|- ( ph -> ( C [,] D ) C_ RR )
32	30 31	sstrd	\|- ( ph -> { y e. ( C [,] D ) \| E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } C_ RR )
33	28 32	unssd	\|- ( ph -> ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) \| E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) C_ RR )
34	8 33	eqsstrid	\|- ( ph -> H C_ RR )
35		eqid	\|- ( m e. NN \|-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) \| ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) = ( m e. NN \|-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) \| ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
36	1 2 3 4 5 6 7 35 8 9 10	fourierdlem54	\|- ( ph -> ( ( N e. NN /\ V e. ( ( m e. NN \|-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) \| ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` N ) ) /\ V Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) )
37	36	simprd	\|- ( ph -> V Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
38		isof1o	\|- ( V Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) -> V : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H )
39		f1of	\|- ( V : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H -> V : ( 0 ... N ) --> H )
40	37 38 39	3syl	\|- ( ph -> V : ( 0 ... N ) --> H )
41		elfzofz	\|- ( J e. ( 0 ..^ N ) -> J e. ( 0 ... N ) )
42	11 41	syl	\|- ( ph -> J e. ( 0 ... N ) )
43	40 42	ffvelcdmd	\|- ( ph -> ( V ` J ) e. H )
44	34 43	sseldd	\|- ( ph -> ( V ` J ) e. RR )
45	2	fourierdlem2	\|- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
46	3 45	syl	\|- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
47	4 46	mpbid	\|- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
48	47	simpld	\|- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
49		elmapi	\|- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
50	48 49	syl	\|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
51	3	nnnn0d	\|- ( ph -> M e. NN0 )
52		nn0uz	\|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
53	51 52	eleqtrdi	\|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
54		eluzfz1	\|- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
55	53 54	syl	\|- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
56	50 55	ffvelcdmd	\|- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
57	44 56	resubcld	\|- ( ph -> ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) e. RR )
58	2 3 4	fourierdlem11	\|- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
59	58	simp2d	\|- ( ph -> B e. RR )
60	58	simp1d	\|- ( ph -> A e. RR )
61	59 60	resubcld	\|- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
62	1 61	eqeltrid	\|- ( ph -> T e. RR )
63	58	simp3d	\|- ( ph -> A < B )
64	60 59	posdifd	\|- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
65	63 64	mpbid	\|- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
66	65 1	breqtrrdi	\|- ( ph -> 0 < T )
67	66	gt0ne0d	\|- ( ph -> T =/= 0 )
68	57 62 67	redivcld	\|- ( ph -> ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) e. RR )
69		btwnz	\|- ( ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) e. RR -> ( E. k e. ZZ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) /\ E. z e. ZZ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) < z ) )
70	68 69	syl	\|- ( ph -> ( E. k e. ZZ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) /\ E. z e. ZZ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) < z ) )
71	70	simpld	\|- ( ph -> E. k e. ZZ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) )
72		zre	\|- ( k e. ZZ -> k e. RR )
73	56	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
74		simplr	\|- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> k e. RR )
75	62	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> T e. RR )
76	74 75	remulcld	\|- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( k x. T ) e. RR )
77	73 76	readdcld	\|- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) e. RR )
78	44	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( V ` J ) e. RR )
79		simpr	\|- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) )
80	57	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) e. RR )
81	62 66	elrpd	\|- ( ph -> T e. RR+ )
82	81	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> T e. RR+ )
83	74 80 82	ltmuldivd	\|- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( ( k x. T ) < ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) <-> k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) )
84	79 83	mpbird	\|- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( k x. T ) < ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) )
85	56	adantr	\|- ( ( ph /\ k e. RR ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
86		simpr	\|- ( ( ph /\ k e. RR ) -> k e. RR )
87	62	adantr	\|- ( ( ph /\ k e. RR ) -> T e. RR )
88	86 87	remulcld	\|- ( ( ph /\ k e. RR ) -> ( k x. T ) e. RR )
89	44	adantr	\|- ( ( ph /\ k e. RR ) -> ( V ` J ) e. RR )
90	85 88 89	ltaddsub2d	\|- ( ( ph /\ k e. RR ) -> ( ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) < ( V ` J ) <-> ( k x. T ) < ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) ) )
91	90	adantr	\|- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) < ( V ` J ) <-> ( k x. T ) < ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) ) )
92	84 91	mpbird	\|- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) < ( V ` J ) )
93	77 78 92	ltled	\|- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
94	93	ex	\|- ( ( ph /\ k e. RR ) -> ( k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
95	72 94	sylan2	\|- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
96	95	reximdva	\|- ( ph -> ( E. k e. ZZ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) -> E. k e. ZZ ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
97	71 96	mpd	\|- ( ph -> E. k e. ZZ ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
98		rabn0	\|- ( { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) <-> E. k e. ZZ ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
99	97 98	sylibr	\|- ( ph -> { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) )
100		simpl	\|- ( ( ph /\ j e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } ) -> ph )
101	26	sselda	\|- ( ( ph /\ j e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } ) -> j e. ZZ )
102		oveq1	\|- ( k = j -> ( k x. T ) = ( j x. T ) )
103	102	oveq2d	\|- ( k = j -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) )
104	103	breq1d	\|- ( k = j -> ( ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) <-> ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
105	104	elrab	\|- ( j e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } <-> ( j e. ZZ /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
106	105	simprbi	\|- ( j e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } -> ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
107	106	adantl	\|- ( ( ph /\ j e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
108		zre	\|- ( j e. ZZ -> j e. RR )
109		simpr	\|- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
110	56	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
111		simpr	\|- ( ( ph /\ j e. RR ) -> j e. RR )
112	62	adantr	\|- ( ( ph /\ j e. RR ) -> T e. RR )
113	111 112	remulcld	\|- ( ( ph /\ j e. RR ) -> ( j x. T ) e. RR )
114	113	adantr	\|- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( j x. T ) e. RR )
115	44	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( V ` J ) e. RR )
116	110 114 115	leaddsub2d	\|- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) <-> ( j x. T ) <_ ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) ) )
117	109 116	mpbid	\|- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( j x. T ) <_ ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) )
118		simplr	\|- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> j e. RR )
119	57	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) e. RR )
120	81	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> T e. RR+ )
121	118 119 120	lemuldivd	\|- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( ( j x. T ) <_ ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) <-> j <_ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) )
122	117 121	mpbid	\|- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> j <_ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) )
123	108 122	sylanl2	\|- ( ( ( ph /\ j e. ZZ ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> j <_ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) )
124	100 101 107 123	syl21anc	\|- ( ( ph /\ j e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } ) -> j <_ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) )
125	124	ralrimiva	\|- ( ph -> A. j e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) )
126		breq2	\|- ( b = ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) -> ( j <_ b <-> j <_ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) )
127	126	ralbidv	\|- ( b = ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) -> ( A. j e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ b <-> A. j e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) )
128	127	rspcev	\|- ( ( ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) e. RR /\ A. j e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> E. b e. RR A. j e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ b )
129	68 125 128	syl2anc	\|- ( ph -> E. b e. RR A. j e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ b )
130		suprzcl	\|- ( ( { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ ZZ /\ { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) /\ E. b e. RR A. j e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ b ) -> sup ( { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
131	26 99 129 130	syl3anc	\|- ( ph -> sup ( { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
132	12 131	eqeltrid	\|- ( ph -> L e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
133		oveq1	\|- ( k = L -> ( k x. T ) = ( L x. T ) )
134	133	oveq2d	\|- ( k = L -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( L x. T ) ) )
135	134	breq1d	\|- ( k = L -> ( ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) <-> ( ( Q ` 0 ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
136	135	elrab	\|- ( L e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } <-> ( L e. ZZ /\ ( ( Q ` 0 ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
137	132 136	sylib	\|- ( ph -> ( L e. ZZ /\ ( ( Q ` 0 ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
138	137	simprd	\|- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
139		fveq2	\|- ( j = 0 -> ( Q ` j ) = ( Q ` 0 ) )
140	139	oveq1d	\|- ( j = 0 -> ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( L x. T ) ) )
141	140	breq1d	\|- ( j = 0 -> ( ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) <-> ( ( Q ` 0 ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
142	141	elrab	\|- ( 0 e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } <-> ( 0 e. ( 0 ..^ M ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
143	24 138 142	sylanbrc	\|- ( ph -> 0 e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
144		ne0i	\|- ( 0 e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } -> { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) )
145	143 144	syl	\|- ( ph -> { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) )
146	3	nnred	\|- ( ph -> M e. RR )
147	14	a1i	\|- ( ph -> { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ ( 0 ..^ M ) )
148	147	sselda	\|- ( ( ph /\ k e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } ) -> k e. ( 0 ..^ M ) )
149		elfzoelz	\|- ( k e. ( 0 ..^ M ) -> k e. ZZ )
150	149	zred	\|- ( k e. ( 0 ..^ M ) -> k e. RR )
151	150	adantl	\|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ M ) ) -> k e. RR )
152	146	adantr	\|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ M ) ) -> M e. RR )
153		elfzolt2	\|- ( k e. ( 0 ..^ M ) -> k < M )
154	153	adantl	\|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ M ) ) -> k < M )
155	151 152 154	ltled	\|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ M ) ) -> k <_ M )
156	148 155	syldan	\|- ( ( ph /\ k e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } ) -> k <_ M )
157	156	ralrimiva	\|- ( ph -> A. k e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ M )
158		breq2	\|- ( b = M -> ( k <_ b <-> k <_ M ) )
159	158	ralbidv	\|- ( b = M -> ( A. k e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ b <-> A. k e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ M ) )
160	159	rspcev	\|- ( ( M e. RR /\ A. k e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ M ) -> E. b e. RR A. k e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ b )
161	146 157 160	syl2anc	\|- ( ph -> E. b e. RR A. k e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ b )
162		suprzcl	\|- ( ( { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ ZZ /\ { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) /\ E. b e. RR A. k e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ b ) -> sup ( { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
163	19 145 161 162	syl3anc	\|- ( ph -> sup ( { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
164	14 163	sselid	\|- ( ph -> sup ( { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) e. ( 0 ..^ M ) )
165	13 164	eqeltrid	\|- ( ph -> I e. ( 0 ..^ M ) )
166	25 131	sselid	\|- ( ph -> sup ( { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) e. ZZ )
167	12 166	eqeltrid	\|- ( ph -> L e. ZZ )
168	15 165	sselid	\|- ( ph -> I e. ( 0 ... M ) )
169	50 168	ffvelcdmd	\|- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR )
170	167	zred	\|- ( ph -> L e. RR )
171	170 62	remulcld	\|- ( ph -> ( L x. T ) e. RR )
172	169 171	readdcld	\|- ( ph -> ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) e. RR )
173	172	rexrd	\|- ( ph -> ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) e. RR* )
174	173	adantr	\|- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) e. RR* )
175		fzofzp1	\|- ( I e. ( 0 ..^ M ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
176	165 175	syl	\|- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
177	50 176	ffvelcdmd	\|- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
178	177 171	readdcld	\|- ( ph -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR )
179	178	rexrd	\|- ( ph -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR* )
180	179	adantr	\|- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR* )
181		elioore	\|- ( x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) -> x e. RR )
182	181	adantl	\|- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
183	172	adantr	\|- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) e. RR )
184	44	adantr	\|- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( V ` J ) e. RR )
185	13 163	eqeltrid	\|- ( ph -> I e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
186		fveq2	\|- ( j = I -> ( Q ` j ) = ( Q ` I ) )
187	186	oveq1d	\|- ( j = I -> ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) = ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) )
188	187	breq1d	\|- ( j = I -> ( ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) <-> ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
189	188	elrab	\|- ( I e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } <-> ( I e. ( 0 ..^ M ) /\ ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
190	185 189	sylib	\|- ( ph -> ( I e. ( 0 ..^ M ) /\ ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
191	190	simprd	\|- ( ph -> ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
192	191	adantr	\|- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
193	184	rexrd	\|- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( V ` J ) e. RR* )
194		fzofzp1	\|- ( J e. ( 0 ..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
195	11 194	syl	\|- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
196	40 195	ffvelcdmd	\|- ( ph -> ( V ` ( J + 1 ) ) e. H )
197	34 196	sseldd	\|- ( ph -> ( V ` ( J + 1 ) ) e. RR )
198	197	rexrd	\|- ( ph -> ( V ` ( J + 1 ) ) e. RR* )
199	198	adantr	\|- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) e. RR* )
200		simpr	\|- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) )
201		ioogtlb	\|- ( ( ( V ` J ) e. RR* /\ ( V ` ( J + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( V ` J ) < x )
202	193 199 200 201	syl3anc	\|- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( V ` J ) < x )
203	183 184 182 192 202	lelttrd	\|- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) < x )
204		zssre	\|- ZZ C_ RR
205	25 204	sstri	\|- { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ RR
206	205	a1i	\|- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ RR )
207	99	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) )
208	129	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> E. b e. RR A. j e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ b )
209	167	peano2zd	\|- ( ph -> ( L + 1 ) e. ZZ )
210	209	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( L + 1 ) e. ZZ )
211		oveq1	\|- ( I = ( M - 1 ) -> ( I + 1 ) = ( ( M - 1 ) + 1 ) )
212	146	recnd	\|- ( ph -> M e. CC )
213		1cnd	\|- ( ph -> 1 e. CC )
214	212 213	npcand	\|- ( ph -> ( ( M - 1 ) + 1 ) = M )
215	211 214	sylan9eqr	\|- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( I + 1 ) = M )
216	215	fveq2d	\|- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( Q ` M ) )
217	47	simprd	\|- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
218	217	simpld	\|- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) )
219	218	simprd	\|- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
220	219	adantr	\|- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( Q ` M ) = B )
221	59	recnd	\|- ( ph -> B e. CC )
222	60	recnd	\|- ( ph -> A e. CC )
223	221 222	npcand	\|- ( ph -> ( ( B - A ) + A ) = B )
224	223	eqcomd	\|- ( ph -> B = ( ( B - A ) + A ) )
225	1	eqcomi	\|- ( B - A ) = T
226	225	a1i	\|- ( ph -> ( B - A ) = T )
227	226	oveq1d	\|- ( ph -> ( ( B - A ) + A ) = ( T + A ) )
228	218	simpld	\|- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
229	228	eqcomd	\|- ( ph -> A = ( Q ` 0 ) )
230	229	oveq2d	\|- ( ph -> ( T + A ) = ( T + ( Q ` 0 ) ) )
231	224 227 230	3eqtrd	\|- ( ph -> B = ( T + ( Q ` 0 ) ) )
232	231	adantr	\|- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> B = ( T + ( Q ` 0 ) ) )
233	216 220 232	3eqtrd	\|- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( T + ( Q ` 0 ) ) )
234	62	recnd	\|- ( ph -> T e. CC )
235	228 222	eqeltrd	\|- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. CC )
236	234 235	addcomd	\|- ( ph -> ( T + ( Q ` 0 ) ) = ( ( Q ` 0 ) + T ) )
237	236	adantr	\|- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( T + ( Q ` 0 ) ) = ( ( Q ` 0 ) + T ) )
238	233 237	eqtrd	\|- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( ( Q ` 0 ) + T ) )
239	238	oveq1d	\|- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( ( ( Q ` 0 ) + T ) + ( L x. T ) ) )
240	171	recnd	\|- ( ph -> ( L x. T ) e. CC )
241	235 234 240	addassd	\|- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) + T ) + ( L x. T ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( T + ( L x. T ) ) ) )
242	234	mullidd	\|- ( ph -> ( 1 x. T ) = T )
243	242 234	eqeltrd	\|- ( ph -> ( 1 x. T ) e. CC )
244	243 240	addcomd	\|- ( ph -> ( ( 1 x. T ) + ( L x. T ) ) = ( ( L x. T ) + ( 1 x. T ) ) )
245	242	eqcomd	\|- ( ph -> T = ( 1 x. T ) )
246	245	oveq1d	\|- ( ph -> ( T + ( L x. T ) ) = ( ( 1 x. T ) + ( L x. T ) ) )
247	170	recnd	\|- ( ph -> L e. CC )
248	247 213 234	adddird	\|- ( ph -> ( ( L + 1 ) x. T ) = ( ( L x. T ) + ( 1 x. T ) ) )
249	244 246 248	3eqtr4d	\|- ( ph -> ( T + ( L x. T ) ) = ( ( L + 1 ) x. T ) )
250	249	oveq2d	\|- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) + ( T + ( L x. T ) ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) )
251	241 250	eqtrd	\|- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) + T ) + ( L x. T ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) )
252	251	adantr	\|- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( ( ( Q ` 0 ) + T ) + ( L x. T ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) )
253	239 252	eqtr2d	\|- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
254	253	adantr	\|- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
255		simpr	\|- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
256	254 255	eqbrtrd	\|- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
257		oveq1	\|- ( k = ( L + 1 ) -> ( k x. T ) = ( ( L + 1 ) x. T ) )
258	257	oveq2d	\|- ( k = ( L + 1 ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) )
259	258	breq1d	\|- ( k = ( L + 1 ) -> ( ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) <-> ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
260	259	elrab	\|- ( ( L + 1 ) e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } <-> ( ( L + 1 ) e. ZZ /\ ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
261	210 256 260	sylanbrc	\|- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( L + 1 ) e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
262		suprub	\|- ( ( ( { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ RR /\ { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) /\ E. b e. RR A. j e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ b ) /\ ( L + 1 ) e. { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } ) -> ( L + 1 ) <_ sup ( { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) )
263	206 207 208 261 262	syl31anc	\|- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( L + 1 ) <_ sup ( { k e. ZZ \| ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) )
264	263 12	breqtrrdi	\|- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( L + 1 ) <_ L )
265	170	ltp1d	\|- ( ph -> L < ( L + 1 ) )
266		peano2re	\|- ( L e. RR -> ( L + 1 ) e. RR )
267	170 266	syl	\|- ( ph -> ( L + 1 ) e. RR )
268	170 267	ltnled	\|- ( ph -> ( L < ( L + 1 ) <-> -. ( L + 1 ) <_ L ) )
269	265 268	mpbid	\|- ( ph -> -. ( L + 1 ) <_ L )
270	269	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> -. ( L + 1 ) <_ L )
271	264 270	pm2.65da	\|- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
272	17 165	sselid	\|- ( ph -> I e. ZZ )
273	272	zred	\|- ( ph -> I e. RR )
274	273	adantr	\|- ( ( ph /\ -. I = ( M - 1 ) ) -> I e. RR )
275		peano2rem	\|- ( M e. RR -> ( M - 1 ) e. RR )
276	146 275	syl	\|- ( ph -> ( M - 1 ) e. RR )
277	276	adantr	\|- ( ( ph /\ -. I = ( M - 1 ) ) -> ( M - 1 ) e. RR )
278		elfzolt2	\|- ( I e. ( 0 ..^ M ) -> I < M )
279		elfzoelz	\|- ( I e. ( 0 ..^ M ) -> I e. ZZ )
280		elfzoel2	\|- ( I e. ( 0 ..^ M ) -> M e. ZZ )
281		zltlem1	\|- ( ( I e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( I < M <-> I <_ ( M - 1 ) ) )
282	279 280 281	syl2anc	\|- ( I e. ( 0 ..^ M ) -> ( I < M <-> I <_ ( M - 1 ) ) )
283	278 282	mpbid	\|- ( I e. ( 0 ..^ M ) -> I <_ ( M - 1 ) )
284	165 283	syl	\|- ( ph -> I <_ ( M - 1 ) )
285	284	adantr	\|- ( ( ph /\ -. I = ( M - 1 ) ) -> I <_ ( M - 1 ) )
286		neqne	\|- ( -. I = ( M - 1 ) -> I =/= ( M - 1 ) )
287	286	necomd	\|- ( -. I = ( M - 1 ) -> ( M - 1 ) =/= I )
288	287	adantl	\|- ( ( ph /\ -. I = ( M - 1 ) ) -> ( M - 1 ) =/= I )
289	274 277 285 288	leneltd	\|- ( ( ph /\ -. I = ( M - 1 ) ) -> I < ( M - 1 ) )
290	18 204	sstri	\|- { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ RR
291	290	a1i	\|- ( ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ RR )
292	145	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) )
293	161	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> E. b e. RR A. k e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ b )
294	176	adantr	\|- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
295	273	adantr	\|- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> I e. RR )
296	276	adantr	\|- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> ( M - 1 ) e. RR )
297		1red	\|- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> 1 e. RR )
298		simpr	\|- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> I < ( M - 1 ) )
299	295 296 297 298	ltadd1dd	\|- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> ( I + 1 ) < ( ( M - 1 ) + 1 ) )
300	214	adantr	\|- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> ( ( M - 1 ) + 1 ) = M )
301	299 300	breqtrd	\|- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> ( I + 1 ) < M )
302		elfzfzo	\|- ( ( I + 1 ) e. ( 0 ..^ M ) <-> ( ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) /\ ( I + 1 ) < M ) )
303	294 301 302	sylanbrc	\|- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ..^ M ) )
304	303	anim1i	\|- ( ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 0 ..^ M ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
305		fveq2	\|- ( j = ( I + 1 ) -> ( Q ` j ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
306	305	oveq1d	\|- ( j = ( I + 1 ) -> ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
307	306	breq1d	\|- ( j = ( I + 1 ) -> ( ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) <-> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
308	307	elrab	\|- ( ( I + 1 ) e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } <-> ( ( I + 1 ) e. ( 0 ..^ M ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
309	304 308	sylibr	\|- ( ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( I + 1 ) e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
310		suprub	\|- ( ( ( { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ RR /\ { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) /\ E. b e. RR A. k e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ b ) /\ ( I + 1 ) e. { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } ) -> ( I + 1 ) <_ sup ( { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) )
311	291 292 293 309 310	syl31anc	\|- ( ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( I + 1 ) <_ sup ( { j e. ( 0 ..^ M ) \| ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) )
312	311 13	breqtrrdi	\|- ( ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( I + 1 ) <_ I )
313	273	ltp1d	\|- ( ph -> I < ( I + 1 ) )
314		peano2re	\|- ( I e. RR -> ( I + 1 ) e. RR )
315	273 314	syl	\|- ( ph -> ( I + 1 ) e. RR )
316	273 315	ltnled	\|- ( ph -> ( I < ( I + 1 ) <-> -. ( I + 1 ) <_ I ) )
317	313 316	mpbid	\|- ( ph -> -. ( I + 1 ) <_ I )
318	317	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> -. ( I + 1 ) <_ I )
319	312 318	pm2.65da	\|- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
320	289 319	syldan	\|- ( ( ph /\ -. I = ( M - 1 ) ) -> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
321	271 320	pm2.61dan	\|- ( ph -> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
322	44 178	ltnled	\|- ( ph -> ( ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <-> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
323	321 322	mpbird	\|- ( ph -> ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
324	197	adantr	\|- ( ( ph /\ D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) e. RR )
325	6	adantr	\|- ( ( ph /\ D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> D e. RR )
326	178	adantr	\|- ( ( ph /\ D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR )
327	5	rexrd	\|- ( ph -> C e. RR* )
328	6	rexrd	\|- ( ph -> D e. RR* )
329	5 6 7	ltled	\|- ( ph -> C <_ D )
330		lbicc2	\|- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C <_ D ) -> C e. ( C [,] D ) )
331	327 328 329 330	syl3anc	\|- ( ph -> C e. ( C [,] D ) )
332		ubicc2	\|- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C <_ D ) -> D e. ( C [,] D ) )
333	327 328 329 332	syl3anc	\|- ( ph -> D e. ( C [,] D ) )
334	331 333	jca	\|- ( ph -> ( C e. ( C [,] D ) /\ D e. ( C [,] D ) ) )
335		prssg	\|- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( C e. ( C [,] D ) /\ D e. ( C [,] D ) ) <-> { C , D } C_ ( C [,] D ) ) )
336	5 6 335	syl2anc	\|- ( ph -> ( ( C e. ( C [,] D ) /\ D e. ( C [,] D ) ) <-> { C , D } C_ ( C [,] D ) ) )
337	334 336	mpbid	\|- ( ph -> { C , D } C_ ( C [,] D ) )
338	337 30	unssd	\|- ( ph -> ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) \| E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) C_ ( C [,] D ) )
339	8 338	eqsstrid	\|- ( ph -> H C_ ( C [,] D ) )
340	339 196	sseldd	\|- ( ph -> ( V ` ( J + 1 ) ) e. ( C [,] D ) )
341		iccleub	\|- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ ( V ` ( J + 1 ) ) e. ( C [,] D ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ D )
342	327 328 340 341	syl3anc	\|- ( ph -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ D )
343	342	adantr	\|- ( ( ph /\ D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ D )
344		simpr	\|- ( ( ph /\ D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
345	324 325 326 343 344	letrd	\|- ( ( ph /\ D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
346	345	adantlr	\|- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
347		simpr	\|- ( ( ph /\ -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
348	178	adantr	\|- ( ( ph /\ -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR )
349	6	adantr	\|- ( ( ph /\ -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> D e. RR )
350	348 349	ltnled	\|- ( ( ph /\ -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D <-> -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
351	347 350	mpbird	\|- ( ( ph /\ -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D )
352	351	adantlr	\|- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D )
353		simpll	\|- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
354		simpr	\|- ( ( ph /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
355	178	adantr	\|- ( ( ph /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR )
356	197	adantr	\|- ( ( ph /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) e. RR )
357	355 356	ltnled	\|- ( ( ph /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) <-> -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
358	354 357	mpbird	\|- ( ( ph /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) )
359	358	ad4ant14	\|- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) )
360	5	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> C e. RR )
361	6	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> D e. RR )
362	178	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR )
363	5	adantr	\|- ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> C e. RR )
364	178	adantr	\|- ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR )
365	44	adantr	\|- ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` J ) e. RR )
366	339 43	sseldd	\|- ( ph -> ( V ` J ) e. ( C [,] D ) )
367		iccgelb	\|- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ ( V ` J ) e. ( C [,] D ) ) -> C <_ ( V ` J ) )
368	327 328 366 367	syl3anc	\|- ( ph -> C <_ ( V ` J ) )
369	368	adantr	\|- ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> C <_ ( V ` J ) )
370		simpr	\|- ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
371	363 365 364 369 370	lelttrd	\|- ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> C < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
372	363 364 371	ltled	\|- ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> C <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
373	372	adantr	\|- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> C <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
374	178	adantr	\|- ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR )
375	6	adantr	\|- ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> D e. RR )
376		simpr	\|- ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D )
377	374 375 376	ltled	\|- ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ D )
378	377	adantlr	\|- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ D )
379	360 361 362 373 378	eliccd	\|- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. ( C [,] D ) )
380	167	znegcld	\|- ( ph -> -u L e. ZZ )
381	247 234	mulneg1d	\|- ( ph -> ( -u L x. T ) = -u ( L x. T ) )
382	381	oveq2d	\|- ( ph -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( -u L x. T ) ) = ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + -u ( L x. T ) ) )
383	178	recnd	\|- ( ph -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. CC )
384	383 240	negsubd	\|- ( ph -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + -u ( L x. T ) ) = ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) - ( L x. T ) ) )
385	177	recnd	\|- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. CC )
386	385 240	pncand	\|- ( ph -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) - ( L x. T ) ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
387	382 384 386	3eqtrd	\|- ( ph -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( -u L x. T ) ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
388		ffn	\|- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Q Fn ( 0 ... M ) )
389	50 388	syl	\|- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
390		fnfvelrn	\|- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ran Q )
391	389 176 390	syl2anc	\|- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ran Q )
392	387 391	eqeltrd	\|- ( ph -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( -u L x. T ) ) e. ran Q )
393		oveq1	\|- ( k = -u L -> ( k x. T ) = ( -u L x. T ) )
394	393	oveq2d	\|- ( k = -u L -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) = ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( -u L x. T ) ) )
395	394	eleq1d	\|- ( k = -u L -> ( ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( -u L x. T ) ) e. ran Q ) )
396	395	rspcev	\|- ( ( -u L e. ZZ /\ ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( -u L x. T ) ) e. ran Q ) -> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q )
397	380 392 396	syl2anc	\|- ( ph -> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q )
398	397	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q )
399		oveq1	\|- ( y = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) -> ( y + ( k x. T ) ) = ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) )
400	399	eleq1d	\|- ( y = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) -> ( ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
401	400	rexbidv	\|- ( y = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
402	401	elrab	\|- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. { y e. ( C [,] D ) \| E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } <-> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. ( C [,] D ) /\ E. k e. ZZ ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
403	379 398 402	sylanbrc	\|- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. { y e. ( C [,] D ) \| E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
404		elun2	\|- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. { y e. ( C [,] D ) \| E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) \| E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
405	403 404	syl	\|- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) \| E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
406	8	eqcomi	\|- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) \| E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = H
407	405 406	eleqtrdi	\|- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H )
408	407	adantr	\|- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H )
409		f1ofo	\|- ( V : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H -> V : ( 0 ... N ) -onto-> H )
410	37 38 409	3syl	\|- ( ph -> V : ( 0 ... N ) -onto-> H )
411		foelrn	\|- ( ( V : ( 0 ... N ) -onto-> H /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) )
412	410 411	sylan	\|- ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) )
413		id	\|- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) )
414	413	eqcomd	\|- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) -> ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
415	414	a1i	\|- ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) -> ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
416	415	reximdv	\|- ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) -> ( E. j e. ( 0 ... N ) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
417	412 416	mpd	\|- ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
418	417	ad4ant14	\|- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
419		simpl	\|- ( ( ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
420	413	eqcoms	\|- ( ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) )
421	420	adantl	\|- ( ( ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) )
422	419 421	breqtrd	\|- ( ( ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` J ) < ( V ` j ) )
423	422	adantll	\|- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` J ) < ( V ` j ) )
424	423	adantlr	\|- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` J ) < ( V ` j ) )
425	37	ad3antrrr	\|- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> V Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
426	42	ad3antrrr	\|- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> J e. ( 0 ... N ) )
427		simplr	\|- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
428		isorel	\|- ( ( V Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) /\ ( J e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( J < j <-> ( V ` J ) < ( V ` j ) ) )
429	425 426 427 428	syl12anc	\|- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( J < j <-> ( V ` J ) < ( V ` j ) ) )
430	424 429	mpbird	\|- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> J < j )
431	430	adantllr	\|- ( ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> J < j )
432		simpr	\|- ( ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
433		simpl	\|- ( ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) )
434	432 433	eqbrtrd	\|- ( ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` j ) < ( V ` ( J + 1 ) ) )
435	434	adantll	\|- ( ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` j ) < ( V ` ( J + 1 ) ) )
436	435	adantlr	\|- ( ( ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` j ) < ( V ` ( J + 1 ) ) )
437	37	ad3antrrr	\|- ( ( ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> V Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
438		simplr	\|- ( ( ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
439	195	ad3antrrr	\|- ( ( ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
440		isorel	\|- ( ( V Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( j < ( J + 1 ) <-> ( V ` j ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) )
441	437 438 439 440	syl12anc	\|- ( ( ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( j < ( J + 1 ) <-> ( V ` j ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) )
442	436 441	mpbird	\|- ( ( ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> j < ( J + 1 ) )
443	442	adantl3r	\|- ( ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> j < ( J + 1 ) )
444	431 443	jca	\|- ( ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
445	444	ex	\|- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) -> ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) )
446	445	adantlr	\|- ( ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) -> ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) )
447	446	reximdva	\|- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) -> ( E. j e. ( 0 ... N ) ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) )
448	418 447	mpd	\|- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
449	353 359 408 448	syl21anc	\|- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
450		elfzelz	\|- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
451	450	ad2antlr	\|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
452		elfzelz	\|- ( J e. ( 0 ... N ) -> J e. ZZ )
453	42 452	syl	\|- ( ph -> J e. ZZ )
454	453	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) -> J e. ZZ )
455		simprl	\|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) -> J < j )
456		simprr	\|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) -> j < ( J + 1 ) )
457		btwnnz	\|- ( ( J e. ZZ /\ J < j /\ j < ( J + 1 ) ) -> -. j e. ZZ )
458	454 455 456 457	syl3anc	\|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) -> -. j e. ZZ )
459	451 458	pm2.65da	\|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
460	459	nrexdv	\|- ( ph -> -. E. j e. ( 0 ... N ) ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
461	460	ad3antrrr	\|- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> -. E. j e. ( 0 ... N ) ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
462	449 461	condan	\|- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
463	352 462	syldan	\|- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
464	346 463	pm2.61dan	\|- ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
465	323 464	mpdan	\|- ( ph -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
466	465	adantr	\|- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
467	182	adantr	\|- ( ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> x e. RR )
468	197	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) e. RR )
469	178	ad2antrr	\|- ( ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR )
470		iooltub	\|- ( ( ( V ` J ) e. RR* /\ ( V ` ( J + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> x < ( V ` ( J + 1 ) ) )
471	193 199 200 470	syl3anc	\|- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> x < ( V ` ( J + 1 ) ) )
472	471	adantr	\|- ( ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> x < ( V ` ( J + 1 ) ) )
473		simpr	\|- ( ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
474	467 468 469 472 473	ltletrd	\|- ( ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> x < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
475	466 474	mpdan	\|- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> x < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
476	174 180 182 203 475	eliood	\|- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
477	476	ralrimiva	\|- ( ph -> A. x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) x e. ( ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
478		dfss3	\|- ( ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) <-> A. x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) x e. ( ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
479	477 478	sylibr	\|- ( ph -> ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
480		fveq2	\|- ( i = I -> ( Q ` i ) = ( Q ` I ) )
481	480	oveq1d	\|- ( i = I -> ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) = ( ( Q ` I ) + ( l x. T ) ) )
482		oveq1	\|- ( i = I -> ( i + 1 ) = ( I + 1 ) )
483	482	fveq2d	\|- ( i = I -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
484	483	oveq1d	\|- ( i = I -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( l x. T ) ) )
485	481 484	oveq12d	\|- ( i = I -> ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) = ( ( ( Q ` I ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) )
486	485	sseq2d	\|- ( i = I -> ( ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) <-> ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` I ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) )
487		oveq1	\|- ( l = L -> ( l x. T ) = ( L x. T ) )
488	487	oveq2d	\|- ( l = L -> ( ( Q ` I ) + ( l x. T ) ) = ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) )
489	487	oveq2d	\|- ( l = L -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( l x. T ) ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
490	488 489	oveq12d	\|- ( l = L -> ( ( ( Q ` I ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) = ( ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
491	490	sseq2d	\|- ( l = L -> ( ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` I ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) <-> ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) ) )
492	486 491	rspc2ev	\|- ( ( I e. ( 0 ..^ M ) /\ L e. ZZ /\ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) ) -> E. i e. ( 0 ..^ M ) E. l e. ZZ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) )
493	165 167 479 492	syl3anc	\|- ( ph -> E. i e. ( 0 ..^ M ) E. l e. ZZ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) )
494	165 167 493	jca31	\|- ( ph -> ( ( I e. ( 0 ..^ M ) /\ L e. ZZ ) /\ E. i e. ( 0 ..^ M ) E. l e. ZZ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) )

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Theorem fourierdlem64

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