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Theorem srgrmhm

Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringrghm . (Contributed by AV, 23-Aug-2019)

Ref Expression
Hypotheses srglmhm.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
srglmhm.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
Assertion srgrmhm ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ∈ ( 𝑅 MndHom 𝑅 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 srglmhm.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
2 srglmhm.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
3 srgmnd ⊢ ( 𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd )
4 3 3 jca ⊢ ( 𝑅 ∈ SRing → ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd ) )
5 4 adantr ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd ) )
6 1 2 srgcl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
7 6 3com23 ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
8 7 3expa ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
9 8 fmpttd ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
10 3anrot ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ↔ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) )
11 3anass ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) )
12 10 11 bitr3i ⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) )
13 eqid ⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ 𝑅 )
14 1 13 2 srgdir ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑎 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑏 · 𝑋 ) ) )
15 12 14 sylan2br ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑎 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑏 · 𝑋 ) ) )
16 15 anassrs ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑎 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑏 · 𝑋 ) ) )
17 1 13 srgacl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ∈ 𝐵 )
18 17 3expb ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ∈ 𝐵 )
19 18 adantlr ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ∈ 𝐵 )
20 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) → ( 𝑥 · 𝑋 ) = ( ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) · 𝑋 ) )
21 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) )
22 ovex ⊢ ( ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) · 𝑋 ) ∈ V
23 20 21 22 fvmpt ⊢ ( ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) · 𝑋 ) )
24 19 23 syl ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) · 𝑋 ) )
25 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( 𝑥 · 𝑋 ) = ( 𝑎 · 𝑋 ) )
26 ovex ⊢ ( 𝑎 · 𝑋 ) ∈ V
27 25 21 26 fvmpt ⊢ ( 𝑎 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 · 𝑋 ) )
28 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( 𝑥 · 𝑋 ) = ( 𝑏 · 𝑋 ) )
29 ovex ⊢ ( 𝑏 · 𝑋 ) ∈ V
30 28 21 29 fvmpt ⊢ ( 𝑏 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑏 ) = ( 𝑏 · 𝑋 ) )
31 27 30 oveqan12d ⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑎 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑏 · 𝑋 ) ) )
32 31 adantl ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑎 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑏 · 𝑋 ) ) )
33 16 24 32 3eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑏 ) ) )
34 33 ralrimivva ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑏 ) ) )
35 eqid ⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 )
36 1 35 srg0cl ⊢ ( 𝑅 ∈ SRing → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
37 36 adantr ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
38 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = ( 0g ‘ 𝑅 ) → ( 𝑥 · 𝑋 ) = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) · 𝑋 ) )
39 ovex ⊢ ( ( 0g ‘ 𝑅 ) · 𝑋 ) ∈ V
40 38 21 39 fvmpt ⊢ ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) · 𝑋 ) )
41 37 40 syl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) · 𝑋 ) )
42 1 2 35 srglz ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
43 41 42 eqtrd ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
44 9 34 43 3jca ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
45 1 1 13 13 35 35 ismhm ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ∈ ( 𝑅 MndHom 𝑅 ) ↔ ( ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
46 5 44 45 sylanbrc ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ∈ ( 𝑅 MndHom 𝑅 ) )