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Theorem ringrghm

Description: Right-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015)

Ref Expression
Hypotheses ringlghm.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
ringlghm.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
Assertion ringrghm ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ∈ ( 𝑅 GrpHom 𝑅 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ringlghm.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
2 ringlghm.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
3 eqid ⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ 𝑅 )
4 ringgrp ⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp )
5 4 adantr ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 ∈ Grp )
6 1 2 ringcl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
7 6 3expa ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
8 7 an32s ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
9 8 fmpttd ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
10 df-3an ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) )
11 1 3 2 ringdir ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑦 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 · 𝑋 ) ) )
12 10 11 sylan2br ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑦 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 · 𝑋 ) ) )
13 12 anass1rs ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑦 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 · 𝑋 ) ) )
14 1 3 ringacl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
15 14 3expb ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
16 15 adantlr ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
17 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) → ( 𝑥 · 𝑋 ) = ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) · 𝑋 ) )
18 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) )
19 ovex ⊢ ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) · 𝑋 ) ∈ V
20 17 18 19 fvmpt ⊢ ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) · 𝑋 ) )
21 16 20 syl ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) · 𝑋 ) )
22 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 · 𝑋 ) = ( 𝑦 · 𝑋 ) )
23 ovex ⊢ ( 𝑦 · 𝑋 ) ∈ V
24 22 18 23 fvmpt ⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑦 ) = ( 𝑦 · 𝑋 ) )
25 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 · 𝑋 ) = ( 𝑧 · 𝑋 ) )
26 ovex ⊢ ( 𝑧 · 𝑋 ) ∈ V
27 25 18 26 fvmpt ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝑧 · 𝑋 ) )
28 24 27 oveqan12d ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝑦 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 · 𝑋 ) ) )
29 28 adantl ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝑦 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 · 𝑋 ) ) )
30 13 21 29 3eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑧 ) ) )
31 1 1 3 3 5 5 9 30 isghmd ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ∈ ( 𝑅 GrpHom 𝑅 ) )