rlocaddval

Description: Value of the addition in the ring localization, given two representatives. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	rlocaddval.1	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
	rlocaddval.2	⊢ · = ( ._r ‘ 𝑅 )
	rlocaddval.3	⊢ + = ( +_g ‘ 𝑅 )
	rlocaddval.4	⊢ 𝐿 = ( 𝑅 RLocal 𝑆 )
	rlocaddval.5	⊢ ∼ = ( 𝑅 ~_RL 𝑆 )
	rlocaddval.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CRing )
	rlocaddval.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
	rlocaddval.6	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵 )
	rlocaddval.7	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵 )
	rlocaddval.8	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆 )
	rlocaddval.9	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆 )
	rlocaddval.10	⊢ ⊕ = ( +_g ‘ 𝐿 )
Assertion	rlocaddval	⊢ ( 𝜑 → ( [ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ] ∼ ⊕ [ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ] ∼ ) = [ ⟨ ( ( 𝐸 · 𝐻 ) + ( 𝐹 · 𝐺 ) ) , ( 𝐺 · 𝐻 ) ⟩ ] ∼ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlocaddval.1	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
2		rlocaddval.2	⊢ · = ( ._r ‘ 𝑅 )
3		rlocaddval.3	⊢ + = ( +_g ‘ 𝑅 )
4		rlocaddval.4	⊢ 𝐿 = ( 𝑅 RLocal 𝑆 )
5		rlocaddval.5	⊢ ∼ = ( 𝑅 ~_RL 𝑆 )
6		rlocaddval.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CRing )
7		rlocaddval.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
8		rlocaddval.6	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵 )
9		rlocaddval.7	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵 )
10		rlocaddval.8	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆 )
11		rlocaddval.9	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆 )
12		rlocaddval.10	⊢ ⊕ = ( +_g ‘ 𝐿 )
13	8 10	opelxpd	⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
14	9 11	opelxpd	⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
15		eqid	⊢ ( 0_g ‘ 𝑅 ) = ( 0_g ‘ 𝑅 )
16		eqid	⊢ ( -_g ‘ 𝑅 ) = ( -_g ‘ 𝑅 )
17		eqid	⊢ ( le ‘ 𝑅 ) = ( le ‘ 𝑅 )
18		eqid	⊢ ( Scalar ‘ 𝑅 ) = ( Scalar ‘ 𝑅 )
19		eqid	⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) )
20		eqid	⊢ ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) = ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 )
21		eqid	⊢ ( 𝐵 × 𝑆 ) = ( 𝐵 × 𝑆 )
22		eqid	⊢ ( TopSet ‘ 𝑅 ) = ( TopSet ‘ 𝑅 )
23		eqid	⊢ ( dist ‘ 𝑅 ) = ( dist ‘ 𝑅 )
24		eqid	⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) = ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ )
25		eqid	⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) = ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ )
26		eqid	⊢ ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) = ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ )
27		eqid	⊢ { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } = { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) }
28		eqid	⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) = ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) )
29		eqid	⊢ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) = ( mulGrp ‘ 𝑅 )
30	29 1	mgpbas	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) )
31	30	submss	⊢ ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) → 𝑆 ⊆ 𝐵 )
32	7 31	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵 )
33	1 15 2 16 3 17 18 19 20 21 5 22 23 24 25 26 27 28 6 32	rlocval	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 RLocal 𝑆 ) = ( ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) /_s ∼ ) )
34	4 33	eqtrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 = ( ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) /_s ∼ ) )
35		eqidd	⊢ ( 𝜑 → ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) = ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) )
36		eqid	⊢ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) = ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } )
37	36	imasvalstr	⊢ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) Struct ⟨ 1 , ; 1 2 ⟩
38		baseid	⊢ Base = Slot ( Base ‘ ndx )
39		snsstp1	⊢ { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ } ⊆ { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ }
40		ssun1	⊢ { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ⊆ ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } )
41		ssun1	⊢ ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ⊆ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } )
42	40 41	sstri	⊢ { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ⊆ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } )
43	39 42	sstri	⊢ { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ } ⊆ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } )
44	1	fvexi	⊢ 𝐵 ∈ V
45	44	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ V )
46	45 7	xpexd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 × 𝑆 ) ∈ V )
47		eqid	⊢ ( Base ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) = ( Base ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) )
48	35 37 38 43 46 47	strfv3	⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) = ( 𝐵 × 𝑆 ) )
49	48	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 × 𝑆 ) = ( Base ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) )
50		eqid	⊢ ( 1_r ‘ 𝑅 ) = ( 1_r ‘ 𝑅 )
51	1 15 50 2 16 21 5 6 7	erler	⊢ ( 𝜑 → ∼ Er ( 𝐵 × 𝑆 ) )
52		tpex	⊢ { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∈ V
53		tpex	⊢ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ∈ V
54	52 53	unex	⊢ ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∈ V
55		tpex	⊢ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ∈ V
56	54 55	unex	⊢ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ∈ V
57	56	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ∈ V )
58	32	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → 𝑆 ⊆ 𝐵 )
59	58	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑆 ⊆ 𝐵 )
60	59	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑆 ⊆ 𝐵 )
61		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ = ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ )
62		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ = ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
63	6	crnggrpd	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Grp )
64	63	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ Grp )
65	6	crngringd	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
66	65	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
67		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → 𝑢 ∼ 𝑝 )
68	1 5 58 67	erlcl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → 𝑢 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
69	68	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑢 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
70		xp1st	⊢ ( 𝑢 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) → ( 1^st ‘ 𝑢 ) ∈ 𝐵 )
71	69 70	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑢 ) ∈ 𝐵 )
72		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → 𝑣 ∼ 𝑞 )
73	1 5 58 72	erlcl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → 𝑣 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
74	73	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑣 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
75		xp2nd	⊢ ( 𝑣 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) → ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ∈ 𝑆 )
76	74 75	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ∈ 𝑆 )
77	60 76	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ∈ 𝐵 )
78	1 2 66 71 77	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ∈ 𝐵 )
79		xp1st	⊢ ( 𝑣 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) → ( 1^st ‘ 𝑣 ) ∈ 𝐵 )
80	74 79	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑣 ) ∈ 𝐵 )
81		xp2nd	⊢ ( 𝑢 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) → ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ∈ 𝑆 )
82	69 81	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ∈ 𝑆 )
83	60 82	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ∈ 𝐵 )
84	1 2 66 80 83	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ∈ 𝐵 )
85	1 3 64 78 84	grpcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ∈ 𝐵 )
86	1 5 58 67	erlcl2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
87	86	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
88		xp1st	⊢ ( 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ 𝐵 )
89	87 88	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ 𝐵 )
90	1 5 58 72	erlcl2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
91	90	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
92		xp2nd	⊢ ( 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) → ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ∈ 𝑆 )
93	91 92	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ∈ 𝑆 )
94	60 93	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ∈ 𝐵 )
95	1 2 66 89 94	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝐵 )
96		xp1st	⊢ ( 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) → ( 1^st ‘ 𝑞 ) ∈ 𝐵 )
97	91 96	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑞 ) ∈ 𝐵 )
98		xp2nd	⊢ ( 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ∈ 𝑆 )
99	87 98	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ∈ 𝑆 )
100	60 99	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ∈ 𝐵 )
101	1 2 66 97 100	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∈ 𝐵 )
102	1 3 64 95 101	grpcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ 𝐵 )
103	7	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
104	29 2	mgpplusg	⊢ · = ( +_g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) )
105	104	submcl	⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ∈ 𝑆 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ∈ 𝑆 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ∈ 𝑆 )
106	103 82 76 105	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ∈ 𝑆 )
107	104	submcl	⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ∈ 𝑆 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ∈ 𝑆 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝑆 )
108	103 99 93 107	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝑆 )
109		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑓 ∈ 𝑆 )
110		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑔 ∈ 𝑆 )
111	104	submcl	⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑓 · 𝑔 ) ∈ 𝑆 )
112	103 109 110 111	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑓 · 𝑔 ) ∈ 𝑆 )
113	60 108	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝐵 )
114	1 3 2	ringdir	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) = ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) )
115	66 78 84 113 114	syl13anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) = ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) )
116	60 106	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ∈ 𝐵 )
117	1 3 2	ringdir	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) = ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) )
118	66 95 101 116 117	syl13anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) = ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) )
119	115 118	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) )
120	119	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) ) )
121	60 109	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑓 ∈ 𝐵 )
122	60 110	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑔 ∈ 𝐵 )
123	1 2 66 121 122	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑓 · 𝑔 ) ∈ 𝐵 )
124	1 2 66 78 113	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ∈ 𝐵 )
125	1 2 66 84 113	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ∈ 𝐵 )
126	1 3 64 124 125	grpcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
127	1 2 66 95 116	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ∈ 𝐵 )
128	1 2 66 101 116	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ∈ 𝐵 )
129	1 3 64 127 128	grpcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
130	1 2 16 66 123 126 129	ringsubdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) ) )
131	1 3 2	ringdi	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑓 · 𝑔 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) + ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ) )
132	66 123 124 125 131	syl13anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) + ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ) )
133	1 3 2	ringdi	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑓 · 𝑔 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) + ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) )
134	66 123 127 128 133	syl13anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) + ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) )
135	132 134	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) + ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) + ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) ) )
136	66	ringabld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ Abel )
137	1 2 66 123 124	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
138	1 2 66 123 125	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
139	1 2 66 123 127	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
140	1 2 66 123 128	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
141	1 3 16	ablsub4	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Abel ∧ ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) + ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) + ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) ) )
142	136 137 138 139 140 141	syl122anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) + ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) + ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) ) )
143	29	crngmgp	⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ CMnd )
144	6 143	syl	⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ CMnd )
145	144	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ CMnd )
146	30 104 145 121 122 71 77 100 94	cmn246135	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) = ( ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ) )
147	30 104 145 121 122 89 94 83 77	cmn246135	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) )
148	30 104	cmncom	⊢ ( ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ CMnd ∧ ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) )
149	145 77 94 148	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) )
150	149	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) = ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) )
151	150	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) )
152	147 151	eqtr4d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) )
153	146 152	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) ) )
154	1 2 66 71 100	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∈ 𝐵 )
155	1 2 66 89 83	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ∈ 𝐵 )
156	1 2 16 66 121 154 155	ringsubdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) )
157		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
158	156 157	eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
159	158	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) )
160	1 2 66 77 94	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝐵 )
161	1 2 66 122 160	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ∈ 𝐵 )
162	1 2 66 121 154	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ 𝐵 )
163	1 2 66 121 155	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ∈ 𝐵 )
164	1 2 16 66 161 162 163	ringsubdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) ) )
165	1 2 15 66 161	ringrzd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
166	159 164 165	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑔 · ( ( 2^nd ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
167	153 166	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
168	30 104 145 121 122 80 83 100 94	cmn145236	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) = ( ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) )
169	30 104 145 121 122 97 100 83 77	cmn145236	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) )
170	30 104	cmncom	⊢ ( ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ CMnd ∧ ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) )
171	145 100 83 170	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) )
172	171	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) = ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) )
173	172	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) )
174	169 173	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) )
175	168 174	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) )
176	1 2 66 80 94	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝐵 )
177	1 2 66 97 77	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ∈ 𝐵 )
178	1 2 16 66 122 176 177	ringsubdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) )
179		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
180	178 179	eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
181	180	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) )
182	1 2 66 83 100	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∈ 𝐵 )
183	1 2 66 121 182	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ 𝐵 )
184	1 2 66 122 176	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ∈ 𝐵 )
185	1 2 66 122 177	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ∈ 𝐵 )
186	1 2 16 66 183 184 185	ringsubdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) )
187	1 2 15 66 183	ringrzd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
188	181 186 187	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
189	175 188	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
190	167 189	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) ) = ( ( 0_g ‘ 𝑅 ) + ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) )
191	1 15	grpidcl	⊢ ( 𝑅 ∈ Grp → ( 0_g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
192	64 191	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 0_g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
193	1 3 15 64 192	grplidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 0_g ‘ 𝑅 ) + ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
194	190 193	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
195	135 142 194	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) + ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
196	120 130 195	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
197	1 5 60 15 2 16 61 62 85 102 106 108 112 196	erlbrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ ∼ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
198	72	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑣 ∼ 𝑞 )
199	1 5 59 15 2 16 198	erldi	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ∃ 𝑔 ∈ 𝑆 ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
200	197 199	r19.29a	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ ∼ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
201	1 5 58 15 2 16 67	erldi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑆 ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
202	200 201	r19.29a	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ ∼ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
203		plusgid	⊢ +_g = Slot ( +_g ‘ ndx )
204		snsstp2	⊢ { ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ⊆ { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ }
205	204 42	sstri	⊢ { ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ⊆ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } )
206	24	mpoexg	⊢ ( ( ( 𝐵 × 𝑆 ) ∈ V ∧ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∈ V ) → ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ∈ V )
207	46 46 206	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ∈ V )
208		eqid	⊢ ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) = ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) )
209	35 37 203 205 207 208	strfv3	⊢ ( 𝜑 → ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) = ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) )
210	209	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) = ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) )
211	210	oveqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( 𝑢 ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑣 ) = ( 𝑢 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑣 ) )
212		opex	⊢ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ ∈ V
213	212	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ ∈ V )
214		simpl	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → 𝑎 = 𝑢 )
215	214	fveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → ( 1^st ‘ 𝑎 ) = ( 1^st ‘ 𝑢 ) )
216		simpr	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → 𝑏 = 𝑣 )
217	216	fveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → ( 2^nd ‘ 𝑏 ) = ( 2^nd ‘ 𝑣 ) )
218	215 217	oveq12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) )
219	216	fveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → ( 1^st ‘ 𝑏 ) = ( 1^st ‘ 𝑣 ) )
220	214	fveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → ( 2^nd ‘ 𝑎 ) = ( 2^nd ‘ 𝑢 ) )
221	219 220	oveq12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) )
222	218 221	oveq12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) = ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) )
223	220 217	oveq12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) )
224	222 223	opeq12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ = ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ )
225	224 24	ovmpoga	⊢ ( ( 𝑢 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ ∈ V ) → ( 𝑢 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑣 ) = ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ )
226	68 73 213 225	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( 𝑢 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑣 ) = ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ )
227	211 226	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( 𝑢 ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑣 ) = ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ )
228	210	oveqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( 𝑝 ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) = ( 𝑝 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑞 ) )
229		opex	⊢ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ ∈ V
230	229	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ ∈ V )
231		simpl	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → 𝑎 = 𝑝 )
232	231	fveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → ( 1^st ‘ 𝑎 ) = ( 1^st ‘ 𝑝 ) )
233		simpr	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → 𝑏 = 𝑞 )
234	233	fveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → ( 2^nd ‘ 𝑏 ) = ( 2^nd ‘ 𝑞 ) )
235	232 234	oveq12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) )
236	233	fveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → ( 1^st ‘ 𝑏 ) = ( 1^st ‘ 𝑞 ) )
237	231	fveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → ( 2^nd ‘ 𝑎 ) = ( 2^nd ‘ 𝑝 ) )
238	236 237	oveq12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) )
239	235 238	oveq12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) = ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) )
240	237 234	oveq12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) )
241	239 240	opeq12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ = ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
242	241 24	ovmpoga	⊢ ( ( 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ ∈ V ) → ( 𝑝 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑞 ) = ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
243	86 90 230 242	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( 𝑝 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑞 ) = ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
244	228 243	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( 𝑝 ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) = ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
245	227 244	breq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( ( 𝑢 ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑣 ) ∼ ( 𝑝 ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) ↔ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ ∼ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ ) )
246	202 245	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( 𝑢 ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑣 ) ∼ ( 𝑝 ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) )
247	246	anasss	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∼ 𝑝 ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ) → ( 𝑢 ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑣 ) ∼ ( 𝑝 ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) )
248	247	ex	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑢 ∼ 𝑝 ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( 𝑢 ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑣 ) ∼ ( 𝑝 ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) ) )
249	209	oveqd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑝 ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) = ( 𝑝 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑞 ) )
250	249	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 𝑝 ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) = ( 𝑝 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑞 ) )
251		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
252		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
253	229	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ ∈ V )
254	251 252 253 242	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 𝑝 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑞 ) = ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
255	63	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → 𝑅 ∈ Grp )
256	65	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
257	251 88	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ 𝐵 )
258	32	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → 𝑆 ⊆ 𝐵 )
259	252 92	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ∈ 𝑆 )
260	258 259	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ∈ 𝐵 )
261	1 2 256 257 260	ringcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝐵 )
262	252 96	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑞 ) ∈ 𝐵 )
263	251 98	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ∈ 𝑆 )
264	258 263	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ∈ 𝐵 )
265	1 2 256 262 264	ringcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∈ 𝐵 )
266	1 3 255 261 265	grpcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ 𝐵 )
267	7	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
268	267 263 259 107	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝑆 )
269	266 268	opelxpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
270	254 269	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 𝑝 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑞 ) ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
271	250 270	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 𝑝 ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
272	271	anasss	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ) → ( 𝑝 ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
273	34 49 51 57 248 272 208 12	qusaddval	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( [ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ] ∼ ⊕ [ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ] ∼ ) = [ ( ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ] ∼ )
274	13 14 273	mpd3an23	⊢ ( 𝜑 → ( [ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ] ∼ ⊕ [ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ] ∼ ) = [ ( ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ] ∼ )
275	209	oveqd	⊢ ( 𝜑 → ( ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) = ( ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) )
276	24	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) = ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) )
277		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ )
278	277	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 1^st ‘ 𝑎 ) = ( 1^st ‘ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) )
279	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → 𝐸 ∈ 𝐵 )
280	10	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → 𝐺 ∈ 𝑆 )
281		op1stg	⊢ ( ( 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝑆 ) → ( 1^st ‘ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) = 𝐸 )
282	279 280 281	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 1^st ‘ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) = 𝐸 )
283	278 282	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 1^st ‘ 𝑎 ) = 𝐸 )
284		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ )
285	284	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑏 ) = ( 2^nd ‘ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) )
286	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → 𝐹 ∈ 𝐵 )
287	11	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → 𝐻 ∈ 𝑆 )
288		op2ndg	⊢ ( ( 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑆 ) → ( 2^nd ‘ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) = 𝐻 )
289	286 287 288	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 2^nd ‘ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) = 𝐻 )
290	285 289	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑏 ) = 𝐻 )
291	283 290	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) = ( 𝐸 · 𝐻 ) )
292	284	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 1^st ‘ 𝑏 ) = ( 1^st ‘ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) )
293		op1stg	⊢ ( ( 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑆 ) → ( 1^st ‘ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) = 𝐹 )
294	286 287 293	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 1^st ‘ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) = 𝐹 )
295	292 294	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 1^st ‘ 𝑏 ) = 𝐹 )
296	277	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑎 ) = ( 2^nd ‘ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) )
297		op2ndg	⊢ ( ( 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝑆 ) → ( 2^nd ‘ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) = 𝐺 )
298	279 280 297	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 2^nd ‘ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) = 𝐺 )
299	296 298	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑎 ) = 𝐺 )
300	295 299	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) = ( 𝐹 · 𝐺 ) )
301	291 300	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) = ( ( 𝐸 · 𝐻 ) + ( 𝐹 · 𝐺 ) ) )
302	299 290	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) = ( 𝐺 · 𝐻 ) )
303	301 302	opeq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ = ⟨ ( ( 𝐸 · 𝐻 ) + ( 𝐹 · 𝐺 ) ) , ( 𝐺 · 𝐻 ) ⟩ )
304		opex	⊢ ⟨ ( ( 𝐸 · 𝐻 ) + ( 𝐹 · 𝐺 ) ) , ( 𝐺 · 𝐻 ) ⟩ ∈ V
305	304	a1i	⊢ ( 𝜑 → ⟨ ( ( 𝐸 · 𝐻 ) + ( 𝐹 · 𝐺 ) ) , ( 𝐺 · 𝐻 ) ⟩ ∈ V )
306	276 303 13 14 305	ovmpod	⊢ ( 𝜑 → ( ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) = ⟨ ( ( 𝐸 · 𝐻 ) + ( 𝐹 · 𝐺 ) ) , ( 𝐺 · 𝐻 ) ⟩ )
307	275 306	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) = ⟨ ( ( 𝐸 · 𝐻 ) + ( 𝐹 · 𝐺 ) ) , ( 𝐺 · 𝐻 ) ⟩ )
308	307	eceq1d	⊢ ( 𝜑 → [ ( ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ( +_g ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ] ∼ = [ ⟨ ( ( 𝐸 · 𝐻 ) + ( 𝐹 · 𝐺 ) ) , ( 𝐺 · 𝐻 ) ⟩ ] ∼ )
309	274 308	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( [ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ] ∼ ⊕ [ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ] ∼ ) = [ ⟨ ( ( 𝐸 · 𝐻 ) + ( 𝐹 · 𝐺 ) ) , ( 𝐺 · 𝐻 ) ⟩ ] ∼ )

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