rlocmulval

Description: Value of the addition in the ring localization, given two representatives. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	rlocaddval.1	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
	rlocaddval.2	⊢ · = ( ._r ‘ 𝑅 )
	rlocaddval.3	⊢ + = ( +_g ‘ 𝑅 )
	rlocaddval.4	⊢ 𝐿 = ( 𝑅 RLocal 𝑆 )
	rlocaddval.5	⊢ ∼ = ( 𝑅 ~_RL 𝑆 )
	rlocaddval.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CRing )
	rlocaddval.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
	rlocaddval.6	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵 )
	rlocaddval.7	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵 )
	rlocaddval.8	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆 )
	rlocaddval.9	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆 )
	rlocmulval.1	⊢ ⊗ = ( ._r ‘ 𝐿 )
Assertion	rlocmulval	⊢ ( 𝜑 → ( [ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ] ∼ ⊗ [ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ] ∼ ) = [ ⟨ ( 𝐸 · 𝐹 ) , ( 𝐺 · 𝐻 ) ⟩ ] ∼ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlocaddval.1	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
2		rlocaddval.2	⊢ · = ( ._r ‘ 𝑅 )
3		rlocaddval.3	⊢ + = ( +_g ‘ 𝑅 )
4		rlocaddval.4	⊢ 𝐿 = ( 𝑅 RLocal 𝑆 )
5		rlocaddval.5	⊢ ∼ = ( 𝑅 ~_RL 𝑆 )
6		rlocaddval.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CRing )
7		rlocaddval.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
8		rlocaddval.6	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵 )
9		rlocaddval.7	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵 )
10		rlocaddval.8	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆 )
11		rlocaddval.9	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆 )
12		rlocmulval.1	⊢ ⊗ = ( ._r ‘ 𝐿 )
13	8 10	opelxpd	⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
14	9 11	opelxpd	⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
15		eqid	⊢ ( 0_g ‘ 𝑅 ) = ( 0_g ‘ 𝑅 )
16		eqid	⊢ ( -_g ‘ 𝑅 ) = ( -_g ‘ 𝑅 )
17		eqid	⊢ ( le ‘ 𝑅 ) = ( le ‘ 𝑅 )
18		eqid	⊢ ( Scalar ‘ 𝑅 ) = ( Scalar ‘ 𝑅 )
19		eqid	⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) )
20		eqid	⊢ ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) = ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 )
21		eqid	⊢ ( 𝐵 × 𝑆 ) = ( 𝐵 × 𝑆 )
22		eqid	⊢ ( TopSet ‘ 𝑅 ) = ( TopSet ‘ 𝑅 )
23		eqid	⊢ ( dist ‘ 𝑅 ) = ( dist ‘ 𝑅 )
24		eqid	⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) = ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ )
25		eqid	⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) = ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ )
26		eqid	⊢ ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) = ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ )
27		eqid	⊢ { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } = { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) }
28		eqid	⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) = ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) )
29		eqid	⊢ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) = ( mulGrp ‘ 𝑅 )
30	29 1	mgpbas	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) )
31	30	submss	⊢ ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) → 𝑆 ⊆ 𝐵 )
32	7 31	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵 )
33	1 15 2 16 3 17 18 19 20 21 5 22 23 24 25 26 27 28 6 32	rlocval	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 RLocal 𝑆 ) = ( ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) /_s ∼ ) )
34	4 33	eqtrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 = ( ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) /_s ∼ ) )
35		eqidd	⊢ ( 𝜑 → ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) = ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) )
36		eqid	⊢ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) = ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } )
37	36	imasvalstr	⊢ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) Struct ⟨ 1 , ; 1 2 ⟩
38		baseid	⊢ Base = Slot ( Base ‘ ndx )
39		snsstp1	⊢ { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ } ⊆ { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ }
40		ssun1	⊢ { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ⊆ ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } )
41		ssun1	⊢ ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ⊆ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } )
42	40 41	sstri	⊢ { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ⊆ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } )
43	39 42	sstri	⊢ { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ } ⊆ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } )
44	1	fvexi	⊢ 𝐵 ∈ V
45	44	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ V )
46	45 7	xpexd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 × 𝑆 ) ∈ V )
47		eqid	⊢ ( Base ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) = ( Base ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) )
48	35 37 38 43 46 47	strfv3	⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) = ( 𝐵 × 𝑆 ) )
49	48	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 × 𝑆 ) = ( Base ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) )
50		eqid	⊢ ( 1_r ‘ 𝑅 ) = ( 1_r ‘ 𝑅 )
51	1 15 50 2 16 21 5 6 7	erler	⊢ ( 𝜑 → ∼ Er ( 𝐵 × 𝑆 ) )
52		tpex	⊢ { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∈ V
53		tpex	⊢ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ∈ V
54	52 53	unex	⊢ ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∈ V
55		tpex	⊢ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ∈ V
56	54 55	unex	⊢ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ∈ V
57	56	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ∈ V )
58	32	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → 𝑆 ⊆ 𝐵 )
59	58	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑆 ⊆ 𝐵 )
60	59	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑆 ⊆ 𝐵 )
61		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ = ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ )
62		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ = ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
63	6	crngringd	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
64	63	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
65		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → 𝑢 ∼ 𝑝 )
66	1 5 58 65	erlcl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → 𝑢 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
67	66	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑢 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
68		xp1st	⊢ ( 𝑢 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) → ( 1^st ‘ 𝑢 ) ∈ 𝐵 )
69	67 68	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑢 ) ∈ 𝐵 )
70		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → 𝑣 ∼ 𝑞 )
71	1 5 58 70	erlcl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → 𝑣 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
72	71	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑣 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
73		xp1st	⊢ ( 𝑣 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) → ( 1^st ‘ 𝑣 ) ∈ 𝐵 )
74	72 73	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑣 ) ∈ 𝐵 )
75	1 2 64 69 74	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) ∈ 𝐵 )
76	1 5 58 65	erlcl2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
77	76	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
78		xp1st	⊢ ( 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ 𝐵 )
79	77 78	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ 𝐵 )
80	1 5 58 70	erlcl2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
81	80	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
82		xp1st	⊢ ( 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) → ( 1^st ‘ 𝑞 ) ∈ 𝐵 )
83	81 82	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑞 ) ∈ 𝐵 )
84	1 2 64 79 83	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝐵 )
85	7	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
86		xp2nd	⊢ ( 𝑢 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) → ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ∈ 𝑆 )
87	67 86	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ∈ 𝑆 )
88		xp2nd	⊢ ( 𝑣 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) → ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ∈ 𝑆 )
89	72 88	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ∈ 𝑆 )
90	29 2	mgpplusg	⊢ · = ( +_g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) )
91	90	submcl	⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ∈ 𝑆 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ∈ 𝑆 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ∈ 𝑆 )
92	85 87 89 91	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ∈ 𝑆 )
93		xp2nd	⊢ ( 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ∈ 𝑆 )
94	77 93	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ∈ 𝑆 )
95		xp2nd	⊢ ( 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) → ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ∈ 𝑆 )
96	81 95	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ∈ 𝑆 )
97	90	submcl	⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ∈ 𝑆 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ∈ 𝑆 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝑆 )
98	85 94 96 97	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝑆 )
99		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑓 ∈ 𝑆 )
100		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑔 ∈ 𝑆 )
101	90	submcl	⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑓 · 𝑔 ) ∈ 𝑆 )
102	85 99 100 101	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑓 · 𝑔 ) ∈ 𝑆 )
103	60 102	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑓 · 𝑔 ) ∈ 𝐵 )
104	60 98	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝐵 )
105	1 2 64 75 104	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ∈ 𝐵 )
106	60 92	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ∈ 𝐵 )
107	1 2 64 84 106	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ∈ 𝐵 )
108	1 2 16 64 103 105 107	ringsubdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) )
109	64	ringgrpd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ Grp )
110	1 2 64 103 105	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
111	1 2 64 79 74	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) ∈ 𝐵 )
112	60 87	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ∈ 𝐵 )
113	60 96	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ∈ 𝐵 )
114	1 2 64 112 113	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝐵 )
115	1 2 64 111 114	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ∈ 𝐵 )
116	1 2 64 103 115	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
117	1 2 64 103 107	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
118	1 3 16	grpnpncan	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) )
119	109 110 116 117 118	syl13anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) )
120	6	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → 𝑅 ∈ CRing )
121	120	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ CRing )
122	121	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ CRing )
123	29	crngmgp	⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ CMnd )
124	122 123	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ CMnd )
125	60 99	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑓 ∈ 𝐵 )
126	60 100	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑔 ∈ 𝐵 )
127	60 94	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ∈ 𝐵 )
128	30 90 124 125 126 69 74 127 113	cmn246135	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) = ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ) )
129	30 90 124 125 126 79 74 112 113	cmn246135	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) = ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) )
130	128 129	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) ) )
131	1 2 64 74 113	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝐵 )
132	1 2 64 126 131	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ∈ 𝐵 )
133	1 2 64 69 127	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∈ 𝐵 )
134	1 2 64 125 133	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ 𝐵 )
135	1 2 64 79 112	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ∈ 𝐵 )
136	1 2 64 125 135	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ∈ 𝐵 )
137	1 2 16 64 132 134 136	ringsubdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) ) )
138	1 2 16 64 125 133 135	ringsubdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) )
139		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
140	138 139	eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
141	140	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) )
142	1 2 15 64 132	ringrzd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
143	141 142	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
144	137 143	eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) · ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
145	130 144	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
146	1 2 122 79 74	crngcomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) )
147	146	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) = ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) )
148	147	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) = ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) )
149	30 90 124 125 126 74 79 112 113	cmn145236	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) = ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) )
150	148 149	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) = ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) )
151	1 2 122 83 79	crngcomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) )
152	151	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) = ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) )
153	152	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) )
154	60 89	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ∈ 𝐵 )
155	30 90 124 125 126 83 79 112 154	cmn145236	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) )
156	153 155	eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) )
157	150 156	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) )
158	1 2 64 83 154	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ∈ 𝐵 )
159	1 2 16 64 126 131 158	ringsubdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) )
160		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
161	159 160	eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
162	161	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) )
163	1 2 64 126 158	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ∈ 𝐵 )
164	1 2 16 64 136 132 163	ringsubdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) )
165	1 2 15 64 136	ringrzd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
166	162 164 165	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) · ( 𝑔 · ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
167	157 166	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
168	145 167	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) ) = ( ( 0_g ‘ 𝑅 ) + ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) )
169	1 15	grpidcl	⊢ ( 𝑅 ∈ Grp → ( 0_g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
170	109 169	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( 0_g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
171	1 3 15 109 170	grplidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 0_g ‘ 𝑅 ) + ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
172	168 171	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
173	108 119 172	3eqtr2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 · 𝑔 ) · ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) · ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
174	1 5 60 15 2 16 61 62 75 84 92 98 102 173	erlbrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ ∼ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
175	70	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑣 ∼ 𝑞 )
176	1 5 59 15 2 16 175	erldi	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ∃ 𝑔 ∈ 𝑆 ( 𝑔 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑣 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑞 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
177	174 176	r19.29a	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) ) → ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ ∼ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
178	1 5 58 15 2 16 65	erldi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑆 ( 𝑓 · ( ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ( -_g ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) ) ) = ( 0_g ‘ 𝑅 ) )
179	177 178	r19.29a	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ ∼ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
180		mulridx	⊢ ._r = Slot ( ._r ‘ ndx )
181		snsstp3	⊢ { ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ⊆ { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ }
182	181 42	sstri	⊢ { ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ⊆ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } )
183	25	mpoexg	⊢ ( ( ( 𝐵 × 𝑆 ) ∈ V ∧ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∈ V ) → ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ∈ V )
184	46 46 183	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ∈ V )
185		eqid	⊢ ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) = ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) )
186	35 37 180 182 184 185	strfv3	⊢ ( 𝜑 → ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) = ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) )
187	186	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) = ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) )
188	187	oveqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( 𝑢 ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑣 ) = ( 𝑢 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑣 ) )
189		opex	⊢ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ ∈ V
190	189	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ ∈ V )
191		simpl	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → 𝑎 = 𝑢 )
192	191	fveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → ( 1^st ‘ 𝑎 ) = ( 1^st ‘ 𝑢 ) )
193		simpr	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → 𝑏 = 𝑣 )
194	193	fveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → ( 1^st ‘ 𝑏 ) = ( 1^st ‘ 𝑣 ) )
195	192 194	oveq12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) )
196	191	fveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → ( 2^nd ‘ 𝑎 ) = ( 2^nd ‘ 𝑢 ) )
197	193	fveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → ( 2^nd ‘ 𝑏 ) = ( 2^nd ‘ 𝑣 ) )
198	196 197	oveq12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) )
199	195 198	opeq12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣 ) → ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ = ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ )
200	199 25	ovmpoga	⊢ ( ( 𝑢 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ ∈ V ) → ( 𝑢 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑣 ) = ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ )
201	66 71 190 200	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( 𝑢 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑣 ) = ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ )
202	188 201	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( 𝑢 ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑣 ) = ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ )
203	187	oveqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( 𝑝 ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) = ( 𝑝 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑞 ) )
204		opex	⊢ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ ∈ V
205	204	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ ∈ V )
206		simpl	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → 𝑎 = 𝑝 )
207	206	fveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → ( 1^st ‘ 𝑎 ) = ( 1^st ‘ 𝑝 ) )
208		simpr	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → 𝑏 = 𝑞 )
209	208	fveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → ( 1^st ‘ 𝑏 ) = ( 1^st ‘ 𝑞 ) )
210	207 209	oveq12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) )
211	206	fveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → ( 2^nd ‘ 𝑎 ) = ( 2^nd ‘ 𝑝 ) )
212	208	fveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → ( 2^nd ‘ 𝑏 ) = ( 2^nd ‘ 𝑞 ) )
213	211 212	oveq12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) )
214	210 213	opeq12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑝 ∧ 𝑏 = 𝑞 ) → ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ = ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
215	214 25	ovmpoga	⊢ ( ( 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ ∈ V ) → ( 𝑝 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑞 ) = ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
216	76 80 205 215	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( 𝑝 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑞 ) = ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
217	203 216	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( 𝑝 ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) = ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
218	202 217	breq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( ( 𝑢 ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑣 ) ∼ ( 𝑝 ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) ↔ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑢 ) · ( 1^st ‘ 𝑣 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑢 ) · ( 2^nd ‘ 𝑣 ) ) ⟩ ∼ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ ) )
219	179 218	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∼ 𝑝 ) ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( 𝑢 ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑣 ) ∼ ( 𝑝 ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) )
220	219	anasss	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∼ 𝑝 ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) ) → ( 𝑢 ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑣 ) ∼ ( 𝑝 ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) )
221	220	ex	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑢 ∼ 𝑝 ∧ 𝑣 ∼ 𝑞 ) → ( 𝑢 ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑣 ) ∼ ( 𝑝 ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) ) )
222	186	oveqd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑝 ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) = ( 𝑝 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑞 ) )
223	222	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 𝑝 ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) = ( 𝑝 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑞 ) )
224		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
225		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
226	204	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ ∈ V )
227	224 225 226 215	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 𝑝 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑞 ) = ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ )
228	63	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
229	224 78	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) ∈ 𝐵 )
230	225 82	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑞 ) ∈ 𝐵 )
231	1 2 228 229 230	ringcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝐵 )
232	7	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
233	224 93	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ∈ 𝑆 )
234	225 95	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ∈ 𝑆 )
235	232 233 234 97	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ∈ 𝑆 )
236	231 235	opelxpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) · ( 1^st ‘ 𝑞 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) · ( 2^nd ‘ 𝑞 ) ) ⟩ ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
237	227 236	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 𝑝 ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) 𝑞 ) ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
238	223 237	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( 𝑝 ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
239	238	anasss	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ) → ( 𝑝 ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) 𝑞 ) ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) )
240	34 49 51 57 221 239 185 12	qusmulval	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) → ( [ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ] ∼ ⊗ [ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ] ∼ ) = [ ( ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ] ∼ )
241	13 14 240	mpd3an23	⊢ ( 𝜑 → ( [ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ] ∼ ⊗ [ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ] ∼ ) = [ ( ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ] ∼ )
242	186	oveqd	⊢ ( 𝜑 → ( ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) = ( ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) )
243	25	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) = ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) )
244		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ )
245	244	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 1^st ‘ 𝑎 ) = ( 1^st ‘ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) )
246	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → 𝐸 ∈ 𝐵 )
247	10	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → 𝐺 ∈ 𝑆 )
248		op1stg	⊢ ( ( 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝑆 ) → ( 1^st ‘ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) = 𝐸 )
249	246 247 248	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 1^st ‘ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) = 𝐸 )
250	245 249	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 1^st ‘ 𝑎 ) = 𝐸 )
251		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ )
252	251	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 1^st ‘ 𝑏 ) = ( 1^st ‘ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) )
253	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → 𝐹 ∈ 𝐵 )
254	11	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → 𝐻 ∈ 𝑆 )
255		op1stg	⊢ ( ( 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑆 ) → ( 1^st ‘ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) = 𝐹 )
256	253 254 255	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 1^st ‘ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) = 𝐹 )
257	252 256	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 1^st ‘ 𝑏 ) = 𝐹 )
258	250 257	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) = ( 𝐸 · 𝐹 ) )
259	244	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑎 ) = ( 2^nd ‘ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) )
260		op2ndg	⊢ ( ( 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝑆 ) → ( 2^nd ‘ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) = 𝐺 )
261	246 247 260	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 2^nd ‘ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) = 𝐺 )
262	259 261	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑎 ) = 𝐺 )
263	251	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑏 ) = ( 2^nd ‘ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) )
264		op2ndg	⊢ ( ( 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑆 ) → ( 2^nd ‘ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) = 𝐻 )
265	253 254 264	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 2^nd ‘ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) = 𝐻 )
266	263 265	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑏 ) = 𝐻 )
267	262 266	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) = ( 𝐺 · 𝐻 ) )
268	258 267	opeq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 = ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ∧ 𝑏 = ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ = ⟨ ( 𝐸 · 𝐹 ) , ( 𝐺 · 𝐻 ) ⟩ )
269		opex	⊢ ⟨ ( 𝐸 · 𝐹 ) , ( 𝐺 · 𝐻 ) ⟩ ∈ V
270	269	a1i	⊢ ( 𝜑 → ⟨ ( 𝐸 · 𝐹 ) , ( 𝐺 · 𝐻 ) ⟩ ∈ V )
271	243 268 13 14 270	ovmpod	⊢ ( 𝜑 → ( ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) = ⟨ ( 𝐸 · 𝐹 ) , ( 𝐺 · 𝐻 ) ⟩ )
272	242 271	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) = ⟨ ( 𝐸 · 𝐹 ) , ( 𝐺 · 𝐻 ) ⟩ )
273	272	eceq1d	⊢ ( 𝜑 → [ ( ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ( ._r ‘ ( ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 × 𝑆 ) ⟩ , ⟨ ( +_g ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) + ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ._r ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 1^st ‘ 𝑏 ) ) , ( ( 2^nd ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ⟩ ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Scalar ‘ ndx ) , ( Scalar ‘ 𝑅 ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑅 ) ) , 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ⟨ ( 𝑘 ( ·_𝑠 ‘ 𝑅 ) ( 1^st ‘ 𝑎 ) ) , ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ⟩ ) ⟩ , ⟨ ( ·_𝑖 ‘ ndx ) , ∅ ⟩ } ) ∪ { ⟨ ( TopSet ‘ ndx ) , ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ×_t ( ( TopSet ‘ 𝑅 ) ↾_t 𝑆 ) ) ⟩ , ⟨ ( le ‘ ndx ) , { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( le ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) } ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) , 𝑏 ∈ ( 𝐵 × 𝑆 ) ↦ ( ( ( 1^st ‘ 𝑎 ) · ( 2^nd ‘ 𝑏 ) ) ( dist ‘ 𝑅 ) ( ( 1^st ‘ 𝑏 ) · ( 2^nd ‘ 𝑎 ) ) ) ) ⟩ } ) ) ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ] ∼ = [ ⟨ ( 𝐸 · 𝐹 ) , ( 𝐺 · 𝐻 ) ⟩ ] ∼ )
274	241 273	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( [ ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ] ∼ ⊗ [ ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ] ∼ ) = [ ⟨ ( 𝐸 · 𝐹 ) , ( 𝐺 · 𝐻 ) ⟩ ] ∼ )

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Theorem rlocmulval

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