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Theorem opltcon3b

Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. ( chpsscon3 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses opltcon3.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
opltcon3.s ⊢ < = ( lt ‘ 𝐾 )
opltcon3.o ⊢ ⊥ = ( oc ‘ 𝐾 )
Assertion opltcon3b ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 < 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) < ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 opltcon3.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 opltcon3.s ⊢ < = ( lt ‘ 𝐾 )
3 opltcon3.o ⊢ ⊥ = ( oc ‘ 𝐾 )
4 eqid ⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
5 1 4 3 oplecon3b ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) )
6 1 4 3 oplecon3b ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) )
7 6 3com23 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) )
8 7 notbid ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ¬ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ↔ ¬ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) )
9 5 8 anbi12d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ∧ ¬ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ↔ ( ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∧ ¬ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) )
10 opposet ⊢ ( 𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset )
11 1 4 2 pltval3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 < 𝑌 ↔ ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ∧ ¬ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) )
12 10 11 syl3an1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 < 𝑌 ↔ ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ∧ ¬ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) )
13 10 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ Poset )
14 1 3 opoccl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
15 14 3adant2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
16 1 3 opoccl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
17 16 3adant3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
18 1 4 2 pltval3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Poset ∧ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ⊥ ‘ 𝑌 ) < ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ↔ ( ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∧ ¬ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) )
19 13 15 17 18 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( ⊥ ‘ 𝑌 ) < ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ↔ ( ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∧ ¬ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) )
20 9 12 19 3bitr4d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 < 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) < ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) )