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Theorem opltcon3b

Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. ( chpsscon3 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses opltcon3.b 
|- B = ( Base ` K )
opltcon3.s 
|- .< = ( lt ` K )
opltcon3.o 
|- ._|_ = ( oc ` K )
Assertion opltcon3b 
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< Y <-> ( ._|_ ` Y ) .< ( ._|_ ` X ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 opltcon3.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 opltcon3.s 
 |-  .< = ( lt ` K )
3 opltcon3.o 
 |-  ._|_ = ( oc ` K )
4 eqid 
 |-  ( le ` K ) = ( le ` K )
5 1 4 3 oplecon3b 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( le ` K ) Y <-> ( ._|_ ` Y ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) ) )
6 1 4 3 oplecon3b 
 |-  ( ( K e. OP /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y ( le ` K ) X <-> ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` Y ) ) )
7 6 3com23 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y ( le ` K ) X <-> ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` Y ) ) )
8 7 notbid 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( -. Y ( le ` K ) X <-> -. ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` Y ) ) )
9 5 8 anbi12d 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X ( le ` K ) Y /\ -. Y ( le ` K ) X ) <-> ( ( ._|_ ` Y ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) /\ -. ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` Y ) ) ) )
10 opposet 
 |-  ( K e. OP -> K e. Poset )
11 1 4 2 pltval3 
 |-  ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< Y <-> ( X ( le ` K ) Y /\ -. Y ( le ` K ) X ) ) )
12 10 11 syl3an1 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< Y <-> ( X ( le ` K ) Y /\ -. Y ( le ` K ) X ) ) )
13 10 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. Poset )
14 1 3 opoccl 
 |-  ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
15 14 3adant2 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
16 1 3 opoccl 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
17 16 3adant3 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
18 1 4 2 pltval3 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( ._|_ ` Y ) e. B /\ ( ._|_ ` X ) e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) .< ( ._|_ ` X ) <-> ( ( ._|_ ` Y ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) /\ -. ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` Y ) ) ) )
19 13 15 17 18 syl3anc 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) .< ( ._|_ ` X ) <-> ( ( ._|_ ` Y ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) /\ -. ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` Y ) ) ) )
20 9 12 19 3bitr4d 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< Y <-> ( ._|_ ` Y ) .< ( ._|_ ` X ) ) )