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Theorem cncnp

Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of Munkres p. 107. (Contributed by NM, 15-May-2007) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion cncnp ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) ↔ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iscn ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) ↔ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∈ 𝐽 ) ) )
2 1 simprbda ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) ) → 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 )
3 eqid ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4 3 cncnpi ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ) → 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) )
5 4 ralrimiva ⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) → ∀ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) )
6 5 adantl ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) )
7 toponuni ⊢ ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → 𝑋 = ∪ 𝐽 )
8 7 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) ) → 𝑋 = ∪ 𝐽 )
9 6 8 raleqtrrdv ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) )
10 2 9 jca ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) ) → ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) )
11 simprl ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 )
12 cnvimass ⊢ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ⊆ dom 𝐹
13 fdm ⊢ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋 )
14 13 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) → dom 𝐹 = 𝑋 )
15 12 14 sseqtrid ⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) → ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ⊆ 𝑋 )
16 ssralv ⊢ ( ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ⊆ 𝑋 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) )
17 15 16 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) )
18 simprr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) )
19 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝐾 )
20 ffn ⊢ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 → 𝐹 Fn 𝑋 )
21 20 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝐹 Fn 𝑋 )
22 simprl ⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) )
23 elpreima ⊢ ( 𝐹 Fn 𝑋 → ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ) ) )
24 23 simplbda ⊢ ( ( 𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 )
25 21 22 24 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 )
26 cnpimaex ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ) → ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐹 “ 𝑢 ) ⊆ 𝑦 ) )
27 18 19 25 26 syl3anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) → ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐹 “ 𝑢 ) ⊆ 𝑦 ) )
28 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ) → 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 )
29 28 ffund ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ) → Fun 𝐹 )
30 simp-4l ⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )
31 toponss ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ) → 𝑢 ⊆ 𝑋 )
32 30 31 sylan ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ) → 𝑢 ⊆ 𝑋 )
33 28 13 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ) → dom 𝐹 = 𝑋 )
34 32 33 sseqtrrd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ) → 𝑢 ⊆ dom 𝐹 )
35 funimass3 ⊢ ( ( Fun 𝐹 ∧ 𝑢 ⊆ dom 𝐹 ) → ( ( 𝐹 “ 𝑢 ) ⊆ 𝑦 ↔ 𝑢 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) )
36 29 34 35 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐹 “ 𝑢 ) ⊆ 𝑦 ↔ 𝑢 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) )
37 36 anbi2d ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐹 “ 𝑢 ) ⊆ 𝑦 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) ) )
38 37 rexbidva ⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐹 “ 𝑢 ) ⊆ 𝑦 ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) ) )
39 27 38 mpbid ⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) → ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) )
40 39 expr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) → ( 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) → ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) ) )
41 40 ralimdva ⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) ) )
42 17 41 syld ⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) ) )
43 42 impr ⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) )
44 43 an32s ⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) )
45 topontop ⊢ ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → 𝐽 ∈ Top )
46 45 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) → 𝐽 ∈ Top )
47 eltop2 ⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∈ 𝐽 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) ) )
48 46 47 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) → ( ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∈ 𝐽 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) ) )
49 44 48 mpbird ⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ) → ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∈ 𝐽 )
50 49 ralrimiva ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∈ 𝐽 )
51 1 adantr ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) ↔ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ∈ 𝐽 ) ) )
52 11 50 51 mpbir2and ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝐹 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) )
53 10 52 impbida ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) ↔ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )