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Theorem utopreg

Description: All Hausdorff uniform spaces are regular. Proposition 3 of BourbakiTop1 p. II.5. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2018)

Ref Expression
Hypothesis utopreg.1 
|- J = ( unifTop ` U )
Assertion utopreg 
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Reg )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 utopreg.1 
 |-  J = ( unifTop ` U )
2 utoptop 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> ( unifTop ` U ) e. Top )
3 2 adantr 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> ( unifTop ` U ) e. Top )
4 1 3 eqeltrid 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Top )
5 simp-4l 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) )
6 4 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> J e. Top )
7 5 6 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> J e. Top )
8 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w e. U )
9 simp-4l 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> U e. ( UnifOn ` X ) )
10 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> w e. U )
11 4 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> J e. Top )
12 simpllr 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a e. J )
13 eqid 
 |-  U. J = U. J
14 13 eltopss 
 |-  ( ( J e. Top /\ a e. J ) -> a C_ U. J )
15 11 12 14 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a C_ U. J )
16 utopbas 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> X = U. ( unifTop ` U ) )
17 1 unieqi 
 |-  U. J = U. ( unifTop ` U )
18 16 17 eqtr4di 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> X = U. J )
19 9 18 syl 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> X = U. J )
20 15 19 sseqtrrd 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a C_ X )
21 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> x e. a )
22 20 21 sseldd 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> x e. X )
23 1 utopsnnei 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ w e. U /\ x e. X ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
24 9 10 22 23 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
25 5 8 24 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
26 neii2 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) )
27 7 25 26 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) )
28 simprl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> { x } C_ b )
29 vex 
 |-  x e. _V
30 29 snss 
 |-  ( x e. b <-> { x } C_ b )
31 28 30 sylibr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> x e. b )
32 7 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> J e. Top )
33 simplll 
 |-  ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> U e. ( UnifOn ` X ) )
34 5 33 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> U e. ( UnifOn ` X ) )
35 34 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> U e. ( UnifOn ` X ) )
36 8 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> w e. U )
37 simplr 
 |-  ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. J )
38 6 37 14 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a C_ U. J )
39 33 18 syl 
 |-  ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> X = U. J )
40 38 39 sseqtrrd 
 |-  ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a C_ X )
41 simpr 
 |-  ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> x e. a )
42 40 41 sseldd 
 |-  ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> x e. X )
43 42 ad6antr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> x e. X )
44 ustimasn 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ w e. U /\ x e. X ) -> ( w " { x } ) C_ X )
45 35 36 43 44 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( w " { x } ) C_ X )
46 35 18 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> X = U. J )
47 45 46 sseqtrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( w " { x } ) C_ U. J )
48 simprr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> b C_ ( w " { x } ) )
49 13 clsss 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( w " { x } ) C_ U. J /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) )
50 32 47 48 49 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) )
51 ustssxp 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ w e. U ) -> w C_ ( X X. X ) )
52 34 8 51 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w C_ ( X X. X ) )
53 34 18 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> X = U. J )
54 53 sqxpeqd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( X X. X ) = ( U. J X. U. J ) )
55 52 54 sseqtrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w C_ ( U. J X. U. J ) )
56 5 38 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> a C_ U. J )
57 simp-5r 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> x e. a )
58 56 57 sseldd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> x e. U. J )
59 13 13 imasncls 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ J e. Top ) /\ ( w C_ ( U. J X. U. J ) /\ x e. U. J ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) )
60 7 7 55 58 59 syl22anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) )
61 simprl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> `' w = w )
62 1 utop3cls 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ w C_ ( X X. X ) ) /\ ( w e. U /\ `' w = w ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ ( w o. ( w o. w ) ) )
63 34 52 8 61 62 syl22anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ ( w o. ( w o. w ) ) )
64 simprr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( w o. ( w o. w ) ) C_ v )
65 63 64 sstrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ v )
66 imass1 
 |-  ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ v -> ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) C_ ( v " { x } ) )
67 65 66 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) C_ ( v " { x } ) )
68 60 67 sstrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( v " { x } ) )
69 68 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( v " { x } ) )
70 50 69 sstrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( v " { x } ) )
71 simp-5r 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> a = ( v " { x } ) )
72 70 71 sseqtrrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a )
73 31 72 jca 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
74 73 ex 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) -> ( ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) )
75 74 reximdva 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) )
76 27 75 mpd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
77 simp-5l 
 |-  ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> U e. ( UnifOn ` X ) )
78 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> v e. U )
79 ustex3sym 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ v e. U ) -> E. w e. U ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) )
80 77 78 79 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> E. w e. U ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) )
81 76 80 r19.29a 
 |-  ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
82 opnneip 
 |-  ( ( J e. Top /\ a e. J /\ x e. a ) -> a e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
83 6 37 41 82 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
84 1 utopsnneip 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x e. X ) -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) )
85 33 42 84 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) )
86 83 85 eleqtrd 
 |-  ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) )
87 eqid 
 |-  ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) = ( v e. U |-> ( v " { x } ) )
88 87 elrnmpt 
 |-  ( a e. J -> ( a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) <-> E. v e. U a = ( v " { x } ) ) )
89 37 88 syl 
 |-  ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> ( a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) <-> E. v e. U a = ( v " { x } ) ) )
90 86 89 mpbid 
 |-  ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> E. v e. U a = ( v " { x } ) )
91 81 90 r19.29a 
 |-  ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
92 91 ralrimiva 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) -> A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
93 92 ralrimiva 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> A. a e. J A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
94 isreg 
 |-  ( J e. Reg <-> ( J e. Top /\ A. a e. J A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) )
95 4 93 94 sylanbrc 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Reg )