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Theorem utoptop

Description: The topology induced by a uniform structure U is a topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Nov-2017)

Ref Expression
Assertion utoptop 
|- ( U e. ( UnifOn ` X ) -> ( unifTop ` U ) e. Top )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpr 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x C_ ( unifTop ` U ) ) -> x C_ ( unifTop ` U ) )
2 utopval 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> ( unifTop ` U ) = { a e. ~P X | A. p e. a E. v e. U ( v " { p } ) C_ a } )
3 ssrab2 
 |-  { a e. ~P X | A. p e. a E. v e. U ( v " { p } ) C_ a } C_ ~P X
4 2 3 eqsstrdi 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> ( unifTop ` U ) C_ ~P X )
5 4 adantr 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x C_ ( unifTop ` U ) ) -> ( unifTop ` U ) C_ ~P X )
6 1 5 sstrd 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x C_ ( unifTop ` U ) ) -> x C_ ~P X )
7 sspwuni 
 |-  ( x C_ ~P X <-> U. x C_ X )
8 6 7 sylib 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x C_ ( unifTop ` U ) ) -> U. x C_ X )
9 simp-4l 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x C_ ( unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> U e. ( UnifOn ` X ) )
10 simp-4r 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x C_ ( unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> x C_ ( unifTop ` U ) )
11 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x C_ ( unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> y e. x )
12 10 11 sseldd 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x C_ ( unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> y e. ( unifTop ` U ) )
13 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x C_ ( unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> p e. y )
14 elutop 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> ( y e. ( unifTop ` U ) <-> ( y C_ X /\ A. p e. y E. v e. U ( v " { p } ) C_ y ) ) )
15 14 biimpa 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) -> ( y C_ X /\ A. p e. y E. v e. U ( v " { p } ) C_ y ) )
16 15 simprd 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) -> A. p e. y E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
17 16 r19.21bi 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) /\ p e. y ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
18 9 12 13 17 syl21anc 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x C_ ( unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
19 r19.41v 
 |-  ( E. v e. U ( ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) <-> ( E. v e. U ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) )
20 ssuni 
 |-  ( ( ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) -> ( v " { p } ) C_ U. x )
21 20 reximi 
 |-  ( E. v e. U ( ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
22 19 21 sylbir 
 |-  ( ( E. v e. U ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
23 18 11 22 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x C_ ( unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
24 eluni2 
 |-  ( p e. U. x <-> E. y e. x p e. y )
25 24 biimpi 
 |-  ( p e. U. x -> E. y e. x p e. y )
26 25 adantl 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x C_ ( unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) -> E. y e. x p e. y )
27 23 26 r19.29a 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x C_ ( unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
28 27 ralrimiva 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x C_ ( unifTop ` U ) ) -> A. p e. U. x E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
29 elutop 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> ( U. x e. ( unifTop ` U ) <-> ( U. x C_ X /\ A. p e. U. x E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x ) ) )
30 29 adantr 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x C_ ( unifTop ` U ) ) -> ( U. x e. ( unifTop ` U ) <-> ( U. x C_ X /\ A. p e. U. x E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x ) ) )
31 8 28 30 mpbir2and 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x C_ ( unifTop ` U ) ) -> U. x e. ( unifTop ` U ) )
32 31 ex 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> ( x C_ ( unifTop ` U ) -> U. x e. ( unifTop ` U ) ) )
33 32 alrimiv 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> A. x ( x C_ ( unifTop ` U ) -> U. x e. ( unifTop ` U ) ) )
34 elutop 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> ( x e. ( unifTop ` U ) <-> ( x C_ X /\ A. p e. x E. u e. U ( u " { p } ) C_ x ) ) )
35 34 biimpa 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x e. ( unifTop ` U ) ) -> ( x C_ X /\ A. p e. x E. u e. U ( u " { p } ) C_ x ) )
36 35 simpld 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x e. ( unifTop ` U ) ) -> x C_ X )
37 36 adantrr 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) -> x C_ X )
38 ssinss1 
 |-  ( x C_ X -> ( x i^i y ) C_ X )
39 37 38 syl 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ X )
40 simpl 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> U e. ( UnifOn ` X ) )
41 simpr31 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> u e. U )
42 simpr32 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> v e. U )
43 ustincl 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ u e. U /\ v e. U ) -> ( u i^i v ) e. U )
44 40 41 42 43 syl3anc 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( u i^i v ) e. U )
45 inss1 
 |-  ( u i^i v ) C_ u
46 imass1 
 |-  ( ( u i^i v ) C_ u -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( u " { p } ) )
47 45 46 ax-mp 
 |-  ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( u " { p } )
48 simpr33 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) )
49 48 simpld 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( u " { p } ) C_ x )
50 47 49 sstrid 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ x )
51 inss2 
 |-  ( u i^i v ) C_ v
52 imass1 
 |-  ( ( u i^i v ) C_ v -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( v " { p } ) )
53 51 52 ax-mp 
 |-  ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( v " { p } )
54 48 simprd 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( v " { p } ) C_ y )
55 53 54 sstrid 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ y )
56 50 55 ssind 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
57 imaeq1 
 |-  ( w = ( u i^i v ) -> ( w " { p } ) = ( ( u i^i v ) " { p } ) )
58 57 sseq1d 
 |-  ( w = ( u i^i v ) -> ( ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) <-> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) )
59 58 rspcev 
 |-  ( ( ( u i^i v ) e. U /\ ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
60 44 56 59 syl2anc 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
61 60 3anassrs 
 |-  ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
62 61 3anassrs 
 |-  ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
63 simpll 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> U e. ( UnifOn ` X ) )
64 simplrl 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> x e. ( unifTop ` U ) )
65 simpr 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> p e. ( x i^i y ) )
66 elin 
 |-  ( p e. ( x i^i y ) <-> ( p e. x /\ p e. y ) )
67 65 66 sylib 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> ( p e. x /\ p e. y ) )
68 67 simpld 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> p e. x )
69 35 simprd 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x e. ( unifTop ` U ) ) -> A. p e. x E. u e. U ( u " { p } ) C_ x )
70 69 r19.21bi 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x e. ( unifTop ` U ) ) /\ p e. x ) -> E. u e. U ( u " { p } ) C_ x )
71 63 64 68 70 syl21anc 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. u e. U ( u " { p } ) C_ x )
72 simplrr 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> y e. ( unifTop ` U ) )
73 67 simprd 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> p e. y )
74 63 72 73 17 syl21anc 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
75 reeanv 
 |-  ( E. u e. U E. v e. U ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) <-> ( E. u e. U ( u " { p } ) C_ x /\ E. v e. U ( v " { p } ) C_ y ) )
76 71 74 75 sylanbrc 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. u e. U E. v e. U ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) )
77 62 76 r19.29vva 
 |-  ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
78 77 ralrimiva 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) -> A. p e. ( x i^i y ) E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
79 elutop 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> ( ( x i^i y ) e. ( unifTop ` U ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. p e. ( x i^i y ) E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
80 79 adantr 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) -> ( ( x i^i y ) e. ( unifTop ` U ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. p e. ( x i^i y ) E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
81 39 78 80 mpbir2and 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ ( x e. ( unifTop ` U ) /\ y e. ( unifTop ` U ) ) ) -> ( x i^i y ) e. ( unifTop ` U ) )
82 81 ralrimivva 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> A. x e. ( unifTop ` U ) A. y e. ( unifTop ` U ) ( x i^i y ) e. ( unifTop ` U ) )
83 fvex 
 |-  ( unifTop ` U ) e. _V
84 istopg 
 |-  ( ( unifTop ` U ) e. _V -> ( ( unifTop ` U ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( unifTop ` U ) -> U. x e. ( unifTop ` U ) ) /\ A. x e. ( unifTop ` U ) A. y e. ( unifTop ` U ) ( x i^i y ) e. ( unifTop ` U ) ) ) )
85 83 84 ax-mp 
 |-  ( ( unifTop ` U ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( unifTop ` U ) -> U. x e. ( unifTop ` U ) ) /\ A. x e. ( unifTop ` U ) A. y e. ( unifTop ` U ) ( x i^i y ) e. ( unifTop ` U ) ) )
86 33 82 85 sylanbrc 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> ( unifTop ` U ) e. Top )