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Theorem pthdlem1

Description: Lemma 1 for pthd . (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017) (Revised by AV, 9-Feb-2021)

Ref Expression
Hypotheses pthd.p 
|- ( ph -> P e. Word _V )
pthd.r 
|- R = ( ( # ` P ) - 1 )
pthd.s 
|- ( ph -> A. i e. ( 0 ..^ ( # ` P ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) )
Assertion pthdlem1 
|- ( ph -> Fun `' ( P |` ( 1 ..^ R ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pthd.p 
 |-  ( ph -> P e. Word _V )
2 pthd.r 
 |-  R = ( ( # ` P ) - 1 )
3 pthd.s 
 |-  ( ph -> A. i e. ( 0 ..^ ( # ` P ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) )
4 wrdf 
 |-  ( P e. Word _V -> P : ( 0 ..^ ( # ` P ) ) --> _V )
5 1 4 syl 
 |-  ( ph -> P : ( 0 ..^ ( # ` P ) ) --> _V )
6 fzo0ss1 
 |-  ( 1 ..^ R ) C_ ( 0 ..^ R )
7 2 a1i 
 |-  ( ph -> R = ( ( # ` P ) - 1 ) )
8 7 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( 0 ..^ R ) = ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) )
9 6 8 sseqtrid 
 |-  ( ph -> ( 1 ..^ R ) C_ ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) )
10 lencl 
 |-  ( P e. Word _V -> ( # ` P ) e. NN0 )
11 nn0z 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( # ` P ) e. ZZ )
12 fzossrbm1 
 |-  ( ( # ` P ) e. ZZ -> ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) C_ ( 0 ..^ ( # ` P ) ) )
13 1 10 11 12 4syl 
 |-  ( ph -> ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) C_ ( 0 ..^ ( # ` P ) ) )
14 9 13 sstrd 
 |-  ( ph -> ( 1 ..^ R ) C_ ( 0 ..^ ( # ` P ) ) )
15 5 14 fssresd 
 |-  ( ph -> ( P |` ( 1 ..^ R ) ) : ( 1 ..^ R ) --> _V )
16 15 adantr 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( P |` ( 1 ..^ R ) ) : ( 1 ..^ R ) --> _V )
17 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> A. i e. ( 0 ..^ ( # ` P ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) )
18 1 10 syl 
 |-  ( ph -> ( # ` P ) e. NN0 )
19 nn0re 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( # ` P ) e. RR )
20 19 ltm1d 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 1 ) < ( # ` P ) )
21 1re 
 |-  1 e. RR
22 peano2rem 
 |-  ( ( # ` P ) e. RR -> ( ( # ` P ) - 1 ) e. RR )
23 19 22 syl 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 1 ) e. RR )
24 lttr 
 |-  ( ( 1 e. RR /\ ( ( # ` P ) - 1 ) e. RR /\ ( # ` P ) e. RR ) -> ( ( 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) /\ ( ( # ` P ) - 1 ) < ( # ` P ) ) -> 1 < ( # ` P ) ) )
25 21 23 19 24 mp3an2i 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) /\ ( ( # ` P ) - 1 ) < ( # ` P ) ) -> 1 < ( # ` P ) ) )
26 1red 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> 1 e. RR )
27 ltle 
 |-  ( ( 1 e. RR /\ ( # ` P ) e. RR ) -> ( 1 < ( # ` P ) -> 1 <_ ( # ` P ) ) )
28 26 19 27 syl2anc 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 1 < ( # ` P ) -> 1 <_ ( # ` P ) ) )
29 25 28 syld 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) /\ ( ( # ` P ) - 1 ) < ( # ` P ) ) -> 1 <_ ( # ` P ) ) )
30 20 29 mpan2d 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) -> 1 <_ ( # ` P ) ) )
31 30 imdistani 
 |-  ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 1 <_ ( # ` P ) ) )
32 elnnnn0c 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN <-> ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 1 <_ ( # ` P ) ) )
33 31 32 sylibr 
 |-  ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( # ` P ) e. NN )
34 18 33 sylan 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( # ` P ) e. NN )
35 fzo0sn0fzo1 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN -> ( 0 ..^ ( # ` P ) ) = ( { 0 } u. ( 1 ..^ ( # ` P ) ) ) )
36 34 35 syl 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 0 ..^ ( # ` P ) ) = ( { 0 } u. ( 1 ..^ ( # ` P ) ) ) )
37 1zzd 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
38 1p1e2 
 |-  ( 1 + 1 ) = 2
39 2z 
 |-  2 e. ZZ
40 38 39 eqeltri 
 |-  ( 1 + 1 ) e. ZZ
41 40 a1i 
 |-  ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 1 + 1 ) e. ZZ )
42 11 adantr 
 |-  ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( # ` P ) e. ZZ )
43 ltaddsub 
 |-  ( ( 1 e. RR /\ 1 e. RR /\ ( # ` P ) e. RR ) -> ( ( 1 + 1 ) < ( # ` P ) <-> 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) )
44 43 bicomd 
 |-  ( ( 1 e. RR /\ 1 e. RR /\ ( # ` P ) e. RR ) -> ( 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) <-> ( 1 + 1 ) < ( # ` P ) ) )
45 21 26 19 44 mp3an2i 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) <-> ( 1 + 1 ) < ( # ` P ) ) )
46 2re 
 |-  2 e. RR
47 38 46 eqeltri 
 |-  ( 1 + 1 ) e. RR
48 ltle 
 |-  ( ( ( 1 + 1 ) e. RR /\ ( # ` P ) e. RR ) -> ( ( 1 + 1 ) < ( # ` P ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( # ` P ) ) )
49 47 19 48 sylancr 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( 1 + 1 ) < ( # ` P ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( # ` P ) ) )
50 45 49 sylbid 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( # ` P ) ) )
51 50 imp 
 |-  ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( # ` P ) )
52 eluz2 
 |-  ( ( # ` P ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) <-> ( ( 1 + 1 ) e. ZZ /\ ( # ` P ) e. ZZ /\ ( 1 + 1 ) <_ ( # ` P ) ) )
53 41 42 51 52 syl3anbrc 
 |-  ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( # ` P ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
54 18 53 sylan 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( # ` P ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
55 fzosplitsnm1 
 |-  ( ( 1 e. ZZ /\ ( # ` P ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 1 ..^ ( # ` P ) ) = ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) )
56 37 54 55 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 1 ..^ ( # ` P ) ) = ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) )
57 56 uneq2d 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( { 0 } u. ( 1 ..^ ( # ` P ) ) ) = ( { 0 } u. ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) ) )
58 36 57 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 0 ..^ ( # ` P ) ) = ( { 0 } u. ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) ) )
59 58 raleqdv 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( # ` P ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) <-> A. i e. ( { 0 } u. ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) )
60 ralunb 
 |-  ( A. i e. ( { 0 } u. ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) <-> ( A. i e. { 0 } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ A. i e. ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) )
61 ralunb 
 |-  ( A. i e. ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ A. i e. { ( ( # ` P ) - 1 ) } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) )
62 61 anbi2i 
 |-  ( ( A. i e. { 0 } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ A. i e. ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) <-> ( A. i e. { 0 } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ A. i e. { ( ( # ` P ) - 1 ) } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) ) )
63 60 62 bitri 
 |-  ( A. i e. ( { 0 } u. ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) <-> ( A. i e. { 0 } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ A. i e. { ( ( # ` P ) - 1 ) } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) ) )
64 59 63 bitrdi 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( # ` P ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) <-> ( A. i e. { 0 } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ A. i e. { ( ( # ` P ) - 1 ) } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) ) ) )
65 2 eqcomi 
 |-  ( ( # ` P ) - 1 ) = R
66 65 oveq2i 
 |-  ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) = ( 1 ..^ R )
67 66 raleqi 
 |-  ( A. i e. ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) <-> A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) )
68 fvres 
 |-  ( i e. ( 1 ..^ R ) -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) = ( P ` i ) )
69 68 eqcomd 
 |-  ( i e. ( 1 ..^ R ) -> ( P ` i ) = ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) )
70 69 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ i e. ( 1 ..^ R ) ) -> ( P ` i ) = ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) )
71 70 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ i e. ( 1 ..^ R ) ) /\ j e. ( 1 ..^ R ) ) -> ( P ` i ) = ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) )
72 fvres 
 |-  ( j e. ( 1 ..^ R ) -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) = ( P ` j ) )
73 72 eqcomd 
 |-  ( j e. ( 1 ..^ R ) -> ( P ` j ) = ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) )
74 73 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ i e. ( 1 ..^ R ) ) /\ j e. ( 1 ..^ R ) ) -> ( P ` j ) = ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) )
75 71 74 neeq12d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ i e. ( 1 ..^ R ) ) /\ j e. ( 1 ..^ R ) ) -> ( ( P ` i ) =/= ( P ` j ) <-> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) )
76 75 biimpd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ i e. ( 1 ..^ R ) ) /\ j e. ( 1 ..^ R ) ) -> ( ( P ` i ) =/= ( P ` j ) -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) )
77 76 imim2d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ i e. ( 1 ..^ R ) ) /\ j e. ( 1 ..^ R ) ) -> ( ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) -> ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) ) )
78 77 ralimdva 
 |-  ( ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ i e. ( 1 ..^ R ) ) -> ( A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) -> A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) ) )
79 78 ralimdva 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) -> A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) ) )
80 67 79 biimtrid 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( A. i e. ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) -> A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) ) )
81 80 adantrd 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( ( A. i e. ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ A. i e. { ( ( # ` P ) - 1 ) } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) -> A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) ) )
82 81 adantld 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( ( A. i e. { 0 } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ A. i e. { ( ( # ` P ) - 1 ) } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) ) )
83 64 82 sylbid 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( # ` P ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) -> A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) ) )
84 17 83 mpd 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) )
85 dff14a 
 |-  ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) : ( 1 ..^ R ) -1-1-> _V <-> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) : ( 1 ..^ R ) --> _V /\ A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) ) )
86 16 84 85 sylanbrc 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( P |` ( 1 ..^ R ) ) : ( 1 ..^ R ) -1-1-> _V )
87 df-f1 
 |-  ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) : ( 1 ..^ R ) -1-1-> _V <-> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) : ( 1 ..^ R ) --> _V /\ Fun `' ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ) )
88 86 87 sylib 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) : ( 1 ..^ R ) --> _V /\ Fun `' ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ) )
89 88 simprd 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> Fun `' ( P |` ( 1 ..^ R ) ) )
90 funcnv0 
 |-  Fun `' (/)
91 18 nn0zd 
 |-  ( ph -> ( # ` P ) e. ZZ )
92 peano2zm 
 |-  ( ( # ` P ) e. ZZ -> ( ( # ` P ) - 1 ) e. ZZ )
93 91 92 syl 
 |-  ( ph -> ( ( # ` P ) - 1 ) e. ZZ )
94 93 zred 
 |-  ( ph -> ( ( # ` P ) - 1 ) e. RR )
95 1red 
 |-  ( ph -> 1 e. RR )
96 94 95 lenltd 
 |-  ( ph -> ( ( ( # ` P ) - 1 ) <_ 1 <-> -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) )
97 96 biimpar 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( ( # ` P ) - 1 ) <_ 1 )
98 2 97 eqbrtrid 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> R <_ 1 )
99 1zzd 
 |-  ( ph -> 1 e. ZZ )
100 2 93 eqeltrid 
 |-  ( ph -> R e. ZZ )
101 99 100 jca 
 |-  ( ph -> ( 1 e. ZZ /\ R e. ZZ ) )
102 101 adantr 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ R e. ZZ ) )
103 fzon 
 |-  ( ( 1 e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( R <_ 1 <-> ( 1 ..^ R ) = (/) ) )
104 103 bicomd 
 |-  ( ( 1 e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( ( 1 ..^ R ) = (/) <-> R <_ 1 ) )
105 102 104 syl 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( ( 1 ..^ R ) = (/) <-> R <_ 1 ) )
106 98 105 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 1 ..^ R ) = (/) )
107 106 reseq2d 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( P |` ( 1 ..^ R ) ) = ( P |` (/) ) )
108 res0 
 |-  ( P |` (/) ) = (/)
109 107 108 eqtrdi 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( P |` ( 1 ..^ R ) ) = (/) )
110 109 cnveqd 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> `' ( P |` ( 1 ..^ R ) ) = `' (/) )
111 110 funeqd 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( Fun `' ( P |` ( 1 ..^ R ) ) <-> Fun `' (/) ) )
112 90 111 mpbiri 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> Fun `' ( P |` ( 1 ..^ R ) ) )
113 89 112 pm2.61dan 
 |-  ( ph -> Fun `' ( P |` ( 1 ..^ R ) ) )