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Theorem omlsi

Description: Subspace form of orthomodular law in the Hilbert lattice. Compare the orthomodular law in Theorem 2(ii) of Kalmbach p. 22. (Contributed by NM, 14-Oct-1999) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses omls.1 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
omls.2 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
Assertion omlsi ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) → 𝐴 = 𝐵 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 omls.1 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2 omls.2 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3 eqeq1 ⊢ ( 𝐴 = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐴 = 𝐵 ↔ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) = 𝐵 ) )
4 eqeq2 ⊢ ( 𝐵 = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) = 𝐵 ↔ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) ) )
5 h0elch ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
6 1 5 ifcli ⊢ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ∈ Cℋ
7 h0elsh ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
8 2 7 ifcli ⊢ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) ∈ Sℋ
9 sseq1 ⊢ ( 𝐴 = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ 𝐵 ) )
10 fveq2 ⊢ ( 𝐴 = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ⊥ ‘ 𝐴 ) = ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) )
11 10 ineq2d ⊢ ( 𝐴 = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) )
12 11 eqeq1d ⊢ ( 𝐴 = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ↔ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) = 0ℋ ) )
13 9 12 anbi12d ⊢ ( 𝐴 = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) ↔ ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) = 0ℋ ) ) )
14 sseq2 ⊢ ( 𝐵 = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ 𝐵 ↔ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) ) )
15 ineq1 ⊢ ( 𝐵 = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) → ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) = ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) )
16 15 eqeq1d ⊢ ( 𝐵 = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) = 0ℋ ↔ ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) = 0ℋ ) )
17 14 16 anbi12d ⊢ ( 𝐵 = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) = 0ℋ ) ↔ ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) ∧ ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) = 0ℋ ) ) )
18 sseq1 ⊢ ( 0ℋ = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 0ℋ ⊆ 0ℋ ↔ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ 0ℋ ) )
19 fveq2 ⊢ ( 0ℋ = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ⊥ ‘ 0ℋ ) = ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) )
20 19 ineq2d ⊢ ( 0ℋ = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 0ℋ ∩ ( ⊥ ‘ 0ℋ ) ) = ( 0ℋ ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) )
21 20 eqeq1d ⊢ ( 0ℋ = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( 0ℋ ∩ ( ⊥ ‘ 0ℋ ) ) = 0ℋ ↔ ( 0ℋ ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) = 0ℋ ) )
22 18 21 anbi12d ⊢ ( 0ℋ = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( 0ℋ ⊆ 0ℋ ∧ ( 0ℋ ∩ ( ⊥ ‘ 0ℋ ) ) = 0ℋ ) ↔ ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ 0ℋ ∧ ( 0ℋ ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) = 0ℋ ) ) )
23 sseq2 ⊢ ( 0ℋ = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ 0ℋ ↔ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) ) )
24 ineq1 ⊢ ( 0ℋ = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) → ( 0ℋ ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) = ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) )
25 24 eqeq1d ⊢ ( 0ℋ = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( 0ℋ ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) = 0ℋ ↔ ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) = 0ℋ ) )
26 23 25 anbi12d ⊢ ( 0ℋ = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ 0ℋ ∧ ( 0ℋ ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) = 0ℋ ) ↔ ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) ∧ ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) = 0ℋ ) ) )
27 ssid ⊢ 0ℋ ⊆ 0ℋ
28 ocin ⊢ ( 0ℋ ∈ Sℋ → ( 0ℋ ∩ ( ⊥ ‘ 0ℋ ) ) = 0ℋ )
29 7 28 ax-mp ⊢ ( 0ℋ ∩ ( ⊥ ‘ 0ℋ ) ) = 0ℋ
30 27 29 pm3.2i ⊢ ( 0ℋ ⊆ 0ℋ ∧ ( 0ℋ ∩ ( ⊥ ‘ 0ℋ ) ) = 0ℋ )
31 13 17 22 26 30 elimhyp2v ⊢ ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) ∧ ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) = 0ℋ )
32 31 simpli ⊢ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ )
33 31 simpri ⊢ ( if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ ) ∩ ( ⊥ ‘ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) ) ) = 0ℋ
34 6 8 32 33 omlsii ⊢ if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐴 , 0ℋ ) = if ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) , 𝐵 , 0ℋ )
35 3 4 34 dedth2v ⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) → 𝐴 = 𝐵 )