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Theorem latledi

Description: An ortholattice is distributive in one ordering direction. ( ledi analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses latledi.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
latledi.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
latledi.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
latledi.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
Assertion latledi ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ≤ ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 latledi.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 latledi.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 latledi.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 latledi.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 1 2 4 latmle1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑋 )
6 5 3adant3r3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑋 )
7 1 2 4 latmle1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ 𝑋 )
8 7 3adant3r2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ 𝑋 )
9 1 4 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
10 9 3adant3r3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
11 1 4 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
12 11 3adant3r2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
13 simpr1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
14 10 12 13 3jca ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) )
15 1 2 3 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑋 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ 𝑋 ) ↔ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ≤ 𝑋 ) )
16 14 15 syldan ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑋 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ 𝑋 ) ↔ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ≤ 𝑋 ) )
17 6 8 16 mpbi2and ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ≤ 𝑋 )
18 1 2 4 latmle2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑌 )
19 18 3adant3r3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑌 )
20 1 2 4 latmle2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ 𝑍 )
21 20 3adant3r2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ 𝑍 )
22 simpl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
23 simpr2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
24 simpr3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
25 1 2 3 latjlej12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ 𝑍 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ≤ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )
26 22 10 23 12 24 25 syl122anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ 𝑍 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ≤ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )
27 19 21 26 mp2and ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ≤ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) )
28 1 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ∈ 𝐵 )
29 22 10 12 28 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ∈ 𝐵 )
30 1 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
31 30 3adant3r1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
32 1 2 4 latlem12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ≤ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) ↔ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ≤ ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) ) )
33 22 29 13 31 32 syl13anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ≤ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) ↔ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ≤ ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) ) )
34 17 27 33 mpbi2and ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ≤ ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )