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Theorem ledi

Description: An ortholattice is distributive in one ordering direction. (Contributed by NM, 14-Jun-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion ledi ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ineq1 ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) )
2 ineq1 ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) )
3 1 2 oveq12d ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) ) )
4 ineq1 ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) )
5 3 4 sseq12d ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) )
6 ineq2 ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) )
7 6 oveq1d ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) ) )
8 oveq1 ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) = ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) )
9 8 ineq2d ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) )
10 7 9 sseq12d ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) ) )
11 ineq2 ⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ) )
12 11 oveq2d ⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ) ) )
13 oveq2 ⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ) )
14 13 ineq2d ⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ) ) )
15 12 14 sseq12d ⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) → ( ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ) ) ⊆ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ) ) ) )
16 h0elch ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
17 16 elimel ⊢ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∈ Cℋ
18 16 elimel ⊢ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∈ Cℋ
19 16 elimel ⊢ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ∈ Cℋ
20 17 18 19 ledii ⊢ ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ) ) ⊆ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ) )
21 5 10 15 20 dedth3h ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) )