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Theorem homco2

Description: Move a scalar product out of a composition of operators. The operator T must be linear, unlike homco1 that works for any operators. (Contributed by NM, 13-Aug-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion homco2 ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑇 ∘ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) = ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → 𝐴 ∈ ℂ )
2 simpl3 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ )
3 simpr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → 𝑥 ∈ ℋ )
4 homval ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) )
5 1 2 3 4 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) )
6 5 fveq2d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑇 ‘ ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) )
7 homulcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ·op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ )
8 7 3adant2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ·op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ )
9 fvco3 ⊢ ( ( ( 𝐴 ·op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑇 ∘ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) )
10 8 9 sylan ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑇 ∘ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) )
11 fvco3 ⊢ ( ( 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑇 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) )
12 2 3 11 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑇 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) )
13 12 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) )
14 lnopf ⊢ ( 𝑇 ∈ LinOp → 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ )
15 14 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ )
16 simp3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ )
17 fco ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ )
18 15 16 17 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ )
19 18 adantr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ )
20 homval ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) )
21 1 19 3 20 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) )
22 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → 𝑇 ∈ LinOp )
23 16 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ∈ ℋ )
24 lnopmul ⊢ ( ( 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ∈ ℋ ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) )
25 22 1 23 24 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) )
26 13 21 25 3eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑇 ‘ ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) )
27 6 10 26 3eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑇 ∘ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) )
28 27 ralrimiva ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ∀ 𝑥 ∈ ℋ ( ( 𝑇 ∘ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) )
29 fco ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑇 ∘ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
30 15 8 29 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑇 ∘ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
31 simp1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → 𝐴 ∈ ℂ )
32 homulcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
33 31 18 32 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
34 hoeq ⊢ ( ( ( 𝑇 ∘ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ℋ ( ( 𝑇 ∘ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑇 ∘ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) = ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ) )
35 30 33 34 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ℋ ( ( 𝑇 ∘ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑇 ∘ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) = ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ) )
36 28 35 mpbid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑇 ∘ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) = ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) )