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Theorem homco1

Description: Associative law for scalar product and composition of operators. (Contributed by NM, 13-Aug-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion homco1 ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ∘ 𝑈 ) = ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fvco3 ⊢ ( ( 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) )
2 1 3ad2antl3 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) )
3 fvco3 ⊢ ( ( 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑇 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) )
4 3 3ad2antl3 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑇 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) )
5 4 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) )
6 ffvelcdm ⊢ ( ( 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ∈ ℋ )
7 homval ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) )
8 6 7 syl3an3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) )
9 8 3expa ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ ( 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) )
10 9 exp43 ⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ → ( 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ → ( 𝑥 ∈ ℋ → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
11 10 3imp1 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) )
12 5 11 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) )
13 2 12 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) )
14 fco ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ )
15 homval ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) )
16 14 15 syl3an2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) )
17 16 3expia ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ) → ( 𝑥 ∈ ℋ → ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
18 17 3impb ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑥 ∈ ℋ → ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
19 18 imp ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) )
20 13 19 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) )
21 20 ralrimiva ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ∀ 𝑥 ∈ ℋ ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) )
22 homulcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ )
23 fco ⊢ ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ∘ 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ )
24 22 23 stoic3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ∘ 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ )
25 homulcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
26 14 25 sylan2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ) → ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
27 26 3impb ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
28 hoeq ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ∘ 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ℋ ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ∘ 𝑈 ) = ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ) )
29 24 27 28 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ℋ ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ∘ 𝑈 ) = ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) ) )
30 21 29 mpbid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ∘ 𝑈 ) = ( 𝐴 ·op ( 𝑇 ∘ 𝑈 ) ) )