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Theorem dalem54

Description: Lemma for dath . Line G H intersects the auxiliary axis of perspectivity B . (Contributed by NM, 8-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalem.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
dalem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dalem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dalem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalem.ps ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
dalem54.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
dalem54.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dalem54.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
dalem54.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
dalem54.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) )
dalem54.h ⊢ 𝐻 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) )
dalem54.i ⊢ 𝐼 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) )
dalem54.b1 ⊢ 𝐵 = ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∧ 𝑌 )
Assertion dalem54 ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) ∈ 𝐴 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalem.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalem.ps ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
6 dalem54.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
7 dalem54.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
8 dalem54.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
9 dalem54.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
10 dalem54.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) )
11 dalem54.h ⊢ 𝐻 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) )
12 dalem54.i ⊢ 𝐼 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) )
13 dalem54.b1 ⊢ 𝐵 = ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∧ 𝑌 )
14 1 dalemkehl ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ HL )
15 14 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐾 ∈ HL )
16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dalem23 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐺 ∈ 𝐴 )
17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 dalem29 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐻 ∈ 𝐴 )
18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 dalem41 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐺 ≠ 𝐻 )
19 eqid ⊢ ( LLines ‘ 𝐾 ) = ( LLines ‘ 𝐾 )
20 3 4 19 llni2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐺 ≠ 𝐻 ) → ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
21 15 16 17 18 20 syl31anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
22 1 2 3 4 5 6 19 7 8 9 10 11 12 13 dalem53 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐵 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
23 1 dalemkelat ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ Lat )
24 23 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐾 ∈ Lat )
25 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
26 25 19 llnbase ⊢ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) → ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
27 21 26 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 dalem34 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐼 ∈ 𝐴 )
29 25 4 atbase ⊢ ( 𝐼 ∈ 𝐴 → 𝐼 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
30 28 29 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐼 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
31 25 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝐼 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
32 24 27 30 31 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
33 1 7 dalemyeb ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
34 33 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
35 25 2 6 latmle2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑌 )
36 24 32 34 35 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑌 )
37 13 36 eqbrtrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐵 ≤ 𝑌 )
38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dalem24 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ¬ 𝐺 ≤ 𝑌 )
39 25 4 atbase ⊢ ( 𝐺 ∈ 𝐴 → 𝐺 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
40 16 39 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐺 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
41 25 4 atbase ⊢ ( 𝐻 ∈ 𝐴 → 𝐻 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
42 17 41 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐻 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
43 25 2 3 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝐺 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝐻 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝐺 ≤ 𝑌 ∧ 𝐻 ≤ 𝑌 ) ↔ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ≤ 𝑌 ) )
44 24 40 42 34 43 syl13anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ≤ 𝑌 ∧ 𝐻 ≤ 𝑌 ) ↔ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ≤ 𝑌 ) )
45 simpl ⊢ ( ( 𝐺 ≤ 𝑌 ∧ 𝐻 ≤ 𝑌 ) → 𝐺 ≤ 𝑌 )
46 44 45 biimtrrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ≤ 𝑌 → 𝐺 ≤ 𝑌 ) )
47 38 46 mtod ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ¬ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ≤ 𝑌 )
48 nbrne2 ⊢ ( ( 𝐵 ≤ 𝑌 ∧ ¬ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ≤ 𝑌 ) → 𝐵 ≠ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) )
49 37 47 48 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐵 ≠ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) )
50 49 necomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ≠ 𝐵 )
51 hlatl ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
52 15 51 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐾 ∈ AtLat )
53 25 19 llnbase ⊢ ( 𝐵 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) → 𝐵 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
54 22 53 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐵 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
55 25 6 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝐵 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
56 24 27 54 55 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
57 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 dalem52 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∈ 𝐴 )
58 1 3 4 dalempjqeb ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
59 58 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
60 25 2 6 latmle1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) )
61 24 27 59 60 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) )
62 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 dalem51 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) ∧ ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ≠ 𝑌 ) )
63 62 simpld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) ∧ ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝑅 ) ) ) ) )
64 25 4 atbase ⊢ ( 𝑐 ∈ 𝐴 → 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
65 64 anim2i ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) )
66 65 3anim1i ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) )
67 biid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) ∧ ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) ∧ ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝑅 ) ) ) ) )
68 eqid ⊢ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) = ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 )
69 eqid ⊢ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) = ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
70 67 2 3 4 6 7 68 8 13 69 dalem10 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) ∧ ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≤ 𝐵 )
71 66 70 syl3an1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) ∧ ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≤ 𝐵 )
72 63 71 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≤ 𝐵 )
73 25 6 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
74 24 27 59 73 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
75 25 2 6 latlem12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝐵 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≤ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) ) )
76 24 74 27 54 75 syl13anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≤ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) ) )
77 61 72 76 mpbi2and ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) )
78 eqid ⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
79 25 2 78 4 atlen0 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
80 52 56 57 77 79 syl31anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
81 6 78 4 19 2llnmat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ 𝐵 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ≠ 𝐵 ∧ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) ∈ 𝐴 )
82 15 21 22 50 80 81 syl32anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) ∈ 𝐴 )