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Theorem 2llnmat

Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012)

Ref Expression
Hypotheses 2llnmat.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
2llnmat.z ⊢ 0 = ( 0. ‘ 𝐾 )
2llnmat.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
2llnmat.n ⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
Assertion 2llnmat ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 2llnmat.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
2 2llnmat.z ⊢ 0 = ( 0. ‘ 𝐾 )
3 2llnmat.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 2llnmat.n ⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
5 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
6 hlatl ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
7 5 6 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → 𝐾 ∈ AtLat )
8 5 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
9 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑁 )
10 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
11 10 4 llnbase ⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12 9 11 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
13 simpl3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑁 )
14 10 4 llnbase ⊢ ( 𝑌 ∈ 𝑁 → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15 13 14 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 10 1 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17 8 12 15 16 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18 simprr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 )
19 eqid ⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
20 10 19 2 3 atlex ⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) )
21 7 17 18 20 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) )
22 simp1rl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑋 ≠ 𝑌 )
23 simp1l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) )
24 19 4 llncmp ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌 ) )
25 23 24 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌 ) )
26 simp1l1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
27 26 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
28 simp1l2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑁 )
29 28 11 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
30 simp1l3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑁 )
31 30 14 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
32 10 19 1 latleeqm1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) )
33 27 29 31 32 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) )
34 25 33 bitr3d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 = 𝑌 ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) )
35 34 necon3bid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ≠ 𝑌 ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 𝑋 ) )
36 22 35 mpbid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 𝑋 )
37 simp3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) )
38 10 19 1 latmle1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 )
39 27 29 31 38 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 )
40 hlpos ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset )
41 26 40 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝐾 ∈ Poset )
42 10 3 atbase ⊢ ( 𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
43 42 3ad2ant2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
44 27 29 31 16 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
45 simp2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 )
46 10 19 27 43 44 29 37 39 lattrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 )
47 eqid ⊢ ( ⋖ ‘ 𝐾 ) = ( ⋖ ‘ 𝐾 )
48 19 47 3 4 atcvrlln2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑋 )
49 26 45 28 46 48 syl31anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑋 )
50 10 19 47 cvrnbtwn4 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Poset ∧ ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → ( ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ↔ ( 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) ) )
51 41 43 29 44 49 50 syl131anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ↔ ( 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) ) )
52 37 39 51 mpbi2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) )
53 neor ⊢ ( ( 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) ↔ ( 𝑝 ≠ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) )
54 52 53 sylib ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑝 ≠ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) )
55 54 necon1d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 𝑋 → 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
56 36 55 mpd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) )
57 56 3exp ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑝 ∈ 𝐴 → ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) → 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) )
58 57 reximdvai ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
59 21 58 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) )
60 risset ⊢ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) )
61 59 60 sylibr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 )