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Theorem dalem23

Description: Lemma for dath . Show that auxiliary atom G is an atom. (Contributed by NM, 2-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalem.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
dalem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dalem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dalem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalem.ps ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
dalem23.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
dalem23.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dalem23.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
dalem23.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
dalem23.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) )
Assertion dalem23 ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐺 ∈ 𝐴 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalem.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalem.ps ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
6 dalem23.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
7 dalem23.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
8 dalem23.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
9 dalem23.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
10 dalem23.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) )
11 1 dalemkehl ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ HL )
12 11 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → 𝐾 ∈ HL )
13 5 dalemccea ⊢ ( 𝜓 → 𝑐 ∈ 𝐴 )
14 13 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → 𝑐 ∈ 𝐴 )
15 1 dalempea ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴 )
16 15 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
17 5 dalemddea ⊢ ( 𝜓 → 𝑑 ∈ 𝐴 )
18 17 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → 𝑑 ∈ 𝐴 )
19 1 dalemsea ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴 )
20 19 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
21 3 4 hlatj4 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∨ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) )
22 12 14 16 18 20 21 syl122anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∨ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) )
23 22 3adant2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∨ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) )
24 1 2 3 4 5 7 8 9 dalem22 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝑂 )
25 23 24 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∨ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝑂 )
26 11 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐾 ∈ HL )
27 1 2 3 4 7 8 dalemply ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑌 )
28 5 dalem-ccly ⊢ ( 𝜓 → ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 )
29 nbrne2 ⊢ ( ( 𝑃 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ) → 𝑃 ≠ 𝑐 )
30 27 28 29 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → 𝑃 ≠ 𝑐 )
31 30 necomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → 𝑐 ≠ 𝑃 )
32 eqid ⊢ ( LLines ‘ 𝐾 ) = ( LLines ‘ 𝐾 )
33 3 4 32 llni2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑃 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
34 12 14 16 31 33 syl31anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
35 34 3adant2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
36 17 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑑 ∈ 𝐴 )
37 19 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
38 1 2 3 4 9 dalemsly ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ) → 𝑆 ≤ 𝑌 )
39 38 3adant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑆 ≤ 𝑌 )
40 5 dalem-ddly ⊢ ( 𝜓 → ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 )
41 40 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 )
42 nbrne2 ⊢ ( ( 𝑆 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ) → 𝑆 ≠ 𝑑 )
43 39 41 42 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑆 ≠ 𝑑 )
44 43 necomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑑 ≠ 𝑆 )
45 3 4 32 llni2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑑 ≠ 𝑆 ) → ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
46 26 36 37 44 45 syl31anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
47 3 6 4 32 7 2llnmj ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∨ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝑂 ) )
48 26 35 46 47 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∨ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝑂 ) )
49 25 48 mpbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 )
50 10 49 eqeltrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐺 ∈ 𝐴 )