mulcn2

Description: Complex number multiplication is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of Gleason p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014)

		Ref	Expression
	Assertion	mulcn2	\|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rphalfcl	\|- ( A e. RR+ -> ( A / 2 ) e. RR+ )
2	1	3ad2ant1	\|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A / 2 ) e. RR+ )
3		abscl	\|- ( C e. CC -> ( abs ` C ) e. RR )
4	3	3ad2ant3	\|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( abs ` C ) e. RR )
5		abscl	\|- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
6	5	3ad2ant2	\|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( abs ` B ) e. RR )
7		1re	\|- 1 e. RR
8		readdcl	\|- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR )
9	6 7 8	sylancl	\|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR )
10		absge0	\|- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
11		0lt1	\|- 0 < 1
12		addgegt0	\|- ( ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 <_ ( abs ` B ) /\ 0 < 1 ) ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
13	12	an4s	\|- ( ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
14	7 11 13	mpanr12	\|- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
15	5 10 14	syl2anc	\|- ( B e. CC -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
16	15	3ad2ant2	\|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
17	9 16	elrpd	\|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR+ )
18	2 17	rpdivcld	\|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ )
19	18	rpred	\|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR )
20	4 19	readdcld	\|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR )
21		absge0	\|- ( C e. CC -> 0 <_ ( abs ` C ) )
22	21	3ad2ant3	\|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` C ) )
23		elrp	\|- ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ <-> ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
24		addgegt0	\|- ( ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( abs ` C ) /\ 0 < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
25	24	an4s	\|- ( ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` C ) ) /\ ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
26	23 25	sylan2b	\|- ( ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` C ) ) /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
27	4 22 18 26	syl21anc	\|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
28	20 27	elrpd	\|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
29	2 28	rpdivcld	\|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
30		simprl	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> u e. CC )
31		simpl2	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> B e. CC )
32	30 31	subcld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u - B ) e. CC )
33	32	abscld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( u - B ) ) e. RR )
34	2	adantr	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( A / 2 ) e. RR+ )
35	34	rpred	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( A / 2 ) e. RR )
36	28	adantr	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
37	33 35 36	ltmuldivd	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) <-> ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
38		simprr	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> v e. CC )
39		simpl3	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> C e. CC )
40	38 39	abs2difd	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) <_ ( abs ` ( v - C ) ) )
41	38	abscld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` v ) e. RR )
42	4	adantr	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` C ) e. RR )
43	41 42	resubcld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) e. RR )
44	38 39	subcld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( v - C ) e. CC )
45	44	abscld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( v - C ) ) e. RR )
46	19	adantr	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR )
47		lelttr	\|- ( ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) e. RR /\ ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) <_ ( abs ` ( v - C ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
48	43 45 46 47	syl3anc	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) <_ ( abs ` ( v - C ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
49	40 48	mpand	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
50	41 42 46	ltsubadd2d	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) <-> ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
51	49 50	sylibd	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
52	20	adantr	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR )
53		ltle	\|- ( ( ( abs ` v ) e. RR /\ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
54	41 52 53	syl2anc	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
55	51 54	syld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
56	32	absge0d	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( u - B ) ) )
57		lemul2a	\|- ( ( ( ( abs ` v ) e. RR /\ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( u - B ) ) ) ) /\ ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
58	57	ex	\|- ( ( ( abs ` v ) e. RR /\ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( u - B ) ) ) ) -> ( ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
59	41 52 33 56 58	syl112anc	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
60	33 41	remulcld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) e. RR )
61	33 52	remulcld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR )
62		lelttr	\|- ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR /\ ( A / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) )
63	60 61 35 62	syl3anc	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) )
64	63	expd	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
65	55 59 64	3syld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
66	65	com23	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
67	37 66	sylbird	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
68	67	impd	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) )
69	32 38	absmuld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( u - B ) x. v ) ) = ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) )
70	30 31 38	subdird	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( u - B ) x. v ) = ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) )
71	70	fveq2d	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( u - B ) x. v ) ) = ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) )
72	69 71	eqtr3d	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) = ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) )
73	72	breq1d	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) <-> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
74	68 73	sylibd	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
75	17	adantr	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR+ )
76	45 35 75	ltmuldiv2d	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) <-> ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
77	31 38 39	subdid	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( B x. ( v - C ) ) = ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) )
78	77	fveq2d	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( B x. ( v - C ) ) ) = ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) )
79	31 44	absmuld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( B x. ( v - C ) ) ) = ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
80	78 79	eqtr3d	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) = ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
81	31	abscld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` B ) e. RR )
82	81	lep1d	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) )
83	9	adantr	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR )
84		abscl	\|- ( ( v - C ) e. CC -> ( abs ` ( v - C ) ) e. RR )
85		absge0	\|- ( ( v - C ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) )
86	84 85	jca	\|- ( ( v - C ) e. CC -> ( ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) ) )
87		lemul1a	\|- ( ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR /\ ( ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) ) ) /\ ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
88	87	ex	\|- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR /\ ( ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) ) ) -> ( ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) ) )
89	86 88	syl3an3	\|- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR /\ ( v - C ) e. CC ) -> ( ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) ) )
90	81 83 44 89	syl3anc	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) ) )
91	82 90	mpd	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
92	80 91	eqbrtrd	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
93	31 38	mulcld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( B x. v ) e. CC )
94	31 39	mulcld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( B x. C ) e. CC )
95	93 94	subcld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) e. CC )
96	95	abscld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) e. RR )
97	83 45	remulcld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) e. RR )
98		lelttr	\|- ( ( ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) e. RR /\ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) e. RR /\ ( A / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) /\ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
99	96 97 35 98	syl3anc	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) /\ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
100	92 99	mpand	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
101	76 100	sylbird	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
102	101	adantld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
103	74 102	jcad	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) /\ ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
104		mulcl	\|- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
105	104	adantl	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u x. v ) e. CC )
106		simpl1	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> A e. RR+ )
107	106	rpred	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> A e. RR )
108		abs3lem	\|- ( ( ( ( u x. v ) e. CC /\ ( B x. C ) e. CC ) /\ ( ( B x. v ) e. CC /\ A e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) /\ ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
109	105 94 93 107 108	syl22anc	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) /\ ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
110	103 109	syld	\|- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
111	110	ralrimivva	\|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
112		breq2	\|- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) < y <-> ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
113	112	anbi1d	\|- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) <-> ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) ) )
114	113	imbi1d	\|- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
115	114	2ralbidv	\|- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
116		breq2	\|- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < z <-> ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
117	116	anbi2d	\|- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) <-> ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
118	117	imbi1d	\|- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
119	118	2ralbidv	\|- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
120	115 119	rspc2ev	\|- ( ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR+ /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ /\ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
121	29 18 111 120	syl3anc	\|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )

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Theorem mulcn2

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