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Theorem mod2ile

Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod2iN ) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses modle.b 
|- B = ( Base ` K )
modle.l 
|- .<_ = ( le ` K )
modle.j 
|- .\/ = ( join ` K )
modle.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
Assertion mod2ile 
|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z .<_ X -> ( ( X ./\ Y ) .\/ Z ) .<_ ( X ./\ ( Y .\/ Z ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 modle.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 modle.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 modle.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 modle.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 simpll 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> K e. Lat )
6 simplr3 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> Z e. B )
7 simplr2 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> Y e. B )
8 simplr1 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> X e. B )
9 6 7 8 3jca 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> ( Z e. B /\ Y e. B /\ X e. B ) )
10 5 9 jca 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> ( K e. Lat /\ ( Z e. B /\ Y e. B /\ X e. B ) ) )
11 simpr 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> Z .<_ X )
12 1 2 3 4 mod1ile 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Z e. B /\ Y e. B /\ X e. B ) ) -> ( Z .<_ X -> ( Z .\/ ( Y ./\ X ) ) .<_ ( ( Z .\/ Y ) ./\ X ) ) )
13 10 11 12 sylc 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> ( Z .\/ ( Y ./\ X ) ) .<_ ( ( Z .\/ Y ) ./\ X ) )
14 1 4 latmcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) = ( Y ./\ X ) )
15 5 8 7 14 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> ( X ./\ Y ) = ( Y ./\ X ) )
16 15 oveq1d 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ Z ) = ( ( Y ./\ X ) .\/ Z ) )
17 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y ./\ X ) e. B )
18 5 7 8 17 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> ( Y ./\ X ) e. B )
19 1 3 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Y ./\ X ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( Y ./\ X ) .\/ Z ) = ( Z .\/ ( Y ./\ X ) ) )
20 5 18 6 19 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> ( ( Y ./\ X ) .\/ Z ) = ( Z .\/ ( Y ./\ X ) ) )
21 16 20 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ Z ) = ( Z .\/ ( Y ./\ X ) ) )
22 1 3 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .\/ Z ) = ( Z .\/ Y ) )
23 5 7 6 22 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> ( Y .\/ Z ) = ( Z .\/ Y ) )
24 23 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> ( X ./\ ( Y .\/ Z ) ) = ( X ./\ ( Z .\/ Y ) ) )
25 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Z e. B /\ Y e. B ) -> ( Z .\/ Y ) e. B )
26 5 6 7 25 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> ( Z .\/ Y ) e. B )
27 1 4 latmcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ ( Z .\/ Y ) e. B ) -> ( X ./\ ( Z .\/ Y ) ) = ( ( Z .\/ Y ) ./\ X ) )
28 5 8 26 27 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> ( X ./\ ( Z .\/ Y ) ) = ( ( Z .\/ Y ) ./\ X ) )
29 24 28 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> ( X ./\ ( Y .\/ Z ) ) = ( ( Z .\/ Y ) ./\ X ) )
30 13 21 29 3brtr4d 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ Z .<_ X ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ Z ) .<_ ( X ./\ ( Y .\/ Z ) ) )
31 30 ex 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z .<_ X -> ( ( X ./\ Y ) .\/ Z ) .<_ ( X ./\ ( Y .\/ Z ) ) ) )