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Theorem mod2ile

Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod2iN ) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses modle.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
modle.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
modle.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
modle.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
Assertion mod2ile ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 ≤ 𝑋 → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ 𝑍 ) ≤ ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 modle.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 modle.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 modle.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 modle.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 simpll ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → 𝐾 ∈ Lat )
6 simplr3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
7 simplr2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
8 simplr1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
9 6 7 8 3jca ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) )
10 5 9 jca ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) )
11 simpr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → 𝑍 ≤ 𝑋 )
12 1 2 3 4 mod1ile ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 ≤ 𝑋 → ( 𝑍 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ) ≤ ( ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ) ) )
13 10 11 12 sylc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑍 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ) ≤ ( ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ) )
14 1 4 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) )
15 5 8 7 14 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) )
16 15 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ 𝑍 ) = ( ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ∨ 𝑍 ) )
17 1 4 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
18 5 7 8 17 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
19 1 3 latjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ∨ 𝑍 ) = ( 𝑍 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ) )
20 5 18 6 19 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → ( ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ∨ 𝑍 ) = ( 𝑍 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ) )
21 16 20 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ 𝑍 ) = ( 𝑍 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ) )
22 1 3 latjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) = ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) )
23 5 7 6 22 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) = ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) )
24 23 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ) )
25 1 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
26 5 6 7 25 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
27 1 4 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ) )
28 5 8 26 27 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑋 ∧ ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ) )
29 24 28 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ) )
30 13 21 29 3brtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ 𝑍 ) ≤ ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )
31 30 ex ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 ≤ 𝑋 → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ 𝑍 ) ≤ ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) ) )