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Theorem mod1ile

Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod1i , atmod1i1 ) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses modle.b 
|- B = ( Base ` K )
modle.l 
|- .<_ = ( le ` K )
modle.j 
|- .\/ = ( join ` K )
modle.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
Assertion mod1ile 
|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ Z -> ( X .\/ ( Y ./\ Z ) ) .<_ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 modle.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 modle.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 modle.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 modle.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 simpll 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> K e. Lat )
6 simplr1 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> X e. B )
7 simplr2 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> Y e. B )
8 1 2 3 latlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X .<_ ( X .\/ Y ) )
9 5 6 7 8 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> X .<_ ( X .\/ Y ) )
10 simpr 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> X .<_ Z )
11 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B )
12 5 6 7 11 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> ( X .\/ Y ) e. B )
13 simplr3 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> Z e. B )
14 1 2 4 latlem12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ ( X .\/ Y ) e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .<_ ( X .\/ Y ) /\ X .<_ Z ) <-> X .<_ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) ) )
15 5 6 12 13 14 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> ( ( X .<_ ( X .\/ Y ) /\ X .<_ Z ) <-> X .<_ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) ) )
16 9 10 15 mpbi2and 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> X .<_ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) )
17 1 2 3 4 latmlej12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Y e. B /\ Z e. B /\ X e. B ) ) -> ( Y ./\ Z ) .<_ ( X .\/ Y ) )
18 5 7 13 6 17 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> ( Y ./\ Z ) .<_ ( X .\/ Y ) )
19 1 2 4 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y ./\ Z ) .<_ Z )
20 5 7 13 19 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> ( Y ./\ Z ) .<_ Z )
21 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y ./\ Z ) e. B )
22 5 7 13 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> ( Y ./\ Z ) e. B )
23 1 2 4 latlem12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( Y ./\ Z ) e. B /\ ( X .\/ Y ) e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( Y ./\ Z ) .<_ ( X .\/ Y ) /\ ( Y ./\ Z ) .<_ Z ) <-> ( Y ./\ Z ) .<_ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) ) )
24 5 22 12 13 23 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> ( ( ( Y ./\ Z ) .<_ ( X .\/ Y ) /\ ( Y ./\ Z ) .<_ Z ) <-> ( Y ./\ Z ) .<_ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) ) )
25 18 20 24 mpbi2and 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> ( Y ./\ Z ) .<_ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) )
26 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X .\/ Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) e. B )
27 5 12 13 26 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) e. B )
28 1 2 3 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ ( Y ./\ Z ) e. B /\ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) e. B ) ) -> ( ( X .<_ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) /\ ( Y ./\ Z ) .<_ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) ) <-> ( X .\/ ( Y ./\ Z ) ) .<_ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) ) )
29 5 6 22 27 28 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> ( ( X .<_ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) /\ ( Y ./\ Z ) .<_ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) ) <-> ( X .\/ ( Y ./\ Z ) ) .<_ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) ) )
30 16 25 29 mpbi2and 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .<_ Z ) -> ( X .\/ ( Y ./\ Z ) ) .<_ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) )
31 30 ex 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ Z -> ( X .\/ ( Y ./\ Z ) ) .<_ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) ) )