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Theorem llnexchb2lem

Description: Lemma for llnexchb2 . (Contributed by NM, 17-Nov-2012)

Ref Expression
Hypotheses llnexch.l 
|- .<_ = ( le ` K )
llnexch.j 
|- .\/ = ( join ` K )
llnexch.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
llnexch.a 
|- A = ( Atoms ` K )
llnexch.n 
|- N = ( LLines ` K )
Assertion llnexchb2lem 
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) <-> ( X ./\ Y ) = ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 llnexch.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 llnexch.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 llnexch.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 llnexch.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 llnexch.n 
 |-  N = ( LLines ` K )
6 simpl11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> K e. HL )
7 simpl21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> P e. A )
8 simpl12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> X e. N )
9 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
10 9 5 llnbase 
 |-  ( X e. N -> X e. ( Base ` K ) )
11 8 10 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> X e. ( Base ` K ) )
12 6 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> K e. Lat )
13 simpl13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> Y e. N )
14 9 5 llnbase 
 |-  ( Y e. N -> Y e. ( Base ` K ) )
15 13 14 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> Y e. ( Base ` K ) )
16 9 3 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
17 12 11 15 16 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
18 9 1 3 latmle1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ X )
19 12 11 15 18 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ X )
20 9 1 2 3 4 atmod2i2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ X ) -> ( ( X ./\ P ) .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( X ./\ ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) ) )
21 6 7 11 17 19 20 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( X ./\ P ) .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( X ./\ ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) ) )
22 9 4 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
23 7 22 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
24 9 3 latmcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ P e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ P ) = ( P ./\ X ) )
25 12 11 23 24 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ P ) = ( P ./\ X ) )
26 simpl23 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> -. P .<_ X )
27 hlatl 
 |-  ( K e. HL -> K e. AtLat )
28 6 27 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> K e. AtLat )
29 eqid 
 |-  ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
30 9 1 3 29 4 atnle 
 |-  ( ( K e. AtLat /\ P e. A /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( -. P .<_ X <-> ( P ./\ X ) = ( 0. ` K ) ) )
31 28 7 11 30 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( -. P .<_ X <-> ( P ./\ X ) = ( 0. ` K ) ) )
32 26 31 mpbid 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P ./\ X ) = ( 0. ` K ) )
33 25 32 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ P ) = ( 0. ` K ) )
34 33 oveq1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( X ./\ P ) .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( ( 0. ` K ) .\/ ( X ./\ Y ) ) )
35 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) )
36 hlcvl 
 |-  ( K e. HL -> K e. CvLat )
37 6 36 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> K e. CvLat )
38 simpl3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ Y ) e. A )
39 simpl22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> Q e. A )
40 breq1 
 |-  ( P = ( X ./\ Y ) -> ( P .<_ X <-> ( X ./\ Y ) .<_ X ) )
41 19 40 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P = ( X ./\ Y ) -> P .<_ X ) )
42 41 necon3bd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( -. P .<_ X -> P =/= ( X ./\ Y ) ) )
43 26 42 mpd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> P =/= ( X ./\ Y ) )
44 43 necomd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ Y ) =/= P )
45 1 2 4 cvlatexchb1 
 |-  ( ( K e. CvLat /\ ( ( X ./\ Y ) e. A /\ Q e. A /\ P e. A ) /\ ( X ./\ Y ) =/= P ) -> ( ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) <-> ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( P .\/ Q ) ) )
46 37 38 39 7 44 45 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) <-> ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( P .\/ Q ) ) )
47 35 46 mpbid 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( P .\/ Q ) )
48 47 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) ) = ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) )
49 21 34 48 3eqtr3rd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) = ( ( 0. ` K ) .\/ ( X ./\ Y ) ) )
50 hlol 
 |-  ( K e. HL -> K e. OL )
51 6 50 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> K e. OL )
52 9 2 29 olj02 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( 0. ` K ) .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( X ./\ Y ) )
53 51 17 52 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( 0. ` K ) .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( X ./\ Y ) )
54 49 53 eqtr2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ Y ) = ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) )
55 54 ex 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) -> ( X ./\ Y ) = ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) ) )
56 simp11 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> K e. HL )
57 56 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> K e. Lat )
58 simp12 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> X e. N )
59 58 10 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> X e. ( Base ` K ) )
60 simp21 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> P e. A )
61 simp22 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> Q e. A )
62 9 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
63 56 60 61 62 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
64 9 1 3 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) .<_ ( P .\/ Q ) )
65 57 59 63 64 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) .<_ ( P .\/ Q ) )
66 breq1 
 |-  ( ( X ./\ Y ) = ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) <-> ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) .<_ ( P .\/ Q ) ) )
67 65 66 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( ( X ./\ Y ) = ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) )
68 55 67 impbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) <-> ( X ./\ Y ) = ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) ) )