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Theorem infil

Description: The intersection of two filters is a filter. Use fiint to extend this property to the intersection of a finite set of filters. Paragraph 3 of BourbakiTop1 p. I.36. (Contributed by FL, 17-Sep-2007) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion infil 
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> ( F i^i G ) e. ( Fil ` X ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 inss1 
 |-  ( F i^i G ) C_ F
2 filsspw 
 |-  ( F e. ( Fil ` X ) -> F C_ ~P X )
3 2 adantr 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> F C_ ~P X )
4 1 3 sstrid 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> ( F i^i G ) C_ ~P X )
5 0nelfil 
 |-  ( F e. ( Fil ` X ) -> -. (/) e. F )
6 5 adantr 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> -. (/) e. F )
7 elinel1 
 |-  ( (/) e. ( F i^i G ) -> (/) e. F )
8 6 7 nsyl 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> -. (/) e. ( F i^i G ) )
9 filtop 
 |-  ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
10 9 adantr 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> X e. F )
11 filtop 
 |-  ( G e. ( Fil ` X ) -> X e. G )
12 11 adantl 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> X e. G )
13 10 12 elind 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> X e. ( F i^i G ) )
14 4 8 13 3jca 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> ( ( F i^i G ) C_ ~P X /\ -. (/) e. ( F i^i G ) /\ X e. ( F i^i G ) ) )
15 simpll 
 |-  ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
16 simpr2 
 |-  ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> y e. ( F i^i G ) )
17 elinel1 
 |-  ( y e. ( F i^i G ) -> y e. F )
18 16 17 syl 
 |-  ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> y e. F )
19 simpr1 
 |-  ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> x e. ~P X )
20 19 elpwid 
 |-  ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> x C_ X )
21 simpr3 
 |-  ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> y C_ x )
22 filss 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( y e. F /\ x C_ X /\ y C_ x ) ) -> x e. F )
23 15 18 20 21 22 syl13anc 
 |-  ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> x e. F )
24 simplr 
 |-  ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> G e. ( Fil ` X ) )
25 elinel2 
 |-  ( y e. ( F i^i G ) -> y e. G )
26 16 25 syl 
 |-  ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> y e. G )
27 filss 
 |-  ( ( G e. ( Fil ` X ) /\ ( y e. G /\ x C_ X /\ y C_ x ) ) -> x e. G )
28 24 26 20 21 27 syl13anc 
 |-  ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> x e. G )
29 23 28 elind 
 |-  ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> x e. ( F i^i G ) )
30 29 3exp2 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> ( x e. ~P X -> ( y e. ( F i^i G ) -> ( y C_ x -> x e. ( F i^i G ) ) ) ) )
31 30 imp 
 |-  ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( y e. ( F i^i G ) -> ( y C_ x -> x e. ( F i^i G ) ) ) )
32 31 rexlimdv 
 |-  ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( E. y e. ( F i^i G ) y C_ x -> x e. ( F i^i G ) ) )
33 32 ralrimiva 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> A. x e. ~P X ( E. y e. ( F i^i G ) y C_ x -> x e. ( F i^i G ) ) )
34 simpl 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
35 elinel1 
 |-  ( x e. ( F i^i G ) -> x e. F )
36 35 17 anim12i 
 |-  ( ( x e. ( F i^i G ) /\ y e. ( F i^i G ) ) -> ( x e. F /\ y e. F ) )
37 filin 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x e. F /\ y e. F ) -> ( x i^i y ) e. F )
38 37 3expb 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( x i^i y ) e. F )
39 34 36 38 syl2an 
 |-  ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ( F i^i G ) /\ y e. ( F i^i G ) ) ) -> ( x i^i y ) e. F )
40 simpr 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> G e. ( Fil ` X ) )
41 elinel2 
 |-  ( x e. ( F i^i G ) -> x e. G )
42 41 25 anim12i 
 |-  ( ( x e. ( F i^i G ) /\ y e. ( F i^i G ) ) -> ( x e. G /\ y e. G ) )
43 filin 
 |-  ( ( G e. ( Fil ` X ) /\ x e. G /\ y e. G ) -> ( x i^i y ) e. G )
44 43 3expb 
 |-  ( ( G e. ( Fil ` X ) /\ ( x e. G /\ y e. G ) ) -> ( x i^i y ) e. G )
45 40 42 44 syl2an 
 |-  ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ( F i^i G ) /\ y e. ( F i^i G ) ) ) -> ( x i^i y ) e. G )
46 39 45 elind 
 |-  ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ( F i^i G ) /\ y e. ( F i^i G ) ) ) -> ( x i^i y ) e. ( F i^i G ) )
47 46 ralrimivva 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> A. x e. ( F i^i G ) A. y e. ( F i^i G ) ( x i^i y ) e. ( F i^i G ) )
48 isfil2 
 |-  ( ( F i^i G ) e. ( Fil ` X ) <-> ( ( ( F i^i G ) C_ ~P X /\ -. (/) e. ( F i^i G ) /\ X e. ( F i^i G ) ) /\ A. x e. ~P X ( E. y e. ( F i^i G ) y C_ x -> x e. ( F i^i G ) ) /\ A. x e. ( F i^i G ) A. y e. ( F i^i G ) ( x i^i y ) e. ( F i^i G ) ) )
49 14 33 47 48 syl3anbrc 
 |-  ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> ( F i^i G ) e. ( Fil ` X ) )